高中北師大版數(shù)學(xué)選修2-1學(xué)案 第2章空間向量與立體幾何

第二章空間向量與立體幾何

本章知識要覽

。|內(nèi)容提要

本章是在平面向量的基礎(chǔ)上，通過類比的方法，學(xué)習(xí)空間向量的

概念、性質(zhì)和運(yùn)算，并以向量為工具討論立體幾何中的一些問題.主

要包括兩個(gè)方面：一是關(guān)于空間向量及其運(yùn)算，這是立體幾何的基礎(chǔ),

也是重點(diǎn)內(nèi)容；二是關(guān)于空間向量的應(yīng)用，即用向量討論垂直與平行,

夾角的計(jì)算和距離的計(jì)算.

本章的重點(diǎn)是：空間向量及其運(yùn)算，以空間向量為工具通過空間

向量的運(yùn)算證明空間直線與直線、直線與平面、兩個(gè)平面的平行和垂

直，求空間兩條直線、直線與平面所成的角、二面角的大小，求空間

點(diǎn)到平面的距離；難點(diǎn)是：以空間向量為工具證明空間的位置關(guān)系，

求空間角和空間距離；易錯點(diǎn)是求空間角時(shí)，對角的范圍的判斷.

學(xué)法建議

(1)解決問題要從圖形入手，分析已知條件在圖形中的向量表示,

由已知到圖形、由圖形到已知的基本訓(xùn)練，有序地建立圖形、文字、

符號三種語言間的聯(lián)系.

(2)適時(shí)地聯(lián)系平面向量的知識及平面幾何的知識，采用聯(lián)想對

比、引申等方法認(rèn)識平面向量與空間向量、平面幾何與立體幾何知識

的異同，并找出兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系，逐步培養(yǎng)能將立體幾何問題轉(zhuǎn)

化為平面幾何問題的能力.

(3)由空間向量解決立體幾何問題時(shí)，要注意在空間直角坐標(biāo)系

下，通過轉(zhuǎn)化將圖形的關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)系中數(shù)的運(yùn)算，并可以靈活地

運(yùn)用空間向量基本定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

§1從平面向量到空間向量

學(xué)習(xí)目標(biāo)重點(diǎn)睚點(diǎn)

I.經(jīng)歷從平面向量到空間向量的推廣過程.

2.會說出空間向量有關(guān)概念的含義.

重點(diǎn)：空間向量的有關(guān)概念.

3.能指出直線的方向向量和面的法向量.

難點(diǎn)：直線的方向向量和平面的法向量.

4.會用克線的方向向量和克線上一點(diǎn)確定克線,會

用法向量和點(diǎn)確定平面.

預(yù)習(xí)篇YUXIPIAN--------------------------------------------------------------------------------新知導(dǎo)學(xué)

細(xì)讀課本

知識點(diǎn)一向量的概念

［填一填］

(1)向量

既有大小又有方向的量叫作向量.

在物理中，有許多量可以用向量來表示，如位移、速度、加速度、

力等，這些量不但有大小，而且還具有方向.

(2)空間向量

在空間中，既有大小又有方向的量叫作空間向量.

過空間任意一點(diǎn)0作向量a,b的相等向量內(nèi)和防，則NAOB

叫作向量m分的夾角，記作〈a,b),規(guī)定OW<?,b)WJT.

［答一答］

7T

1.向量G,b的夾角是0或兀時(shí)，向量G,方應(yīng)具備什么條件？

JT、

提示：當(dāng)〈。，b)=/時(shí)，向量。與方垂直，當(dāng)〈。，b)=0或兀

時(shí)，向量a與b平行.

2.思考與交流：仿照平面向量的有關(guān)概念，請分別給出下列定

義：單位向量、零向量、相等向量、相反向量、平行向量.

提示：在空間中，模為1的向量叫單位向量；模為。的向量叫零

向量；模相等，方向相同的向量叫相等向量；模相等，方向相反的向

量叫相反向量；方向相同或相反的向量叫平行向量.

知識點(diǎn)二向量與直線

［填一填］

(1)/是空間一直線，A,3是直線/上的任意兩點(diǎn),則稱協(xié)為直

線I的方向向量.與?平行的任意非零向量a也是直線/的方向向量,

直線的方向向量平行于該直線.

(2)根據(jù)立體幾何知識，我們知道，給定空間中任意一點(diǎn)A和非

零向量m就可以確定唯二二^過點(diǎn)A且平行于向量。的直線.

［答一答］

討論：直線的方向向量是唯一確定的嗎？

提示：不是，只要是平行于直線的非零向量均可成為直線的方向

向量，正是由于直線的方向向量的任意性，才可便于選取方向向量，

才具有可操作性.

知識點(diǎn)三向量與平面

［填一填］

(1)如果直線/垂直于平面?,那么把直線I的方向向量?叫作平

面a的法向量.所有與直線/平行的非零向量都是平面a的法向量.平

面的法向量垂直于該平面.

(2)給定空間中任意一點(diǎn)A和非零向量?,可以確定唯一一個(gè)過點(diǎn)

A且垂直于向量a的平面.

［答一答］

想一想：要想在空間中確定一個(gè)平面需要哪些條件？

提示：需要有一點(diǎn)和一個(gè)非零向量.過這一點(diǎn)且垂直于已知向量

就可確定一個(gè)平面.

eI特別關(guān)注

1.向量無法比較大小.關(guān)于向量的比較，我們只限于研究它們

是否相等，而不是研究它們誰大誰小.一般來說，向量不

能比較大小.向量的?？梢员容^大小，應(yīng)注意”=80|0=步|,但

反之不成立.

2.(1)〈心力表示。與方的夾角，書寫一定要規(guī)范，不能誤寫

為(a,b).

