2022年函數背景下的不等式問題

1、學習必備歡迎下載函數背景下的不等式問題1. 考綱要求* 函數長沙市十五中高三數學備課組 顏志明胡超祖賀祥鄒文（ 1）明白映射的概念，懂得函數的概念；（ 2）明白函數的單調性的概念，把握判定一些簡潔函數的單調性的方法；（ 3）明白反函數的概念及互為反函數的函數圖象間的關系，會求一些簡潔函數的反函數；（ 4）懂得分數指數的概念，把握有理指數冪的運算性質，把握指數函數的概念、圖象和性質；（ 5）懂得對數的概念，把握對數的運算性質，把握對數函數的概念、圖象和性質；（ 6）能夠運用函數的性質、指數函數和對數函數的性質解決某些簡潔的實際問題；* 不等式（ 1）懂得不等式的性質及其證明；（ 2）把握兩個（不

2、擴展到三個）正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數的定理，并會簡潔應用（ 3）把握分析法、綜合法、比較法證明簡潔的不等式；（ 4）把握簡潔不等式的解法；（ 5）懂得不等式：ababab2. 函數與不等式的相依關系函數與不等式的關系實際上是等與不等的關系，等與不等的關系， 既對立又統(tǒng)一， 相互依存；如含一個未知數的不等式均可化為fx 0 或 fx 0 的形式，這就是函數yfx的函數值大于零或函數值小于零，解不等式就是求函數值對應的x 的范疇； 對不等式的爭論， 可以明白函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性及函數圖象的外形、范疇，同時不等式也是爭論函數極值的重要工具，可以說離開了不等式的爭論

3、就熟悉不了函數；函數是高中數學的基石，高等數學的靈魂，而不等式是爭論函數的工具，它們是初等數學過渡到高等數學的紐帶；所以，它們自然成為高考的重點、熱點，所以高考中長考不衰；3. 20042005 高考試題中解答題 函數與不等式情形的橫向分析3.1 考題情形列表分析表全 國全 國全 國全國北京上海天津重慶湖南浙江福建江蘇廣東12341922191819、2018、19212020202122211214121212、1312、1412121212141412試卷名稱題號分值表試卷全 國全 國北 京湖南浙 江江西北（春）遼寧18、 20、2212、 12、14名稱12理文題號191720無2017

4、19、20分值121214121413、13表試卷名稱考點 提要04全國 1用導數法求函數的單調區(qū)間04全國 2用導數法求函數的最大值和證明不等式04全國 3有關函數與不等式的應用性問題04全國 4求連續(xù)函數在閉區(qū)間上的最大值和最小值04北京求列車運行誤差中參數的范疇；有限個正數的大小比較和不等式的證明04上海函數與不等式型的應用性問題；函數的定義域和參數的取值范疇04天津三次函數的極值和切線的方程04重慶三次函數的極值和參數的取值范疇04湖南函數的單調性與函數在閉區(qū)間上的最大值04浙江函數切線的方程與函數的最大值04福建分析分式函數的單調性與求不等式恒成立時參數的取值范疇04遼寧解不等式；函

5、數最值的應用性問題；函數的導數與不等式恒成立時參數的取值范疇04江蘇條件為不等式的不等式的證明04廣東函數背景下的解不等式與方程根的判定05全國 1函數的最值及參數的取值范疇05全國 2函數背景下的指數不等式、肯定值不等式的求解05江西函數背景下求解含參不等式05浙江二次函數背景下的解肯定值不等式及求參數的取值范疇05北京 理抽象函數背景下的不等式證明05北京 春分式函數求極值問題3.2 分析與啟示從表和表可以看出： 2004 年 15 份， 2005 年 7 份試卷共 25 題中，湖北 04和湖南 05沒考函數與不等式的解答題，同一份試卷中多的顯現(xiàn) 3 道（ 04遼寧），顯現(xiàn) 2 道的有 0

