2025年山東省青島市城陽區(qū)和嶗山實(shí)驗(yàn)聯(lián)考九年級(jí)中考數(shù)學(xué)模擬題（解析版）

2025年中考模擬題一、單選題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1.下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義，掌握軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義以及認(rèn)真觀察圖形是解題的關(guān)鍵．根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A.是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形，故不符合題意；B.既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，故符合題意；C.是中心對(duì)稱圖形，但不是軸對(duì)稱圖形，故不符合題意；D.既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故不符合題意．故選：B．2.的倒數(shù)是（）A.2023 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)，掌握倒數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)倒數(shù)定義即可求解．【詳解】解：，的倒數(shù)是，故選：D．3.下列幾何體中，主視圖（主視圖也稱正視圖）和俯視圖形狀不相同的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖，根據(jù)從正面看得到的圖形是主視圖，從上面看得到的圖形是俯視圖，可得答案，掌握三視圖的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】A、主視圖、俯視圖都是等腰三角形，故A不符合題意；B、主視圖、俯視圖都是矩形，故B不符合題意；C、主視圖、俯視圖都是矩形，故C不符合題意；D、主視圖是兩個(gè)相鄰的矩形、俯視圖是三角形，故D符合題意；故選：D．4.據(jù)共青團(tuán)中央2023年5月3日發(fā)布的中國共青團(tuán)團(tuán)內(nèi)統(tǒng)計(jì)公報(bào)，截至2022年12月底，全國共有共青團(tuán)員7358萬．?dāng)?shù)據(jù)7358萬用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A.7.358×107 B.7.358×103 C.7.358×104 D.7.358×106【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，表示較大的數(shù)，利用科學(xué)記數(shù)法的法則解答即可．【詳解】解：7358萬，故選：A．5.如圖，的斜邊在y軸上，，含角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，直角頂點(diǎn)C在第二象限．若將繞著原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到，則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用含的直角三角形三邊的關(guān)系得到，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，，然后利用第四象限點(diǎn)的坐標(biāo)特征寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：如圖：旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)在x軸上，點(diǎn)在第四象限，∵將繞著原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到∴，．∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，圖形或點(diǎn)旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來求出旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)的坐標(biāo)．6.如圖所示，直線，直線c與直線a，b分別交于點(diǎn)D，E，射線直線c，若，則的度數(shù)是（）

A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，由平行線的性質(zhì)可得：，由垂直的定義可求出的度數(shù)，即可求得．熟記平行線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，∵直線c，∴，∵，∴，∴．故選：D．7.實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡(jiǎn)后為（）A.7 B. C. D.無法確定【答案】A【解析】【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)和絕對(duì)值，首先根據(jù)數(shù)軸得到a的范圍，從而得到與的符號(hào)；然后利用二次根式的性質(zhì)和絕對(duì)值的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸得：，∴，∴．故選：A．8.如圖，是正五邊形的內(nèi)切圓，分別切，于點(diǎn)M，N，P是優(yōu)弧上的一點(diǎn)，則的度數(shù)為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)正多邊形內(nèi)角和公式求出，根據(jù)切線的定義得出，進(jìn)而可得，再根據(jù)圓周角定理可得．【詳解】解：五邊形是正五邊形，，切，于點(diǎn)M，N，，又五邊形的內(nèi)角和為，，，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形內(nèi)角和問題，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是掌握多邊形內(nèi)角和公式．9.如圖，點(diǎn)是矩形的對(duì)角線的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，，則的長為（）A.5 B.4 C. D.【答案】D【解析】【分析】已知是的中位線，再結(jié)合已知條件則的長可求出，所以利用勾股定理可求出的長，由直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)則的長即可求出．【詳解】解：∵是矩形的對(duì)角線的中點(diǎn)，∴，∵四邊形是矩形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴是的中位線，∵，∴，∵，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)以及三角形的中位線的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出的長．10.已知在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為邊BC與CD上的點(diǎn)，且，AE與AF分別交對(duì)角線BD于點(diǎn)M、N．則下列結(jié)論：①；②；③；④正確的有（）A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)【答案】B【解析】【分析】（1）如圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到B=DF，A=AF，∠BA=∠DAF，得到∠EA=∠EAF=45°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到E=EF，∠AEB=∠AEF，于是得到BE+B=BE+DF=EF，故①正確；證明△得結(jié)合∠可證明△，故可判斷②正確；把△AND按順時(shí)針繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°，可證明是直角三角形，再證明△得，再根據(jù)勾股定理可證明，從而可判斷③正確；證明△得，故可得，從而可判斷④錯(cuò)誤【詳解】解：①如圖，把△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AB，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，B=DF，A=AF，∠BA=∠DAF，

