圓周運動中的臨界問題-習題課

1、圓周運動中的臨界問題習題課教學目的會運用受力分析及向心力公式解決圓周運動的臨界問題教學重點掌握解決圓周運動的兩種典型的臨界問題教學難點會分析判斷臨界時的速度或受力特征教學內容一、 復習有關概念1、向心加速度的概念2、向心力的意義（由一個力或幾個力提供的效果力）二、新課1、在豎直平面內作圓周運動的臨界問題R繩圖1v0vR圖2vOR桿圖3如圖1、圖2所示，沒有物體支承的小球，在豎直平面作圓周運動過最高點的情況臨界條件：繩子或軌道對小球沒有力的作用v臨界能過最高點的條件：v，當v時，繩對球產生拉力，軌道對球產生壓力。不能過最高點的條件：vv臨界（實際上球沒到最高點時就脫離了軌道）。如圖3所示情形，小

2、球與輕質桿相連。桿與繩不同，它既能產生拉力，也能產生壓力能過最高點v臨界0，此時支持力Nmg當0v時，N為支持力，有0Nmg，且N隨v的增大而減小當v時，N0當v，N為拉力，有N0，N隨v的增大而增大bOa圖4例1（99年高考題）如圖4所示，細桿的一端與一小球相連，可繞過O的水平軸自由轉動。現(xiàn)給小球一初速度，使它做圓周運動。圖中a、b分別表示小球軌道的最低點和最高點，則桿對球作用力可能是（）A、a處為拉力，b處為拉力B、a處為拉力，b處為推力C、a處為推力，b處為拉力D、a處為推力，b處為推力分析：答案A是正確的，只要小球在最高點b的速度大于，其中L是桿的長；答案B也是正確的，此時小球的速度有

3、0v；答案C、D肯定是錯誤的，因為小球在最低點時，桿對小球一定是拉力。ALOm圖5例2 長度為L0.5m的輕質細桿OA，A端有一質量為m3.0kg的小球，如圖5所示，小球以O點為圓心在豎直平面內做圓周運動，通過最高點時小球的速率是2.0ms，g取10ms2，則此時細桿OA受到（）A、6.0N的拉力B、6.0N的壓力C、24N的拉力D、24N的壓力解法：小球在A點的速度大于時，桿受到拉力，小于時，桿受壓力。V0=msms由于v2.0 msms，我們知道：過最高點時，球對細桿產生壓力。小球受重力mg和細桿的支持力N由牛頓第二定律mgNm Nmgm 6.0N故應選B。例3（可以由學生板演）長L0.5

4、m，質量可以忽略的的桿，其下端固定于O點，上端連接著一個質量m2kg的小球A，A繞O點做圓周運動（同圖5），在A通過最高點，試討論在下列兩種情況下桿的受力：當A的速率v11ms時Nmg當A的速率v24ms時解法一：（同上例）小球的速度大于ms時受拉力，小于ms時受壓力。當v11msms時，小球受向下的重力mg和向上的支持力N 由牛頓第二定律mgNm Nmgm 16N即桿受小球的壓力16N。mgF當v24msms時，小球受向下的重力mg和向下的拉力F由牛頓第二定律mgFm Fm mg44N即桿受小球的拉力44N。解法二：小球在最高點時既可以受拉力也可以受支持力，因此桿受小球的作用力也可以是拉力或

5、者是壓力。我們可不去做具體的判斷而假設一個方向。如設桿豎直向下拉小球A，則小球的受力就是上面解法中的的情形。由牛頓第二定律mgFm 得到Fm（g）當v11ms時，F(xiàn)116NF1為負值，說明它的實際方向與所設的方向相反，即小球受力應向上，為支持力。則桿應受壓力。當v24ms時，F(xiàn)244N。F2為正值，說明它的實際方向與所設的方向相同，即小球受力就是向下的，是拉力。則桿也應受拉力。2、在水平面內作圓周運動的臨界問題在水平面上做圓周運動的物體，當角速度變化時，物體有遠離或向著圓心運動的（半徑有變化）趨勢。這時，要根據(jù)物體的受力情況，判斷物體受某個力是否存在以及這個力存在時方向朝哪（特別是一些接觸力，

