專題05二次函數(shù)的新定義問題專訓(xùn)（原卷版）

專題05二次函數(shù)的新定義問題專訓(xùn)【二次函數(shù)的新定義問題30道】1．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）定義表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，如，，，則方程的解有(

)個A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2023春·山東濟(jì)寧·九年級?？茧A段練習(xí)）對于任意的實(shí)數(shù)m、n，定義符號的含義為m，n之間的最大值，如，．定義一個新函數(shù)：，則時，x的取值范圍為（

）A．或 B．或 C． D．或3．（2022秋·河南開封·九年級?？茧A段練習(xí)）定義一種新函數(shù)，形如（a≠0且）的函數(shù)叫做“鵲橋”函數(shù)，某同學(xué)畫出函數(shù)的圖象如圖．并寫出了下列結(jié)論：①圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②圖象具有對稱性，對稱軸是直線x＝1；③當(dāng)﹣1≤x≤1或x≥3時，y隨x的增大而增大；④當(dāng)x＝﹣1或x＝3函數(shù)有最小值是0；⑤當(dāng)x＝1時函數(shù)的最大值是4．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個4．（2022·廣東·統(tǒng)考二模）新定義：為二次函數(shù)（，a，b，c為實(shí)數(shù)）的“特征數(shù)”，如：的“特征數(shù)”為．若“特征數(shù)”為的二次函數(shù)的圖象與軸只有一個交點(diǎn)，則的值為（

）A．或2 B． C． D．25．（2022·湖南岳陽·校聯(lián)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，對于點(diǎn)和，給出如下新定義，若則稱點(diǎn)是點(diǎn)的限變點(diǎn)，例如：點(diǎn)的限變點(diǎn)是，點(diǎn)的限變點(diǎn)是，若點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，則當(dāng)時，其限變點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2022·福建·模擬預(yù)測）新定義：若一個點(diǎn)的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的2倍，則稱這個點(diǎn)為二倍點(diǎn)．若二次函數(shù)（c為常數(shù)）在的圖象上存在兩個二倍點(diǎn)，則c的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考一模）定義：對于二次函數(shù)y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0），若存在自變量x0，使得函數(shù)值等于x0成立，則稱x0為該函數(shù)的不動點(diǎn)，對于任意實(shí)數(shù)b，該函數(shù)恒有兩個相異的不動點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．0＜a＜2 B．0＜a≤2 C．﹣2＜a＜0 D．﹣2≤a＜08．（2022秋·安徽蚌埠·九年級?？计谥校┒x：我們將頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的二次函數(shù)稱為“互異二次函數(shù)”．如圖，在正方形OABC中，點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)C（2，0），則互異二次函數(shù)y＝（x﹣m）2﹣m與正方形OABC有交點(diǎn)時m的最大值和最小值之差為（

）A．5 B． C．4 D．9．（2020秋·安徽亳州·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，過一點(diǎn)P分別作坐標(biāo)軸的垂線，這兩條垂線與坐標(biāo)軸圍成一個矩形，若矩形的周長值與面積值相等，則點(diǎn)P叫作和諧點(diǎn)，所圍成的矩形叫作和諧矩形．已知點(diǎn)P是拋物線上的和諧點(diǎn)，所圍成的和諧矩形的面積為16，則k的值可以是（

）A．16 B．4 C．12 D．1810．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考三模）新定義：若兩個函數(shù)圖象有公共點(diǎn)，則稱這兩個函數(shù)圖象為牽手函數(shù)．已知拋物線與線段是牽手函數(shù)，則m的取值范圍是（