(2)在圖甲中，〈8,防〉=ZAOB,而圖乙中，〈屐)，加=71

一/AOB.向量夾角與向量大小無關(guān)，只與方向有關(guān).

圖甲圖乙

3.平行向量所在的直線可能平行也可能重合，與兩直線平行不

同；平行向量的方向可能同向，也可能反向.

4.零向量與任意向量共線.

5.平面法向量的性質(zhì)：

(1)若直線L平面a,則所有與直線I平行的非零向量都是平面a

的法向量，故平面a的法向量不唯一，有無限多個(gè)，但它們互相平行.

(2)一個(gè)平面的單位法向量只有兩個(gè).

(3)平面a的一個(gè)法向量垂直于與平面a共面的所有向量，也就

是平面的法向量垂直于該平面.

課堂篇KETANGPIAN-合作探究

題型一向量的有關(guān)概念

【例1】給出下列五個(gè)命題：①兩個(gè)空間向量相等，則它們的

起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；②若空間兩向量a,b滿足⑷

=\b\,則°=岳③在正方體43CQ-A18GQ1中必有

④若空間向量小，n,p滿足機(jī)=mn—p,則機(jī)=p；⑤空間中任意

兩個(gè)單位向量必相等.其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）

A.4B.3

C.2D.1

【解析】當(dāng)空間兩個(gè)向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)分別相同時(shí)，這兩個(gè)向

量必相等，但兩個(gè)相等向量的起點(diǎn)不一■定相同，終點(diǎn)也不一■定相同，

故①錯；根據(jù)向量相等的定義，要保證兩向量相等，不僅它們的模要

相等，而且方向也要相同，但②中向量a與b的方向不一定相同，故

②不對；根據(jù)正方體的性質(zhì)，在正方體ABCQ-AiBG。中，向量友和

4d不但方向相同而且長度相等，故應(yīng)有公=左6，所以③正確；④

顯然正確；對于⑤，空間任意兩個(gè)單位向量的模均為1,但方向不一

定相同，故不一定相等，所以⑤不對.

【答案】C

規(guī)律方法（1）只要兩個(gè)向量的方向相同，模相等，這兩個(gè)向量就

相等，與起點(diǎn)和終點(diǎn)位置無關(guān).

（2）熟練掌握空間向量的有關(guān)概念是解決這類問題的關(guān)鍵.

下列命題錯誤的是(B)

A.空間向量醺與雨的長度相等

B.零向量沒有長度，所以它不是空間向量

C.同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量

D.若4b=c,則Q=C

解析：概念的理解是解決本題的關(guān)鍵.A選項(xiàng)中的兩個(gè)向量互為

相反向量，所以它們長度相等；空間向量并不是一個(gè)立體圖形，只要

是存在于立體空間內(nèi)的向量都是空間向量，所以B選項(xiàng)錯誤；C選項(xiàng)

是相等向量定義的另外一個(gè)說法；我們研究的向量是自由向量，只要

向量相等都可以移動到同一起點(diǎn)，所以D選項(xiàng)正確.

題型二向量的夾角

【例2】如圖，在正方體ABCDA8C。中，求:

(1)(AB,種〉，(AD,灰7〉，<AB,CD'}.

(2)流〉,(Abr,歐〉.

【思路探究】按空間向量夾角的定義求解，空間向量a,b夾

角范圍是［0,兀］.

【解】⑴：在正方體ABCQ-A5C。中，

AB//A'B',AD-LD'C,AB//CD'.

：.用》=0,<A2),配〉=/,<AB,Cb'>=TI.

(2)..?在正方體A8CD-4&C。中，AD//BC.

：.〈也反:〉=〈?AD>=今

連接4C,則△4C。為等邊三角形.

(Ab',Z7C>=y.

規(guī)律方法與求平面內(nèi)兩向量夾角類似，求空間兩向量夾角時(shí)，

采取平移的方法，把空間兩向量的夾角轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)某兩條相交直線

的角，進(jìn)而用解三角形的知識求解.必須注意兩向量夾角應(yīng)保證兩向

量移至共同起點(diǎn)處，比如若〈油，疵〉=去而〈油，cX>=,

銃植II溷2

如圖，棱長都相等的平行六面體A3CQ-A8GA中，已知NA1A3

=60。，則<Ali,(Ti)=￡,〈油，CTbi)=180。,〈麗，DDi)=

120°.

解析：在平行六面體A8CD-

AbBiGDi中，AXx//Ct\,且方向相同，所以〈/1,U=0°.

因?yàn)锳B〃CQ,CD//C1D1,所以A8〃G。，所以不方〃但方向

相反，所以〈加，Gt>i>=180°.因?yàn)榻睿?仍|,所以〈麗，Db\)

=〈麗，Ali>=180°-ZAIA5=120°.

題型三向量與平面

【例3】如圖，四棱錐P-ABCD中，尸。_1_平面A3C。，底面

A8CQ為正方形且PO=AQ=CQ,E,尸分別是尸C,P3的中點(diǎn).

(1)試以廠為起點(diǎn)作直線DE的一個(gè)方向向量；

(2)試以F為起點(diǎn)作平面PBC的一個(gè)法向量.

【思路探究】(1)只要作出過產(chǎn)與。E平行的直線即可.

(2)作出過/與平面PBC垂直的直線即可.

【解】(1)如圖，連接EE

■:E,尸分別是PC,-6的中點(diǎn).

：.EF%BC.

又BC^AD,：.EF^AD.

取4。的中點(diǎn)M,連接MF,則由所觸DM知四邊形DEFM是

平行四邊形，J.MF//DE.

戶法就是直線DE的一個(gè)方向向量.

(2)PO_L平面A3C。，；.PD.LBC.

又BCLCD,...BCJ■平面PCD

DE平面PCD,DE±BC.

