專題15相似三角形-備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫(上海專用)(原卷版+解析)

專題15相似三角形相似三角形是中考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，基礎(chǔ)概念和性質(zhì)主要出現(xiàn)在選填題中，難點(diǎn)主要出現(xiàn)在解答題中，尤其是第23題對邏輯推理，綜合分析能力要求較高，還有第24，25題相似三角形的知識點(diǎn)可能滲透在其中，壓軸題對學(xué)生的綜合能力考查要求更高。1.線段與角這兩種最簡單的幾何圖形的相關(guān)概念、畫法及大小比較．重點(diǎn)的是尺規(guī)作圖及線段與角的和、差、倍的相關(guān)計(jì)算．等知識點(diǎn)直接考查．2．掌握相交線的性質(zhì)、對頂角和垂直的有關(guān)特性；平行線的判定與性質(zhì)的綜合考查.一、比例線段及比例的性質(zhì)1.比例線段：（1）線段的比：如果選用同一長度單位量得兩條線段a，b的長度分別是m，n，那么就說這兩條線段的比是a:b=m:n，或?qū)懗?其中a叫做比的前項(xiàng);b叫做比的后項(xiàng).（2）成比例線段：在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段．（3）比例的項(xiàng)：已知四條線段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做組成比例的項(xiàng)，線段ａ，d叫做比例外項(xiàng)，線段ｂ，ｃ叫做比例內(nèi)項(xiàng)，線段ｄ還叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例項(xiàng)．（4）比例中項(xiàng)：如果作為比例線段的內(nèi)項(xiàng)是兩條相同的線段，即a:b=b:c或，那么線段ｂ叫做線段ａ和ｃ的比例中項(xiàng)．要點(diǎn)：通常四條線段a,b,c,d的單位應(yīng)該一致，但有時(shí)為了計(jì)算方便，a,b的單位一致，c,d的單位一致也可以.2.比例的性質(zhì)(1)比例的基本性質(zhì)：(2)反比性質(zhì)：(3)更比性質(zhì):或(4)合比性質(zhì):(5)等比性質(zhì):且3.平行線分線段成比例定理（1）三角形一邊的平行線性質(zhì)定理:平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例.（2）三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論:平行于三角形一邊并且和其他兩邊相交的直線,所截得的三角形的三邊與原三角形三邊的對應(yīng)成比例.（3）三角形一邊的平行線判定定理：如果一條直線截三角形的兩邊所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.（4）三角形一邊的平行線判定定理推論：如果一條直線截三角形兩邊的延長線（這兩邊的延長線在第三邊的同側(cè)）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.（5）平行線分線段成比例定理：兩條直線被三條平行的直線所截，截得的對應(yīng)線段成比例.（6）平行線等分線段定理：兩條直線被三條平行的直線所截，如果在一條直線上截得的線段相等，那么在另一條直線上截得的線段也相等.這幾個(gè)定理主要提出由平行線可得到比例式；反之,有比例可得到平行線.首先要弄清三個(gè)基本圖形：這三個(gè)基本圖形的用途是:1.由平行線產(chǎn)生比例式基本圖形(1):若l1//l2//l3，則或或或基本圖形(2):若DE//BC，則或或或基本圖形(3):若AC//BD，則或或或在這里必須注意正確找出對應(yīng)線段，不要弄錯(cuò)位置.2．由比例式產(chǎn)生平行線段基本圖形(2):若,,,,,之一成立，則DE//BC.基本圖形(3):若,,,,,之一成立，則AC//DB.要點(diǎn)：（1）平行線等分線段定理是平行線分線段成比例定理的特例；（2）平行線分線段成比例沒有逆定理；（3）由于平行線分線段成比例定理中，平行線本身沒有參與作比例，因此，有關(guān)平行線段的計(jì)算問題通常轉(zhuǎn)化到“A”、“X”型中.A型X型常用的比例式：.（4）判斷平行線的條件中，只能是被截的兩條直線的對應(yīng)線段成比例(被判斷的平行線本身不能參與作比例).4.三角形的重心三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心.要點(diǎn)：（1）重心的性質(zhì)：三角形的重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離，等于它到這個(gè)頂點(diǎn)對邊中點(diǎn)的距離的二倍；（2）重心的畫法：兩條中線的交點(diǎn).二、黃金分割1.黃金分割是指把一條線段(AB)分成兩條線段，使其中較大的線段(AC)是原線段(AB)與較小線段(BC)的比例中項(xiàng)(AC2＝AB·BC)，C點(diǎn)為黃金分割點(diǎn).2.黃金分割的求法①代數(shù)求法：已知：線段AB，求作：線段AB的黃金分割點(diǎn)C.分析：設(shè)C點(diǎn)為所求作的黃金分割點(diǎn)，則AC2＝AB·CB，設(shè)AB＝，AC＝x，那么CB＝－x，由AC2＝AB·CB，得：x2＝·(－x)整理后，得：x2＋x－＝0，根據(jù)求根公式，得：x＝∴(不合題意，舍去)即AC＝AB≈0.618AB，則C點(diǎn)可作.②黃金分割的幾何求法（尺規(guī)法）：已知：線段AB，求作：線段AB的黃金分割點(diǎn)C.作法：如圖：(1)過B點(diǎn)作BD⊥AB，使BD＝AB.(2)連結(jié)AD，在AD上截取DE＝DB.(3)在AB上截取AC＝AE.則點(diǎn)C就是所求的黃金分割點(diǎn).證明：∵AC＝AE＝AD－AB而AD＝∴AC＝∴C點(diǎn)是線段AB的黃金分割點(diǎn).要點(diǎn)：①一條線段有兩個(gè)黃金分割點(diǎn).②這種分割之所以被人們稱為黃金分割，是因?yàn)辄S金分割存在美學(xué)規(guī)律和具有實(shí)用價(jià)值.德國著名天文學(xué)家開普勒(Kepler，1571—1630)把這種分割稱為“神圣的比例”，說它是幾何中的瑰寶，大家也可以看一下課外的閱讀材料，體會一下黃金分割中所蘊(yùn)含的美學(xué).一、單選題1．下列各組線段中是成比例線段的是（）A．3cm，6cm，7cm，9cm B．2cm，5cm，0.6dm，8cmC．3cm，9cm，6cm，1.8dm D．1cm，2cm，3.5cm，4cm2．已知線段，，線段c是線段a，b的比例中項(xiàng)，則c等于（

）A．10cm B．8cm C．6cm D．4cm3．已知點(diǎn)C是線段的黃金分割點(diǎn)，且，則下列等式成立的是（

）A． B． C． D．4．下列說法正確的是（

）A．兩地在地圖上的距離為7cm，地圖上的比例尺為，則兩地實(shí)際距離為35mB．若cm，點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，且，則cmC．任意兩個(gè)菱形都相似D．有一個(gè)角相等的兩個(gè)等腰三角形相似5．如圖，在中，，且．若，則的長為（

）A．8 B．9 C．12 D．156．如圖，與相交于點(diǎn)O，，若，則的長為（

）A．10 B．12 C．14 D．167．如圖，，與相交于點(diǎn)，且，，，則（）A． B． C． D．8．如圖，在菱形中，是的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)，如果，那么菱形的周長為（