）A． B． C．或 D．11．（2022秋·吉林長春·九年級校考階段練習(xí)）定義：橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)．當(dāng)二次函數(shù)的圖象與直線（a為常數(shù)）圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（不包含邊界）只有2個整點(diǎn)時，則a的取值范圍是______．12．（2022秋·江蘇蘇州·九年級?？茧A段練習(xí)）定義表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，如，函數(shù)的圖象如圖所示，則方程的解為_________．13．（2022秋·北京西城·九年級北京十四中?？计谥校δ骋粋€函數(shù)給出如下定義：如果存在實(shí)數(shù)M，對于任意的函數(shù)值y，都滿足，那么稱這個函數(shù)是有上界函數(shù)．在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個函數(shù)的上確界．例如，圖中的函數(shù)是有上界函數(shù)，其上確界是2．如果函數(shù)是以3為上確界的有上界函數(shù)，則實(shí)數(shù)___________．14．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考一模）新定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于點(diǎn)和點(diǎn)，若滿足時，；時，，則稱點(diǎn)是點(diǎn)的限變點(diǎn)．例如：點(diǎn)的限變點(diǎn)是，則點(diǎn)的限變點(diǎn)是____________．若點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，則當(dāng)時，其限變點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是____________．15．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）定義：若一個函數(shù)圖象上存在橫縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為這個函數(shù)圖象的“等值點(diǎn)”．例如，點(diǎn)是函數(shù)的圖象的“等值點(diǎn)”．若函數(shù)的圖象記為，將其沿直線翻折后的圖象記為．當(dāng)、兩部分組成的圖象上恰有個“等值點(diǎn)”時，的取值范圍為______．16．（2022·江蘇鹽城·?？家荒＃┒x{a，b，c}＝c（a＜c＜b），即（a，b，c）的取值為a，b，c的中位數(shù)，例如：{1，3，2}＝2，{8，3，6}＝6，已知函數(shù)y＝{x2+1，﹣x+2，x+3}與直線y＝x+b有3個交點(diǎn)時，則b的值為_____．17．（2022秋·吉林長春·九年級長春市第五十二中學(xué)?？计谀┒x：在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，則把這樣的點(diǎn)叫做“整點(diǎn)”．如：A(1，0)，B(﹣3，2)都是“整點(diǎn)”，拋物線y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）與x軸交于P，Q兩點(diǎn)，若該拋物線在P，Q之間的部分與線段PQ所圍的區(qū)域（不包括邊界）恰有3個整點(diǎn)，則a的取值范圍是_____．18．（2022秋·上海浦東新·九年級統(tǒng)考期末）定義：直線與拋物線兩個交點(diǎn)之間的距離稱作拋物線關(guān)于直線的“割距”，如圖，線段MN長就是拋物線關(guān)于直線的“割距”．已知直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)B恰好是拋物線的頂點(diǎn)，則此時拋物線關(guān)于直線y的割距是______．19．（2022·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）新定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于點(diǎn)和點(diǎn)，若滿足m≥0時，n′＝n?4；m＜0時，n′＝?n，則稱點(diǎn)是點(diǎn)的限變點(diǎn)．例如：點(diǎn)的限變點(diǎn)是，點(diǎn)P2（?2，3）的限變點(diǎn)是（?2，?3）．若點(diǎn)P（m，n）在二次函數(shù)y＝?x2＋4x＋2的圖象上，則當(dāng)?1≤m≤3時，其限變點(diǎn)P′的縱坐標(biāo)n'的取值范圍是______．20．（2022秋·浙江寧波·九年級校考期末）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)滿足橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，則把點(diǎn)叫做“整點(diǎn)”如：、都是“整點(diǎn)”．當(dāng)拋物線與其關(guān)于軸對稱拋物線圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（包括邊界）共有個整點(diǎn)時，的取值范圍______．21．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考二模）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于某函數(shù)圖象上的一點(diǎn)P，先向右平移1個單位長度，再向上平移個單位長度得到點(diǎn)Q，若點(diǎn)Q也在該函數(shù)圖象上，則稱點(diǎn)P為該函數(shù)圖象的“n倍平點(diǎn)”．(1)函數(shù)①；②；③中，其圖象存在“2倍平點(diǎn)”的是_______（填序號）；(2)若反比例函數(shù)，圖象恰有1個“n倍平點(diǎn)”，求n的值；(3)求函數(shù)圖象的“3倍平點(diǎn)”的坐標(biāo)．22．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考三模）定義：二次項(xiàng)系數(shù)之和為1，對稱軸相同，且圖象與y軸交點(diǎn)也相同的兩個二次函數(shù)互為友好同軸二次函數(shù)．例如：的友好同軸二次函數(shù)為．(1)函數(shù)的對稱軸為__________．其友好同軸二次函數(shù)為__________．(2)已知二次函數(shù)（其中且且），其友好同軸二次函數(shù)記為．①若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A的橫坐標(biāo)小于點(diǎn)B的橫坐標(biāo)），求線段的長；②當(dāng)時，函數(shù)的最大值與最小值的差為8，求a的值．23．（2021春·貴州貴陽·九年級貴陽市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）定義：同時經(jīng)過x軸上兩點(diǎn)，的兩條拋物線稱為同弦拋物線．如拋物線：與拋物線：是都經(jīng)過，的同弦拋物線．(1)任意寫出一條拋物線的同弦拋物線．(2)已知拋物線是的同弦拋物線，且過點(diǎn)，求拋物線對應(yīng)函數(shù)的最大值或最小值．24．（2023春·江蘇鹽城·九年級?？计谥校┒x：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，稱兩個不同的點(diǎn)和為“反射對稱點(diǎn)”、如：點(diǎn)（1，3）和（3，1）是一對“反射對稱點(diǎn)”．(1)下列函數(shù)：①；②；③，其中圖像上存在，“反射對稱點(diǎn)”的是________（填序號）(2)直線與反比例函數(shù)的圖像在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)P，點(diǎn)P和點(diǎn)Q為一對“反射對稱點(diǎn)”，若，求k的值；(3)拋物線上是否存在一對“反射對稱點(diǎn)”？如果存在，求出這一對“反射對稱點(diǎn)”所連線段的中點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．25．（2023春·湖南長沙·九年級長沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校δ骋粋€函數(shù)給出如下定義：對于任意的函數(shù)值y，都滿足，且在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個函數(shù)的上邊界值；對于任意的函數(shù)值y，都滿足，且在所有滿足條件的N中，其最大值稱為這個函數(shù)的下邊界值；若一個函數(shù)既有上邊界值又有下邊界值，則稱這個函數(shù)是有界函數(shù)，其上邊界與下邊界的差稱為邊界差．例如，圖中的函數(shù)上邊界值是，下邊界值是．所以這個函數(shù)是“有界函數(shù)”，邊界差為．(1)在下列關(guān)于x的函數(shù)中，是“有界函數(shù)”的，請在相應(yīng)題目后面的括號中打“√”，不是“有界函數(shù)”的打“×”．①（_________）；②（___________）；③（_________）(2)若函數(shù)（為常數(shù)，且），當(dāng)時，這個函數(shù)的邊界差為2，求的值；(3)若關(guān)于x的函數(shù)（為常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)，當(dāng)時，其邊界差為1，求t的值．26．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考二模）【概念認(rèn)識】城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此往往不能沿直線行走到目的地，只能按直角拐彎的方式行走．我們可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐標(biāo)系，對兩點(diǎn)和，用以下方式定義兩點(diǎn)間的“折線距離”：．

