【考點(diǎn)整合與訓(xùn)練】第四章 三角函數(shù)、解三角形 第6節(jié) 正弦定理和余弦定理

1、2 2 2sin a sin b sin c2 2 22 2 22r2r2r2 2 22bc2 2 22ac2 2 22224r 2第 6 節(jié)正弦定理和余弦定理最新考綱掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題.知 識(shí) 梳 理1.正、余弦定理在abc 中，若角 a，b，c 所對(duì)的邊分別是 a，b，c，r 為abc 外接圓半徑， 則定理公式常見變形正弦定理a b c 2r(1)a2rsin a，b2rsin_b，c2rsin_c；a b c(2) sin a ，sin b ，sin c ；(3) abcsin_asin_ bsin_c；余弦定理 a b c 2bccos_a； b

2、c a 2cacos_b； c a b 2abcos_cb c acos a ； c a bcos b ；(4)asin bbsin a，bsin ccsin b，asin ccos ca b c 2abcsin a2.sabc1 1 1 abc 1 absin c bcsin a acsin b (abc) r(r 是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計(jì)算 r，r.3.在abc 中，已知 a，b 和 a 時(shí)，解的情況如下：a 為銳角圖形a 為鈍角或直角關(guān)系式解的個(gè)數(shù)absin a一解bsin aab一解ab無解微點(diǎn)提醒2 22 22 2 22 2 22 2 22 2 22 2 212bc30 2

3、331.三角形中的三角函數(shù)關(guān)系(1)sin(ab)sin c；(2)cos(ab)cos c；ab c ab c(3)sin cos ；(4)cos sin .2.三角形中的射影定理在abc 中，abcos cccos b；bacos c ccos a；cbcos aacos b. 3.在abc 中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，ab absin a sin bcos asin b，則 ab.( )(3) 在abc 的六個(gè)元素中，已知任意三個(gè)元素可求其他元素.( )(4) 當(dāng) b c a 0 時(shí)，abc 為銳角三角形；當(dāng) b c a 0 時(shí)，abc 為直 角三角形；當(dāng) b c a 0

4、 時(shí)，三角形 abc 不一定為銳角三角形.答案(1)(2)(3)(4)2.(必修 5p10a4 改編)在abc 中，ab5，ac3，bc7，則bac( )a.6b.3c.2 25d.6解析在abc 中，設(shè) abc5，acb3，bca7，由余弦定理得 cosbacb c a 92549 ，2 2由 a(0，)，得 a ，即bac .答案c26 4sin a sin b 6 412 522252 2 22 2543.( 必修 5p10b2 改編 ) 在 abc 中， acos a bcos b ，則這個(gè)三角形的形狀為 _.解析由正弦定理，得 sin acos asin bcos b，即 sin 2

5、asin 2b，所以 2a2b 或 2a2b，即 ab 或 ab ，所以這個(gè)三角形為等腰三角形或直角三角形.答案等腰三角形或直角三角形 4.(2018 沈陽質(zhì)檢)已知abc 中，a ，b ，a1，則 b 等于( ) a.2 b.1 c. 3 d. 2解析a b 1 b 由正弦定理 ，得 ，sin sin1 b ，b 2. 22 2答案dc 55.(2018全國卷)在abc 中，cos ，bc1，ac5，則 ab( )a.4 2 b. 30c. 29 d.2 5解析c 5 3由題意得 cos c2cos 12 1 .5 在 abc 中，由余弦定理得 3251 32， 所以 ab4 2.ab ac

6、 bc 2acbccos c 5 1 答案a6.(2019 荊州一模)設(shè)abc 的內(nèi)角 a，b，c 的對(duì)邊分別為 a，b，c，已知 a2 2， 3cos a ，sin b2sin c，則abc 的面積是_.4242 2 22 2 2224632 2 2426c22 2 22 2 212bc 232 2 2解析3由 sin b2sin c，cos a ，a 為abc 一內(nèi)角可得 b2c，sin a71cos a ，由 a b c 2bccos a，可得 84c c 3c ， 解得 c2(舍負(fù))，則 b4.sabc1 1 7 bcsin a 24 7.答案7考點(diǎn)一利用正、余弦定理解三角形【例 1】

