專題04幾何綜合題-2023年江蘇常州中考數(shù)學(xué)真題模擬題分類匯編

專題04幾何綜合題1．（2022?常州）在四邊形中，是邊上的一點(diǎn)．若，則點(diǎn)叫做該四邊形的“等形點(diǎn)”．（1）正方形“等形點(diǎn)”（填“存在”或“不存在”；（2）如圖，在四邊形中，邊上的點(diǎn)是四邊形的“等形點(diǎn)”．已知，，，連接，求的長；（3）在四邊形中，．若邊上的點(diǎn)是四邊形的“等形點(diǎn)”，求的值．【答案】（1）不存在；（2）；（3）1【詳解】（1）四邊形是正方形，，，，是邊上的一點(diǎn)．正方形不存在“等形點(diǎn)”，故答案為：不存在；（2）作于，邊上的點(diǎn)是四邊形的“等形點(diǎn)”，，，，，，設(shè)，則，由勾股定理得，，解得，，，，，在中，；（3）如圖，邊上的點(diǎn)是四邊形的“等形點(diǎn)”，，，，，，，，，，，，．2．（2021?常州）【閱讀】通過構(gòu)造恰當(dāng)?shù)膱D形，可以對(duì)線段長度、圖形面積大小等進(jìn)行比較，直觀地得到一些不等關(guān)系或最值，這是“數(shù)形結(jié)合”思想的典型應(yīng)用．【理解】（1）如圖1，，，垂足分別為、，是的中點(diǎn)，連接．已知，．①分別求線段、的長（用含、的代數(shù)式表示）；②比較大?。海ㄌ睢啊?、“”或“”，并用含、的代數(shù)式表示該大小關(guān)系．【應(yīng)用】（2）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、在反比例函數(shù)的圖象上，橫坐標(biāo)分別為、．設(shè)，，記．①當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，；②通過歸納猜想，可得的最小值是．請(qǐng)利用圖2構(gòu)造恰當(dāng)?shù)膱D形，并說明你的猜想成立．【答案】（1）①，；②；（2）①，1；②1【詳解】（1）①如圖1中，，，，，，，，，，，，，，，，，②，根據(jù)垂線段最短可知，，即，，故答案為：．（2）①當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，，故答案為：，1．②猜想：的最小值為1．故答案為：1．理由：如圖2中，過點(diǎn)作軸于，軸于，過點(diǎn)作軸于，軸于，連接，取的中點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于，軸于，則，，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象的上方，矩形的面積，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)落在反比例函數(shù)的圖象上，矩形的面積，矩形的面積，，即，的最小值為1．3．（2020?常州）如圖1，點(diǎn)在線段上，，，，．（1）點(diǎn)到直線的距離是；（2）固定，將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使得與重合，并停止旋轉(zhuǎn)．①請(qǐng)你在圖1中用直尺和圓規(guī)畫出線段經(jīng)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)所形成的平面圖形（用陰影表示，保留畫圖痕跡，不要求寫畫法）．該圖形的面積為；②如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段與交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的長．【答案】（1）1；（2）①；②【詳解】（1）如圖1中，作于，，，，．，，，，，在和中，，，，法二：，，，，，．故答案為1；（2）①線段經(jīng)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)所形成的平面圖形如圖所示，此時(shí)點(diǎn)落在上的點(diǎn)處．．故答案為．②如圖2中，過點(diǎn)作于．設(shè)．在中，，，，，，，在中，，，在中，則有，解得或（不合題意舍棄），，，．解法二：作于，設(shè)，則，，在中，利用勾股定理，構(gòu)建方程，求出，可得結(jié)論．4．（2019?常州）【閱讀】數(shù)學(xué)中，常對(duì)同一個(gè)量（圖形的面積、點(diǎn)的個(gè)數(shù)、三角形的內(nèi)角和等）用兩種不同的方法計(jì)算，從而建立相等關(guān)系，我們把這一思想稱為“算兩次”．“算兩次”也稱做富比尼原理，是一種重要的數(shù)學(xué)思想．【理解】（1）如圖1，兩個(gè)直角邊長分別為、、斜邊長為的直角三角形和一個(gè)兩條直角邊都是的直角三角形拼成一個(gè)梯形．用兩種不同的方法計(jì)算梯形的面積，并寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；（2）如圖2，行列的棋子排成一個(gè)正方形，用兩種不同的方法計(jì)算棋子的個(gè)數(shù)，可得等式：；【運(yùn)用】（3）邊形有個(gè)頂點(diǎn)，在它的內(nèi)部再畫個(gè)點(diǎn)，以個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，把邊形剪成若干個(gè)三角形，設(shè)最多可以剪得個(gè)這樣的三角形．當(dāng)，時(shí)，如圖3，最多可以剪得7個(gè)這樣的三角形，所以．①當(dāng)，時(shí)，如圖4，；當(dāng)，時(shí)，；②對(duì)于一般的情形，在邊形內(nèi)畫個(gè)點(diǎn)，通過歸納猜想，可得（用含、的代數(shù)式表示）．請(qǐng)對(duì)同一個(gè)量用算兩次的方法說明你的猜想成立．【答案】（1）直角長分別為、斜邊為的直角三角形中；（2）；（3）①6，3；②【詳解】（1）有三個(gè)△其面積分別為，和．