∵∠EAF=45°，

∴∠EA=∠BA+∠BAE=∠DAF+∠BAE=90°-∠EAF=45°，

∴∠EA=∠EAF=45°，

在△AEF和△AE中，

∴△AEF≌△AE（SAS），

∴E=EF，

∴∠AEB=∠AEF，

∴BE+B=BE+DF=EF，

故①正確；②∵，∴△∴又∵∠∴△故②正確③把△AND按順時(shí)針繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°，∴，∵∠ABD=45°∴∠∴是直角三角形，同理可證：△，∴∴故③正確；④連接AC，∵∠∴∠∵∠∴△∴∴．故④錯(cuò)誤，所以，正確的結(jié)論有3個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟記各性質(zhì)并利用旋轉(zhuǎn)變換作輔助線構(gòu)造成全等三角形是解題的關(guān)鍵．二、填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11.計(jì)算的結(jié)果等于_________．【答案】【解析】【分析】本題考查了整式的混合運(yùn)算，根據(jù)積的乘方、同底數(shù)冪的乘法、合并同類項(xiàng)法則，求解即可．【詳解】解：，故答案為：．12.甲、乙兩隊(duì)參加“傳承紅色基因，推動(dòng)綠色發(fā)展”為主題的合唱比賽，每隊(duì)均由20名隊(duì)員組成．其中兩隊(duì)隊(duì)員的平均身高為，身高的方差分別為，．如果單從隊(duì)員的身高考慮，你認(rèn)為演出形象效果較好的隊(duì)是________．（填“甲隊(duì)”或“乙隊(duì)”）【答案】乙隊(duì)【解析】【分析】根據(jù)方差的定義，方差越小數(shù)據(jù)越穩(wěn)定，即可得出答案．【詳解】∵，，，∴，∴應(yīng)該選乙隊(duì)參賽；故答案為：乙隊(duì)【點(diǎn)睛】本題考查了方差的意義，方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的量，方差越大，表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動(dòng)越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定;反之，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動(dòng)越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定．13.漏刻是我國古代的一種計(jì)時(shí)工具．據(jù)史書記載，西周時(shí)期就已經(jīng)出現(xiàn)了漏刻，這是中國古代人民對(duì)函數(shù)思想的創(chuàng)造性應(yīng)用．小明同學(xué)依據(jù)漏刻的原理制作了一個(gè)簡(jiǎn)單的漏刻計(jì)時(shí)工具模型，研究中發(fā)現(xiàn)水位是時(shí)間的一次函數(shù)，下表是小明記錄的部分?jǐn)?shù)據(jù)，其中有一個(gè)的值記錄錯(cuò)誤，請(qǐng)排除后利用正確的數(shù)據(jù)確定當(dāng)為時(shí)，對(duì)應(yīng)的時(shí)間為__________．…1235……2.42.83.44…【答案】15【解析】【分析】由題意及表格數(shù)據(jù)可知記錄錯(cuò)誤的數(shù)據(jù)為當(dāng)t=3時(shí)，h=3.4，然后設(shè)水位與時(shí)間的函數(shù)解析式為，進(jìn)而把t=2，h=2.8和t=5，h=4代入求解即可．【詳解】解：由表格可得：當(dāng)t=1，h=2.4時(shí)，當(dāng)t=2，h=2.8時(shí)，當(dāng)t=5，h=4時(shí)，時(shí)間每增加一分鐘，水位就上升0.4cm，由此可知錯(cuò)誤的數(shù)據(jù)為當(dāng)t=3時(shí)，h=3.4，設(shè)水位與時(shí)間的函數(shù)解析式為，把t=2，h=2.8和t=5，h=4代入得：，解得：，∴水位與時(shí)間的函數(shù)解析式為，∴當(dāng)=8時(shí)，則有，解得：，故答案為15．【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握一次函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．14.數(shù)學(xué)家斐波那契編寫的《算經(jīng)》中有如下問題：一組人平分10元錢，每人分得若干；若再加上6人，平分40元錢，則第二次每人所得與第一次相同，求第一次分錢的人數(shù)．設(shè)第一次分錢的人數(shù)為x人，則可列方程_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)“第二次每人所得與第一次相同，”列分式方程即可得到結(jié)論．