統(tǒng)計物理與熱力學(xué)課程陳培鋒第三講1

1、統(tǒng)計物理基本方法與學(xué)習(xí),粒子系統(tǒng)的基本運動形式,近獨立粒子系,平動、振動、轉(zhuǎn)動,相空間表示 系統(tǒng)的微觀態(tài)和宏觀態(tài),宏觀分布、宏觀分布的組態(tài)數(shù) 微觀態(tài)的等概率原理,組態(tài)的概率、宏觀分布的概率 最概然分布與平衡態(tài),1、偏離最概然分布的概率很小,實例：設(shè)N=2n個粒子處于一個體積V中，等體積地將V劃分成2個1,2，則最概然分布(平衡態(tài))應(yīng)該是2n均勻分布在2個1,2中(n1=n2=n),相應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為W*=(2n)!/n!n!。 設(shè)在最概然分布附近有一個分布n1=n-n，n2=n+n，相應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為W=(2n)!/(n-n)!(n+n)!。,比較兩種狀態(tài)的微觀組態(tài)數(shù),取對數(shù) 利用斯特林公式,

2、偏離的概率,平衡態(tài)的概率,如果n/n數(shù)更大時,上述數(shù)值就更小了,這說明當(dāng)N時,最概然分布可以代表真實分布,從而體系總的微觀狀態(tài)數(shù)完全可以用最概然分布所擁有的微觀狀態(tài)數(shù)取而代之,取n/n=0.1%，對于1mol的分子體系，n=6.0221023，即得,這是一個極其微小的數(shù)值,但如果n不太大呢？,回顧：物理量的相對漲落與粒子數(shù)平方根 成反比,系統(tǒng)處于平衡態(tài)時,能量、溫度、粒子數(shù)、體積、密度等重要物理量的相對漲落都反比于 當(dāng)涉及大量粒子時,漲落現(xiàn)象很微弱,以致可以忽略這個結(jié)果說明,對平衡態(tài)的偏離隨著N而趨于可以忽略,2、微觀態(tài)與宏觀態(tài),設(shè)體系由3個獨立的一維諧振子組成。體系總能量E=(9/2)h(平

3、衡位置的勢能規(guī)定為0),體積為V(顯然,3個粒子不能作為宏觀體系,此處純粹為了能具體形象說明問題) 系統(tǒng)狀態(tài)為 (N,V,E)=(3,V,9h/2) 求出宏觀態(tài)分布和相應(yīng)的微觀組態(tài),的分割,將粒子的能量分為01h,12h,23h,若干段,每一段的能量記為1h/2，3h/2, 5h/2, 7h/2 , 在考慮各種宏觀態(tài)和微觀態(tài)時,必須要滿足下列兩個守恒條件 其中ni為能級段i上的諧振子數(shù),注意每一能量段的面積相等,以x和p為直角坐標(biāo),可構(gòu)成二維的空間,給定振子的能量,代表點的軌跡是橢圓,橢圓的面積等于,故相鄰兩能級對應(yīng)于空間中的相體積(橢圓殼層的面積)為,當(dāng)四個能量段間隔相等時，四個相元面積相等

4、：,粒子可以編號分辨,用a,b,c分別作為諧振子的編號。能夠滿足(3,V,9h/2)的所有可能的微觀組態(tài)如下,各種宏觀分布的微觀組態(tài)數(shù),第三講,量子氣體的特征 和量子氣體狀態(tài)統(tǒng)一描述,量子統(tǒng)計特點,建立在量子力學(xué)基礎(chǔ)上的量子統(tǒng)計物理和建立在經(jīng)典物理基礎(chǔ)上的經(jīng)典統(tǒng)計物理,基本的統(tǒng)計假設(shè)和統(tǒng)計方法是相同的 只是所處理的對象的運動滿足量子力學(xué)規(guī)律,它們會對平衡態(tài)統(tǒng)計產(chǎn)生深刻的影響,一、量子力學(xué)基本原理,(1)量子系統(tǒng)的狀態(tài)用希爾伯特空間中的矢量描述。 (2)描述微觀系統(tǒng)的物理量是厄米算符，物理量的可測量值是相應(yīng)算符的本征值。一般情況物理量的測量具有不確定性，物理量A在狀態(tài)上取值為ai的概率與態(tài)在A的

5、歸一化本征矢量ai上的投影的模方成正比。 (3)微觀系統(tǒng)中粒子在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)與動量算符滿足對易關(guān)系xi,xj=pi,pj=0，xi,pk=ihik/2。 (4)微觀系統(tǒng)狀態(tài)隨時間的演化規(guī)律由薛定諤方程描述。 (5)全同粒子系統(tǒng)的全同性原理。,1、能量量子化假說(Planck,1900),解釋黑體輻射 一維諧振子的能量是量子化的 2、光量子假說(Einstein,1905) 光具有粒子性，解釋光電效應(yīng),光的二象性,量子力學(xué)假說,3、物質(zhì)波假說(de Broglie,1923) 粒子具有波動性,是波動力學(xué)的基礎(chǔ) 4、薛定諤方程(Schrodinger,1923),5、波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋(Bor

