2022年代數(shù)不等式的應(yīng)用技巧之知識(shí)篇

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載代數(shù)不等式的應(yīng)用技巧在本節(jié)的介紹中， 我們只涉及一些預(yù)備學(xué)問及某些總結(jié)，在下一節(jié)里我們會(huì)重點(diǎn)探尋不等式證明的技巧；數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法是證明一些n 元不等式的有力工具， 它的形式也特別豐富， 技巧性也特別強(qiáng)， 下面就介紹最常用的四種歸納法：一 第一數(shù)學(xué)歸納法（簡(jiǎn)稱數(shù)學(xué)歸納法）設(shè) p（ n）是關(guān)于正整數(shù) n 的一個(gè)命題，假如（1） 當(dāng) n=1 時(shí)， p（ n）成立；（2） 假設(shè) p（ k）成立，可推出 p（ k+1）成立；其中 k 1；那么，對(duì)任意 nn*, p（ n）都成立；二 其次數(shù)學(xué)歸納法設(shè) p（ n）是關(guān)于正整數(shù) n 的一個(gè)命題，假如p（n）和 q（n）（1） 當(dāng) n=1

2、 時(shí)， p（ n）成立；（2） 假設(shè) p（ n）對(duì) n k 都成立，可推出 p（ k+1）成立；那么，對(duì)任意 nn*, p（ n）都成立；三 倒推歸納法設(shè) p（ n）是關(guān)于正整數(shù) n 的一個(gè)命題，假如（ 1） p（ n）對(duì)無窮多個(gè)正整數(shù)成立；（ 2） 假設(shè) p（ n）對(duì) k 成立，可推出 p（ k-1）成立；那么，對(duì)任意 nn*, p（ n）都成立；四 二重歸納法設(shè)命題 p（ n,m ）是與兩個(gè)獨(dú)立的正整數(shù)n,m 有關(guān)的命題，假如（ 1） p（ 1， m）對(duì)一切 mn* 成立， pn,1對(duì)一切 nn* 成立；（ 2） 假設(shè) pn+1,m和 pn,m+1成立時(shí)，可推出 pn+1,m+1成立；那么

3、命題 p（ n,m ）對(duì)全部的正整數(shù)n,m 都成立；以上四種歸納法幾乎是百分之九十九的歸納法證題中顯現(xiàn)的，后面我們將通過一些題目來深刻懂得它們的作用；一 均值不等式幾個(gè)聞名的不等式設(shè) a1 ,a2 ,., an 均為正數(shù)，我們就有下式成立：a1a2n.anna1a2.an這個(gè)均值不等式的證明方法有許多，下面我們就選取倒推數(shù)學(xué)歸納法來證明：當(dāng) n=2 時(shí)，不等式明顯成立；假如不等式對(duì) n 成立，就當(dāng) 2n 時(shí)，我們有a1a2.anan 1.a2nn n a1a2 .annn an1 an2 .a2nn na1a2. .a.nn ana1n2a. .n.2所以不等式對(duì)2 的冪次方都成立；2n 2n

4、 a1a 2. a. . n2假設(shè)不等式對(duì) n 成立，我們?cè)O(shè) as， saa.a，就n12n 1n1ss化簡(jiǎn)得，sn nn1a1a2 .an 1n1所以，不等式對(duì) n-1 也成立；sn1n1 a1a2 .an 1在這里，我想有些同學(xué)會(huì)有點(diǎn)想不明白，為什么在假設(shè)n 成立的時(shí)候會(huì)構(gòu)造出ans這個(gè)“特別項(xiàng)”？n1an 可以是其他的值啊，不肯定是這個(gè)“特別項(xiàng)”啊，這樣證明不就是有點(diǎn)特別化處理的意思了嗎？以前就有同學(xué)問過這種類似的問題，那么現(xiàn)在就詳細(xì)來講講這樣做究竟存不存在紕漏；第一，我們選取任意n-1 個(gè)數(shù)a1, a2 ,., an1 ；其次，由于我們假設(shè)不等式對(duì)n 成立， 也就是說， 任意的 n 個(gè)

5、正數(shù)都滿意不等式， 那么我從任意當(dāng)中選取一組a , a,., a,s當(dāng)然也成立；最終我們依據(jù)我們選取的n 時(shí)的不等式進(jìn)行化簡(jiǎn)，12n 1n1得到 n-1 時(shí)的不等式，恰好也成立，而這n-1 個(gè)數(shù)是我們一開頭任取的，所以滿意普遍性， 所以均值不等式就證完了！從中我們也可以看出數(shù)學(xué)歸納法的技巧性的確很強(qiáng)，在以后的學(xué)習(xí)中我們會(huì)進(jìn)一步體會(huì)到；二 柯西不等式設(shè) a1 ,a2 ,., an; b1, b2 ,.bn 是兩串實(shí)數(shù)（正負(fù)均可） ，就有nnna2b2a b 2iiiii 1i 1i 1a其中當(dāng)且僅當(dāng)1b1a2.b2an時(shí)等號(hào)成立；bn同樣，柯西不等式的證明方法也許多，下面給出兩種證明方法；方法一