【詳解】解：根據(jù)題意得，，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用，找出等量關(guān)系，列出分式方程，是解題的關(guān)鍵．15.如圖，正方形的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，邊，分別在軸和軸上，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，以為圓心，為半徑作圓，設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為，當(dāng)⊙與正方形的邊相切時(shí)，的值為______．【答案】或【解析】【分析】先求出，則，再分分與相切和與相切兩種情況考慮：利用切線的性質(zhì)得到和圓的性質(zhì)分別表示出的長，再在中利用勾股定理建立方程求解即可．【詳解】解：四邊形是正方形，點(diǎn)坐標(biāo)為，，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴．分與相切和與相切兩種情況考慮：①當(dāng)與相切時(shí)，如圖1所示．點(diǎn)橫坐標(biāo)為，．在中，，，，，即，解得：；②當(dāng)與相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，連接，如圖2所示．，，，四邊形為矩形，，．在中，，，，，即，解得：，（不合題意，舍去）．綜上所述：的值為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理，坐標(biāo)與圖形等等，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．16.如圖，二次函數(shù)圖象的一部分與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線，結(jié)合圖象給出下列結(jié)論：①；②；③（為任意實(shí)數(shù)）；④若點(diǎn)，，均在二次函數(shù)圖像上，且滿足，則；其中正確的結(jié)論有_________．【答案】①②③④【解析】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：根據(jù)圖象可知，開口向上，，∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，，∵拋物線交軸負(fù)半軸，，故①正確，符合題意；∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得，拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，將該點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式可得：，故②正確，符合題意；∵拋物線頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)求得值最小，即，∴無論取何值時(shí)，總是大于或等于即，故③正確，符合題意；根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義可知，分別表示到的距離，根據(jù)拋物線圖象的性質(zhì)，距離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)的點(diǎn)，其坐標(biāo)就越大，故④正確，符合題意．故答案為：①②③④．三、作圖題（本題滿分4分）17.如圖，在直角中，，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在邊上求作一點(diǎn)D，使得．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見解析【解析】【分析】本題考查了作垂線、含30度的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握含30度的直角三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)含30度的直角三角形的性質(zhì)可得作邊上的高線即可解答．【詳解】解：如圖，點(diǎn)即為所求．四、解答題（共9小題，滿分68分）18.計(jì)算：（1）（2）解不等式組：．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題主要考查分式的混合運(yùn)算和解一元一次不等式組，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．（1）先將括號(hào)內(nèi)的進(jìn)行通分，把除法轉(zhuǎn)換為乘法后進(jìn)行約分化簡(jiǎn)即可得到答案；；（2）分別求出每個(gè)不等式的解集，再取它們的公共解集即可得到不等式組的解集．