高一數(shù)學(xué)典型例題分析：等比數(shù)列

1、等比數(shù)列例題解析【例1】 已知Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，Snpn(pR，nN*)，那么數(shù)列an A是等比數(shù)列B當(dāng)p0時(shí)是等比數(shù)列C當(dāng)p0，p1時(shí)是等比數(shù)列D不是等比數(shù)列分析 由Snpn(nN*)，有a1=S1p，并且當(dāng)n2時(shí)，an=SnSn-1pnpn-1(p1)pn-1但滿足此條件的實(shí)數(shù)p是不存在的，故本題應(yīng)選D說明 數(shù)列an成等比數(shù)列的必要條件是an0(nN*)，還要注【例2】 已知等比數(shù)列1，x1，x2，x2n，2，求x1x2x3x2n解 1，x1，x2，x2n，2成等比數(shù)列，公比q21q2n+1x1x2x3x2nqq2q3q2n=q1+2+3+2n式；(2)已知a3a4a58，求a2a

2、3a4a5a6的值a42- 2 - / 15【例4】 已知a0，b0且ab，在a，b之間插入n個(gè)正數(shù)x1，x2，xn，使得a，x1，x2，xn，b成等比數(shù)列，求證明 設(shè)這n2個(gè)數(shù)所成數(shù)列的公比為q，則b=aqn+1【例5】 設(shè)a、b、c、d成等比數(shù)列，求證：(bc)2(ca)2(db)2(ad)2證法一 a、b、c、d成等比數(shù)列b2ac，c2bd，adbc左邊=b22bcc2c22aca2d22bdb2=2(b2ac)2(c2bd)(a22bcd2)a22add2(ad)2右邊證畢證法二 a、b、c、d成等比數(shù)列，設(shè)其公比為q，則：baq，caq2，d=aq3左邊(aqaq2)2(aq2a)2

3、(aq3aq)2a22a2q3a2q6=(aaq3)2(ad)2=右邊證畢說明 這是一個(gè)等比數(shù)列與代數(shù)式的恒等變形相綜合的題目證法一是抓住了求證式中右邊沒有b、c的特點(diǎn)，走的是利用等比的條件消去左邊式中的b、c的路子證法二則是把a(bǔ)、b、c、d統(tǒng)一化成等比數(shù)列的基本元素a、q去解決的證法二稍微麻煩些，但它所用的統(tǒng)一成基本元素的方法，卻較證法一的方法具有普遍性【例6】 求數(shù)列的通項(xiàng)公式：(1)an中，a12，an+13an2(2)an中，a1=2，a25，且an+23an+12an0思路：轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列an1是等比數(shù)列an1=33n-1 an=3n1an+1an是等比數(shù)列，即an+1an=(a2a

4、1)2n-1=32n-1再注意到a2a1=3，a3a2=321，a4a3=322，anan-1=32n-2，這些等式相加，即可以得到說明 解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)一個(gè)等比數(shù)列，即化生疏為已知(1)中發(fā)現(xiàn)an1是等比數(shù)列，(2)中發(fā)現(xiàn)an+1an是等比數(shù)列，這也是通常說的化歸思想的一種體現(xiàn)證 a1、a2、a3、a4均為不為零的實(shí)數(shù)上述方程的判別式0，即又a1、a2、a3為實(shí)數(shù)因而a1、a2、a3成等比數(shù)列a4即為等比數(shù)列a1、a2、a3的公比【例8】 若a、b、c成等差數(shù)列，且a1、b、c與a、b、c2都成等比數(shù)列，求b的值解 設(shè)a、b、c分別為bd、b、bd，由已知bd1、b、bd與bd、b、bd2都

5、成等比數(shù)列，有整理，得bd=2b2d 即b=3d代入，得9d2=(3dd1)(3dd)9d2=(2d1)4d解之，得d=4或d=0(舍)b=12【例9】 已知等差數(shù)列an的公差和等比數(shù)列bn的公比都是d，又知d1，且a4=b4，a10=b10：(1)求a1與d的值；(2)b16是不是an中的項(xiàng)？思路：運(yùn)用通項(xiàng)公式列方程(2)b16=b1d15=32b1b16=32b1=32a1，如果b16是an中的第k項(xiàng)，則32a1=a1(k1)d(k1)d=33a1=33dk=34即b16是an中的第34項(xiàng)解 設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則an=a1(n1)d解這個(gè)方程組，得a1=1，d=2或a1=3，d=2

