【學(xué)霸滿分】2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊重難點專題提優(yōu)訓(xùn)練（北師大版）專題13 垂徑定理之六大考點（原卷版）

專題13垂徑定理之六大考點【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一利用垂徑定理求值】 1【考點二利用垂徑定理求平行弦問題】 4【考點三利用垂徑定理求同心圓問題】 7【考點四利用垂徑定理求解其他問題】 10【考點五垂徑定理的推論】 13【考點六垂徑定理的實際應(yīng)用】 16【過關(guān)檢測】 18【典型例題】【考點一利用垂徑定理求值】例題：（2023上·安徽合肥·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，為的直徑，為的弦，，垂足為，，，．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·江蘇無錫·九年級?？计谀┤鐖D，是的直徑，弦，垂足為點E，，則．2．（2023上·江蘇蘇州·九年級蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校?？计谥校霃綖?的如圖折疊，折痕長為6，C為折疊后的中點，則長為．【考點二利用垂徑定理求平行弦問題】例題：（2023秋·天津和平·九年級?？计谀┌霃綖?，弦，，，則與間的距離為（

）A．1 B．7 C．1或7 D．3或4【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）在半徑為10的中，弦，弦，且，則與之間的距離是．2．（2023春·甘肅武威·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）的半徑為13cm，AB、CD是的兩條弦，，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之間的距離．【考點三利用垂徑定理求同心圓問題】例題：如圖，已知的兩條弦、分別與的同心圓交于點E、F、X、Y，，，，則的長度為．

【變式訓(xùn)練】1．如圖，一人口的弧形臺階，從上往下看是一組同心圓被一條直線所截得的一組圓?。阎總€臺階寬度為32cm（即相鄰兩弧半徑相差32cm），測得AB=200cm，AC=BD=40cm，則弧AB所在的圓的半徑為cm2．如圖，在兩個同心圓中，大圓的弦與小圓相交于C，D兩點．(1)求證：．(2)若，大圓的半徑，求小圓的半徑r．【考點四利用垂徑定理求解其他問題】例題：如圖所示，一圓弧過方格的格點，試在方格中建立平面直角坐標系，使點的坐標為，則該圓弧所在圓的圓心坐標是（）

A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．如圖是一破損了的圓形零件的設(shè)計圖，請你根據(jù)所學(xué)的有關(guān)知識將設(shè)計圖恢復(fù)完整．

2．已知：如圖，是的直徑，點C在上，請用無刻度直尺畫圖（保留作圖痕跡，不寫畫法）．

(1)如圖①，若M是半圓的中點，且與C點在同側(cè)，畫出的平分線．并說明理由；(2)如圖②，若，畫出的平分線．【考點五垂徑定理的推論】例題：（2023·新疆喀什·統(tǒng)考二模）某公路隧道的截面為圓弧形，設(shè)圓弧所在圓的圓心為O，測得其同一水平線上A、B兩點之間的距離為12米，拱高為4米，則的半徑為米．【變式訓(xùn)練】1．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖是一位同學(xué)從照片上前切下來的海上日出時的畫面，“圖上”太陽與海平線交于A，B兩點，他測得“圖上”圓的半徑為10厘米，厘米．則“圖上”太陽從目前所處位置到完全跳出海平面，升起厘米．2．（2023春·江蘇無錫·九年級校聯(lián)考期末）《九章算術(shù)》中卷九勾股篇記載：今有圓材埋于壁中，不知大?。凿忎徶?，深一寸，鋸道長一尺．問徑幾何？轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言：如圖，為的半徑，弦，垂足為，寸，尺尺寸，則此圓材的直徑長是寸．【考點六垂徑定理的實際應(yīng)用】例題：（2023春·安徽亳州·九年級專題練習(xí)）如圖，的直徑與弦交于點E，，則下列說法錯誤的是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·九年級單元測試）下列說法正確的是（）①平分弧的直徑垂直平分弧所對的弦②平分弦的直徑平分弦所對的弧③垂直于弦的直線必過圓心④垂直于弦的直徑平分弦所對的弧A．②③ B．①③ C．②④ D．①④2．已知一座圓弧形拱橋，圓心為點O，橋下水面寬度為，過O作于點D，．

(1)求該圓弧形拱橋的半徑；(2)現(xiàn)有一艘寬，船艙頂部高出水面的貨船要經(jīng)過這座拱橋（船艙截面為長方形），請問，該貨船能順利通過嗎？【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023上·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期中）如圖，是的弦，半徑，垂足為D，設(shè)的半徑為5，，則的長為（