）A．24 B．18 C．16 D．8二、填空題9．已知0，則_____．10．已知點(diǎn)P是直線上一點(diǎn)，且，若線段的長為2，則線段的長為______．11．如圖，C、D是線段的兩個(gè)黃金分割點(diǎn)，且，則線段的長為___________．12．如圖1是某淘寶店新推出的鞋架，可抽象成圖2，直線了，直線AC和DF被、、所截，如果；；，那么的長是___________．13．已知是的重心，過點(diǎn)作交邊于點(diǎn)，作交邊于點(diǎn)，如果四邊形的面積為2，那么的面積是______．14．甲、乙兩地的實(shí)際距離為，如果畫在比例尺為的地圖上，那么甲、乙兩地的圖上距離是________cm．15．如圖，在中，，分別為，上一點(diǎn)，，連接，，兩線段相交于點(diǎn)，且，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則_____．16．如圖，在中，D在邊上，，O是的中點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)E，若，則的長為__．三、相似三角形1.相似多邊形(1)相似多邊形的特征：相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等.(2)相似多邊形的識別：如果兩個(gè)多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)多邊形相似.(3)相似比：我們把相似多邊形對應(yīng)邊的比稱為相似比.(4)相似多邊形的性質(zhì)①相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等．②相似多邊形的周長比等于相似比．③相似多邊形的面積比等于相似比的平方．2.相似三角形（1）相似三角形的定義：形狀相同的三角形是相似三角形.（2）相似三角形的表示方法：用“∽”表示，讀作相似于.如：△ABC和△DEF相似，可以寫成△ABC∽△DEF，也可以寫成△DEF∽△ABC，讀作△ABC相似于△DEF.（3）相似三角形的性質(zhì)：①相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等.②相似三角形對應(yīng)邊上的高的比相等，對應(yīng)邊上的中線的比相等，對應(yīng)角的角平分線的比相等，都等于相似比.③相似三角形的周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方.要點(diǎn)：相似三角形的性質(zhì)是通過比例線段的性質(zhì)推證出來的.（4）相似三角形的判定：①平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；②如果兩個(gè)三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似；③如果兩個(gè)三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；④如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.⑤如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)三角形的斜邊和一條直角邊的比對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)直角三角形相似.（5）相似三角形應(yīng)用舉例相似三角形的知識在實(shí)際生產(chǎn)和生活中有著廣泛的應(yīng)用，可以解決一些不能直接測量的物體的長度問題，加深學(xué)生對相似三角形的理解和認(rèn)識.要點(diǎn)：要判定兩個(gè)三角形是否相似，只需找到這兩個(gè)三角形的兩個(gè)對應(yīng)角相等即可，對于直角三角形而言，若有一個(gè)銳角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.一、單選題1．兩個(gè)相似三角形的相似比是，則其面積之比是（

）A． B． C． D．2．如圖，已知與，下列條件一定能推得它們相似的是（

）A． B．C． D．3．如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)在邊上，，連接交于點(diǎn)，則的面積與的面積之比為（

）A．3:4 B．9:16 C．9:1 D．3:14．如圖，在四邊形中，對角線，交于點(diǎn)O，若，則圖中一定相似的三角形是（

）A． B． C． D．5．如圖，已知在中，，于，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．6．如圖，有一張銳角三角形紙片，邊，高，要把它加工成正方形紙片，使其一邊在上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在，上，則這個(gè)正方形紙片的周長為（

）A．1 B． C． D．57．在中，，以點(diǎn)A為頂點(diǎn)作三角形（陰影部分），使這個(gè)三角形與相似，且相似比為，根據(jù)下列選項(xiàng)圖中標(biāo)注的條件，不符合要求的作圖是（

）A． B． C． D．8．如圖，在邊長為4的正方形中，點(diǎn)E、F分別是、的中點(diǎn)，、交于點(diǎn)G，的中點(diǎn)為H，連接、．給出下列結(jié)論：①；②；③；④與相似．其中正確的結(jié)論有（

）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題9．若，它們的面積比為，則它們的對應(yīng)高的比為_____．10．如圖所示，已知，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，，則的長為_____．11．如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板測量樹的高度，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊保持水平，并且邊與點(diǎn)在同一直線上．已知紙板的兩條直角邊，，測得邊離地面的高度，，則樹高為______12．如圖，在中，為延長線上一點(diǎn)，，若，則___________．13．如圖，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，連接、交于點(diǎn)．現(xiàn)假設(shè)可在區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)，則這個(gè)點(diǎn)落在陰影部分的概率為______．14．如圖：在等邊三角形中，，，分別是，，上的點(diǎn)，，，，若的面積為，則的面積為________.15．如圖，在中，，點(diǎn)I為三角形的重心，于點(diǎn)H，則________cm．16．在中，，，，點(diǎn)在斜邊上，把沿直線翻折，使得點(diǎn)落在同一平面內(nèi)的點(diǎn)處，當(dāng)平行的直角邊時(shí)，的長為______．三、解答題17．已知：如圖，點(diǎn)、分別在等邊三角形的邊的延長線與反向延長線上，且滿足．求證：(1)；(2)．18．已知等腰中，，點(diǎn)、是邊、上的點(diǎn)，且，聯(lián)結(jié)、，交點(diǎn)為．(1)若，求的值．(2)若，求證：．19．如圖，在中，，為邊上的中線，于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，，求的長；(3)在（2）的條件下，求的值．20．如圖，已知點(diǎn)在△的外部，，點(diǎn)在邊上，．(1)求證：；(2)在邊取一點(diǎn)，如果，，求證：．21．如圖，在中，點(diǎn)、分別在邊、上，點(diǎn)是上一點(diǎn)且，連接．(1)求證：；(2)求證：．22．已知：如圖，在中，是邊上的中線，點(diǎn)E在線段上，且，過點(diǎn)B作，交線段AE的延長線于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)如果，求證：．23．如圖，在中，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上，AD與BE相交于點(diǎn)F，，．(1)求證：；(2)若，求證：．24．如圖，在中，，，，點(diǎn)D是斜邊上的動點(diǎn)，連接，垂直平分交射線于點(diǎn)F，交邊于點(diǎn)E．(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)D是斜邊上的中點(diǎn)時(shí)，求的長；(2)連接，如果和相似，求的長；(3)當(dāng)點(diǎn)F在邊的延長線上，且時(shí)，求的長．一、單選題1．（2022·上海·上海市進(jìn)才中學(xué)?？家荒＃┫铝羞x項(xiàng)中的兩個(gè)圖形一定相似的是（

）A．兩個(gè)等邊三角形 B．兩個(gè)矩形 C．兩個(gè)菱形 D．兩個(gè)等腰梯形2．（2019·上海松江·統(tǒng)考中考模擬）在中，點(diǎn)、分別在邊、上，，那么下列條件中能夠判斷的是（

）A． B． C． D．3．（2021·上海長寧·一模）已知P，Q是線段AB的兩個(gè)黃金分割點(diǎn)，且AB=10，則PQ長為（

）A．5(-1) B．5(+1) C．10(-2)

- D．5(3-)4．（2022·上海普陀·統(tǒng)考二模）如圖，已知直線，它們依次交直線、于點(diǎn)A、C、E和點(diǎn)B、D、F，下列比例式中正確的是（

）A． B． C． D．5．（2022·上?！ばＢ?lián)考模擬預(yù)測）如圖，AB是⊙O的弦，C是弦AB上一點(diǎn)，且BC：CA=2：1，連接OC并延長交⊙O于D，若DC=2cm，OC=3cm，則圓心O到弦AB的距離為（）A． B． C． D．6．（2022·上海楊浦·校考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3，DE∥BC，且AD=2CD，那么以點(diǎn)C為圓心、DC長為半徑的圓C和以點(diǎn)E為圓心、EB長為半徑的圓E的位置關(guān)系是（）A．外離 B．外切 C．相交 D．不能確定7．（2022·上海青浦·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，以為頂點(diǎn)，為一邊作角，角的另一邊交軸于（在上方），則坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．8．（2021·上海浦東新·統(tǒng)考一模）如圖，在ABC中，點(diǎn)D、F是邊AB上的點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AC上的點(diǎn)，如果∠ACD=∠B，DEBC，EFCD，下列結(jié)論不成立的是（