又PD=CD,E為PC中點(diǎn)，

:.DELPC從而。石_L平面PBC.

...力是平面P3C的一個(gè)法向量.

由（1）可知或/=￡b,

二.成僦是平面PBC的一個(gè)法向量.

規(guī)律方法直線的方向向量有無數(shù)個(gè)，它們之間互相平行；平面

的法向量也有無數(shù)個(gè)，它們之間也都互相平行且都垂直于平面.而過

空間某點(diǎn)作直線的方向向量或平面的法向量時(shí)，可利用線面平行及線

面垂直等相關(guān)知識，在該點(diǎn)處作出直線的平行線或平面的垂線即可.

如圖，在正方體ABCQ-43CQ1中，E,尸分別是棱A3,441的

中點(diǎn).

（1）分別給出平面ABCD,平面ADDiAi的一個(gè)法向量;

⑵寫出平面ASG。的法向量，你能寫出幾個(gè)？

（3）圖中與向量訪共線的向量有哪些?

解：（1）平面ABCO的法向量可以是：All,就（Ti,應(yīng)＞i或國1,

R方，CtC,力力這8個(gè)向量中的任意一個(gè).

平面ADOAi的法向量可以是：油，力箱1,力^或麗，Cb,

B^A\,Gbi這8個(gè)向量中的任意一個(gè).

(2)由正方體的性質(zhì)可知E尸〃CDi,項(xiàng)」平面ABiGQ,CDJ平

面ABGD,平面AB1GZ)的法向量可以是：歐,Cb\,前,曲.

(3)題圖中與向量質(zhì)共線的向量有：前1,成，庵.

提局篇TIGAOPIAN自我超越

易錯警示

對向量概念理解的錯誤

【例4】下列命題中正確的是()

A.若。與力共線，?與c共線，則a與c共線

B.向量a,b,c共面即它們所在的直線共面

C.零向量沒有確定的方向

D.若。〃兒則存在唯一的實(shí)數(shù)九使”=我

【誤解】A(或B或D)

【正解】在選項(xiàng)A中，若方=0,則結(jié)論不成立；在選項(xiàng)B中，

向量共面與直線共面的不同點(diǎn)在于三個(gè)向量中的一個(gè)向量所在直線

與另兩個(gè)向量所在平面平行時(shí)，三個(gè)向量所在的直線雖然不共面，但

這三個(gè)向量是共面的；選項(xiàng)D中，若"=)=()時(shí)，有無數(shù)個(gè)4滿足等

式，而不是唯---個(gè)；若b=0,aWO,則不存在義使。=勸.

【答案】C

銃植II溷4

下列說法中正確的是(B)

A.若⑷=|〃|,貝lja、b的長度相同，方向相同或相反

B.若向量a是向量方的相反向量，則⑷=|。|

C.如果兩向量平行，則向量相等

D.在四邊形ABCD中，一定有油

解析：A項(xiàng)，⑷=|。|,只表示。，方的長度相同，而方向不確定；

C項(xiàng)，兩向量平行，不能說明兩向量相等；D項(xiàng)，在平行四邊形中具

有該項(xiàng)結(jié)論.

【例5】下列命題是真命題的序號是.

①向量加與6是共線向量，則4、B、C、。四點(diǎn)必在一條直線

上；

②向量協(xié)與疵是共線向量，則A、B、C必在一條直線上.

【誤解】①②

【正解】命題①為假命題，因?yàn)榍?兩個(gè)向量所在的直線

可能沒有公共點(diǎn)，所以四點(diǎn)不一定在一條直線上；命題②為真命題，

因?yàn)槟X、加兩個(gè)向量所在的直線有公共點(diǎn)A,所以三點(diǎn)共線.故填

②.

【答案】②

錨朔II瀾5

F列命題是真命題的是（D）

A.分別表示空間向量的有向線段所在的直線是異面直線，則這

兩個(gè)向量不是共面向量

B.方向相反的向量是相反向量

C.若向量恁，⑦滿足|曲|>|仍|,且屈與⑦同向，則屈〉⑶

D.若兩個(gè)非零向量恁與⑦滿足協(xié)+6=0,則油〃⑶

解析：A項(xiàng)向量可以平移到一個(gè)平面；B項(xiàng)方向相反，大小相

等的向量為相反向量；C項(xiàng)，向量不能比較大小.

希|爾.鞏困篇GONGGUPIAN當(dāng)堂演練

1.油=仍的一個(gè)必要不充分條件是（C）

A.A與C重合B.4與C重合，8與。重合

C.|曲|=|&）|D.A、B、C、。四點(diǎn)共線

解析：向量相等只需方向相同，長度相等，而與表示向量的有向

線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)位置無關(guān).表示兩個(gè)共線向量的兩個(gè)有向線段所在

的直線平行或重合，不能得到四點(diǎn)共線.

2.在等腰直角三角形A3c中，角8為直角，則〈沈，CX）等

于（B）

A.45°

B.135°

C.45?；?35°

D.不確定

解析：如圖，嚴(yán)格利用向量夾角定義，過空間一點(diǎn)作出兩向量，

明確夾角.

3.在正方體ABCQ-AiBGQi中，平面ACGAi的法向量是（A）

A.BDB.JBCI

C.BT）\D.A18

解析：由正方體性質(zhì)可知平面ACGAi,故劭為其法向量.

4.與向量a共線的單位向量有2或者無數(shù)個(gè).

解析：當(dāng)Q是零向量時(shí)，任何單位向量都與之共線；當(dāng)4是非零

向量時(shí)，只有方向相同或者相反的兩個(gè)單位向量與向量Q共線.