6、如靜摩擦力、繩的拉力等）。3045ABC圖6例4如圖6所示，兩繩系一質量為m0.1kg的小球，上面繩長L2m，兩端都拉直時與軸的夾角分別為30與45，問球的角速度在什么范圍內，兩繩始終張緊，當角速度為3 rads時，上、下兩繩拉力分別為多大？解析：當角速度很小時，AC和BC與軸的夾角都很小，BC并不張緊。當逐漸增大到30時，BC才被拉直（這是一個臨界狀態(tài)），但BC繩中的張力仍然為零。設這時的角速度為1，則有：TACcos30mgTACsin30m12Lsin30將已知條件代入上式解得12.4 rads 當角速度繼續(xù)增大時TAC減小，TBC增大。設角速度達到2時，TAC0（這又是一個臨界狀態(tài)），

7、則有：TBCcos45mgTBCsin45m22Lsin30將已知條件代入上式解得23.16 rads 所以當滿足 2.4 rads3.16 rads，AC、BC兩繩始終張緊。本題所給條件3 rads，此時兩繩拉力TAC、TBC都存在。TACsin30TBCsin45m2Lsin30TACcos30TBCcos45mg 將數(shù)據(jù)代入上面兩式解得TAC0.27N，TBC1.09N注意：解題時注意圓心的位置（半徑的大?。?。如果2.4 rads時，TBC0，AC與軸的夾角小于30。如果3.16rads時，TAC0，BC與軸的夾角大于45。Mrom圖7例5如圖7所示，細繩一端系著質量M0.6kg的物體，

8、靜止在水平肌，另一端通過光滑的小孔吊著質量m0.3kg的物體，M的中與圓孔距離為0.2m，并知M和水平面的最大靜摩擦力為2N?，F(xiàn)使此平面繞中心軸線轉動，問角速度在什么范圍m會處于靜止狀態(tài)？（g10ms2）解析：要使m靜止，M也應與平面相對靜止。而M與平面靜止時有兩個臨界狀態(tài)：當為所求范圍最小值時，M有向著圓心運動的趨勢，水平面對M的靜摩擦力的方向背離圓心，大小等于最大靜摩擦力2N。此時，對M運用牛頓第二定律。有 TfmM12r 且 Tmg解得 12.9 rads當為所求范圍最大值時，M有背離圓心運動的趨勢，水平面對M的靜摩擦力的方向向著圓心，大小還等于最大靜摩擦力2N。再對M運用牛頓第二定律。

9、有 TfmM22r 解得 26.5 rads所以，題中所求的范圍是：2.9 rads6.5 rads說明：一般求解“在什么范圍內”這一類的問題就是要分析兩個臨界狀態(tài)。3、鞏固練習1、汽車通過拱橋顆頂點的速度為10 ms時，車對橋的壓力為車重的。如果使汽車駛至橋頂時對橋恰無壓力，則汽車的速度為 （）A、15 msB、20 msC、25 msD、30msro圖82、如圖8所示，水平轉盤上放有質量為m的物塊，當物塊到轉軸的距離為r時，連接物塊和轉軸的繩剛好被拉直（繩上張力為零）。物體和轉盤間最大靜摩擦力是其下壓力的倍。求：當轉盤角速度1時，細繩的拉力T1。當轉盤角速度2時，細繩的拉力T2。4、課后參

10、考題1、一內壁光滑的環(huán)形細圓管，位于豎直平面內，環(huán)的半徑為R（比細管半徑大得多）。在圓管中有兩個直徑與細管內徑相同的小球（可視為質點）。A球的質量m1，B球的質量為m2，它們沿環(huán)形管順時針運動，經過最低點時的速度都為v0，設A球運動到最低點，B球恰好運動到最高點。若要此時兩球作用于圓管的合力為零，那么m1、m2、R與v0應滿足的關系式是。（97年高考題）mgNT圖92、如圖9所示，一個光滑的圓錐體固定在水平桌面上，其軸線沿豎直方向，母線與軸線之間的夾角為30，一條長度為L的繩（質量不計），一端的位置固定在圓錐體的頂點O處，另一端拴著一個質量為m的小物體（物體可看質點），物體以速率v繞圓錐體的軸線做水平