）A．B．C．D．9．（2021·上海虹口·統(tǒng)考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是邊AB上一點(diǎn)，過D作DF⊥AB交邊BC于點(diǎn)E，交AC的延長線于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)AE，如果tan∠EAC＝，S△CEF＝1，那么S△ABC的值是（）A．3 B．6 C．9 D．1210．（2021·上海奉賢·統(tǒng)考一模）如圖，在梯形中，，對角線交于點(diǎn)是梯形的中位線，與分別交于點(diǎn)，如果的面積為，那么梯形的面積為（

）A． B． C． D．二、填空題11．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）已知，與的相似比為，與的相似比為，那么與的相似比為_________．12．（2022·上海金山·統(tǒng)考二模）已知在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，DEBC，如果△ADE和四邊形BCED的面積分別為4和5，DE＝4，那么BC＝________．13．（2022·上海·上海市婁山中學(xué)?？级＃┤鐖D，梯形中，，，點(diǎn)在的延長線上，與相交于點(diǎn)，與邊相交于點(diǎn)．如果，那么與的面積之比等于______．14．（2022·上海黃浦·格致中學(xué)?？级＃┤鐖D，在中，，，點(diǎn)E在邊上且，點(diǎn)F在邊上，過點(diǎn)F作的垂線交射線于點(diǎn)G，當(dāng)Rt的一條直角邊與的一邊平行時(shí)，則的長為_____．15．（2022·上?！ど虾Ｊ袏渖街袑W(xué)?？级＃┤鐖D1，內(nèi)有一點(diǎn)，滿足，那么點(diǎn)被稱為的“布洛卡點(diǎn)”．如圖2，在中，，，點(diǎn)是的一個(gè)“布洛卡點(diǎn)”，那么______．16．（2022·上海虹口·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連接，點(diǎn)O是線段上一點(diǎn)，的半徑為1，如果與矩形的各邊都沒有公共點(diǎn)，那么線段長的取值范圍是__．三、解答題17．（2022·上海金山·統(tǒng)考二模）如圖，已知：△ABC和△ADE都是等邊三角形，其中點(diǎn)D在邊BC上，點(diǎn)F是AB邊上一點(diǎn)，且BF＝CD．(1)求證：DECF；(2)聯(lián)結(jié)DF，設(shè)AD、CF的交點(diǎn)為M，如果＝FM?FC，求證：DFAC．18．（2022·上海松江·統(tǒng)考二模）已知：如圖，兩個(gè)和中，，，，且點(diǎn)、、在一條直線上．聯(lián)結(jié)、，與交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)如果，求證：．19．（2022·上海奉賢·統(tǒng)考二模）如圖，已知，點(diǎn)E在邊上，且，過點(diǎn)A作的平行線，與射線交于點(diǎn)D，連結(jié)．(1)求證：；(2)如果．①當(dāng)，求的長；②當(dāng)時(shí)，求的正弦值．20．（2022·上海黃浦·統(tǒng)考二模）如圖，已知A、B、C是圓O上的三點(diǎn)，AB＝AC，M、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，E、F分別是OM、ON上的點(diǎn)．(1)求證：∠AOM＝∠AON；(2)如果AEON，AFOM，求證：．21．（2022·上海虹口·統(tǒng)考二模）已知：如圖，、是的兩條弦，，點(diǎn)、分別在弦、上，且，，聯(lián)結(jié)、．(1)求證：；(2)當(dāng)為銳角時(shí)，如果，求證：四邊形為等腰梯形．22．（2022·上?！ば？寄M預(yù)測）如圖1，四邊形ABCD中，∠BAD的平分線AE交邊BC于點(diǎn)E，已知AB＝9，AE＝6，，且DC∥AE．(1)求證：；(2)如果BE＝9，求四邊形ABCD的面積；(3)如圖2，延長AD、BC交于點(diǎn)F，設(shè)，求y關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出定義域．專題15相似三角形相似三角形是中考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，基礎(chǔ)概念和性質(zhì)主要出現(xiàn)在選填題中，難點(diǎn)主要出現(xiàn)在解答題中，尤其是第23題對邏輯推理，綜合分析能力要求較高，還有第24，25題相似三角形的知識點(diǎn)可能滲透在其中，壓軸題對學(xué)生的綜合能力考查要求更高。1.線段與角這兩種最簡單的幾何圖形的相關(guān)概念、畫法及大小比較．重點(diǎn)的是尺規(guī)作圖及線段與角的和、差、倍的相關(guān)計(jì)算．等知識點(diǎn)直接考查．2．掌握相交線的性質(zhì)、對頂角和垂直的有關(guān)特性；平行線的判定與性質(zhì)的綜合考查.一、比例線段及比例的性質(zhì)1.比例線段：（1）線段的比：如果選用同一長度單位量得兩條線段a，b的長度分別是m，n，那么就說這兩條線段的比是a:b=m:n，或?qū)懗?其中a叫做比的前項(xiàng);b叫做比的后項(xiàng).（2）成比例線段：在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段．（3）比例的項(xiàng)：已知四條線段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做組成比例的項(xiàng)，線段ａ，d叫做比例外項(xiàng)，線段ｂ，ｃ叫做比例內(nèi)項(xiàng)，線段ｄ還叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例項(xiàng)．（4）比例中項(xiàng)：如果作為比例線段的內(nèi)項(xiàng)是兩條相同的線段，即a:b=b:c或，那么線段ｂ叫做線段ａ和ｃ的比例中項(xiàng)．要點(diǎn)：通常四條線段a,b,c,d的單位應(yīng)該一致，但有時(shí)為了計(jì)算方便，a,b的單位一致，c,d的單位一致也可以.2.比例的性質(zhì)(1)比例的基本性質(zhì)：(2)反比性質(zhì)：(3)更比性質(zhì):或(4)合比性質(zhì):(5)等比性質(zhì):且3.平行線分線段成比例定理（1）三角形一邊的平行線性質(zhì)定理:平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例.（2）三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論:平行于三角形一邊并且和其他兩邊相交的直線,所截得的三角形的三邊與原三角形三邊的對應(yīng)成比例.（3）三角形一邊的平行線判定定理：如果一條直線截三角形的兩邊所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.（4）三角形一邊的平行線判定定理推論：如果一條直線截三角形兩邊的延長線（這兩邊的延長線在第三邊的同側(cè)）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.（5）平行線分線段成比例定理：兩條直線被三條平行的直線所截，截得的對應(yīng)線段成比例.（6）平行線等分線段定理：兩條直線被三條平行的直線所截，如果在一條直線上截得的線段相等，那么在另一條直線上截得的線段也相等.這幾個(gè)定理主要提出由平行線可得到比例式；反之,有比例可得到平行線.首先要弄清三個(gè)基本圖形：這三個(gè)基本圖形的用途是:1.由平行線產(chǎn)生比例式基本圖形(1):若l1//l2//l3，則或或或基本圖形(2):若DE//BC，則或或或基本圖形(3):若AC//BD，則或或或在這里必須注意正確找出對應(yīng)線段，不要弄錯(cuò)位置.2．由比例式產(chǎn)生平行線段基本圖形(2):若,,,,,之一成立，則DE//BC.基本圖形(3):若,,,,,之一成立，則AC//DB.要點(diǎn)：（1）平行線等分線段定理是平行線分線段成比例定理的特例；（2）平行線分線段成比例沒有逆定理；（3）由于平行線分線段成比例定理中，平行線本身沒有參與作比例，因此，有關(guān)平行線段的計(jì)算問題通常轉(zhuǎn)化到“A”、“X”型中.A型X型常用的比例式：.（4）判斷平行線的條件中，只能是被截的兩條直線的對應(yīng)線段成比例(被判斷的平行線本身不能參與作比例).4.三角形的重心三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心.要點(diǎn)：（1）重心的性質(zhì)：三角形的重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離，等于它到這個(gè)頂點(diǎn)對邊中點(diǎn)的距離的二倍；（2）重心的畫法：兩條中線的交點(diǎn).二、黃金分割1.黃金分割是指把一條線段(AB)分成兩條線段，使其中較大的線段(AC)是原線段(AB)與較小線段(BC)的比例中項(xiàng)(AC2＝AB·BC)，C點(diǎn)為黃金分割點(diǎn).2.黃金分割的求法①代數(shù)求法：已知：線段AB，求作：線段AB的黃金分割點(diǎn)C.分析：設(shè)C點(diǎn)為所求作的黃金分割點(diǎn)，則AC2＝AB·CB，設(shè)AB＝，AC＝x，那么CB＝－x，由AC2＝AB·CB，得：x2＝·(－x)整理后，得：x2＋x－＝0，根據(jù)求根公式，得：x＝∴(不合題意，舍去)即AC＝AB≈0.618AB，則C點(diǎn)可作.②黃金分割的幾何求法（尺規(guī)法）：已知：線段AB，求作：線段AB的黃金分割點(diǎn)C.作法：如圖：(1)過B點(diǎn)作BD⊥AB，使BD＝AB.(2)連結(jié)AD，在AD上截取DE＝DB.(3)在AB上截取AC＝AE.則點(diǎn)C就是所求的黃金分割點(diǎn).證明：∵AC＝AE＝AD－AB而AD＝∴AC＝∴C點(diǎn)是線段AB的黃金分割點(diǎn).要點(diǎn)：①一條線段有兩個(gè)黃金分割點(diǎn).②這種分割之所以被人們稱為黃金分割，是因?yàn)辄S金分割存在美學(xué)規(guī)律和具有實(shí)用價(jià)值.德國著名天文學(xué)家開普勒(Kepler，1571—1630)把這種分割稱為“神圣的比例”，說它是幾何中的瑰寶，大家也可以看一下課外的閱讀材料，體會一下黃金分割中所蘊(yùn)含的美學(xué).一、單選題1．下列各組線段中是成比例線段的是（）A．3cm，6cm，7cm，9cm B．2cm，5cm，0.6dm，8cmC．3cm，9cm，6cm，1.8dm D．1cm，2cm，3.5cm，4cm【答案】C【分析】四條線段成比例，根據(jù)線段的長短關(guān)系，從小到大排列，判斷中間兩項(xiàng)的積是否等于兩邊兩項(xiàng)的積，相等即成比例．【解析】解：A、由于，所以不成比例，不符合題意；B、由于，，所以不成比例，不符合題意；C、由于，，所以成比例，符合題意；D、由于，所以不成比例，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查比例線段．解決本類問題只要計(jì)算最大最小數(shù)的積以及中間兩個(gè)數(shù)的積，判斷是否相等即可，相等即成比例，不相等不成比例．2．已知線段，，線段c是線段a，b的比例中項(xiàng)，則c等于（