6、4北京、 04 上海、 05北京；從題次來看， 2004 年 18 道題中排在 20 題后的有 11 道，占 61%；但在 2005 年的 7 道題中排在第 17 題的有 2 道，排在第 19 題的有 2 道，排在第 20 題的有 3 道，沒有排在第20 題后的，這說明函數情形下的不等式問題在高考中有變易的趨勢；我們在應考復習中不宜搞得太難，但這個問題在高考中的命中率很高，占到了 90%以上，必需引起特殊留意；從試題的題型結構上看，應用題有 7 道，占 28%；設一問的有 3 道題，占 12%，設三問的有 4 道題（都顯現(xiàn)在全國試卷中） ，占 16%，其余均為 2 問題，占 72%；從考試內容

7、（表）上看，涉及單調性或最值的有10 道題，占 40%；求參數的取值范疇的有9 道題，占 36%；恒成立問題有 2 道，占 8%，不等式的證明有4 道，占 16%；幾乎每道題都涉及到了不等式的轉化和解不等式，這說明教學中應特殊留意解不等式的基本功的訓練，幾種常用證不等式的方法應鞏固加強，恒成立問題的幾種解題方法與解題模式要進行歸納總結，讓同學對可能顯現(xiàn)的問題對之有法，應之有策；從涉及到的函數形式上看，最多的是以 e 為底的指、 對函數， 有 8 道題， 二次函數有 4 道題， 分式函數有 6 道題，三次函數有 2 道題，抽象函數有2 道題，含肯定值的有3 道題；這些數據說明，由于導數的加入，

8、以前不太考的超越函數和三次函數突然加大了考試的力度而成為一個新的熱點， 躍居第一， 傳統(tǒng)的二次函數和分式函數依舊占很大的份額，抽象函數和含肯定值的函數在復習時要適量加入；從整體上看，函數與不等式在解答題中是考查的重點內容，04 年較之 03 年有較大的變化，05年的試題在 04年的基礎上穩(wěn)中有變，但較之04年導數加入高考時的變化要小得多；試卷更加表達初等數學與高等數學的連接性、 選拔性； 特殊值得一提的是， 北京這兩年的考題堅持改革創(chuàng)新，題型新奇，一改傳統(tǒng)的應用題模式，更加具高等數學的語言特點，題目雖然運算量不大，但對思維才能的要求高，給同學留下了較大的探究空間，題目較長，閱讀量大，同學需要仔

9、細閱讀懂得、分析、搜集、處理多個信息，并提煉、加工，找出數量關系轉化為數學模型，對考查同學的創(chuàng)新才能做了新的探究，值得我們在復習中借鑒；4. 湖南近十年高考函數與不等式考題情形的縱向分析4.1 考題情形列表分析表：湖南近10 年高考函數與不等式考題分值、題次情形一覽表年份96979899200020012002200320042005題號2522、2422無19無211920無分值1212、121212121212表：湖南近10 年高考函數與不等式考題內容情形一覽表96 年二次函數背景下的不等式的綜合題97 年建模求最值及二次函數背景下的不等式的證明98 年建模求最值99 年解無理、對數不等式

10、2000 年二次分段函數建模求最值2001 年數列與不等式2002 年二次函數結合肯定值求最值2003 年不等式恒成立及建模解不等式2004 年以 e 為底的超越函數單調性與最值2005 年數列與不等式4.2 從表和表不難得出以下信息10 年中有 7 年直接考了函數與不等式的綜合題，有兩年考了數列與不等式，有一年考的是解不等式， 假如把數列也看成函數的話，就只有一年沒有考函數與不等式的綜合題，考了函數與不等式綜合題的占90， 05年考的是數列與不等式，意味著06 年考函數與不等式的概率增大， 其中 97 年和 03 年考了兩道函數與不等式的大題，可見函數與不等式在高考中的位置；04 年前，二次