7、 (1)(2017 全國 卷 abc 的內(nèi)角 a，b，c 的對(duì)邊分別為 a，b，c.已知 c60，b 6，c3，則 a_.(2)(2019 棗莊二模 )已知abc 的內(nèi)角 a，b，c 的對(duì)邊分別為 a，b，c，若(ab)(sin asin b)(cb)sin c ，則 a( )a.b.3c.5 52d.(3)(2018 全國卷 abc 的內(nèi)角 a，b，c 的對(duì)邊分別為 a，b，c，若abc 的面積為a b c，則 c( )a.b.3c.4d.解析(1)由正弦定理，得 sin bbsin c63322 ，結(jié)合 bc 得 b45，則 a180bc75.(2)(ab)(sin asin b)(cb)

8、sin c，由正弦定理得(ab)(ab)c(cb)，即 b c a bc.所以 cos ab c a ，又 a(0，)，所以 a .(3)因?yàn)?a b c 2abcos c，2 2 24424a.32 4 4且 sabca b c ，2abcos c 1所以 s absin c，所以 tan c1. abc又 c(0，)，故 c .答案(1)75 (2)b (3)c規(guī)律方法1.三角形解的個(gè)數(shù)的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對(duì)角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函 數(shù)值的有界性和大邊對(duì)大角定理進(jìn)行判斷.2.已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形.可用正

9、弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理時(shí)，需判斷其解的個(gè)數(shù)，用余弦定理時(shí)，可根據(jù)一元二次方程根的情 況判斷解的個(gè)數(shù).【訓(xùn)練 1】 (1)(2017 全國卷 abc 的內(nèi)角 a，b，c 的對(duì)邊分別為 a，b，c.已 知 sin bsin a(sin ccos c)0，a2，c 2，則 c( )12b.6c.4d.(2)(2019 鄭州二模 )在abc 中，a，b，c 的對(duì)邊分別為 a，b，c.若 2cosab2cos 2c1，4sin b3sin a，ab1，則 c 的值為( )a. 13 b. 7 c. 37 d.6(3)在abc 中，已知 a2，b 6，a45，則滿足條件的三角形有( )a.1

10、個(gè)b.2 個(gè)c.0 個(gè)d.無法確定解析(1)由題意得 sin(ac)sin a(sin ccos c)0，sin acos ccos asin csin asin csin acos c0，則 sin c(sin acos a) 2sin csina 0， 因?yàn)?c(0，)，所以 sin c0，所以 sina 0， 44sin a sin c 3 sin c4262222222 2 22b 3又因?yàn)?a(0，)，所以 a ，所以 a . a c 2 2由正弦定理 ，得 ，sin1 則 sin c ，又 c(0，)，得 c .ab(2)由 2cos cos 2c1，可得 2cosab1cos 2

11、c0，則有 cos 2ccos c0，即 2cos ccos c10， 1解得 cos c 或 cos c1(舍)，由 4sin b3sin a，得 4b3a，又 ab1，聯(lián)立，得 a4，b3，所以 c a b 2abcos c1691213，則 c 13.2(3)bsin a 6 3，bsin aab.滿足條件的三角形有 2 個(gè).答案(1)b (2)a (3)b考點(diǎn)二判斷三角形的形狀c【例 2】 (1)在abc 中，角 a，b，c 所對(duì)的邊分別為 a，b，c，若 cos a，則 abc 為( )a.鈍角三角形 c.銳角三角形b.直角三角形 d.等邊三角形(2)設(shè)abc 的內(nèi)角 a，b，c 所