5.如圖，在長、寬、高分別為AB=5,AD=3,44i=4的長方

體ABCD-AxBxCxDx的8個(gè)頂點(diǎn)中，任選兩點(diǎn)作為起點(diǎn)和終點(diǎn)構(gòu)成一

個(gè)向量，在這些向量中哪些向量.

(1)與向量曲平行；

(2)與向量加相反；

(3)是平面ABBAi的法向量.

解：(1)與向量疝平行的向量有：覺，氏右，出力1,￡)^1,GBi,

CB,DA,共7個(gè).

(2)與向量加相反的向量有明，cb,祈丸，obi,共4個(gè).

(3)平面AB814的法向量有才力，Bt,歷d，A力1,D^Ai,GBi,

CB,血，共8個(gè).

§2空間向量的運(yùn)算

，-----------學(xué)習(xí)目標(biāo)-------------------------------重點(diǎn)難點(diǎn)----------------

1.會用圖形說明空間向量加法、咸法、數(shù)乘向量及它們重點(diǎn)：空間向量的加法與數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律的理

的運(yùn)算律.解?數(shù)量積的求法.

2.會利用空間兩個(gè)向量共線的充要條件解決有關(guān)問題.難點(diǎn)：應(yīng)用向量進(jìn)行有關(guān)計(jì)算的符號.

3.能夠利用空間向量的數(shù)量積的定義求兩個(gè)向量的數(shù)疑點(diǎn)：數(shù)量積的結(jié)果是數(shù)，可以比較大小，可正，可

量積.負(fù)，可為0.

m頸2篇YUXIPIAN新知導(dǎo)學(xué)

細(xì)讀課本

知識點(diǎn)一空間向量的加減法

［填一填］

(1)設(shè)。和力是空間兩個(gè)向量，過一點(diǎn)。作。和b的相等向量8

和防，根據(jù)平面向量加法的平行四邊形法則，平行四邊形的對角線

0c對應(yīng)的向量元就是a與b的和，記作a+b.

(2)與平面向量類似，a與b的差定義為a+(—。)，記作“一兒其

中一b是b的相反向量.

(3)空間向量加法和減法的運(yùn)算律與平面向量的運(yùn)算律相同，表

示如下：

①結(jié)合律(a+8)+c=a+(8+c)；

②交換律a+：=b+a

［答一答］

利用空間圖形驗(yàn)證空間向量滿足結(jié)合律.

提示：如圖所示，作歷l=a,AB=b,BC=c,

c

則(a+b)+c=(次+油)+覺=循+沈=覺,

a+S+c)=^l+(循+南=9+疵=宓

1.(a+A)+c=a+S+c).

知識點(diǎn)二空間向量的數(shù)乘

［填一填］

(1)空間向量a與一個(gè)實(shí)數(shù)A的乘積是一個(gè)向量,記作區(qū).滿足：

①I加=|2同；

②當(dāng)2>0時(shí)，2a與a方向相同;

當(dāng)A<0時(shí)，2a與a方向相反;

當(dāng)2=0時(shí)，〃=。.

(2)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算律與平面向量的數(shù)乘運(yùn)算律相同，表示

如下：

①2a=@￡R)；

②>2(。+■)=〃+勸,(2+〃)a=2a+〃a(/j.￡R,//GR)；

③//￡R).

(3)空間兩個(gè)向量a與伙6。0)共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)九使

得a—Xb.

［答一答］

設(shè)劭，C2不共線，且初|+"2=0,那么你能夠得到什么結(jié)論?

提示：丸=〃=0.(否則e］旌2,與勿，02不共線矛盾)

知識點(diǎn)三空間向量的數(shù)量積

［填一填］

(1)由于空間任意兩個(gè)向量經(jīng)平移后都可以在同一個(gè)平面內(nèi),因

此，空間兩個(gè)向量。和?的數(shù)量積和平面中的情形完全一樣，即空間

兩個(gè)向量Q和力的數(shù)量積是一個(gè)數(shù),等于I。卜固cos〈a,b〉,記作a協(xié).

(2)空間向量的數(shù)量積與平面向量的數(shù)量積具有同樣的運(yùn)算律.

①交換律：ab=b-a；

②分配律：a(b-\-c)=ab-\-ac；

③2(al)=(2a)山々￡R).

(3)和平面向量一樣，利用空間向量的數(shù)量積，可以得到以下結(jié)

論：

①lal='函;

②a_1_bQa,b=0；

a,b

③cos{a,b)=百荷(。#0,br0).

(4)對于任意一個(gè)非零向量a,我們把3叫作向量a的單位向量,

記作a(),a()與a同方向.

［答一答］

三個(gè)向量a,b,c均不為0,則等式OA>C=G?("c)成立嗎？

提示：不成立，因"c是一個(gè)數(shù)，(a7>c與c共線，a(be)

與a共線，故它們不表示同一個(gè)向量.

?I特別關(guān)注

1.(1)在麗=池一防中，0并不一定是原點(diǎn)，它可以是空間中

的任意一點(diǎn)，也就是說對任意點(diǎn)0,都有明=池一防.

(2)有限個(gè)向量求和，交換相加向量的順序其和不變.

(3)三個(gè)不共面的向量的和等于以這三個(gè)向量為鄰邊的平行六面

體的對角線所表示的向量.

2.(1)關(guān)于空間向量的數(shù)乘應(yīng)注意：①觴(2￡R)仍為向量；②0s

=0;0—0.

(2)在運(yùn)用空間向量的運(yùn)算法則化簡向量表達(dá)式時(shí)，要結(jié)合空間

圖形，分析各向量在圖形中的表示，然后運(yùn)用運(yùn)算法則，把空間向量

轉(zhuǎn)化為平面向量解決，并要化簡到最簡為止.

3.關(guān)于空間向量的數(shù)量積的幾個(gè)注意點(diǎn)：

(1)兩個(gè)空間向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，要注意09=0(。為任意

向量).