）A．10cm B．8cm C．6cm D．4cm【答案】C【分析】根據(jù)比例中項(xiàng)的定義，列出比例式即可得出線段的長．【解析】解：∵線段c是線段的比例中項(xiàng)是x，，，解得：(線段是正數(shù)，負(fù)值舍去)，故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段的比例中項(xiàng)的定義，熟知如果線段c是線段a，b的比例中項(xiàng)則是解題的關(guān)鍵，注意線段不能為負(fù)．3．已知點(diǎn)C是線段的黃金分割點(diǎn)，且，則下列等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，點(diǎn)C是線段的黃金分割點(diǎn)（），得，可得答案．【解析】解：根據(jù)黃金分割的定義得故選：D【點(diǎn)睛】此題考查黃金分割，掌握黃金分割點(diǎn)的定義是解題關(guān)鍵．4．下列說法正確的是（

）A．兩地在地圖上的距離為7cm，地圖上的比例尺為，則兩地實(shí)際距離為35mB．若cm，點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，且，則cmC．任意兩個(gè)菱形都相似D．有一個(gè)角相等的兩個(gè)等腰三角形相似【答案】B【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)和圖形相似的判定求解即可．【解析】解：A.m，故A說法錯(cuò)誤，不符合題意；B.點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn),且，則，設(shè)，則，解得或（舍去），故B說法正確，符合題意；C.當(dāng)兩個(gè)菱形的角度不等時(shí)，不相似，故C說法錯(cuò)誤，不符合題意；D.若兩個(gè)等腰三角形一個(gè)是頂角，一個(gè)是底角，則不是相似的，故D說法錯(cuò)誤，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的相似，比例的性質(zhì)，理解圖形相似的性質(zhì)以及比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在中，，且．若，則的長為（

）A．8 B．9 C．12 D．15【答案】B【分析】根據(jù)，得到計(jì)算即可．【解析】∵，且，，∴，解得．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．6．如圖，與相交于點(diǎn)O，，若，則的長為（

）A．10 B．12 C．14 D．16【答案】C【分析】首先根據(jù)平行線的性質(zhì)可以得到，由此即可求解．【解析】解：∵與相交于點(diǎn)O，，∴，∵，＝8，∴，∴＝6，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查平行線分線段成比例，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握比例線段的對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．7．如圖，，與相交于點(diǎn)，且，，，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接根據(jù)平行線分線段成比例定理求解．【解析】解：，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例．8．如圖，在菱形中，是的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)，如果，那么菱形的周長為（