12、對(duì)的邊分別為 a，b，c，若 bcos cccos basin a， 則abc 的形狀為( )a.銳角三角形 c.鈍角三角形b.直角三角形 d.不確定bsin b222c sin c解析(1)由 cos a，得 0，所以 sin csin bcos a，即 sin(ab)sin bcos a ，所以 sin acos b0，所以 cos b0，sin a1，即 a ， abc 為直角三角形.答案(1)a (2)b規(guī)律方法1.判定三角形形狀的途徑： (1)化邊為角，通過三角變換找出角之間的關(guān)系； (2)化角為邊，通過代數(shù)變形找出邊之間的關(guān)系，正 (余)弦定理是轉(zhuǎn)化的橋 梁.2.無論使用哪種方法，

13、都不要隨意約掉公因式，要移項(xiàng)提取公因式，否則會(huì)有漏掉一種形狀的可能.注意挖掘隱含條件，重視角的范圍對(duì)三角函數(shù)值的限制.【訓(xùn)練 2】 若將本例(2)中條件變?yōu)椤癱acos b(2ab)cos a”，判斷abc 的 形狀.解cacos b(2a b)cos a，c(ab)，由正弦定理得 sin csin acos b2sin acos asin bcos a， sin acos bcos asin bsin acos b2sin acos asin bcos a， cos a(sin bsin a)0，cos a0 或 sin bsin a，232322626122sin a sin ba 或 b

14、a 或 ba(舍去)，abc 為等腰或直角三角形.考點(diǎn)三角度 1和三角形面積、周長有關(guān)的問題與三角形面積有關(guān)的問題多維探究【例 31】 (2017 全國卷 abc 的內(nèi)角 a，b，c 的對(duì)邊分別為 a，b，c，已 知 sin a 3cos a0，a2 7，b2.(1) 求 c；(2) 設(shè) d 為 bc 邊上一點(diǎn)，且 adac，求abd 的面積.解(1)由 sin a 3cos a 0 及 cos a0，得 tan a 3，又 0a0，sin a 3cos a，322 22 222222322 2222 2 4即 tan a 3.0a，a .由余弦定理得 a 16b c 2bccos abc2(

15、bc) 3bc(bc) 3 ， 2 則(bc) 64，即 bc8(當(dāng)且僅當(dāng) bc4 時(shí)等號(hào)成立)，abc 周長abc4bc12，即最大值為 12.答案12規(guī)律方法1 1 11.對(duì)于面積公式 s absin c acsin b bcsin a，一般是已知哪一個(gè)角就使用哪一個(gè)公式.2.與面積周長有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化.【訓(xùn)練 3】 (2019 濰坊一模 abc 的內(nèi)角 a，b，c 的對(duì)邊分別為 a，b，c，已知 (a2c)cos bbcos a0.(1) 求 b；(2) 若 b3，abc 的周長為 32 3，求abc 的面積.解(1)由已知及正弦定理得(sin a

16、2sin c)cos bsin bcos a0，(sin acos bsin bcos a)2sin ccos b0， sin(ab)2sin ccos b0，又 sin(ab)sin c，且 c(0，)，sin c0，1 2cos b ，0b ，b .(2)由余弦定理，得 9a2c2accos b.a c ac9，則(ac) ac9.abc32 3，b3，ac2 3，ac3，sabc1 1 3 3 3 acsin b 3 .2 2 22 2 22ab3思維升華1. 正弦定理和余弦定理其主要作用是將已知條件中的邊、角關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系 或邊的關(guān)系.2. 在已知關(guān)系式中，既含有邊又含有角，通常的