(2)數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即

(3)空間向量數(shù)量積的幾個(gè)結(jié)論的作用：①用于對向量模的計(jì)算;

②用于判斷空間兩個(gè)向量的垂直；③可以幫助我們求兩個(gè)向量的夾

角；④用于不等式的證明.

4.向量中應(yīng)該重視的問題：

(1)空間向量的加法、減法、數(shù)乘向量的意義及運(yùn)算律與平面向

量類似，這些運(yùn)算不但適合學(xué)過的代數(shù)運(yùn)算律，而且很多性質(zhì)與實(shí)數(shù)

性質(zhì)相同.

(2)兩個(gè)向量數(shù)量積的性質(zhì)的作用：

①可以求兩個(gè)向量的夾角；

②用于判斷空間兩個(gè)向量垂直；

③主要用于對向量模的計(jì)算.

(3)利用向量解立體幾何問題的一般方法：把角度或線段轉(zhuǎn)化為

向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通過向量的運(yùn)算或證明解

決問題.

(4)用空間向量解決立體幾何中的平行或共線問題，一般用向量

共線定理；解決兩點(diǎn)距離或線段長度問題，一般用向量的模；求異面

直線的夾角問題，一般可化為兩向量的夾角，但要注意兩種角范圍不

同，最后應(yīng)注意轉(zhuǎn)化；解決垂直問題，一般可化為向量的數(shù)量積為零.

g課堂篇KETANGPIAN---------------------------------合作探究

題型一空間向量的加法、減法

【例1】已知4BCO為正方形，尸是ABCQ所在平面外一點(diǎn)，

P在平面A8CD上的射影恰好是正方形的中心O,Q是CD的中點(diǎn)，

求下列各題中x，y的值：

(1)而=用+工用+海；

(2)^=xPb+yP^+Pb.

【思路探究】要確定等式區(qū)=池+工用+y或中x,y的值，

就是看而怎樣用用，PC,送來表示，同理要確定(2)中的1,y的值,

也需把慶用劭，通,及表示出來即可.

【解】⑴如圖.

D

'：o^2=p^-pb

=&一：(或+無)

=甩一料一;無，

1

..x=y=—y

（2），.,慶+定=2叫.,.成=2用一元

又\?卮+加=2故：.Pt=2P^~Pb.

從而有國=2劭一（2&一防）

=2Pb~2P^+Pb

??/=2,y==-2.

規(guī)律方法注意下面結(jié)論：設(shè)a,。，c是三個(gè)不共面的向量，如

果xia+yiZ>+zic=X2G+y2，+z2C,那么必有了i=%2,yi=y2,zi=z2.

窗El

如圖，在正方體A8CD-A方中，點(diǎn)￡是上底面AEC。的中

心，求下列各式中的％,y,z的值:

^A^'^xAb+y^B+zAk'.

（2）苗=H!）+yA^+z血

解：（1）撫，=疵+代，=油+疝+蓊，，

又位=%疝+避+為即,

x=1jy=1?z=1.

（2）屈=/，+檢=翁，+；死，=/'+；（/（方+何，）=翁，+；（油

+助）油

又或=一屈=-；助-Al，，E\=xAb-]-yA^-{-zAA',

??x=-2，y=-25z=-1.

題型二空間向量的數(shù)乘

【例2】如圖，點(diǎn)E,F,G,"分別是空間四邊形A3CO的邊

AB,BC,CD,D4上的點(diǎn)，其中E,”是中點(diǎn)，F(xiàn),G是三等分點(diǎn)，

且CF=2所，CG=2GD求證：的與晶為共線向量.

【思路探究】要證的與希共線，根據(jù)共線向量定理只要證明

西=2前即可.

【證明】,:E,〃分別是AB,AD的中點(diǎn)，

Eh=^H~XE=^Ab-j^B

1—一1-

=2（AD—A5）=2^￡>.

又?：CF=2FB,CG=2GD,

.,.#=|西c&=|cb.

:.Fb=cb-CF=^cb-l^B

=|（cb—C!B）=|BT）.

3_

：.Bb=^Fb.

：.Eh=^Fb.

.?.曲與質(zhì);為共線向量.

規(guī)律方法（1）判定向量共線就是充分利用已知條件找到實(shí)數(shù)九

使4=勸成立，或充分利用空間向量的運(yùn)算法則，結(jié)合具體圖形，通

過化簡、計(jì)算得出”=勸，從而得到?！▋?/p>

（2）共線向量定理還可用來判定兩直線平行、證明三點(diǎn)共線.在

證明兩直線平行時(shí)，先取兩直線的方向向量，通過證明此兩向量共線

來判定兩直線平行.當(dāng)兩共線的有向線段有公共點(diǎn)時(shí)一，兩直線即為同

一直線，即此時(shí)三點(diǎn)共線.

銃對訓(xùn)瀾2

已知空間四邊形ABC。，E,F,G,H分別是43,BC,CD,DA

的中點(diǎn).求證：四邊形MG”為平行四邊形.

證明：如圖，連接8D,

解法1:E,”分別是AB,DA的中點(diǎn),

.\AE=^AB,Ah=^Ab,

：.曲=而一腦=；（初一協(xié)）

=^BD.

同理可得前=；肋，：.Ek=Fb.

又點(diǎn)后不在FG上,

:.EH〃FG且EH=FG.

I.四邊形EFGH為平行四邊形.

解法2:,血=月力+而=；(A力+員7)=；疵，EF=EB+BF=^

(牯+病)=次，.?.后6=彷.又點(diǎn)H不在EF上，J.HG//EF且HG

=EF,

：.四邊形EFGH是平行四邊形.