直角梯形的面積為．由圖形可知：，整理得，，．故結(jié)論為：直角長分別為、斜邊為的直角三角形中．（2）行列的棋子排成一個(gè)正方形棋子個(gè)數(shù)為，每層棋子分別為1，3，5，7，，（圖中的折線作為一層）．由圖形可知：．故答案為．（3）①如圖4，當(dāng)，時(shí)，，如圖5，當(dāng)，時(shí)，．②算法Ⅰ．個(gè)三角形，共條邊，其中邊形的每邊都只使用一次，其他邊都各使用兩次，所以邊形內(nèi)部共有條線段；算法Ⅱ．邊形內(nèi)部有1個(gè)點(diǎn)時(shí)，其內(nèi)部共有條線段，共分成個(gè)三角形，每增加一個(gè)點(diǎn)，都必在某個(gè)小三角形內(nèi)，從而增加3條線段，所以邊形內(nèi)部有個(gè)點(diǎn)時(shí)，其內(nèi)部共有條線段，由化簡得：．故答案為：①6，3；②．5．（2018?常州）（1）如圖1，已知垂直平分，垂足為，與相交于點(diǎn)，連接．求證：．（2）如圖2，在中，，為的中點(diǎn)．①用直尺和圓規(guī)在邊上求作點(diǎn)，使得（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；②在①的條件下，如果，那么是的中點(diǎn)嗎？為什么？【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②是的中點(diǎn)【詳解】（1）證明：如圖1中，垂直平分線段，，，，．（2）①作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于，連接，點(diǎn)即為所求．理由：垂直平分，，，，，點(diǎn)即為所求．②結(jié)論：是的中點(diǎn)．理由：設(shè)交于．，，，，，，，，，，，，，，是的中點(diǎn)．6．（2022?金壇區(qū)模擬）如圖，在中，，，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿折線以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)不與點(diǎn)、重合時(shí)，連結(jié)．作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)、．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．（1）線段的長為；（2）用含的代數(shù)式表示線段的長；（3）當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)，求的取值范圍；（4）當(dāng)與相等時(shí)，直接寫出的值．【答案】（1）2；（2）；（3）；（4）或【詳解】（1）在中，由勾股定理得：，．故答案為：2．（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，．綜上所述，．（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，，，，，在中，，．如圖，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，，，，，在中，，．如圖，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡為以為圓心，長為半徑的圓上，時(shí)，點(diǎn)在內(nèi)部．（4）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，，，，．如圖，當(dāng)時(shí)，，，，，，在中，，，，，．綜上所述，或．7．（2022?金壇區(qū)一模）如圖，正方形的邊長是4，點(diǎn)是邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿直線翻折得到．（1）如圖1，若點(diǎn)落在對(duì)角線上，則線段與的數(shù)量關(guān)系是；（2）若點(diǎn)落在線段的垂直平分線上，在圖2中用直尺和圓規(guī)作出（不寫作法，保留作圖痕跡）．連接，則；（3）如圖3，連接，，若，求的長．【答案】（1）；（2）75；（3）【詳解】（1），理由如下：在正方形中，，，由折疊的性質(zhì)可得：，，，為等腰直角三角形，即，由勾股定理可得：，即；（2）作圖如下：則為即為所求，由題意可得：垂直平分，垂直平分，點(diǎn)在上，則，由折疊的性質(zhì)可得，為等邊三角形，，為等腰三角形，，，故答案為：75；（3）取的中點(diǎn)，連接，，如圖，，，，，，，，點(diǎn)，，共線，設(shè)，則，在中，，，解得，即的長為．8．（2022?武進(jìn)區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊落在軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，邊與軸交于點(diǎn)．（1）直接寫出點(diǎn)、、的坐標(biāo)；（2）在軸上取點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接．①當(dāng)時(shí)，求直線的函數(shù)表達(dá)式；②當(dāng)以線段為直徑的圓與矩形的邊所在直線相切時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1），，；（2）①或；②，【詳解】（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為，．矩形中，，，，，．，，；（2）①點(diǎn)，．，．．，或．或．，或，．或．解得：或．直線的函數(shù)表達(dá)式為：或；②設(shè)的中點(diǎn)為，過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，則，如圖，由題意：以線段為直徑的圓與矩形的邊，所在直線相交．