6、：構(gòu)造二次函數(shù)f xa xb 2 a xb 2.a xb 2 ，整理得1122nnf xa 2a 2.a 2 x22a ba b.a b b2b2.b2 12n1 12 2nn12n由于 fx0，所以判別式0，即柯西不等式成立； 如f x=0，就1ab1a2an.，b2bn這也是柯西等號(hào)成立的條件；nn1 nn方法二：由恒等式i 1 jai bj12 i 1 ai bjj 1a j bi ，我們有nnna2 b 2 a b 2iiiii 1i 1i 1nnnn=a 2b 2a b a bijiijji 1 j 1i 1 j 11 nn22222 i 1ai bjj 1a j bi2ai bi

7、a j bj 1 nn ai bj2a j bi 2 i 1 j 10證畢?。ㄆ渲性摵愕仁椒Q為拉格朗日恒等式）其實(shí)，這種形式的柯西在解題中用的并不是許多，相反，以下推論倒用的蠻多的：nn12推論 1 設(shè) a1, a2,. an 是正實(shí)數(shù)，就 ai n ，當(dāng)且僅當(dāng) a1a2.an 時(shí)等號(hào)i 1i 1 ai成立；nn推論 2 設(shè) a , a,. a 是實(shí)數(shù)，就 na2a 2 ，當(dāng)且僅當(dāng) aa.a 時(shí)等號(hào)成立；12nii12ni 1i 1推論 3 假如a1 , a2,. an 是正實(shí)數(shù)，就有以下變形：nnannan2ai 變形 1ai bii 1ii1 biaii 1 2, 即iii 1n1 bia

8、i bii 1inna 2nna 2n2ai 變形 2bii 1i 1 biaii 12 ,即i 1ii 1bnibii 1nnn變形 3aibii 1i 1ai bii 1上述三種變形對(duì)解決不等式證明特別有用！三 凹凸不等式凹凸不等式就是利用函數(shù)的凹凸性來證明大小的手段，這不僅顯現(xiàn)在自主招生和競(jìng)賽中，近幾年也頻頻顯現(xiàn)在高考中，以它為背景的高考題層出不窮，下面我們來詳細(xì)介紹；定義 設(shè)連續(xù)函數(shù)yf x定義在區(qū)間 i 上，對(duì)任意的x1 , x2i ，及1 ,2r ，且滿意121 ；如f 1 x12 x21 f x12 f x2，就稱f x是區(qū)間i上的凹函數(shù) ，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x1x2 時(shí)取得；如

9、f 1 x12 x2 1 f x1 2 f x2 ，就稱f x是區(qū)間 i上的凸函數(shù) ，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x1x2 時(shí)取得；判定一個(gè)函數(shù)為凹凸函數(shù)的方法就是，對(duì)這個(gè)函數(shù)求兩次導(dǎo)，如值大于0，那么它在區(qū)間 i 上是凹函數(shù)；如值小于0，那么它在區(qū)間 i 上是凸函數(shù)；四 排序不等式和切比雪夫不等式（排序不等式）設(shè) a1a2.an ; b1b2.bn ， i1 ,i 2,.i n 是 1,2， ， n 的一個(gè)排列，就我們有a1 b1a2b2a3 b3.anbn （同序和）a1bia2bia3bi.anbi（亂序和）123na1bna2bn 1a3bn 2.anb1 （倒序和）這里引申出一個(gè)小小的很有用結(jié)論

10、（推論）：設(shè)a,b 為正實(shí)數(shù)，m, n 為正整數(shù)，就有am nbm nam bnanbm（切比雪夫不等式）如 a1a2.an ; b1b2.bn 或者 a1a2.an ;b1b2.bn ，就有1nn i 1ai bi 1nn i 11ai nnbi i 1如 a1a2.an; b1b2.bn或者a1a2.an ;b1b2.bn ，就有1nn i 1ai bi1 nn i 11ai nnbi i 1切比雪夫的證明由排序不等式明顯得出；五 伯努利不等式如 x1,nn, 就有1+x n1nx ，當(dāng)且僅當(dāng) x=0 或 n=1 時(shí)等號(hào)成立；這個(gè)用導(dǎo)數(shù)不難證明，下面給出有用的推論：推論 如 t0, nn,