17、解題思路是：先將角都化成邊或 邊都化成角，再結(jié)合正弦定理、余弦定理即可求解.a b c3.在abc 中，若 a b c ，由 cos c 0.3 4 3 8 3cos a ，即 ，則 bc .1 1 8 3 1 2 3abc 的面積 s bcsin a .答案b二、填空題6.(2018 浙江卷)在abc 中，角 a，b，c 所對(duì)的邊分別為 a，b，c.若 a 7，b 2，a60，則 sin b_，c_.sin a sin ba 72 2 222 2422 2 2.若 a222222 2 222 2sin b 2b4 4sin b 2b b 2b 2244 244247解析a b b 21 由

18、，得 sin b sin a ，又 a b c 2bccos a，c 2c30，解得 c3(c1 舍去).答案21737.(2019 合肥模擬 )我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)現(xiàn)了由三角形三邊求三角形面積的“三斜公式”，設(shè)abc 的三個(gè)內(nèi)角 a，b，c 的對(duì)邊分別為 a，b，c，面積為s，則“三斜求積”公式為 s1 a c a c b 2 2sin c4sin a，(ac) 12b ，則用“三斜求積”公式求得abc 的面積為_.解析根據(jù)正弦定理及 a sin c4sin a，可得 ac4，由(ac) 12b ，可得 a c b 4，所以 sabc14 a2c2b2 a c 2 14（164） 3.

19、答案3sin a 5c8.在abc 中，a，b，c 分別是內(nèi)角 a，b，c 的對(duì)邊，且 b 為銳角，若 ，7 5 7sin b ，s ，則 b 的值為_.abcsin a 5c a 5c 5解析 由 a c，由 sabc1 5 7 7 1 acsin b 且 sin b 得 ac5，聯(lián)立，得 a5，且 c2.7 3由 sin b 且 b 為銳角知 cos b ，3由余弦定理知 b 254252 14，b 14.答案14三、解答題19.(2018 北京卷)在abc 中，a7，b8，cos b .72b 2221414 222632226222 6 32 2(1) 求a；(2) 求 ac 邊上的高

20、.解1(1)在abc 中，因?yàn)?cos b ，4 3所以 sin b 1cos b .7asin b 3由正弦定理得 sin a . 由題設(shè)知 b，所以 0a .所以a .3(2)在abc 中，3 3因?yàn)?sin csin(ab)sin acos bcos asin b ，3 3 3 3所以 ac 邊上的高為 asin c7 .10.已知abc 的內(nèi)角 a，b，c 的對(duì)邊分別為 a，b，c，a ab2b 0.(1)若 b ，求 a，c；2(2)若 c ，c14，求 s .abc解(1)由已知 b ，a ab2b 0 結(jié)合正弦定理化簡整理得 2sin asin a10，1于是 sin a1 或

21、sin a (舍).因?yàn)?0a0，所以 a2b0，即 a2b，聯(lián)立解得 b2 7，a4 7.2333sin c23 3 6 3 63 3 331 222所以 sabc1 absin c14 3.能力提升題組(建議用時(shí)：20 分鐘)2 211.abc 的內(nèi)角 a，b，c 的對(duì)邊分別為 a，b，c，若 cos c ，bcos a acos b2，則abc 的外接圓面積為( )a.4b.8c.9d.36解析由題意及正弦定理得 2rsin bcos a2 rsin acos b2rsin(ab)2(r 為abc 的外接圓半徑).即 2rsin c2.2 2 1 又 cos c 及 c(0，)，知 si

22、n c .22r 6，r3.故abc 外接圓面積 sr 9.答案c212.(2019 武漢模擬)在abc 中，c ，ab3，則abc 的周長為( )a.6sina 3 c.2 3sina 3 b.6sina 3 d.2 3sina 3 3解析 設(shè)abc 的外接圓半徑為 r，則 2r 2 3，于是 bc2rsin a2sin2 3sin a，ac2rsin b2 3sina. 于是abc 的周長為 2 3sin asina32 3sina 3. 答案c13.(2019 長春一模)在abc 中，三個(gè)內(nèi)角 a，b，c 的對(duì)邊分別為 a，b，c，若bsin ccos asin acos c，且 a2 3，