題型三空間向量的數(shù)量積

【例3】如圖所示，在長方體ABCDAiBGOi中，AB=4,AD

=3,A4i=2,E為側(cè)面A3的中點(diǎn)，尸為Ai￡h的中點(diǎn)，試計(jì)算：

⑴肥西(2)呼.?。?/p>

(3)EFFdi.

【思路探究】長方體的棱對應(yīng)的向量模長已知，且它們之間的

夾角已知，因此，可利用向量的線性運(yùn)算，將其他向量的數(shù)量積運(yùn)算

轉(zhuǎn)化為這些向量的數(shù)量積，從而達(dá)到簡單運(yùn)算的目的.

【解】設(shè)油=a,AD=b,AA\=C,則⑷=4,|例=3,|C|=2,

ab=ac=bc=0.

(1)JB&￡^I=Z>[^(C—?)+Z>]=1z>c—^?Z>+Z>2=|Z>|2=9.

(2)BF-A^i=(c—?+^Z>)-(a+c)=?-c+c2-a2—

c2—(r=—12.

11l111

f^^--

Fcl2-2-z.044

11

A2-2

力23

2-+-44

2a

規(guī)律方法在空間圖形中計(jì)算數(shù)量積的方法步驟：

(1)在幾何體中求空間向量數(shù)量積的步驟：

①將相關(guān)向量用已知模和夾角的向量線性表示；

②利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開，轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量

的數(shù)量積；

③代入G6=|G||A|COS〈a,b)求解.

(2)長方體、四面體等是研究空間向量的常見載體，要熟悉其結(jié)

構(gòu)特點(diǎn)，善于挖掘隱含的垂直或特殊角等.

如圖，已知E是正方體A8CDA1B1G。的棱G9的中點(diǎn)，試求

向量4亳與麻夾角的余弦值.

解：設(shè)自=。，Aib\=b,A\A=c,則A；d=a+〃，防=；。一c,

ab=ac=bc=O.

設(shè)正方體的棱長為m,

、行

則|否6|=也相，及|=看m.

Aiti-龐=(a+5)?俁—c)

=^\a\1—a-c-\-^a-b-b-c=^m2,

*9

2m麗

cos（AiCi,DEy=后--=J。.

\l2m-2,n

故向量4而'i與建1夾角的余弦值為

庇具扁TIGAOPIAN-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------自我超越

——多維探究——

待定系數(shù)法

用不共面的向量表示空間的其他向量，一般要用向量的加法、

減法、數(shù)乘的運(yùn)算法則，包括加法的平行四邊形法則和三角形法則.

【例4】已知矩形ABC。，P為平面ABCO外一點(diǎn)，且用，平

ffiABCD,M,N分別為PC,PO上的點(diǎn)，且PMMC=,N為

中點(diǎn)，求滿足血=■+汨）+z^A的實(shí)數(shù)％,y,z的值.

【思路分析】結(jié)合圖形，從向量麗V出發(fā)，利用向量運(yùn)算法則

不斷進(jìn)行分解，直到目標(biāo)向量用油，Ab,亦表示出來，即可求出工,

y,z的值.

【解】（方法一）如圖所示，取PC的中點(diǎn)E,連接NE,則硒=

E^-EKI.

,:域=；Cb=3/

=-；版EM=PKl-fE

連接AC,則無=杭一仆=油+中一油，

：.MN=-1AB-1（AS+Ab-AP）

911

=一.油一zAb+7■油，

366

.21_1

??%__§，不z_—

（方法二）如圖所示，在產(chǎn)力上取一點(diǎn)尸，使尸分可）所成的比為2,

連接則麗V=橋+司V,

22

而祈穴=3份=-利瓦

F^=^N~^F=^DP~^DP

=:濟(jì)=/（介-疝），

A21［一

，g=——TAZ）+TAP.

366

._2_1_1

??X——3,y——6,z_g

（方法三）如圖，疝v=兩一成;

=；（或+疝）一|（國+At）

112A3於

=力,（-仆+能+通）

711

=—rAfi—yAb+TAP,

366

211

-

X--y--一Z--

*36

6?

專％II瀾4

已知空間四邊形Q43C的棱04OB,8C互相垂直，0A=03

="=1，N是。。的中點(diǎn)，點(diǎn)M在A5上，若端=%,試探究”的

值，使MNLAA

解：如圖，由于瑞=%

則篦7=”

，麗=(］一%防+%血

麗/龍耳物十南,

麗2?一血=抽+坡一(1-%肪一%仍

=(%—1)勿1+g—%)及+g反?.

又腦=防一歷1,MN.LAB,

:.弧?矗=0,

即口一1肪十七一%)協(xié)+坡］.(-5+附=0.

?.?次，麗,覺互相垂直且它們長度為1,從而求;一%+1—x=0,

歹3

付l=不

聯(lián)kIR國篇GONGGUPIAN當(dāng)堂演練

1.如圖，在正方體ABCO-AiBiG。中，向量表達(dá)式防1一油十

能化簡后的結(jié)果是(

A.BDIB?B

C.B^DD.mi

解析：Db\-AB+B(2=Db\+{B\+B(J)=Dbx-\-Bb=Bbx.

2.設(shè)⑷=1,|回=2,且〈a,b)=120。，則(2a+6)2=(D)

A.2事B.12

C.2D.4

解析：(2。+32=4。2+4。1+"=4+4XlX2Xcosl20°+4=4.

3.已知非零向量a,力不平行，并且⑷=|。|,則與”一方之

間的位置關(guān)系是垂直.

解析：(a+b>(a—b)=a2—b2=0,

(a+Z>)J-(?—b).

4.已知在空間四邊形OABC中，OB=OC,AB=AC,求證：OA

LBC.

證明：如圖.

'：OB=OC,

AB=AC,OA=OA.