）A．24 B．18 C．16 D．8【答案】C【分析】易得長為長的2倍，那么菱形的周長，問題得解．【解析】解：∵是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，即，∴是的中位線，∴，∴菱形的周長是，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，菱形的周長公式，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．二、填空題9．已知0，則_____．【答案】【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)設(shè)，，，再代入計(jì)算可求解．【解析】解：有題意設(shè)，，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查比例的性質(zhì)，利用比例的性質(zhì)設(shè)參數(shù)是解題的關(guān)鍵．10．已知點(diǎn)P是直線上一點(diǎn)，且，若線段的長為2，則線段的長為______．【答案】或【分析】分點(diǎn)P是在點(diǎn)B左邊、點(diǎn)B右邊兩類討論即可得到答案．【解析】解：由題意可得，當(dāng)點(diǎn)P是在點(diǎn)B左邊時(shí)，如圖所示，∵，，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)P是在點(diǎn)B右邊時(shí)，如圖所示，∵，，∴，∴，故答案為或．【點(diǎn)睛】本題考查已知線段比例關(guān)系求線段長度問題，解題的關(guān)鍵是分類討論點(diǎn)P的位置．11．如圖，C、D是線段的兩個(gè)黃金分割點(diǎn)，且，則線段的長為___________．【答案】##【分析】根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義，知較長的線段=總線段的，可得和的長，則即可求得．【解析】設(shè)線段，∵C、D是線段的兩個(gè)黃金分割點(diǎn)，∴較長線段，∴，∵，∴，解得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割，應(yīng)該識記黃金分割的公式：較長的線段=總線段的倍．12．如圖1是某淘寶店新推出的鞋架，可抽象成圖2，直線了，直線AC和DF被、、所截，如果；；，那么的長是___________．【答案】【分析】由直線，利用平行線分線段成比例，可求出的長．【解析】解：直線，，即，，的長是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例，牢記“三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例”是解題的關(guān)鍵．13．已知是的重心，過點(diǎn)作交邊于點(diǎn)，作交邊于點(diǎn)，如果四邊形的面積為2，那么的面積是______．【答案】9【分析】延長交于F點(diǎn)，連接，先證四邊形為平行四邊形得，由G是的重心，得，為邊上的中線，再根據(jù)平行線分線段成比例可證，從而即可求解．【解析】解：延長交于F點(diǎn)，連接，如圖，∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴∵G是的重心，∴，為邊上的中線，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵為邊上的中線，∴．故答案為∶9．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的重心∶三角形的重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為，也考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)和平行線分線段成比例，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．14．甲、乙兩地的實(shí)際距離為，如果畫在比例尺為的地圖上，那么甲、乙兩地的圖上距離是________cm．【答案】5【分析】根據(jù)比例尺＝圖上距離÷實(shí)際距離進(jìn)行求解即可．【解析】解：由題意得甲、乙兩地的圖上距離是，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例尺，熟知比例尺的定義是解題的關(guān)鍵．15．如圖，在中，，分別為，上一點(diǎn)，，連接，，兩線段相交于點(diǎn)，且，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則_____．【答案】【分析】根據(jù)，得出，根據(jù)，得出，根據(jù)，得出，即可得出答案．【解析】解：∵，，又∵，，又∵，，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線分線段成比例定理．16．如圖，在中，D在邊上，，O是的中點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)E，若，則的長為__．【答案】6【分析】過點(diǎn)D作交于F，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得，，，再根據(jù)O是的中點(diǎn)，可得，進(jìn)而解答即可．【解析】解：如圖，作交于F，∵，O是的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例．過分點(diǎn)作平行線構(gòu)建平行線分線段成比例定理的基本圖形是解決問題的關(guān)鍵．三、相似三角形1.相似多邊形(1)相似多邊形的特征：相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等.(2)相似多邊形的識別：如果兩個(gè)多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)多邊形相似.(3)相似比：我們把相似多邊形對應(yīng)邊的比稱為相似比.(4)相似多邊形的性質(zhì)①相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等．②相似多邊形的周長比等于相似比．③相似多邊形的面積比等于相似比的平方．2.相似三角形（1）相似三角形的定義：形狀相同的三角形是相似三角形.（2）相似三角形的表示方法：用“∽”表示，讀作相似于.如：△ABC和△DEF相似，可以寫成△ABC∽△DEF，也可以寫成△DEF∽△ABC，讀作△ABC相似于△DEF.（3）相似三角形的性質(zhì)：①相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等.②相似三角形對應(yīng)邊上的高的比相等，對應(yīng)邊上的中線的比相等，對應(yīng)角的角平分線的比相等，都等于相似比.③相似三角形的周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方.要點(diǎn)：相似三角形的性質(zhì)是通過比例線段的性質(zhì)推證出來的.（4）相似三角形的判定：①平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；②如果兩個(gè)三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似；③如果兩個(gè)三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；④如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.⑤如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)三角形的斜邊和一條直角邊的比對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)直角三角形相似.（5）相似三角形應(yīng)用舉例相似三角形的知識在實(shí)際生產(chǎn)和生活中有著廣泛的應(yīng)用，可以解決一些不能直接測量的物體的長度問題，加深學(xué)生對相似三角形的理解和認(rèn)識.要點(diǎn)：要判定兩個(gè)三角形是否相似，只需找到這兩個(gè)三角形的兩個(gè)對應(yīng)角相等即可，對于直角三角形而言，若有一個(gè)銳角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.一、單選題1．兩個(gè)相似三角形的相似比是，則其面積之比是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用相似三角形的性質(zhì)分析得出答案．【解析】解：∵兩個(gè)相似三角形的相似比是，∴其面積之比是，故選：D【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，正確掌握相似三角形面積比等于相似比的平方是解題關(guān)鍵．2．如圖，已知與，下列條件一定能推得它們相似的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】三角形相似的判定方法有（1）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或兩邊的延長線相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；（2）如果兩個(gè)三角形對應(yīng)邊的比相等且夾角相等，這2個(gè)三角形也可以說明相似（簡敘為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩個(gè)三角形相似.）；（3）如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對應(yīng)成比例,那么這兩個(gè)三角形相似（簡敘為:三邊對應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似.）；（4）如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)角分別對應(yīng)相等（或三個(gè)角分別對應(yīng)相等），則有兩個(gè)三角形相似（簡敘為兩角對應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似）?！窘馕觥緼選項(xiàng)符合判定方法（4），符合題意．B選項(xiàng)相等的角不是對應(yīng)邊的夾角，不符合題意．C選項(xiàng)相等的角不是對應(yīng)角，不符合題意．D選項(xiàng)相等的角不是對應(yīng)角，不符合題意．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形相似的判定方法，解題的關(guān)鍵是牢記判定方法．3．如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)在邊上，，連接交于點(diǎn)，則的面積與的面積之比為（

）A．3:4 B．9:16 C．9:1 D．3:1【答案】B【分析】根據(jù)題意可證，根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比的平方即可得出答案．【解析】∵四邊形平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形，熟練考查相似三角形的面積比等于相似比的平方．4．如圖，在四邊形中，對角線，交于點(diǎn)O，若，則圖中一定相似的三角形是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可證．【解析】解：∵，，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．5．如圖，已知在中，，于，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形的面積公式判斷A，根據(jù)射影定理判斷B、C．【解析】由直角三角形的面積公式可知：，A選項(xiàng)正確，所以A選項(xiàng)不符合題意；由射影定理可知：，B選項(xiàng)正確，所以B選項(xiàng)不符合題意；由射影定理可知：，C選項(xiàng)正確，所以C選項(xiàng)不符合題意；無法證明，D選項(xiàng)錯(cuò)誤，所以D選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是射影定理、三角形的面積計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握射影定理、三角形的面積公式．6．如圖，有一張銳角三角形紙片，邊，高，要把它加工成正方形紙片，使其一邊在上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在，上，則這個(gè)正方形紙片的周長為（

）A．1 B． C． D．5【答案】C【分析】設(shè)正方形的邊長為x，表示出的長度，然后根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比列出比例式，然后進(jìn)行計(jì)算即可得解．【解析】解：∵四邊形是正方形，，∴，，設(shè)正方形的邊長為x，則，∵，∴，∴，∴，解得，∴正方形紙片的周長為，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，主要利用了相似三角形對應(yīng)高的比等于對應(yīng)邊的比，表示出的長度，然后列出比例式是解題的關(guān)鍵．7．在中，，以點(diǎn)A為頂點(diǎn)作三角形（陰影部分），使這個(gè)三角形與相似，且相似比為，根據(jù)下列選項(xiàng)圖中標(biāo)注的條件，不符合要求的作圖是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)逐一判斷即可．【解析】A、，則，此選項(xiàng)是符合要求的作圖，故不符合題意；B、，則，此選項(xiàng)是符合要求的作圖，故不符合題意；C、，則，此選項(xiàng)是符合要求的作圖，故不符合題意；D、，由勾股定理得：，則，此選項(xiàng)是不符合要求的作圖，故符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，掌握相似三角形的相似比等于對應(yīng)邊的比是關(guān)鍵．8．如圖，在邊長為4的正方形中，點(diǎn)E、F分別是、的中點(diǎn)，、交于點(diǎn)G，的中點(diǎn)為H，連接、．給出下列結(jié)論：①；②；③；④與相似．其中正確的結(jié)論有（

