勾股定理(講義)

1、勾股定理 一、知識(shí)歸納 1 勾股定理 內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方； 表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為a， b，斜邊為c ,那么a2 b2 c2 2 .勾股定理的適用范圍 勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，對(duì) 于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征，因而在應(yīng)用勾股定理時(shí)，必須明了所 考察的對(duì)象是直角三角形 3 .勾股定理的應(yīng)用 已知直角三角形的任意兩邊長(zhǎng)，求第三邊 2 2 2 2 2 2 在 ABC 中， C 90 ，貝U c a b , b c a , a . c b 知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系 二

2、、題型 題型一：直接考查勾股定理 例1 在ABC中，C 90 已知AC 6 , BC 8 .求AB的長(zhǎng) 已知AB 17, AC 15，求BC的長(zhǎng) 解： 題型二：應(yīng)用勾股定理建立方程 例 2 .在 ABC 中， ACB 90 , AB 5 cm , BC 3 cm , CD AB 于 D , CD = 已知直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)之比為 3:4，斜邊長(zhǎng)為15，則這個(gè)三角形的面積為 已知直角三角形的周長(zhǎng)為 30 cm，斜邊長(zhǎng)為13 cm，則這個(gè)三角形的面積為 例 3 如圖 ABC 中， C 90 ,12 , CD 1.5, BD 2.5，求 AC 的長(zhǎng) 例4.如圖Rt ABC , C 90 AC 3

3、,BC 4,分別以各邊為直徑作半圓，求陰影部分面積 題型三：實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用勾股定理 例5.如圖有兩棵樹(shù)，一棵高 8 cm，另一棵高2 cm，兩樹(shù)相距8 cm，一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的樹(shù) 梢飛到另一棵數(shù)的樹(shù)梢，至少飛了 m D C 三、勾股定理的逆定理知識(shí)歸納 1. 勾股定理的逆定理： 2 2 2 如果三角形的三邊長(zhǎng) a, b, c有下面關(guān)系：a + b = c，那么這個(gè)三角形是直角三角形， 其中c為斜邊。 2. 常用的平方數(shù) 2 2 2 2 2 2 2 11 = 12 = 13 = 14 = 15 = 16 = 17 2 2 2 2 = 18 = 19 = 20 = 25 = 注意.如果三角形三邊長(zhǎng)

4、a , b , c滿足a b c ,那么這個(gè)三角形是直角三角形， 其中c為 斜邊。勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過(guò)“數(shù) 2 2 轉(zhuǎn)化為形”來(lái)確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)，可用兩小邊的平方和a b與較 長(zhǎng)邊的平方c2作比較，若它們相等時(shí)，以a，b，c為三邊的三角形是直角三角形；若 a2 b2 c2，時(shí)，以a，b，c為三邊的三角形是鈍角三角形；若 a2 b2 c2，時(shí)，以a，b， c為三邊的三角形是銳角三角形； 3. 勾股數(shù)： 2 2 2 滿足a + b = c的三個(gè)正整數(shù)叫做勾股數(shù)(注意：若a, b, c、為勾股數(shù)，那么 ka, kb, kc同樣也

5、是勾股數(shù)組。) 記住常見(jiàn)的勾股數(shù)可以提高解題速度，如3,4,5 ; 6,8,10; 5,12,13; 7,24,25 ; 8,15,17等 用含字母的代數(shù)式表示n組勾股數(shù)： n2 1,2n, n21 ( n 2, n 為正整數(shù))； 2n 1,2n22n,2n2 2n 1 ( n 為正整數(shù)) 2 2 2 2 m n ,2mn, m n ( m n, m , n 為正整數(shù)) *附：常見(jiàn)勾股數(shù)：3,4,5； 6,8,10 ； 9,12,15 ； 5,12,13 4判斷直角三角形： (1) 有一個(gè)角為90的三角形是直角三角形。 (2) 有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形。 2 2 2 (3) 如果三角形

6、的三邊長(zhǎng) a、b、c滿足a +b =c ，那么這個(gè)三角形是直角三角形。 (經(jīng)典直角三角形：勾三、股四、弦五) 注：用勾股定理逆定理判斷三角形是否為直角三角形的一般步驟是： (1) 確定最大邊(不妨設(shè)為 c )； 2 2 2 (2) 若c = a + b，則 ABC是以/ C為直角的三角形； 22 2 若a + b c ,則此三角形為銳角三角形(其中c為最大邊) 5. 直角三角形的性質(zhì)： (1) 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 (2) 在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一 半。 (3) 在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的角 等

7、于30。 題型四：應(yīng)用勾股定理逆定理，判定一個(gè)三角形是否是直角三角形 例6.已知三角形的三邊長(zhǎng)為 a , b , c，判定 ABC是否為Rt 52 a 1.5, b 2, c 2.5 a - , b 1, c - 4 3 解： 例7三邊長(zhǎng)為a , b , c滿足a b 10 , ab 18, c 8的三角形是什么形狀? 解 題型五：勾股定理與勾股定理的逆定理綜合應(yīng)用 例 8已知 ABC 中，AB 13 cm，BC 10 cm，BC 邊上的中線 AD 12 cm，求證：AB AC 證明： 練習(xí) 1. 已知一個(gè)Rt的兩邊長(zhǎng)分別為 3和4,則第三邊長(zhǎng)是 2. 如圖，圓錐的底面半徑為6cm，高為8cm