【小問1詳解】解：；【小問2詳解】解：解不等式①得，；解不等式②得，；所以，不等式組的解集為：．19.恰逢學(xué)校20周年校慶，某項(xiàng)參觀活動(dòng)需要兩名引導(dǎo)員，決定從A，B，C，D四名志愿者中通過抽簽的方式確定兩人．抽簽規(guī)則：將四名志愿者的名字分別寫在四張完全相同且不透明卡片的正面，把四張卡片背面朝上，洗勻后放在桌面上，先從中隨機(jī)抽取一張卡片，記下名字，再從剩余的三張卡片中隨機(jī)抽取第二張，記下名字．用畫樹狀圖或列表的方法求出A，B兩名志愿者同時(shí)被選中的概率．【答案】【解析】【分析】畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中則A，B兩名志愿者被選中的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可．【詳解】解：畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中則A，B兩名志愿者被選中的結(jié)果有2種，∴則A，B兩名志愿者被選中的概率為．【點(diǎn)睛】此題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件；注意概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．20.2023年2月6日土耳其發(fā)生7.8級(jí)地震，牽動(dòng)世界各國人民的心！為進(jìn)一步宣傳防震減災(zāi)科普知識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)急避險(xiǎn)和自救互救能力，某校組織全校學(xué)生進(jìn)行“防震減災(zāi)知識(shí)測(cè)試”，現(xiàn)隨機(jī)抽取部分學(xué)生的測(cè)試成績（單位：分）整理成，，，四個(gè)等級(jí)，繪制成如下頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計(jì)圖：被抽取學(xué)生的測(cè)試成績的頻數(shù)表等級(jí)成績/分頻數(shù)/人各組總分/分1065010502117855455根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）填空：__________，_____________；（2）此次被抽取學(xué)生的測(cè)試成績的中位數(shù)落在____________等級(jí)，求此次被抽取學(xué)生的測(cè)試成績的平均數(shù)；（3）如果90分以上（含90分）為優(yōu)秀，請(qǐng)估計(jì)全校2000名學(xué)生中此次測(cè)試成績優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)．【答案】（1）20，14（2）（或）；78.8分（3）200人【解析】【分析】（1）結(jié)合扇形統(tǒng)計(jì)圖與頻數(shù)表，找到對(duì)應(yīng)的量用頻數(shù)÷百分比即可算出總數(shù)，然后再計(jì)算即可；（2）根據(jù)中位數(shù)的概念，把數(shù)據(jù)從小到大排列，如果數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是偶數(shù)個(gè)，則排在中間的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)即為中位數(shù)，然后利用平均數(shù)公式計(jì)算平均數(shù)即可；（3）先利用樣本數(shù)據(jù)估算總的優(yōu)秀率，再計(jì)算全校的優(yōu)秀人數(shù)．【小問1詳解】解：總?cè)藬?shù)：（人）等級(jí)所占百分比為：（人）∴，【小問2詳解】解：將成績從小到大排列，可知總共有50個(gè)數(shù)據(jù)，則中位數(shù)為第25、26個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)；∵等級(jí)有10人，等級(jí)有14人，∴中位數(shù)落在等級(jí)；平均分為：（分）此次被抽取學(xué)生的測(cè)試成績的平均數(shù)為78.8分【小問3詳解】解：（人）.答：估計(jì)全校2000名學(xué)生中成績優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)有200人【點(diǎn)睛】本題主要考查頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計(jì)圖，熟練掌握中位數(shù)以及平均數(shù)的計(jì)算，頻數(shù)頻率的計(jì)算以及扇形統(tǒng)計(jì)圖的計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．