6、當(dāng)a1=1，d=2時(shí)，an=a1(n1)d=2n3當(dāng)a1=3，d=2時(shí)，an=a1(n1)d=52n【例11】 三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，若第二個(gè)數(shù)加4就成等差數(shù)列，再把這個(gè)等差數(shù)列的第3項(xiàng)加32又成等比數(shù)列，求這三個(gè)數(shù)解法一 按等比數(shù)列設(shè)三個(gè)數(shù)，設(shè)原數(shù)列為a，aq，aq2由已知：a，aq4，aq2成等差數(shù)列即：2(aq4)=aaq2a，aq4，aq232成等比數(shù)列即：(aq4)2=a(aq232)解法二 按等差數(shù)列設(shè)三個(gè)數(shù)，設(shè)原數(shù)列為bd，b4，bd由已知：三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列即：(b4)2=(bd)(bd)bd，b，bd32成等比數(shù)列即b2=(bd)(bd32)解法三 任意設(shè)三個(gè)未知數(shù)，設(shè)原數(shù)列為a1

7、，a2，a3由已知：a1，a2，a3成等比數(shù)列a1，a24，a3成等差數(shù)列得：2(a24)=a1a3a1，a24，a332成等比數(shù)列得：(a24)2=a1(a332)說明 將三個(gè)成等差數(shù)列的數(shù)設(shè)為ad，a，ad；將三個(gè)成簡化計(jì)算過程的作用【例12】 有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和是12，求這四個(gè)數(shù)分析 本題有三種設(shè)未知數(shù)的方法方法一 設(shè)前三個(gè)數(shù)為ad，a，ad，則第四個(gè)數(shù)由已知條方法二 設(shè)后三個(gè)數(shù)為b，bq，bq2，則第一個(gè)數(shù)由已知條件推得為2bbq方法三 設(shè)第一個(gè)數(shù)與第二個(gè)數(shù)分別為x，y，則第三、第四個(gè)數(shù)依次為1

8、2y，16x由這三種設(shè)法可利用余下的條件列方程組解出相關(guān)的未知數(shù)，從而解出所求的四個(gè)數(shù)，所求四個(gè)數(shù)為：0，4，8，16或15，9，3，1解法二 設(shè)后三個(gè)數(shù)為：b，bq，bq2，則第一個(gè)數(shù)為：2bbq所求四個(gè)數(shù)為：0，4，8，16或15，9，3，1解法三 設(shè)四個(gè)數(shù)依次為x，y，12y，16x這四個(gè)數(shù)為0，4，8，16或15，9，3，1【例13】 已知三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其和為126；另外三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，把兩個(gè)數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)依次相加，分別得到85，76，84求這兩個(gè)數(shù)列解 設(shè)成等差數(shù)列的三個(gè)數(shù)為bd，b，bd，由已知，bdbbd=126b=42這三個(gè)數(shù)可寫成42d，42，42d再設(shè)另三個(gè)數(shù)為a，aq

9、，aq2由題設(shè)，得解這個(gè)方程組，得a1=17或a2=68當(dāng)a=17時(shí)，q=2，d=26從而得到：成等比數(shù)列的三個(gè)數(shù)為17，34，68，此時(shí)成等差的三個(gè)數(shù)為68，42，16；或者成等比的三個(gè)數(shù)為68，34，17，此時(shí)成等差的三個(gè)數(shù)為17，42，67【例14】 已知在數(shù)列an中，a1、a2、a3成等差數(shù)列，a2、a3、a4成等比數(shù)列，a3、a4、a5的倒數(shù)成等差數(shù)列，證明：a1、a3、a5成等比數(shù)列證明 由已知，有2a2=a1a3即 a3(a3a5)=a5(a1a3)所以a1、a3、a5成等比數(shù)列【例15】 已知(bc)logmx(ca)logmy(ab)logmz=0(1)設(shè)a，b，c依次成等差數(shù)列，且公差不為零，求證：x，y，z成等比數(shù)列(2)設(shè)正數(shù)x，y，z依次成等比數(shù)列，且公比不為1，求證：a，b，c成等差數(shù)列證明 (1)a，b，c成等差數(shù)列，且公差d0bc=ab=d，ca=2d代入已知條件，得：d(logmx2logmylogmz)=0logmxlogmz=2logmyy2=xzx，y，z均為正數(shù)x，y，z成等比數(shù)列(2)x，