8、，那么這個(gè)圓錐的母線L是 3 .直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為5和12，則斜邊上的咼為 4. 已知等腰三角形的腰長(zhǎng)是 6cm，底邊長(zhǎng)是8cm，那么這個(gè)等腰三角形的面積是 . 5 .如圖所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊 長(zhǎng)為8,正方形A的面積是10，B的面積是11, C的面積是13,則D的面積之為 6. 如圖，C、D分別是一個(gè)湖的南、北兩端 A和B正東方向的兩個(gè)村莊，CD= 6 km，且 D位于C的北偏東30 方向上，則AB=km BD A C 第6 |第 13題 第9題 12 7. 如圖，有兩棵樹(shù)，一棵高8米，另一棵高2米，兩樹(shù)相距8米，一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的樹(shù)

9、梢飛到另 一棵樹(shù)的樹(shù)梢，則它至少要飛行米. （結(jié)果精確到 、.31.732 ） r I 30 .- A （第10題圖） B1 P B 第 11 題 圖 &如圖，直線L過(guò)正方形 ABCD的頂點(diǎn)B，點(diǎn)A、C到直線L的距離分別是 1和2，則 正方形的 ABCD的面積是 . 9.如圖是一個(gè)長(zhǎng)方體長(zhǎng) 4、寬3、高12，則圖中陰影部分的三角形的周長(zhǎng)為 。 10某校為了籌備校園藝術(shù)節(jié)，要在通往舞臺(tái)的臺(tái)階上鋪上紅色地毯如果地毯的寬度恰 好與臺(tái)階的寬度一致，臺(tái)階的側(cè)面如圖所示，臺(tái)階的坡角為30 , BCA 90：，臺(tái)階的 高BC為2米，那么請(qǐng)你幫忙算一算需要 米長(zhǎng)的地毯恰好能鋪好臺(tái)階. 0.1m ,取、21.4

10、14 ABCD的面積3為1,按上述 方法所作的正方形的面積依次為 S2, S3，Sn （n為正整數(shù)） ，那么第8個(gè)正方形的 面積S8 二、看準(zhǔn)了再選 13. “數(shù)軸上的點(diǎn)并不都表示有理數(shù)，如圖中數(shù)軸上的點(diǎn) P所表示的數(shù)是5 ”，這種利用圖 形直觀說(shuō)明問(wèn)題的方式體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法叫（ A.代入法 E.換元法 ） C.數(shù)形結(jié)合的思想方法 D.分類討論的思想方法 32cm 11 有一圓柱體高為 10cm，底面圓的半徑為 4cm, AA1、BB為相對(duì)的兩條母線。在 AA上 有一個(gè)蜘蛛 Q, QA=3cm；在BB 上有一只蒼蠅 P, PB=2 cm。蜘蛛沿圓柱體側(cè)面爬到 P點(diǎn)吃蒼蠅，最短的路徑是 cm。

11、（結(jié)果用帶n和根號(hào)的式子表示） 12.如圖，如果以正方形 ABCD的對(duì)角線 AC為邊作第二個(gè)正方形 ACEF,再以對(duì)角線 AE 為邊作第三個(gè)正方形 AEGH,如此下去，已知正方形 第17題 14.下列幾組數(shù)中不能作為直角三角形三邊長(zhǎng)度的是（） A. a 7,b 24,c 25 D. a 15,b 8,c 17 B. a 1.5,b 2,c 2.5 2 5 C. a,b 2,c - 3 4 15兩只小鼴鼠在地下打洞，一只朝正東方挖，每分鐘挖 8cm，另一只朝正南方挖，每分 鐘挖6cm，10分鐘之后兩只小鼴鼠相距（） A. 50cm B.100cmC.140cm D. 80cm 16.如圖一個(gè)圓桶

12、兒，底面直徑為24cm,高為32cm,則桶內(nèi)能容下的最長(zhǎng)的木棒為 （） A.20cm B.50cm C.40cmD.45cm 17 若等邊厶ABC的邊長(zhǎng)為4cm，那么 ABC的面積為（）. A. 2 .3 cm2 B. 4、3 cm? C. 6、3 cm? D. 8cm2 18.如圖（2）,在直角坐標(biāo)系中， OBC的頂點(diǎn) 0 （0, 0）, B （-6 , 0）,且/ OCB=90 , ?OC=B則點(diǎn)C關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（） A. （3, 3） B. （-3 , 3） C. （-3 , -3 ） D. （ 3.2 , 3 . 2 ） 19如圖所示：數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為a,則a的值是（）

13、 A. .5+1B. -、5+1 C. . 5-1 D.5 20. 直角三角形的周長(zhǎng)為 24,斜邊長(zhǎng)為10 ,則其面積為（）. A. 96B. 49C. 24D. 48 21. 老李家有一塊草坪如圖所示.已知AB=3米,BC=4米,CD=12米,DA=13米，且AB丄BC,這塊草 坪的面積是（） 2 2 2 2 A. 24 米.B.36米.C.48米.D.72 米. 22. 在一塊平地上，李大爺家屋前9米遠(yuǎn)處有一棵大樹(shù).在一次強(qiáng)風(fēng)中，這棵大樹(shù)從離地 面6米處折斷倒下，量得倒下部分的長(zhǎng)是10米.出門在外的李大爺擔(dān)心自己的房子被倒 下的大樹(shù)砸到.大樹(shù)倒下時(shí)能砸到李大爺?shù)姆孔訂幔空?qǐng)你通過(guò)計(jì)算、分析后給出正確的回 答.（） A. 定不會(huì)E.可能會(huì)C. 一定會(huì)D.以上答案都不對(duì) 23. 如圖，在直角坐標(biāo)系中，將矩形 OABC沿OB對(duì)折，使點(diǎn)A落在A處，已知OA= 3 , AB=1，則點(diǎn)Ai的坐標(biāo)是（ ）。 3 3、 2 2 佇,3) c、（| 孑 三、想好了再規(guī)范的寫 AB = 3.00 cm CA = 4.11 cm 24、已知：在四邊形 ABCD 中