高等數(shù)學(xué)中極限問題解法詳析

1、數(shù)學(xué)分析中極限的求法 摘要:本文主要?dú)w納了數(shù)學(xué)分析中求極限的十四種方法, 1：利用兩個(gè)準(zhǔn)則求極限, 2:利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)求極限, 3:利用兩個(gè)重要極限公式求極限, 4：利用單側(cè)極限求極限，5：利用函數(shù)的連續(xù)性求極限, 6：利用無窮小量的性質(zhì)求極限, 7：利用等價(jià)無窮小量代換求極限, 8：利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限, 9：利用中值定理求極限, 10：利用洛必達(dá)法則求極限, 11：利用定積分求和式的極限,12：利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限, 13：利用泰勒展開式求極限, 14：利用換元法求極限。關(guān)鍵詞: 夾逼準(zhǔn)則, 單調(diào)有界準(zhǔn)則, 無窮小量的性質(zhì), 洛必達(dá)法則, 中值定理, 定積分, 泰勒展開式,

2、 級(jí)數(shù)收斂的必要條件.極限是數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)分析中的基本概念來表述，都可以用極限來描述。如函數(shù)yf(x)在處導(dǎo)數(shù)的定義，定積分的定義，偏導(dǎo)數(shù)的定義，二重積分，三重積分的定義，無窮級(jí)數(shù)收斂的定義，都是用極限來定義的。極限是研究數(shù)學(xué)分析的基本公具。極限是貫穿數(shù)學(xué)分析的一條主線。學(xué)好極限是從以下兩方面著手。1：是考察所給函數(shù)是否存在極限。2：若函數(shù)否存在極限，則考慮如何計(jì)算此極限。本文主要是對(duì)第二個(gè)問題即在極限存在的條件下，如何去求極限進(jìn)行綜述。1：利用兩個(gè)準(zhǔn)則求極限。 (1)夾逼準(zhǔn)則：若一正整數(shù) N,當(dāng)nN時(shí)，有且則有 . 利用夾逼準(zhǔn)則求極限關(guān)鍵在于從的表達(dá)式中，通常通過放大或縮小的方法找出兩

3、個(gè)有相同極限值的數(shù)列和 ，使得。例1 求的極限解：因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以存在最大項(xiàng)和最小項(xiàng) 則 又因?yàn)椋?）：?jiǎn)握{(diào)有界準(zhǔn)則：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限，而且極限唯一。 利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限，關(guān)鍵先要證明數(shù)列的存在，然后根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)遞推公式求極限。 例：1 證明下列數(shù)列的極限存在，并求極限。 證明：從這個(gè)數(shù)列構(gòu)造來看 顯然是單調(diào)增加的。用歸納法可證。 又因?yàn)?所以得. 因?yàn)榍懊孀C明是單調(diào)增加的。 兩端除以 得 因?yàn)閯t, 從而 即 是有界的。根據(jù)定理有極限，而且極限唯一。 令 則 則. 因?yàn)?解方程得 所以 2：利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)求極限 極限的四則運(yùn)算性質(zhì)：1：兩收斂數(shù)列的和或積或差也收斂且和或積或

4、差的極限等于極限和的或積或差。 2：兩收斂數(shù)列且作除數(shù)的數(shù)列的極限不為零，則商的極限等于極限的商。通常在這一類型的題中，一般都含有未定式不能直接進(jìn)行極限的四則運(yùn)算。首先對(duì)函數(shù)施行各種恒等變形。例如分之，分母分解因式，約去趨于零但不等于零的因式；分之，分母有理化消除未定式；通分化簡(jiǎn)；化無窮多項(xiàng)的和（或積）為有限項(xiàng)。例；求極限(1) (2)(3)(4) 已知 求解：(1) (2)(3)-1 (4) 因?yàn)?所以 3：利用兩個(gè)重要極限公式求極限 兩個(gè)極限公式 (1) (2) 在這一類型題中，一般也不能直接運(yùn)用公式，需要恒等變形進(jìn)行化簡(jiǎn)后才可以利用公式。 例：求下列函數(shù)的極限4 (1) (2) 解：(1

5、) 1(2) 14：利用單側(cè)極限求極限 這種方法使用于求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限，首先必須考慮分段點(diǎn)的左、右極限，如果左、右極限都存在且相等，則函數(shù)在分界點(diǎn)處的極限存在，否則極限不存在。例：求 f(x)在x=0的左右極限 解：1 1 5：利用函數(shù)的連續(xù)性求極限這種方法適用于求復(fù)合函數(shù)的極限。如果 u=g(x) 在點(diǎn)連續(xù) g()=,而y=f(u)在點(diǎn)連續(xù)，那么復(fù)合函數(shù)y=f(g(x)在點(diǎn)連續(xù)。即也就是說，極限號(hào)可以與符號(hào)f互換順序。 例：求 解：令 ylnu, u 因?yàn)?lnu 在點(diǎn) 處連續(xù) 所以 16：利用無窮小量的性質(zhì)求極限： 無窮小量的性質(zhì)：無窮小量與有界量的乘積還是無窮小量。如果,g(x

6、)在某區(qū)間有界，那么.這種方法可以處理一個(gè)函數(shù)不存在但有界，和另一個(gè)函數(shù)的極限是零的極限的乘積的問題。 例：求 解： 因?yàn)?所以 07：利用等價(jià)無窮小量代換求極限： 等價(jià)無窮小量：當(dāng)時(shí)，稱y,z是等價(jià)無窮小量：記為 yz 在求極限過程中，往往可以把其中的無窮小量，或它的主要部分來代替。但是，不是乘除的情況，不一定能這樣做。 例：求 解：88：利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限 導(dǎo)數(shù)的定義：函數(shù)f(x)在附近有定義，則 如果存在，則此極限值就稱函數(shù) f(x)在點(diǎn) 的導(dǎo)數(shù)記為 .即在這種方法的運(yùn)用過程中。首先要選好f(x)。然后把所求極限。表示成f(x)在定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。 例：求 解：取f(x)= .則 9：利用中