【數(shù)學(xué)理解】(1)①已知點(diǎn)，則___________；②函數(shù)的圖象如圖（1），是圖象上一點(diǎn)，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為________；(2)函數(shù)的圖象如圖（2），該函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)，使？若存在，求出其坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；【拓展運(yùn)用】(3)函數(shù)的圖象如圖（3），是圖象上一點(diǎn)，求的最小值及對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)．27．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考二模）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，若函數(shù)圖象上的點(diǎn)滿足（其中，a為常數(shù)），則稱點(diǎn)P為函數(shù)圖象的“a級和點(diǎn)”．(1)若點(diǎn)為反比例函數(shù)圖象的“1級和點(diǎn)”，則______，______；(2)若時，直線上有“a級和點(diǎn)”，求k的取值范圍；(3)若拋物線的“a級和點(diǎn)”恰有一個，求a的取值范圍．28．（2023·湖南長沙·校聯(lián)考三模）在平面直角坐標(biāo)系中，對于點(diǎn)和．給出如下定義：如果，那么稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“沉毅點(diǎn)”．例如點(diǎn)的“沉毅點(diǎn)”為點(diǎn)，點(diǎn)的“沉毅點(diǎn)”為點(diǎn)．(1)若直線上點(diǎn)M的“沉毅點(diǎn)”是，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)若雙曲線上點(diǎn)P的“沉毅點(diǎn)”為點(diǎn)Q，且=4，求k的值；(3)若點(diǎn)P在函數(shù)上，其“沉毅點(diǎn)”Q的縱坐標(biāo)的取值范圍是，結(jié)合圖象寫出的取值范圍．29．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考一模）定義：若一個函數(shù)圖像上存在橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為這個函數(shù)圖像的“等值點(diǎn)”，例如：點(diǎn)是函數(shù)的圖像的“等值點(diǎn)”．(1)分別判斷函數(shù)，的圖像上是否存在“等值點(diǎn)”？如果存在，求出“等值點(diǎn)”的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由；(2)設(shè)函數(shù)，的圖像的“等值點(diǎn)”分別為點(diǎn)，，過點(diǎn)作軸，垂足為．當(dāng)?shù)拿娣e為時，求的值；(3)若函數(shù)的圖像記為，將其沿直線翻折后的圖像記為，當(dāng)，兩部分組成的圖像上恰有個“等值點(diǎn)”時，直接寫出的取值范圍．30．（2023春·湖南長沙·九年級長沙市北雅中學(xué)校考階段練習(xí)）【定義】對于函數(shù)圖象