21.隨著科技的發(fā)展，無人機(jī)已廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)和生活，如代替人們?cè)诟呖諟y(cè)量距離和角度．某?！熬C合與實(shí)踐”活動(dòng)小組的同學(xué)要測(cè)星AB，CD兩座樓之間的距離，他們借助無人機(jī)設(shè)計(jì)了如下測(cè)量方案：無人機(jī)在AB，CD兩樓之間上方的點(diǎn)O處，點(diǎn)O距地面AC的高度為60m，此時(shí)觀測(cè)到樓AB底部點(diǎn)A處的俯角為70°，樓CD上點(diǎn)E處的俯角為30°，沿水平方向由點(diǎn)O飛行24m到達(dá)點(diǎn)F，測(cè)得點(diǎn)E處俯角為60°，其中點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，O均在同一豎直平面內(nèi)．請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)求樓AB與CD之間的距離AC的長（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：）．【答案】58m【解析】【分析】延長AB和CD分別與直線OF交于點(diǎn)G和點(diǎn)H，則，再根據(jù)圖形應(yīng)用三角函數(shù)即可求解．【詳解】解：延長AB和CD分別與直線OF交于點(diǎn)G和點(diǎn)H，則．又∵，∴四邊形ACHG是矩形．∴．由題意，得．在中，，∴（m）﹒∵是的外角，∴．∴．∴m．在中，∴(m)．∴．答：樓AB與CD之間的距離AC的長約為58m．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確構(gòu)造直角三角形并應(yīng)用三角函數(shù)進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．22.問題：如圖，在中，，D是上一點(diǎn)（不與A，B重合），交于點(diǎn)E，連接．設(shè)的面積為S，的面積為．（1）當(dāng)時(shí)，______；（2）設(shè)，請(qǐng)你用含字母的代數(shù)式表示．問題：如圖，在四邊形中，，，，E是上一點(diǎn)（不與A，B重合），，交于點(diǎn)F，連接，設(shè)，四邊形的面積為S，的面積為．請(qǐng)你利用問題的解法或結(jié)論，用含字母的代數(shù)式表示．【答案】問題一：（1）；（2）；問題二：【解析】【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是證明三角形相似，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方．問題一：（1）證明，得到，得到，進(jìn)行求解即可；（2）同法（1）即可得出結(jié)論；問題二：分別延長，交于點(diǎn)O，同探究一的方法進(jìn)行求解即可．【詳解】解：?jiǎn)栴}一（1）∵，∴，∴，∴，∴；∵，∴，∴；故答案為：；（2）∵，，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．∴，即；問題二：分別延長，交于點(diǎn)O，∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴．∵，∴．∵，∴由問題1的解法可知：．∵，∴，∴，即．23.如圖，在四邊形中，，，相交于點(diǎn)，，分別是，的中點(diǎn)，．（1）求證：；（2）連接，，當(dāng)滿足什么條件時(shí)，四邊形是菱形，并證明你的結(jié)論．【答案】（1）見解析（2）當(dāng)滿足中，時(shí)，四邊形是菱形，證明見解析【解析】【分析】（1）由，可得，，證明，得到，推出四邊形是平行四邊形，得到，結(jié)合，分別是，的中點(diǎn)，得到，證明，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，由，分別四邊形是菱形是，的中點(diǎn)，，得到，推出、互相垂直平分，即可得到．【小問1詳解】證明：，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，分別是，的中點(diǎn)，，，，，；【小問2詳解】當(dāng)滿足中，時(shí)，四邊形是菱形，證明如下：，，，即，，分別是，的中點(diǎn)，，，，又，，、互相垂直平分，四邊形是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)．24.“雨過園亭綠暗時(shí)，櫻桃紅顆壓枝低”，如圖，櫻桃富含維生素C，嶗山北宅素有“中國櫻桃之鄉(xiāng)”的美譽(yù)．