：./\AOC^/\AOB,

：.ZAOC=ZAOB.

?.?醇.能=次?（龍一循）=次.龍.循=|次||求IcosN

40。一|阿?兩cosNAOB=0,

：.^A±Bt,FpOA.LBC.

§3向量的坐標(biāo)表示和空間向量基本定理

3.1空間向量的標(biāo)準(zhǔn)正交分解與坐標(biāo)表示

3.2空間向量基本定理

Z---------------------------------學(xué)習(xí)目標(biāo)----------------------------------重點(diǎn)睚點(diǎn)-----------------

1.能記住空間向量基本定理及其意義.

2.能說出空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.:重點(diǎn)：空間向量的坐標(biāo)表示.

3.會用一組基底表示向量,能計(jì)算一個(gè)向量在另一：難點(diǎn)：將平面向量的坐標(biāo)表示推廣到空間向量.

個(gè)向量上的投影.|

\______________________________：_______________________________?

4m.9為篇YUXIPIAN新知導(dǎo)學(xué)

細(xì)讀課本

知識點(diǎn)一空間向量的標(biāo)準(zhǔn)正交分解與坐標(biāo)表示

［填一填］

(1)在給定的空間直角坐標(biāo)系中，令i,j,無分別為X軸，y軸，Z

軸正方向上的單位向量,對于空間任意向量。，存在唯一一組三元有

序?qū)崝?shù)(%,y,z),使得a=xi+M+zA.我們把a(bǔ)—xi-\-yj+zk叫作a的

標(biāo)準(zhǔn)正交分解,把i,j,左叫作標(biāo)準(zhǔn)正交基.

(2)(%,y,z)叫作空間向量a的坐標(biāo)，記作a=(x,y,z).a=(x,

y,z)叫作向量a的坐標(biāo)表示.在空間直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(%,

y,z),向量由的坐標(biāo)也是(%,y,z).

［答一答］

空間點(diǎn)的坐標(biāo)和空間的點(diǎn)為何是一一對應(yīng)的？

提示：在空間直角坐標(biāo)系中，過空間點(diǎn)M向平面xOy引垂線，

有且只有一條，設(shè)垂足為N,而N在xOy面內(nèi)的橫縱坐標(biāo)都是唯一

的，所以空間點(diǎn)的坐標(biāo)和空間點(diǎn)是一一對應(yīng)的.即在空間直角坐標(biāo)系

0-孫z中，對空間任一點(diǎn)存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(X,y,z),使血

=xi-\-yj-\-zk,x叫橫坐標(biāo)，y叫縱坐標(biāo)，z叫豎坐標(biāo).如圖.

M(x,y,z)

N(x,y,0)

知識點(diǎn)二向量a在向量b上的投影

［填一填］

一般地，若6()為分的單位向量，稱。?瓦)=|a|-cos〈a,b)為向量

。在向量方上的投影.可見，向量的坐標(biāo)等于它在坐標(biāo)軸正方向上的

投影.

［答一答］

求證：向量的坐標(biāo)等于它在坐標(biāo)軸正方向上的投影.

提示：設(shè)4=蘇+力+2左，

.\ai=xii-\-yji~\-zki,

由于i_Lj,k±i,：.ij=0,ki=0,

.'.ai=x,同理ak=z.

知識點(diǎn)三空間向量基本定理

［填一填］

(1)如果向量3,C2,C3是空間三個(gè)不共面的向量，G是空間任一

向量，那么存在唯---組實(shí)數(shù)無，不，心，使得a=X\e\+hei+^e3.

空間中不共面的三個(gè)向量力，。2,63叫作這個(gè)空間的一個(gè)基底.2⑻

+義202+2363表示向量4關(guān)于基底幻，02,03的分解.

(2)特別地，當(dāng)向量為，C2,63兩兩垂直時(shí)，就得到這個(gè)向量的一

個(gè)正交分解.當(dāng)e1=i,e2=j,03=左時(shí)，就是標(biāo)準(zhǔn)正交分解.

[答一答]

求證：滿足々=為.+2202+^303中的21,石，■是唯一的.

提示：設(shè)a=2/ei+22'e2+23'e3,

又a=X\e\+2262+2363,

/.AlCl+丸202+2363=九'61+22'62+義3’63,

:.(21-21')ei+“2-石')02+-3-丸3‘)。3=0,

又?.7],62,03是空間三個(gè)不共面的向量，

Ai，=/ll,^.2=^2,^3，=^3,

即九，A2,■是唯一的.

?|特別關(guān)注

1.關(guān)于空間向量的標(biāo)準(zhǔn)正交分解與坐標(biāo)表示的幾個(gè)注意點(diǎn)：

(1)投影a?加=|a|cos｛a,b)是一個(gè)實(shí)數(shù).

兀

①若〈a,b)G[0,2)?則。如＞。；

7T

②若〈a,b)=1,則abo=O；

jr

③若(a,b)G(-,TI],則很加＜0.

(2)建立坐標(biāo)系時(shí)一，應(yīng)注意點(diǎn)。的任意性，原點(diǎn)O的選擇要便于

解決問題，既有利于作圖的直觀性，又要盡可能地使各點(diǎn)的坐標(biāo)為正.

2.空間向量基本定理說明：

(1)用空間三個(gè)不共面的已知向量組｛⑨，02,03｝可以線性表示出

空間任意一向量，而且表示的結(jié)果是唯一的.

(2)空間任意三個(gè)不共面的向量都可以作為空間向量的一個(gè)基

底.

(3)由于0可看作是與任意一個(gè)非零向量共線，與任意兩個(gè)非零

向量共面，所以三個(gè)向量不共面，就隱含它們都不是0.

要明確：一個(gè)基底是一個(gè)向量組，一個(gè)基向量是指基底中的某一

個(gè)向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同概念.