6、n,1926),波函數(shù)所描寫的是粒子在多維位形空間中概率分布的概率波。波函數(shù)包含了量子體系所有可以確定的信息，即波函數(shù)給定后，粒子所有力學(xué)量的觀察值的分布概率也就確定了。 6、不確定度關(guān)系式(Heisenberg,1927),7、微觀粒子的全同性原理 任何2個全同粒子的交換不產(chǎn)生新的量子態(tài)。 在全同多粒子體系中,全同粒子交換時不變的狀態(tài)是可實現(xiàn)的。兩粒子的波函數(shù)不重疊時粒子可分辨,重疊時不可分辨。 8、Pauli原理，1925年 占據(jù)同一單粒子量子態(tài)的費米子不可能超過一個。,全同粒子體系微觀運動狀態(tài)的量子規(guī)律,來源于原子光譜的實驗,量子力學(xué)發(fā)展與爭論,19世紀已將物理大廈全部建成,今后物理學(xué)家

7、的任務(wù)就是修飾完善這所大廈開爾文1899年新年獻詞 同時也提到,物理學(xué)的天空還漂浮著兩朵小小的“烏云” 黑體輻射、光電效應(yīng)、原子的穩(wěn)定性、原子的線狀光譜、低溫下的熱容 波爾與愛因斯坦的爭論 量子力學(xué)“幽靈超距作用”通過最嚴格的檢驗(2015年8月24日, 代爾夫特理工物理學(xué)家羅納德漢森(Ronald Hanson)團隊),索爾維會議(1927,第五屆),尼爾斯玻爾(1885.10.71962.11.18) 阿爾伯特愛因斯坦（1879.3.14-1955.4.18）,二、粒子運動狀態(tài)的量子描述,(一)、有限空間范圍內(nèi)的自由粒子的量子態(tài)及能級 1、一維自由平動子,粒子處在長度為a的一維容器中運動,

8、粒子的勢能函數(shù)為,在容器外x0和xa的區(qū)域,由于V(x)=， 在容器內(nèi)(0xa)，薛定諤方程為,狀態(tài)是量子化的,能量量子化 n表征著不同的量子態(tài),n稱為平動量子數(shù)。 每一個能級只對應(yīng)一個n值,能級是非簡并的,或說能級的簡并度g=1,2、3維自由運動平動子的量子態(tài)與能級,分離變量法求解此方程,若,三維平動子能級有簡并,三維自由平動子的能級、簡并度與量子數(shù)關(guān)系,特點,一維平動粒子的狀態(tài)用一個量子數(shù)表述 三維平動粒子的狀態(tài)用三個量子數(shù)表述 比較經(jīng)典力學(xué)平動粒子的狀態(tài)表述,(二)、一維簡諧振子的量子態(tài)與能級,在x=a處,勢能有一最小值, 在該平衡點附近,V(x)可以展開成x-a的冪級數(shù),因為在x=a處

9、,dV/dx=0,所以V(x)可以近似為,雙原子分子的勢能曲線,正是一維簡諧振子,振子的Hamilton算符,Hv(z)為Hermite(厄米)多項式,一維簡諧振子的能級是非簡并等間隔的,一維諧振子波函數(shù),特點,一維簡諧振子的狀態(tài)用一個量子數(shù)表述 比較經(jīng)典簡諧振子的狀態(tài)表述,(三)、兩粒子組成的剛性轉(zhuǎn)子的量子態(tài)與能級,等價于一個質(zhì)量為的粒子在一個半徑為re的球面上運動,剛性 中心力場徑向波函數(shù),中心力場兩體問題化為單體問題,薛定諤方程為,本征函數(shù)為球諧函數(shù),J為轉(zhuǎn)動量子數(shù),m為磁量子數(shù),對每一個J,m有2J+1個值,m階J次Legendre(勒讓德)多項式,能級,轉(zhuǎn)動慣量,剛性轉(zhuǎn)子的能級是2J

10、+1重簡并的,在物理上對應(yīng)著轉(zhuǎn)子的角動量向量關(guān)于空間固定軸可有2J+1種取向,簡并度,中心力場角向波函數(shù),粒子運動狀態(tài)的量子表述,1、量子化-量子態(tài) 2、簡并度與量子數(shù)對應(yīng) 3、粒子狀態(tài)由r個量子數(shù)表示,這種表述與經(jīng)典粒子的狀態(tài)表述有關(guān)系嗎？,三、系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的統(tǒng)一描述,經(jīng)典力學(xué)中，微觀運動狀態(tài)用廣義坐標(biāo)q和廣義動量p為正交坐標(biāo)所構(gòu)成的相空間中的點描述。在量子力學(xué)中微觀運動狀態(tài)用分立的量子態(tài)描述。量子統(tǒng)計與經(jīng)典統(tǒng)計的相互過渡最基本的是量子態(tài)與相空間體積的過渡。,測不準(zhǔn)關(guān)系,粒子的狀態(tài)不再是一個點,而是具有一定的體積。這個體積多大？,量子態(tài)與相空間體積之間的對應(yīng)關(guān)系,經(jīng)典力學(xué),粒子是沿著確定