在2023年櫻桃節(jié)某水果商城為了了解兩種櫻桃市場(chǎng)銷售情況，購進(jìn)了一批數(shù)量相等的“櫻珠”和“櫻桃”供客戶對(duì)比品嘗，其中購買“櫻桃”用了630元，購買“櫻珠”用了1134元，已知每千克“櫻珠”進(jìn)價(jià)比每千克“櫻桃”貴8元．（1）求每千克“櫻珠”和“櫻桃”進(jìn)價(jià)各是多少元？（2）若該水果商城決定再次購買同種“櫻珠”和“櫻桃”共60千克，且再次購買的費(fèi)用不超過1000元，且每種櫻桃進(jìn)價(jià)保持不變．若“櫻珠”的銷售單價(jià)為30元，“櫻桃”的銷售單價(jià)為18元，則該水果商城應(yīng)如何進(jìn)貨，使得第二批的“櫻珠”和“櫻桃”售完后獲得利潤最大？最大利潤是多少？【答案】（1）每千克“櫻珠”進(jìn)價(jià)是18元，每千克“櫻桃”進(jìn)價(jià)是10元（2）該該水果商城應(yīng)購買50千克“櫻珠”，10千克“櫻桃”，使得第二批的“櫻珠”和“櫻桃”售完后獲得利潤最大，最大利潤是680元．【解析】【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）找出數(shù)量關(guān)系，正確列出一元一次不等式和一次函數(shù)關(guān)系式．（1）設(shè)每千克“櫻珠”進(jìn)價(jià)是x元，則每千克“櫻桃”進(jìn)價(jià)是元，根據(jù)購進(jìn)了一批數(shù)量相等的“櫻珠”和“櫻桃”供客戶對(duì)比品嘗，其中購買“櫻桃”用了630元，購買“櫻珠”用了1134元，列出分式方程，解方程即可；（2）設(shè)購買a千克“櫻珠”，則購買千克“櫻桃”，根據(jù)再次購買的費(fèi)用不超過1000元，列出一元一次不等式，解得，再設(shè)總利潤為w元，根據(jù)題意列出w關(guān)于a的一次函數(shù)關(guān)系式，然后由一次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．小問1詳解】解：設(shè)每千克“櫻珠”進(jìn)價(jià)是x元，則每千克“櫻桃”進(jìn)價(jià)是元，根據(jù)題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，∴，答：每千克“櫻珠”進(jìn)價(jià)18元，每千克“櫻桃”進(jìn)價(jià)是10元；【小問2詳解】解：設(shè)購買a千克“櫻珠”，則購買千克“櫻桃”，根據(jù)題意得：，解得：，設(shè)總利潤為w元，根據(jù)題意得：，∵，∴w最a的增大而增大，∴當(dāng)時(shí)，w有最大值，此時(shí)，，答：該該水果商城應(yīng)購買50千克“櫻珠”，10千克“櫻桃”，使得第二批的“櫻珠”和“櫻桃”售完后獲得利潤最大，最大利潤是680元．25.2022年北京冬奧會(huì)即將召開，激起了人們對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的極大熱情．如圖是某跳臺(tái)滑雪訓(xùn)練場(chǎng)的橫截面示意圖，取某一位置的水平線為軸，過跳臺(tái)終點(diǎn)作水平線的垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系．圖中的拋物線近似表示滑雪場(chǎng)地上的一座小山坡，某運(yùn)動(dòng)員從點(diǎn)正上方米處的點(diǎn)滑出，滑出后沿一段拋物線運(yùn)動(dòng)．（1）當(dāng)運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)到離處的水平距離為米時(shí)，離水平線的高度為米，求拋物線的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（2）在（1）的條件下，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)水平線的水平距離為多少米時(shí)，運(yùn)動(dòng)員與小山坡的豎直距離為米？（3）當(dāng)運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)到坡頂正上方，且與坡頂距離超過米時(shí)，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）12米；（3）．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可知：點(diǎn)A（0，4）點(diǎn)B（4，8），利用待定系數(shù)法代入拋物線即可求解；（2）高度差為1米可得可得方程，由此即可求解；（3）由拋物線可知坡頂坐標(biāo)為，此時(shí)即當(dāng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)到坡頂正上方，若與坡頂距離超過米，即，由此即可求出b的取值范圍．【詳解】解：（1）根據(jù)題意可知：點(diǎn)A（0，4），點(diǎn)B（4，8）代入拋物線得，，解得