方波的傅立葉分解與合成

1、課題方波的傅立葉分解與合成教學(xué)目的1、用RLC串聯(lián)諧振方法將方波分解成基波和各次諧波，并測量它們的振幅與相位關(guān)系。2、將一組振幅與相位可調(diào)正弦波由加法器合成方波。3、了解傅立葉分析的物理含義和分析方法。重難點(diǎn)1、了解串聯(lián)諧振電路的基本特性及在選頻電路中的應(yīng)用 了解方波的傅立葉合成的物理意義。2、選頻電路將方波轉(zhuǎn)換成奇數(shù)倍頻正弦波的物理意義。教學(xué)方法講授與實(shí)驗(yàn)演示相結(jié)合。學(xué)時(shí)3學(xué)時(shí)。、/、 亠刖言任何一個(gè)周期性函數(shù)都可以用傅立葉級數(shù)來表示，這種用傅立葉級數(shù)展開 并進(jìn)行分析的方法在數(shù)學(xué)、物理、工程技術(shù)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。例如要消除某些電 器、儀器或機(jī)械的噪聲，就要分析這些噪聲的主要頻譜，從而找出

2、消除噪 聲方法；又 如要得到某種特殊的周期性電信號，可以利用傅立葉級數(shù)合成，將一系列正弦波形 合成所需的電信號等。本實(shí)驗(yàn)利用串聯(lián)諧振電路，對方波電信號進(jìn) 行頻譜分析，測 量基頻和各階倍頻信號的振幅以及它們之間的相位關(guān)系。然后將此過程逆轉(zhuǎn)，利用加法器將一組頻率倍增而振幅和相位均可調(diào)節(jié)的正弦信號合成 方波 信號。要求通過實(shí)驗(yàn)加深理解傅立葉分解和合成的物理意義，了解串聯(lián)諧振電路的某些基本特性及在選頻電路中的應(yīng)用。實(shí)驗(yàn)儀器FD-FLYJ傅立葉分解合成儀，DF4320示波器，標(biāo)準(zhǔn)電感，電容箱三. 實(shí)驗(yàn)原理任何具有周期為T的波函數(shù)f(t)都可以表示為三角函數(shù)所構(gòu)成的級數(shù)之和，即：oO=2 3o (an c

3、os n(4) t + bn sinn 士2n其中：T為周期，3為角頻率。3二；第一項(xiàng)為直流分量h-T-h0T圖1方波所謂周期性函數(shù)的傅立葉分解就是將周期性函數(shù)展開成直流分量、基波和所有n階諧波的迭加。如圖所示的方波可以寫成:(h(0 J )f(t)= 2-h (- _t 乞 0)1此方波為奇函數(shù)，它沒有常數(shù)項(xiàng)。數(shù)學(xué)上可以證明此方波可表示為:f(t)=4h1 門(sint 衣 + si11衣 + sin5 衣 + sin7 衣574h 7oO11sinI2n1 )(a)方波傅立葉分解的選頻電路:實(shí)驗(yàn)線路圖如圖所示。這是一個(gè)簡單的 RLC電路，其中R、C是可變的，L取 0.1Ho當(dāng)輸入信號的頻率

4、與電路的諧振頻率相匹配時(shí)，此電路將有最大的響應(yīng)，諧振頻率GJD為:如果我們調(diào)節(jié)可變電容C,在n血頻率諧振，我們將從此周期性波形中選擇出這個(gè)單元。它的值為：(t) = bnsin n Wot這時(shí)電阻R兩端電壓為：V r (t) = I oRsin( nwt+ )此式中=tg，X, X為串聯(lián)電路感抗和容抗之和RbI o=z , z為串聯(lián)電路的總阻抗。在諧振狀態(tài)x=o此時(shí)，阻抗 Z=r+R+R+Fc=r+R+R其中，r為方波或三角波電源的內(nèi)阻；R為取樣電阻；R_為電感的損耗電阻；Rd為標(biāo)準(zhǔn)電容的損耗電阻。(Fc值常因較小而忽略)(b)方波傅立葉合成：對振幅和相位連續(xù)可調(diào)的1 KHz, 3KHz, 5

5、KHz, 7KHz四組正弦波，如果將這四 組正弦波的初相位和振幅按一定要求調(diào)節(jié)好以后， 輸入到加法器疊加后，就可以 合成出方波。四. 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容及步驟1 方波的傅立葉分解(1) 求RLC串聯(lián)電路對1KHz, 3KHz, 5KHz正弦波諧振時(shí)的電容Ci, C3, C5, 并與理論值進(jìn)行比較(2) 將1 KHz方波進(jìn)行頻譜分解，測量基波和n階諧波的振幅和相對相位。2 方波的傅立葉合成用李薩如圖形反復(fù)調(diào)節(jié)各組移相器，使1KHz, 3KHz, 5KHz, 7KHz正弦波同位相。調(diào)節(jié)方法是示波器X軸輸入1 KHz正弦波，而丫軸輸入1KHz, 3KHz,5KHz, 7KHz正弦波在示波器上顯示如下波形時(shí)：Y

6、 輸入1 KHZ 3KHZ 5KHZ7KHZ此時(shí)，基波和各階諧波初相位相同。1 1 1(2) 調(diào)節(jié) 1KFz,3KFz, 5KFz, 7KFz正弦波振幅比為:1：3:5:7 (3) 將1KHt,3KHz, 5KHz, 7KHz正弦波逐次輸入加法器，觀察合成波形變化，最后可看到近似方波圖形。五. 實(shí)驗(yàn)注意事項(xiàng)1、選頻電路接線時(shí)，方波信號源的地線必須與示波器的地線連接在一起。教師必須檢查每個(gè)學(xué)生的接線。2、使用電容箱時(shí)，電容值的相加釆取的是并聯(lián)方式。3、用銅線繞制的電感由于存在趨膚效應(yīng)，其損耗電阻隨頻率升高而增加，因 此使3KFz, 5KFz諧波振幅比理論值偏小，此系統(tǒng)誤差應(yīng)進(jìn)行校正。4、合成方波

7、接線時(shí)，參考正弦波輸入示波器的X軸，各疊加正弦波輸入示波 器 的丫軸。5、調(diào)基波與各諧波同位相時(shí)，各組移相器須配合調(diào)節(jié)。6、測量或調(diào)節(jié)基波與各諧波的振幅時(shí)，示波器的偏轉(zhuǎn)因數(shù)須固定。六. 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及處理表諧振頻率f i1000FZ3000FZ5000Fz實(shí)驗(yàn)值0.253 門0.0280 yf0.0100 yf理論值0.253 yf0.0280 yf0.0101 yf表2諧振時(shí)電容值C1 (y)f0.253C1和C3之間0.028C3和C5之間0.010諧振頻率(KHZ)1無諧振3無諧振5相對振幅(cm)6.001.800.90李薩如圖/VVA與參考正弦波位相差nnn相對振幅測量時(shí)，系統(tǒng)誤差可用分壓原理校正。 設(shè)：b3為3KFz諧波校正后振幅。b 3為3KHz諧波未被校正時(shí)振幅。R L1為1 KHz使用頻率時(shí)損耗電阻。R L3為3KHz使用頻率時(shí)損耗電阻。則：RRb3: b3 二:Rli + R + r Rl3 + R + r Rl3 + R + r b3 = b3Rli + R + r對5KHz諧波也可作類似的校正?；?1KHz, b t 6.00cm諧波 3KH乙 b 3=1.80 X =2.07cm26 .0 +22 .0 +6.053.022.06.0諧波 5KHz bs=0.90 X=1.3cm26