11、的相軌道運動, 在量子化條件下認為粒子可能實現(xiàn)的軌道并不是為經(jīng)典力學(xué)所允許的一切軌道,而只是其中滿足量子化條件的那些軌道,可以認為每個量子化軌道占有一定的相空間體積,其關(guān)系已被找到并得到了證明： 對于一個自由度為s(或r)的粒子,它的空間中大小為hs的相體積(稱為相胞或相格)對應(yīng)一個量子態(tài),或者說每一個量子態(tài)“占據(jù)”著空間中體積為hs的一個相胞,每個相胞對應(yīng)一個量子態(tài)。 注意：這里的量子態(tài)不包含自旋。如果考慮自旋的話,還必須計及自旋對量子態(tài)的貢獻。,在長度為a的一維容器中運動的一維自由粒子,該能級是非簡并的,一個能級只有一個量子態(tài)。設(shè)相鄰兩能級的量子數(shù)為n1,n2, 且n2-n1=1。,對應(yīng)的

12、,能級,能級,對應(yīng)的,p1+與p2+所圍的相體積,p1-與p2-所圍的相體積也為h/2 ,所以相鄰能級n1和n2之間的相體積為h,長度分別為a、b、c的匣內(nèi)自由運動的三維平動子,能量0范圍內(nèi)的總量子態(tài)數(shù)為上式橢球第一象限的體積,括號內(nèi)正好就是位置空間體積為V、動量空間為0p范圍內(nèi)的子相空間體積,一維諧振子,以x和p為直角坐標(biāo),可構(gòu)成二維的空間 給定振子的能量,代表點的軌跡是橢圓,橢圓的面積等于,各能級都是非簡并的,相鄰能級之差為,故相鄰兩能級對應(yīng)于空間中的相體積(橢圓殼層的面積)為,相鄰兩能級之間不存在振子的量子態(tài)，所以空間中相體積為h的一個相胞對應(yīng)一個量子態(tài),粒子運動狀態(tài)量子表述,對于一個自

13、由度為s(或r)的粒子,它的空間中大小為hs的相體積(稱為相胞或相格)對應(yīng)一個量子態(tài),或者說每一個量子態(tài)“占據(jù)”著空間中體積為hs的一個相胞,每個相胞對應(yīng)一個量子態(tài)。,四、關(guān)于量子態(tài)的一些說明1、自旋,基本粒子都有力學(xué)量自旋,是基本粒子的一個固有屬性, 與粒子運動狀態(tài)無關(guān)的內(nèi)稟屬性。自旋具有角動量性質(zhì),但與軌道角動量有所不同,自旋無經(jīng)典力學(xué)量對應(yīng) 設(shè)一個粒子的自旋為S,意思就是指測量該粒子的自旋角動量沿一確定方向(如外磁場方向)z的分量Sz只能取下列的值,自旋共有2S+1個可能的量子態(tài),ms稱為自旋量子數(shù),自旋用一個量子數(shù)ms表征,故自由度為1。 S只能取正整數(shù)(包括0)或者正的半奇數(shù),2、分

14、子的量子態(tài)運動自由度,在量子力學(xué)中,一個分子的量子態(tài)(波函數(shù))是薛定諤方程的解,雙原子分子,運動可近似分解成平動(t)、轉(zhuǎn)動(r)、振動(v)、自旋(ms)、電子運動(e)及其核運動(n)等獨立部分,分子的量子態(tài)可以由一組完備的量子數(shù)n表征,這組量子數(shù)的數(shù)目就等于分子的自由度,如果我們不考慮電子及核的運動,則分子中的原子看作圓球,原子間的化學(xué)鍵相當(dāng)于彈簧。,有點規(guī)律嗎？,3、三種基本運動的比較,三維平動子能級 剛性轉(zhuǎn)子能級 諧振子能級 1.平動子能級間隔遠小于轉(zhuǎn)動能級間隔,2.引入分子轉(zhuǎn)動特征溫度,當(dāng)TTr,能級可以看作連續(xù),3.引入分子振動特征溫度,TT很難滿足, 能級不可以看作連續(xù),五、近獨粒子系統(tǒng)的經(jīng)典描述與量子描述的統(tǒng)一,為了統(tǒng)一描述近獨粒子系的統(tǒng)計理論,將經(jīng)典理論的子相空間按照量子態(tài)分區(qū),每一個的體積都取為多個hs,對應(yīng)一定數(shù)量的量子態(tài)。這樣近獨粒子系統(tǒng)的經(jīng)典描述與量子描述就統(tǒng)一起來了,在經(jīng)典描述中,根據(jù)上一講的表述,系統(tǒng)宏觀分布以j表示子相宇體元，j(jl，2，)表示粒子在子相宇體元j中的能量,N個粒子在各j的分布可以描述如下： 子相宇體元 1，2，j 能 級 1，2，j， 粒子數(shù) a1，a2，aj 現(xiàn)在在