3.特殊向量的坐標(biāo)表示：

若向量。平行x軸，則a=(%,0,0).

若向量a平行y軸，貝ija=(0,y,0).

若向量。平行z軸，則a=(0,0,z).

若向量a平行％Oy平面，則a=(%,y,0).

若向量a平行yOz平面，則a=(0,y,z).

若向量a平行zQx平面，則a=(%,0,z).

喧課堂篇KETANGPIAN合作探究

題型一空間向量的坐標(biāo)表示

【例1】如圖所示，已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,

M,N分別是AB,PC的中點(diǎn)，并且B4=AQ=1.求前，河的坐標(biāo).

建立空間直求的標(biāo)準(zhǔn)

【思路探究】

角坐標(biāo)系正交分解式

【解】由題意可知B4=AO=48=1,且朋_L平面AC,ADA-

AB,不妨以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，其中疝=i,AB=

j,Ap=k.AKl=^B=^j,歡=#+兩=力+；無=崩+；（慶+協(xié)+

111

5，V

力

規(guī)律方法用坐標(biāo)表示空間向量的一般步驟：

(1)找垂線：仔細(xì)觀察圖形特征，尋找兩兩垂直的三條直線.若

無，則需構(gòu)造兩兩垂直的三條直線；

(2)取基底：取(1)中找出的三條直線的單位方向向量為基底；

(3)建坐標(biāo)系：根據(jù)圖形特征建立空間直角坐標(biāo)系；

(4)進(jìn)行計(jì)算：綜合利用向量的加減及數(shù)乘運(yùn)算；

(5)確定結(jié)果：確定目標(biāo)向量的坐標(biāo).

針對訓(xùn)愕期11

如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有長方體OABCORbC,且Q4=6,

OC=8,OO'=5.

(1)寫出點(diǎn)9的坐標(biāo)，并給出防，關(guān)于i,j,A的標(biāo)準(zhǔn)正交分解式;

(2)寫出的坐標(biāo).

解：(1)因?yàn)镺A=6,OC=8,OO'=5,所以點(diǎn)3,的坐標(biāo)為(6,8,5),

從而防'=(6,8,5)=6i+町+54.

(2)因?yàn)辄c(diǎn)。的坐標(biāo)是(0,8,5),所以沅'=(0,8,5).

題型二空間向量基本定理

【例2】如圖，已知出_L平面A3CQ,四邊形A8CQ為正方形,

G為△PDC的重心，AB=i,AD=j,AP=k,試用基底｛i,j,幻表示

向量化,Bb.

【思路探究】利用三角形法則，平行四邊形法則將向量Bb

2

用油，Ab,力來表示.由于點(diǎn)G為△PQC的重心，所以有PG=^PN.

901

【解】兩=大兩=于5(卮+加)]

=/成+油+疝+疝一硝

=|A^+|AI)—

=g+務(wù)—泉

而=求+西+祐

=武+的+;海

=Ab—^DC—^P^I

規(guī)律方法用基底表示空間向量，一般要用向量的加法、減法、

數(shù)乘的運(yùn)算法則，及加法的平行四邊形法則，加法、減法的三角形法

則.逐步向基向量過渡，直到全部用基向量表示.

錯知II瀾2

如圖所示，在平行六面體ABCQ-AEC。中，A^=a,Ab=b,AA'

=c,P是C4的中點(diǎn)，M是C。的中點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，點(diǎn)。在

C4上，且CQQA'=,用基底｛a,b,c｝表示以下向量.

（1）AP；（2）詢；（3）歡；（4）&.

解：連接AC,AD'.

⑴力=；（疵+而）=；瀛+A方+何

=；（a+5+c）.

⑵前/=g（杭+/0，）=；（a+2A+c）

1,,,1

=于十5+產(chǎn)

⑶歡=；（房+辦

=2[(油+疝+翁，)+(協(xié)+成/

=；a+~+c.

(4)破=疵+詼=疵+如，

=At'+|(A^,-At)

=；杭+,筋，=/循+疝)+,筋，

_1,1,,4

一鏟+?+聲

題型三空間向量基本定理的簡單應(yīng)用

【例3】如圖所示，平行六面體A8CD-A1B1GO1中，E,F分

12

別在B山和AO上，且BE.BBi,DF=^DDx.

(1)證明：A、E、G、廠四點(diǎn)共面；

(2)若麗=JtA^+yAl)+z筋1,求％+y+z.

【思路探究】第⑴問要證明四點(diǎn)共面只需證明瓶”可用造，

A7r表示即可；第(2)問中求％+y+z只需先把辟用At),表不

出來，求出入、y、z,再求x+y+z.

【解】(1)證明：?.?段|=油+才力+/Q]

>A12一

=AB~\~Ab+^AA\

—12-?

=（A^+^TOI）+（AI）+^A1I）

=AB+BE+AD+DF=XE-￥XF,

，A、E、Ci>F四點(diǎn)、共面.

⑵，.,呼=辦一他

=中+加一（油+雇）

f2f—?]

=AD-\-^pb\

=—A百+Ab+|y4Ai,

?*?x=-1,y=1?z=q.

.??x+y+z=g.

規(guī)律方法證明三個(gè)向量共面.，直線與平面平行或直線在平面內(nèi),

四點(diǎn)共面，都要利用共面向量定理，即對于向量P來說是否存在工,

y,使p=%a+y。成立.

銃而Oa3

已知A,B,C三點(diǎn)不共線，平面ABC外的一點(diǎn)M滿足血=；血

（1）判斷加，而瓦碇三個(gè)向量是否共面；

（2）判斷點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi).

角星：（D；次+怎+抗=3而，

.,例一曲=（而一曲+（血一困.

.?.必=麗+曲=一訕一砒.