）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用正方形的性質(zhì)和線段中點(diǎn)性質(zhì)，證明，得到，即可判斷①；利用勾股定理求，再利用三角形的面積公式求出的長，即可判斷②；利用直角三角形的斜邊中線等于斜邊一半，得到，進(jìn)而得到，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到，由勾股定理求出，再利用對應(yīng)邊成比例，夾角相等即可判斷④；根據(jù)，得到，又因?yàn)?，得到，進(jìn)而得到，即可判斷③．【解析】解：四邊形為正方形，，，、分別是、的中點(diǎn)，，在和中，，，，，，，，①結(jié)論正確；，，，，，②結(jié)論錯(cuò)誤；為的中點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，④結(jié)論正確；，，，，，，與不平行，③結(jié)論錯(cuò)誤，綜上可知，正確的結(jié)論為：①④，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的證明與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，直角三角形的斜邊中線等知識，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．二、填空題9．若，它們的面積比為，則它們的對應(yīng)高的比為_____．【答案】【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，面積比等于相似比的平方，由此即可求解．【解析】解：∵，面積比為，∴對應(yīng)高的比是，即，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)，掌握面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．10．如圖所示，已知，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，，則的長為_____．【答案】【分析】證明，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【解析】解：∵，，∴，∴，∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，，∴，，∴，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．11．如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板測量樹的高度，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊保持水平，并且邊與點(diǎn)在同一直線上．已知紙板的兩條直角邊，，測得邊離地面的高度，，則樹高為______【答案】【分析】利用直角三角形和直角三角形相似求得的長后加上小明同學(xué)的身高即可求得樹高．【解析】解：，，∽，，，，，，，米，米，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問題中整理出相似三角形的模型．12．如圖，在中，為延長線上一點(diǎn)，，若，則___________．【答案】【分析】根據(jù)，可知的值，根據(jù)，可以得出，再根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比的平方即可正確解答．【解析】∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，，∴，∴，又∵，，∴，∴，∵，∴，∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)，理解相似三角形的面積之比等于相似比的平方，根據(jù)，求出的值是解答本題的關(guān)鍵．13．如圖，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，連接、交于點(diǎn)．現(xiàn)假設(shè)可在區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)，則這個(gè)點(diǎn)落在陰影部分的概率為______．【答案】【分析】先證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出，設(shè)，得出，，再根據(jù)概率公式計(jì)算即可．【解析】解：∵點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，∴，，∴，∴，設(shè)，∴，，∴，∴，∴這個(gè)點(diǎn)落在陰影部分的概率為：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊的性質(zhì)，幾何概率，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．如圖：在等邊三角形中，，，分別是，，上的點(diǎn)，，，，若的面積為，則的面積為________.【答案】【分析】先證明是等邊三角形，利用特殊角的三角函數(shù)值得到各線段之間的關(guān)系，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)即可求解．【解析】解：∵是等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，，∴，∴，設(shè)，∴，，∴∴，∴的面積為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形，解題關(guān)鍵是利用相似三角形的性質(zhì)得到面積關(guān)系．15．如圖，在中，，點(diǎn)I為三角形的重心，于點(diǎn)H，則________cm．【答案】【分析】如圖，的延長線與交于D，根據(jù)I是重心即可得到，，利用的性質(zhì)，即可求解．【解析】解：如圖，的延長線與交于D，點(diǎn)I為三角形的重心，，，即故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查三角形重心性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)；關(guān)鍵在于知道三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)，且重心將中線分成的線段比為．16．在中，，，，點(diǎn)在斜邊上，把沿直線翻折，使得點(diǎn)落在同一平面內(nèi)的點(diǎn)處，當(dāng)平行的直角邊時(shí)，的長為______．【答案】1或3【分析】如圖1，當(dāng)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，根據(jù)三角形的面積公式得到，由相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；如圖2，當(dāng)，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，于是得到，推出，于是得到．【解析】解：中，，，，，，①如圖1，當(dāng)，，把沿直線折疊，點(diǎn)落在同一平面內(nèi)的處，，，，，，，，，，即，，；②如圖2，當(dāng)，把沿直線折疊，點(diǎn)落在同一平面內(nèi)的處，，，，，，，，綜上所述：的長為：1或3，故答案為：1或3．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換折疊問題，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題17．已知：如圖，點(diǎn)、分別在等邊三角形的邊的延長線與反向延長線上，且滿足．求證：(1)；(2)．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析．【分析】（1）由三角形的性質(zhì)證，，再由得，即可得證；（2）證明即可得證．【解析】（1）證明：∵是等邊三角形，∴，，∴，∵，∴即，∴；（2）證明：由（1）得，∴，∵，∴，∴，∵，∴，【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．已知等腰中，，點(diǎn)、是邊、上的點(diǎn)，且，聯(lián)結(jié)、，交點(diǎn)為．(1)若，求的值．(2)若，求證：．【答案】(1)1(2)見解析【分析】（1）作，交延長線于，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，則，進(jìn)而得出；（2）根據(jù)已知條件證明，得出，進(jìn)而證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)以及

，即可得證．【解析】（1）解：作，交延長線于，∵，

∴，∵，

∴，∵，

∴，∴，又，

∴，∴；（2）∵，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，又∵

，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．19．如圖，在中，，為邊上的中線，于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，，求的長；(3)在（2）的條件下，求的值．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）先利用等腰三角形的性質(zhì)證明，，再由，得，即可得到結(jié)論；（2）利用勾股定理求出，再根據(jù)（1），對應(yīng)邊成比例，即可求出；（3）由中線的性質(zhì)可得，再由，得，再利用銳角三角函數(shù)定義求解即可．【解析】（1）證明：，為邊上的中線，，．又，．又，；（2）解：由（1）得，，在中，．，，即，；（3）解：，為邊上的中線，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，熟練掌握各定理、性質(zhì)及正切的定義是解題的關(guān)鍵．20．如圖，已知點(diǎn)在△的外部，，點(diǎn)在邊上，．(1)求證：；(2)在邊取一點(diǎn)，如果，，求證：．【答案】(1)見詳解(2)見詳解【分析】（1）欲證明，只要證明即可；（2）由，可得，再根據(jù)，推出，即可解決問題；【解析】（1）∵，∴∵，∴，∴，∴．（2）由（1）得∴，，∵，∴，∴∴∴∵，∴，【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．21．如圖，在中，點(diǎn)、分別在邊、上，點(diǎn)是上一點(diǎn)且，連接．(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)結(jié)合已知條件，直接證明根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得證；（2）證明，得出，根據(jù)（1）的結(jié)論得出，根據(jù)公共角，證明，即可得證．【解析】（1）∵，，∴，∴，∴；（2）∵，，∴，∴，∴，∵，∴，即，又∵，∴，∴，即．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．22．已知：如圖，在中，是邊上的中線，點(diǎn)E在線段上，且，過點(diǎn)B作，交線段AE的延長線于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)如果，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由是邊上的中線，且，可得，由可得，由相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）由（1）可得，再由及，可得，即有：，由夾角相等可得，則有，再由平行關(guān)系可得，則可得結(jié)論成立．【解析】（1）證明：是邊上的中線，；，，，，，，；（2）解：由（1），，，，，，即有：，，，；，，，，，即，，．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)用判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．如圖，在中，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上，AD與BE相交于點(diǎn)F，，．(1)求證：；(2)若，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）先證明，可得，結(jié)合可證，從而可證成立；（2）先證明，然后通過證明可證結(jié)論成立．【解析】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）∵，∴．∵，∴，由（1）知，∴，∵，∴，∴，∴，由（1）知，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用．如果兩個(gè)三角形相似，那么它們的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例．24．如圖，在中，，，，點(diǎn)D是斜邊上的動點(diǎn)，連接，垂直平分交射線于點(diǎn)F，交邊于點(diǎn)E．(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)D是斜邊上的中點(diǎn)時(shí)，求的長；(2)連接，如果和相似，求的長；(3)當(dāng)點(diǎn)F在邊的延長線上，且時(shí)，求的長．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）如圖，記，的交點(diǎn)為，證明，，再利用銳角三角函數(shù)分別求解，即可；（2）先求解，，由和相似，分兩種情況討論即可；（3）如圖，連接，過作交的延長線于，由，可得，求解，，結(jié)合垂直平分線的性質(zhì)可得：，由勾股定理可得，從而可得答案．【解析】（1）解：如圖，記，的交點(diǎn)為，∵，點(diǎn)D是斜邊上的中點(diǎn)，，∴，∴，∵垂直平分∴，，∴，∴，∵，∴，，∴，，∴．（2）∵，，，∴，設(shè)，則，∴，解得：，∴，，∵和相似，如圖，當(dāng)時(shí)，∴，由垂直平分線的性質(zhì)可得：，∴，解得：，如圖，當(dāng)時(shí)，∴，∴，解得：．（3）如圖，連接，過作交的延長線于，∵，∴，而，同理可得：，，由垂直平分線的性質(zhì)可得：，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，清晰的分類討論，作出適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)建相似三角形與直角三角形都是解本題的關(guān)鍵．一、單選題1．（2022·上?！ど虾Ｊ羞M(jìn)才中學(xué)?？家荒＃┫铝羞x項(xiàng)中的兩個(gè)圖形一定相似的是（