以線段為直徑的圓與矩形的邊，所在直線可能相切．Ⅰ、當(dāng)以線段為直徑的圓與矩形的邊所在直線相切相切時(shí)，則．設(shè)，則．．，，，．，為梯形的中位線．．．解得：．經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根，，；Ⅱ、當(dāng)以線段為直徑的圓與矩形的邊所在直線相切相切時(shí)，則．，，，．，為梯形的中位線．．．解得：．經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根，，．綜上，當(dāng)以線段為直徑的圓與矩形的邊所在直線相切時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，．9．（2022?常州模擬）如圖，半圓的直徑，以長為2的弦為直徑，向點(diǎn)方向作半圓，其中點(diǎn)在上且不與點(diǎn)重合，但點(diǎn)可與點(diǎn)重合．（1）計(jì)算：劣弧的長；（2）思考：點(diǎn)與的最大距離為，此時(shí)點(diǎn)，間的距離為；點(diǎn)與的最小距離為．（3）探究：當(dāng)半圓與相切時(shí)，求的長．（注：結(jié)果保留，，【答案】（1）；（2），2，；（3）當(dāng)半圓與相切時(shí)，的長為或【詳解】（1）連接，，，，，是等邊三角形，，；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，，由點(diǎn)的位置可知，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)點(diǎn)與的距離最大，如下圖：此時(shí)，，，，，，是等邊三角形，，由點(diǎn)的位置可知，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，與的距離最小，如下圖：，，，故答案為：，2，；（3）當(dāng)半圓與相切時(shí)，此時(shí)，且分以下兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，在中，由勾股定理得，，，，，，，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，此時(shí)，，，，綜上，當(dāng)半圓與相切時(shí)，的長為或．10．（2022?常州一模）如圖（1），，為射線上一點(diǎn)，，以點(diǎn)為圓心，長為半徑作交于點(diǎn)、．（1）當(dāng)射線繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)多少度時(shí)與相切？請(qǐng)說明理由．（2）若射線繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)時(shí)與相交于、兩點(diǎn)，如圖（2），求的長．【答案】（1）當(dāng)射線繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)或時(shí)與相切；（2）【詳解】（1）當(dāng)射線繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)或時(shí)與相切．理由如下：如圖，設(shè)切點(diǎn)為，連．則，在中，，，，，，同理：當(dāng)時(shí)，與相切，當(dāng)射線繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)或時(shí)與相切．（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，射線繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)時(shí)與相交于、兩點(diǎn)，，，在中，，，，，的長為：．11．（2022?天寧區(qū)模擬）以為直徑作半圓，，點(diǎn)是該半圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接、，并延長至點(diǎn)，使，過點(diǎn)作于點(diǎn)、交于點(diǎn)，連接．（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求的度數(shù)；（2）如圖②，當(dāng)時(shí)，求線段的長；（3）在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，若點(diǎn)始終在線段上，是否存在以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請(qǐng)直接寫出此時(shí)線段的長；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）或或【詳解】（1）連接．為中點(diǎn)，，是等邊三角形，，為直徑，，；（2）連接．垂直平分，，，，，，，，，，，，；（3）①當(dāng)交點(diǎn)在、之間時(shí)，若，此時(shí)，，，，則；若，此時(shí)，，則；②當(dāng)交點(diǎn)在、之間時(shí)，．綜上所述，或或．12．（2022?常州模擬）閱讀下面的材料小敏在數(shù)學(xué)課外小組活動(dòng)中遇到這樣一個(gè)問題：如果，都為銳角，且，，求的度數(shù)．小敏是這樣解決問題的：如圖1，把，放在正方形網(wǎng)格中，使得，，且，在直線的兩側(cè)，連接，可證得是等腰三角形，因此可求得請(qǐng)參考小敏思考問題的方法解決問題：如果，都為銳角，當(dāng)，時(shí)，在圖2的正方形網(wǎng)格中，利用已作出的銳角，畫出，由此可得．【答案】45；45【詳解】如圖1，把，放在正方形網(wǎng)格中，使得，，且，在直線的兩側(cè)，連接，可證得是等腰三角形，因此可求得；參考小敏思考問題的方法解決問題：如果，都為銳角，當(dāng)，時(shí)，在圖2的正方形網(wǎng)格中，利用已作出的銳角，畫出，由此可得．