7、值定理求極限： 1：微分中值定理：若函數(shù) f(x) 滿足 () 在 連續(xù) .()在(a,b)可導(dǎo)；則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使 例2：求 解： 2：積分中值定理：設(shè)函數(shù)f(x) 在閉區(qū)間 上連續(xù);g(x) 在上不變號(hào)且可積，則在上至少有一點(diǎn)使得 例：求 解： 10：洛必達(dá)法則求極限： 洛必達(dá)法則只能對(duì)或型才可直接使用，其他待定型必須先化成這兩種類型之一，然后再應(yīng)用洛必達(dá)法則。洛必達(dá)法則只說明當(dāng) 等于 A 時(shí)，那么也存在且等于A. 如果不存在時(shí)，并不能斷定也不存在，只是這是不能用洛必達(dá)法則，而須用其他方法討論 。 例1：(1) 求 (2)求 解：(1) 由 所以上述極限是待定型1(2) 它為

8、型 由對(duì)數(shù)恒等式可得 = 11：利用定積分求和式的極限 利用定積分求和式的極限時(shí)首先選好恰當(dāng)?shù)目煞e函數(shù)f(x)。把所求極限的和式表示成f(x)在某區(qū)間 上的待定分法（一般是等分）的積分和式的極限。 例：求 解：由于 可取函數(shù) f(x)區(qū)間為上述和式恰好是 在 上n等分的積分和。 所以 12：利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限 利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件：若級(jí)數(shù)收斂，則運(yùn)用這個(gè)方法首先判定級(jí)數(shù)收斂，然后求出它的通項(xiàng)的極限 例： 求 解：設(shè) 則 = =01由比值判別法知收斂 由必要條件知013：利用泰勒展開式求極限 泰勒展開式：若 f(x)在x=0點(diǎn)有直到n+1 階連續(xù)導(dǎo)數(shù),那么 (其中在0與1之間) 例：

9、 解：泰勒展開式 于是- 所以14：換元法求極限： 當(dāng)一個(gè)函數(shù)的解析式比較復(fù)雜或不便于觀察時(shí)，可采用換元的方法加以變形，使之簡(jiǎn)化易求。 例：3 求 解：令 則 1附:各種求極限問題及解題方法1約去零因子求極限例1：求極限【說明】表明無限接近，但，所以這一零因子可以約去?！窘狻?42分子分母同除求極限例2：求極限【說明】型且分子分母都以多項(xiàng)式給出的極限,可通過分子分母同除來求。【解】【注】(1) 一般分子分母同除的最高次方；(2) 3分子(母)有理化求極限例3：求極限【說明】分子或分母有理化求極限，是通過有理化化去無理式?！窘狻坷?：求極限【解】【注】本題除了使用分子有理化方法外，及時(shí)分離極限式

10、中的非零因子是解題的關(guān)鍵4應(yīng)用兩個(gè)重要極限求極限兩個(gè)重要極限是和，第一個(gè)重要極限過于簡(jiǎn)單且可通過等價(jià)無窮小來實(shí)現(xiàn)。主要考第二個(gè)重要極限。例5：求極限【說明】第二個(gè)重要極限主要搞清楚湊的步驟：先湊出，再湊，最后湊指數(shù)部分?！窘狻坷?：(1)；(2)已知，求。5用等價(jià)無窮小量代換求極限【說明】(1)常見等價(jià)無窮小有：當(dāng) 時(shí),；(2) 等價(jià)無窮小量代換,只能代換極限式中的因式；(3)此方法在各種求極限的方法中應(yīng)作為首選。例7：求極限【解】 .例8：求極限【解】6用羅必塔法則求極限例9：求極限【說明】或型的極限,可通過羅必塔法則來求?！窘狻俊咀ⅰ吭S多變動(dòng)上顯的積分表示的極限，常用羅必塔法則求解例10：

11、設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且，求極限【解】 由于,于是 =7用對(duì)數(shù)恒等式求極限 例11：極限 【解】 =【注】對(duì)于型未定式的極限，也可用公式=因?yàn)槔?2：求極限.【解1】 原式 【解2】 原式 8利用Taylor公式求極限 例13 求極限 .【解】 , ; .例14 求極限.【解】 .9數(shù)列極限轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限求解例15：極限【說明】這是形式的的數(shù)列極限，由于數(shù)列極限不能使用羅必塔法則，若直接求有一定難度，若轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限，可通過7提供的方法結(jié)合羅必塔法則求解。【解】考慮輔助極限所以，10n項(xiàng)和數(shù)列極限問題n項(xiàng)和數(shù)列極限問題極限問題有兩種處理方法(1)用定積分的定義把極限轉(zhuǎn)化為定積分來計(jì)算;(2)利用兩邊夾法則求極限.例16：極限【說明】用定積分的定義把極限轉(zhuǎn)化為定積分計(jì)算,是把看成0,1定積分。【解】原式例17：極限【說明】(1)該題遇上一題類似，但是不能湊成的形式，因而用兩邊夾法則求解； (2) 兩邊夾法則需要放大不等式，常用的方法是都換成最大的或最小的。【解】因?yàn)橛炙?2單調(diào)有界數(shù)列的極