）A．兩個(gè)等邊三角形 B．兩個(gè)矩形 C．兩個(gè)菱形 D．兩個(gè)等腰梯形【答案】A【分析】根據(jù)相似圖形的概念進(jìn)行判斷即可；【解析】解：A、兩個(gè)等邊三角形，三個(gè)角都是60°∴它們是相似圖形，符合題意；B、兩個(gè)矩形四個(gè)角都是90°，但對應(yīng)邊的比不一定相等∴它們不是相似圖形，不符合題意；C、兩個(gè)菱形角不一定相等∴它們不是相似圖形，不符合題意；D、兩個(gè)等腰梯形對應(yīng)邊的比不一定相等，∴它們不是相似圖形；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似圖形的判斷，掌握形狀相同的圖形稱為相似圖形是解題的關(guān)鍵．2．（2019·上海松江·統(tǒng)考中考模擬）在中，點(diǎn)、分別在邊、上，，那么下列條件中能夠判斷的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】可先假設(shè)，由平行得出其對應(yīng)線段成比例，進(jìn)而可得出結(jié)論．【解析】如圖，可假設(shè)，∵∴，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；反過來，當(dāng)時(shí)，不能得到，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，能得到，故C選項(xiàng)正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了由平行線分線段成比例來判定兩條直線是平行線的問題，能夠熟練掌握并運(yùn)用．3．（2021·上海長寧·一模）已知P，Q是線段AB的兩個(gè)黃金分割點(diǎn)，且AB=10，則PQ長為（

）A．5(-1) B．5(+1) C．10(-2)

- D．5(3-)【答案】C【分析】畫出圖像，根據(jù)黃金分割的概念寫出對應(yīng)線段的比值，求出AQ、PB的長度，再根據(jù)PQ=AQ+PB－AB即可求出PQ的長度．【解析】解：如圖，根據(jù)黃金分割點(diǎn)的概念，可知，AQ=PB，AB=10，AQ=PB=，PQ=AQ+PB－AB=．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查黃金分割的概念，熟記黃金分割的概念并根據(jù)黃金分割的比值列式是解題關(guān)鍵．4．（2022·上海普陀·統(tǒng)考二模）如圖，已知直線，它們依次交直線、于點(diǎn)A、C、E和點(diǎn)B、D、F，下列比例式中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平行線分線段成比例逐項(xiàng)判斷即可．【解析】∵，∴，，所以A，D，不正確；C正確．B中的線段不是對應(yīng)線段，所以不正確.故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例，掌握平行線分得的線段中，對應(yīng)線段成比例是解題的關(guān)鍵．5．（2022·上?！ばＢ?lián)考模擬預(yù)測）如圖，AB是⊙O的弦，C是弦AB上一點(diǎn)，且BC：CA=2：1，連接OC并延長交⊙O于D，若DC=2cm，OC=3cm，則圓心O到弦AB的距離為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先延長DO交圓O于點(diǎn)E，連接AD，BE，BO，作OF⊥AB，即可求出CE，再證明，即可求出AC，BC，然后根據(jù)垂徑定理求出BF，最后根據(jù)勾股定理得出答案．【解析】先延長DO交圓O于點(diǎn)E，連接AD，BE，BO，過點(diǎn)O作OF⊥AB，于點(diǎn)F，∴EO=CO+CD=5cm，∴CE=8cm．∵∠ADC=∠CBE，∠ACD=∠BCE，∴，∴，即AC·BC=CE·CD，則2AC2=16，解得，∴，則．∵OF⊥AB，∴．在Rt△BOF中，BO=5cm，∴（cm）．故選：C．【點(diǎn)睛】這是一道關(guān)于圓得綜合問題，考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，垂徑定理，勾股定理，圓周角定理等，構(gòu)造相似三角形求出線段的長是解題的關(guān)鍵．6．（2022·上海楊浦·?？家荒＃┤鐖D，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3，DE∥BC，且AD=2CD，那么以點(diǎn)C為圓心、DC長為半徑的圓C和以點(diǎn)E為圓心、EB長為半徑的圓E的位置關(guān)系是（）A．外離 B．外切 C．相交 D．不能確定【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理求得的長，根據(jù)AD=2CD，求得的長，根據(jù)DE∥BC，證明，求得，進(jìn)而求得的長，勾股定理求得CE的長，進(jìn)而比較圓心距與半徑和，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系進(jìn)行判斷即可．【解析】解：連接，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3，∴，AD=2CD，AC=6，，．DE∥BC，，，．，．在中，．>．以點(diǎn)C為圓心、DC長為半徑的圓C和以點(diǎn)E為圓心、EB長為半徑的圓E的位置關(guān)系是相交．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．7．（2022·上海青浦·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，以為頂點(diǎn)，為一邊作角，角的另一邊交軸于（在上方），則坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】過點(diǎn)A作AD⊥y軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E，由題意易得AD=2，，BD=1，然后可得，，設(shè)BC=x，則CD=x+1，進(jìn)而根據(jù)相似三角形及勾股定理可進(jìn)行求解．【解析】解：過點(diǎn)A作AD⊥y軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E，如圖所示：∵，，∴AD=2，，BD=1，∵，∴，∵，∴，∴，設(shè)BC=x，則CD=x+1，∴，在Rt△BEC中，由勾股定理得：，解得：（負(fù)根舍去），∴，∴，∴點(diǎn)；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定及勾股定理；熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定及勾股定理是解題的關(guān)鍵．8．（2021·上海浦東新·統(tǒng)考一模）如圖，在ABC中，點(diǎn)D、F是邊AB上的點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AC上的點(diǎn)，如果∠ACD=∠B，DEBC，EFCD，下列結(jié)論不成立的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)相似三角形的判定及性質(zhì)以及平行線分線段成比例對每個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)證明即可．【解析】解：∵DEBC，EFCD，∴∠ADE=∠B，∠ACD=∠AEF，又∵∠ACD=∠B，∴∠ADE=∠AEF，∵∠ADE=∠AEF，∠A=∠A，∴AEF∽ADE，∴，∴，故選項(xiàng)A正確；∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴ACD∽ABC，∴，∴，故選項(xiàng)B正確；∵DEBC，∴，∵EFCD，∴，∴，∴，故選項(xiàng)D正確；∵EFCD，∴，∴，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例以及相似三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．9．（2021·上海虹口·統(tǒng)考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是邊AB上一點(diǎn)，過D作DF⊥AB交邊BC于點(diǎn)E，交AC的延長線于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)AE，如果tan∠EAC＝，S△CEF＝1，那么S△ABC的值是（）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】C【分析】根據(jù)，可得，由∽，可得相似比為，從而得到面積比為，進(jìn)而求出答案．【解析】∵∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠B＝90°，又∵DF⊥AB，