故答案為：45；4513．（2022?武進(jìn)區(qū)校級(jí)一模）已知在以為圓心的扇形中，，點(diǎn)為弧上一動(dòng)點(diǎn)，射線交射線于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交射線于點(diǎn)，連接．（1）如圖1，當(dāng)四邊形為矩形時(shí)，求的度數(shù)：（2）如圖2，當(dāng)扇形的半徑長為5，且時(shí)，求線段的長．【答案】（1）；（2）【詳解】（1）四邊形為矩形，，，，為等邊三角形，，；（2）過點(diǎn)作于，如圖2，則，，，，，即，解得，，，，，，即，．14．（2022?鐘樓區(qū)校級(jí)模擬）如圖①，是矩形的邊上的一點(diǎn)，于點(diǎn)，，，．（1）證明，并計(jì)算點(diǎn)到直線的距離（結(jié)果保留根號(hào)）．（2）在圖①的基礎(chǔ)上，延長線段交邊于點(diǎn)，如圖②，則的長為．【答案】（1）；（2）【詳解】（1）四邊形是矩形，，，，，，，，，，，即，點(diǎn)到直線的距離；（2）四邊形是矩形，，，，，，，，，，得，即，，；故答案為：.15．（2022?武進(jìn)區(qū)一模）如圖，為的直徑，，為上的兩點(diǎn)，，過點(diǎn)作直線，交的延長線于點(diǎn)，連接．（1）求證：是的切線．（2）若，，求劣弧的長．【答案】（1）見解析；（2）【詳解】（1）證明：連接，，，，，，，是的切線；（2）解：為的直徑，，，，，，，的長．16．（2022?常州一模）在平行四邊形中，對(duì)角線與邊垂直，，點(diǎn)是延長線上的一點(diǎn)，點(diǎn)是射線上的一點(diǎn)，且．（1）如圖1，如果點(diǎn)與點(diǎn)重合，則的余弦值；（2）如圖2，若四邊形的周長是16，設(shè)，，①求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量取值范圍；②若，求的面積．【答案】（1）；（2）①；②或【詳解】（1）設(shè)與相交于點(diǎn)，，，四邊形是平行四邊形，，，，在中，，，，設(shè)，，則，的余弦值，故答案為：；（2）①四邊形的周長是16，，設(shè)，，則，，，，，，，，，，，，，，，；②，，當(dāng)點(diǎn)在邊上，，，，由題意得，，，，，當(dāng)點(diǎn)在的延長線上，，，，由題意得，，，，綜上，的面積是或．17．（2022?鐘樓區(qū)校級(jí)模擬）將一副三角板按如圖所示的方式擺放，，，點(diǎn)為邊上的點(diǎn)，，，（1）的大小為度．（2）若三角板固定，將三角板繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，①當(dāng)點(diǎn)第一次落在直線上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D1中用直尺和圓規(guī)畫出線段旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)所形成的平面圖形（用陰影表示，保留畫圖痕跡，不要求寫畫法），則該圖形的面積為．②當(dāng)旋轉(zhuǎn)至、、三點(diǎn)共線時(shí)，求的長．【答案】（1）75；（2）①，②或【詳解】（1）如圖1中，設(shè)交于點(diǎn)．，，．故答案為：75；（2）①圖形如圖所示：，，，，，，，陰影部分的面積．故答案為：．②如圖中，當(dāng)點(diǎn)落在線段上時(shí)，在中，，，．如圖中，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，同法可得，此時(shí)．綜上所述，滿足條件的的值為或．18．（2022?金壇區(qū)二模）已知，在中，，，．點(diǎn)、分別是邊、上一點(diǎn)，將沿翻折，使得點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處．（1）如圖1，平分，交邊于點(diǎn)，連接．①探索與的位置關(guān)系，證明你的結(jié)論；②若，求的面積；（2）連接，若，求的長．【答案】（1）①，②；（2）【詳解】（1）①，證明：平分，，，，，；②，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；（2）取的中點(diǎn)，連接，則，，，，，，，，，，，，，，．19．（2022?武進(jìn)區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．點(diǎn)、點(diǎn)分別為和上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向以每秒1個(gè)單位勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向以每秒1個(gè)單位勻速運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)作，與交于點(diǎn)，點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，連接，，，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為解答下列問題：（1）連接、，若，則；（2）設(shè)的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）是否存在某一時(shí)刻，使？若存在，求出的值，并求出此時(shí)，兩點(diǎn)間的距離；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）4；（2）；（3）存在，當(dāng)時(shí)，或當(dāng)時(shí)，【詳解】（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．，，點(diǎn)