11、就有 t n1nt1 ，當(dāng)且僅當(dāng) t=1 或 n=1 時(shí)等號(hào)成立， 往往這個(gè)形式的伯努利不等式更常用；六 舒爾不等式舒爾不等式對(duì)于解決三元四元的不等式證明特別給力，雖然三四元的不等式已慢慢退出了競(jìng)賽，但自主招生或初賽仍是得預(yù)備的，以防萬一；設(shè) x,y, z0, 就對(duì)于任意 r0 ，都有xr xy xzyr yx yzzr zx zy0當(dāng)且僅當(dāng) xyz 或者 x, y, z 中有兩個(gè)相等，第三個(gè)為0；下面給出證明：由于輪換對(duì)稱性，不妨設(shè)xyz0 ，分類證明之當(dāng) r =0 時(shí)，我們有xy xz yx yz zx zy=x 2y2z2 xyxzyz1 xy220 xz2 yz 2當(dāng) r0 時(shí)，我們有

12、xr xy xzxr xy xzyr xy xz y r xy 20y r xy yzyr xy yzyr xy yzzr yz xz當(dāng) r0 時(shí)，我們有xr xy xzyr xy yzzr yz xz- yr xy yz- yr xy yz y r yz20zr yzxzyr yzxz所以綜上可得rx xyxzry yxyzr0z zxzy舒爾不等式的強(qiáng)大是在于它的取等條件不止一種，而且它形式的一般性打算了它的變幻莫測(cè)，由于我們可以通過對(duì)r 的不同選取直接導(dǎo)致各種高次方不等式的產(chǎn)生，而選取r=1，就下面的變形是它最常用的證明手段：變形 1x3y3z3 x2 yxy2x2 zxz2y2 zyz

13、2 3 xyz0我們把它簡(jiǎn)記為x3cyccycx2 yz3xyz0變形 2 xyz24 xyz xyxzyz9 xyz0我們把它簡(jiǎn)記為 x34xxy9xyz0cyccyccyc變形 3xyzxyz xzyyzx我們把它簡(jiǎn)記為xyzcycxyz變形 42x yzx22y xzyz xyz3 xyz我們把它簡(jiǎn)記為cycx2 yzx3xyz以上各種變形須熟記在心，把它們運(yùn)用自如，那么應(yīng)付三四元的不等式就小輕松了；一 輪換求和cyc幾個(gè)常用的符號(hào)cycf a, b,cf a,b, cf b,c,af c, a,b例如：cycababbcca二 對(duì)稱求和f a, b, csymf a, b, cf a,

14、 c, bf b, a, cf b, c, af c, a, bf c,b, asym例如：symababbabccbacca三 輪換求積cyccycf a, b, cf a, b,cf b, c,af c, a, b四 對(duì)稱求積sym（同樣類似）幾個(gè)恒等式有句話說得好， 恒等式是最強(qiáng)的不等式！能熟識(shí)各種恒等式并敏捷運(yùn)用，對(duì)證明不等式大有幫忙，當(dāng)然這要靠平常積存，下面先列出幾個(gè)來初窺斑豹：x33xcyc1 xx2 cycy2xyxxyxcyccyccyccycx y2z2 xxy3xcyccyccyccycx42x2 y2xxyzcyccyccyccyc（以上都是關(guān)于x, y, z 的三元恒等

15、式）（一條四元恒等式）24a2222bcd abcd 2ab2ac2ad 2bc2bd 2cd nn22 ai ai2ai a ji 1i 11 ij nnn aa 2na 2a 2ijii1 ij ni 1i 1最終我們?cè)倏匆豢绰劽腶bel 變換方法：設(shè)有兩組數(shù)ak ,bk k1,2,3,m 為了求和數(shù)mak bka1b1a2b2ambmk 1引入和式 b1b1, b 2b1b2 , b3b1b2b3, bmb1b2bm這樣，我們就有 b1b1, b2b2b1, bmbmbm 1把它代入和式中得makbka1 b1a 2 b2b1a3 b3b 2 am bmbm 1 k 1a1a2 b1a2a 3 b2am 1am bm 1am bm這個(gè)變換式：m 1akk 1ak 1 bkam bmmakbkm 1akak 1 bkam bmk 1k 1就稱為阿貝爾變換或和差變換；上述阿貝爾變換，有一個(gè)簡(jiǎn)潔的幾何說明；為了簡(jiǎn)潔起見，以m6 為例，設(shè)ak0 ，且 bk0k1,2,3,4,5,6 ，且ak 單調(diào)下