∴∠ADF＝90°，∴∠BAC+∠F＝90°，∴∠B＝∠F，又∵∠ECF＝∠ACB＝90°，∴△ECF∽△ACB，∴＝tan∠EAC＝，∴，又∵S△ECF＝1，∴S△ABC＝9，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的意義，相似三角形的性質(zhì)和判斷，掌握相似三角形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．10．（2021·上海奉賢·統(tǒng)考一模）如圖，在梯形中，，對角線交于點(diǎn)是梯形的中位線，與分別交于點(diǎn)，如果的面積為，那么梯形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)AD=2x，BC=6x，根據(jù)EF是梯形的中位線，求得EG=FH==x，GF==3x，證得GH=AD，由此得到，，，即可求出答案．【解析】設(shè)AD=2x，BC=6x，∵EF是梯形的中位線，∴點(diǎn)E、F、G、H分別為AB、CD、BD、AC的中點(diǎn)，EF∥AD∥BC，∴EF=x，∴EG=FH==x，GF==3x，∴GH=2x，∴GH=AD，∵GH∥AD,∴△OAD∽△OHG,∴，∴OG=OD，，∵GH∥BC,∴△OGH∽△OBC，∵∴，∵O是DG的中點(diǎn)，G是BD的中點(diǎn)，∴，，故選：C．．【點(diǎn)睛】此題考查梯形中位線的性質(zhì)定理，三角形中位線的性質(zhì)定理，同底或同高三角形面積的關(guān)系，相似三角形的性質(zhì)，這是一道與中位線相關(guān)的綜合題．二、填空題11．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）已知，與的相似比為，與的相似比為，那么與的相似比為_________．【答案】【分析】設(shè)，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例分別表示出，繼而求解即可．【解析】設(shè)，∵，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，能夠用同一個(gè)字母表示的長度是解題的關(guān)鍵．12．（2022·上海金山·統(tǒng)考二模）已知在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，DEBC，如果△ADE和四邊形BCED的面積分別為4和5，DE＝4，那么BC＝________．【答案】6【分析】由DEBC，△AED∽△ABC，利用相似三角形的性質(zhì)結(jié)合△ADE和四邊形BCED的面積分別為4和5，可得出＝，結(jié)合DE＝4，即可求出BC的值，經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論．【解析】解：依照題意畫出圖形，如圖所示．∵DEBC，∴△AED∽△ABC．又∵＝，∴＝＝，∴＝，即＝，∴BC＝6，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，牢記相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．13．（2022·上?！ど虾Ｊ袏渖街袑W(xué)?？级＃┤鐖D，梯形中，，，點(diǎn)在的延長線上，與相交于點(diǎn)，與邊相交于點(diǎn)．如果，那么與的面積之比等于______．【答案】##【分析】根據(jù)和，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例和相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求解．【解析】解：，，，與的面積之比，，，，令，則，設(shè)，，，，，與的面積之比是，與的面積之比是．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握并運(yùn)用：相似三角形對應(yīng)邊成比例、相似三角形的面積比等于相似比的平方等性質(zhì)，是解此題的關(guān)鍵．14．（2022·上海黃浦·格致中學(xué)校考二模）如圖，在中，，，點(diǎn)E在邊上且，點(diǎn)F在邊上，過點(diǎn)F作的垂線交射線于點(diǎn)G，當(dāng)Rt的一條直角邊與的一邊平行時(shí)，則的長為_____．【答案】4或8##8或4【分析】分，，三種情況，結(jié)合含角的直角三角形和平行線分線段成比例定理分別求解．【解析】解：過點(diǎn)C作CM⊥AB，∵，，∴，在Rt中，，∴，∵，∴，，①當(dāng)時(shí)，由題意可得，∴，在Rt，，∴，，又∵，∴，∴，∴；②當(dāng)時(shí)，此時(shí)，∴，∴；③當(dāng)時(shí)，此時(shí)，過點(diǎn)F作，∴，，∵，，∴，在Rt中，，∴，綜上，的長為4或8，故答案為：4或8．【點(diǎn)睛】本題考查含30°角的直角三角形性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，理解等腰三角形的性質(zhì)，掌握含30°角的直角三角形的性質(zhì)，利用分類討論思想解題是關(guān)鍵．15．（2022·上?！ど虾Ｊ袏渖街袑W(xué)?？级＃┤鐖D1，內(nèi)有一點(diǎn)，滿足，那么點(diǎn)被稱為的“布洛卡點(diǎn)”．如圖2，在中，，，點(diǎn)是的一個(gè)“布洛卡點(diǎn)”，那么______．【答案】【分析】通過證明，可得，從而即可求解．【解析】解：，，，點(diǎn)是的一個(gè)“布洛卡點(diǎn)”，，，，，，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，證明三角形相似是解此題的關(guān)鍵．16．（2022·上海虹口·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連接，點(diǎn)O是線段上一點(diǎn)，的半徑為1，如果與矩形的各邊都沒有公共點(diǎn)，那么線段長的取值范圍是__．【答案】【分析】根據(jù)題意，需要分分別與邊相切兩種情況下，計(jì)算出長度即可解答．【解析】解：設(shè)與相切于點(diǎn)F，連接，，∵，，∴，中，∵，∴∵，∴，∴，∵，，∴，∴，即，∵，∴若與相切時(shí)，和一定相交；若與相切時(shí)，和一定相離．同理當(dāng)與相切于點(diǎn)M時(shí)，連接，，計(jì)算得，∴此時(shí)，∴當(dāng)時(shí)，與矩形的各邊都沒有公共點(diǎn)，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是分兩種情況計(jì)算．三、解答題17．（2022·上海金山·統(tǒng)考二模）如圖，已知：△ABC和△ADE都是等邊三角形，其中點(diǎn)D在邊BC上，點(diǎn)F是AB邊上一點(diǎn)，且BF＝CD．(1)求證：DECF；(2)聯(lián)結(jié)DF，設(shè)AD、CF的交點(diǎn)為M，如果＝FM?FC，求證：DFAC．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)證明△ACD≌△CBF，得出∠CAD＝∠BCF，由等邊三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)得出∠BDE＝∠CAD，進(jìn)而得出∠BDE＝∠BCF，即可證明DECF；（2）先證明△DFM∽△CFD，得出∠FDM＝∠FCD，由∠CAD＝∠BCF，得出∠FDM＝∠CAD，即可證明DFAC．（1）如圖1，∵△ABC是等邊三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝∠B＝60°，在△ACD和△CBF中，，∴△ACD≌△CBF（SAS），∴∠CAD＝∠BCF，∵△ADE是等邊三角形，∴∠ADE＝∠ACB＝60°，∵∠ADE＋∠BDE＝∠ACB＋∠CAD，∴∠BDE＝∠CAD，∴∠BDE＝∠BCF，∴DECF；（2）如圖2，∵DF2＝FM?FC，∴，∵∠DFM＝∠CFD，∴△DFM∽△CFD，∴∠FDM＝∠FCD，∵∠CAD＝∠BCF，∴∠FD