）A．4 B．6 C．8 D．102．（2023上·廣西南寧·九年級南寧市第四十七中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，點在上，直徑于點，下列結(jié)論中不一定成立的是（

）A． B． C． D．3．（2023上·陜西西安·九年級西安市鐵一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，為中的兩條弦，．若，，的直徑為，則與之間距離為（

）A． B． C．或 D．4．（2013·重慶·統(tǒng)考二模）如圖，在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB與小圓相切于C點，AB=12cm，AO=8cm，則OC長為（）cmA．5 B．4 C． D．5．（2023上·浙江杭州·九年級杭州市豐潭中學(xué)?？计谥校┖贾輥嗊\會開幕式出現(xiàn)一座古今交匯拱底橋，橋面呈拱形．該橋的中間拱洞可以看成一種特殊的圓拱橋，此圓拱橋的跨徑（橋拱圓弧所對的弦的長），拱高（橋拱圓弧的中點到弦的距離）約為，則此橋拱的半徑是（）A． B． C． D．二、填空題6．（2023上·福建莆田·九年級校考期中）如圖，都是的半徑，交于點D．若，則的長為

7．（2023上·江蘇揚州·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）把一張圓形紙片按如圖方式折疊兩次后展開，圖中的虛線表示折痕，則的度數(shù)是．8．（2023上·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期中）“圓材埋壁”是我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸長一尺，問徑如何？”．問題翻譯為：如圖，現(xiàn)有圓形木材埋在墻壁里，不知木材大小，將它鋸下來測得深度為1寸，鋸長為10寸，則圓材的半徑為寸．9．（2023上·全國·九年級專題練習(xí)）已知的直徑為，，是的兩條弦，，，，則與之間的距離為cm．10．（2023上·浙江金華·九年級校聯(lián)考期中）圖1是某奢侈品牌的香水瓶．從正面看上去（如圖2），它可以近似看作割去兩個弓形后余下的部分與矩形組合而成的圖形（點B、C在⊙O上），其中；從側(cè)面看，它是扁平的，厚度為，已知的半徑為，，香水瓶的高度為，現(xiàn)用一張矩形硬紙板做成如圖3所示的香水瓶包裝盒，則這個香水瓶包裝盒的表面積是三、解答題11．（2023上·安徽合肥·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，是的直徑，且經(jīng)過弦的中點，已知，，則的長的長度．

12．（2023上·江蘇蘇州·九年級蘇州高新區(qū)第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，以點O為圓心，為半徑的圓交于點C，交于點D．(1)若，則弧的度數(shù)為______．(2)若，，求的長．13．（2023上·湖北黃岡·九年級統(tǒng)考期中）某村為了促進農(nóng)村經(jīng)濟發(fā)展，建設(shè)了蔬菜基地，新建了一批蔬菜大棚．如圖是蔬菜大棚的截面，形狀為圓弧型，圓心為，跨度（弧所對的弦）的長為8米，拱高（弧的中點到弦的距離）為2米．

(1)求該圓弧所在圓的半徑；(2)在修建過程中，在距蔬菜大棚的一端（點）1米處將豎立支撐桿，求支撐桿的高度．14．（2023上·北京·九年級期末）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，，垂足為D．(1)求證：；(2)已知的半徑為5，，求長．15．（2023上·江蘇徐州·九年級統(tǒng)考期中）在以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦交小圓于C、D兩點．

(1)與相等嗎？為什么？(2)若大圓、小圓的半徑分別為13和7，，求的長．16．（2023上·江蘇蘇州·九年級蘇州市胥江實驗中學(xué)校校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，中，，以為直徑作，分別交，于點，，過點作，交于點，垂足為，連接．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，，求弦的長．17．（2023上·河北石家莊·九年級校聯(lián)考期中）如圖，是一個半圓形橋洞的截面示意圖，圓心為O，直徑是河底藏線，弦是水位線，米，于點E，此時測得．(1)求的長；(2)如圖，陰影矩形是漂浮的箱子移出水面的截面圖，若其長為10米，高為2米，當(dāng)點E恰在中點時，①畫出半圓O最高點H，并直接寫出點H到線段的距離；②若該箱子隨水面上升1米，請判斷此木箱能否通過該橋洞．并說明理由．18．（2023·廣東深圳·?？寄M預(yù)測）[問題提出]（1）如圖①，在等腰直角中，，為等邊三角形，，則線段的長為．[問題解決]（2）如圖②，