11、函數考了4 年，占統(tǒng)治位置，分式函數求極值考了兩年，均顯現(xiàn)在應用題中， 函數與不等式的應用題有兩年沒考了，06 年考的可能性增大；三次函數湖南沒考過，應引起重視；在各類復習資料中，函數問題（等式）轉化為不等式問題，不等式問題轉化為函數問題來處理這樣的題許多，高考中考得不多，復習中不能忽視；5. 幾點建議（ 1）加強對?？己瘮档哪K訓練，對二次函數、分式函數、指、對函數、抽象函數、三次函數、分段函數、 恒成立問題及函數與不等式相互轉化的問題進行針對性訓練，可以增強同學考試的應對才能，但不要搞題海戰(zhàn)術，通過有限的題讓同學把握解這類題的通法通就；題不在多，有質就行，題不在難，懂得就靈；（ 2）重視導

12、數在解題中的萬能作用；在高中階段引入導數，其主要作用是解決切線、極值、單調性等問題， 是每年高考的必考內容， 利用導數求解函數與不等式就顯得必不行少，它可以取代許多初等的求解方法而具有萬能作用；（ 3）函數與不等式是高中代數中的重點和難點，復習中第一不宜搞得太難，以免讓同學望而生畏，而應實行螺旋式的復習方法，先易后難，循序漸進，老師講解力求通透，以質取勝，一知半解的學問同學是用不動的；（ 4）加強對文字題的閱讀懂得，同學閱讀時第一遍是泛讀，懂得大致題意和實際問題的背景，然后才是逐字逐句的推敲，挖掘隱含條件， 設自變量， 查找函數關系式， 建立模型， 寫出定義域， 再查找下一步的解題方法；（ 5

13、）對于不等式的證明問題，第一要訓練同學學會參照目標進行分析、比較，確定證題思路和方法；常用比較法、分析法、綜合法、放縮法、三角換元、反證法、數學歸納法等，同學要濫熟于心，招之即來，應用自如；以上看法是我們的個人觀點，不妥之處，敬請各位批判指正；電話：67546462005 年 12 月咐： 20042005 部分函數 不等式高考試題集錦1.（全國 1）已知 a r,求函數 f x=x 2e ax 的單調區(qū)間 . 2.（全國 2）已知函數 f x=ln1+x-x ,g x=xlnx. .求函數 f x 的最大值； .設 0<a<b, 證明 0<g a+g b-2g ab<

14、 b-aln2.23.（全國 3）某村方案建造一個為室內面積為800m2 的矩形蔬菜溫室 .沿左、 右兩側與后側內墻各保留 1m 寬的通道，沿前側內墻保留3m 寬的空地，當矩形溫室的邊長各為多少時，蔬菜的種植面積最大，最大種植面積是多少？4. （全國 4）求函數 f x=ln1+x-1 x2 在0， 2上的最大值和最小值 .45.（北京）某段城鐵線路上依次有a ， b，c 三站 .ab=5km,bc=3km,在列車運行時刻表上，規(guī) 定列車 8 時整從 a 站發(fā)車， 8 時 07 分到達 b 站并停車 1 分鐘， 8 時 12 分到達 c 站.在實際運行中，假設列車從a 站正點發(fā)車，在 b 站停

15、留 1 分鐘，并在行駛時以同一速度vkm/h 勻速行駛，列車從 a 站到達某站的時間與時刻表上相應時間之差的肯定值稱為列車在該站的時間誤差分別寫出列車在b,c 兩站的運行誤差 .如要求列車在 b,c 兩站的運行誤差之和不超過2 分鐘，求 v 的取值范疇 .6 . 北京 給定有限個正數滿意條件t ：每個數都不大于 50 且總和 l=1275. 現(xiàn)將這些數按以下要求進行分組，每組數之和不大于150 且分組的步驟是：第一， 從這些數中挑選這樣一些數構成第一組，使得 150 與這組數之和的差r1 與全部可能的其他挑選相比是最小的，r1 稱為第一組余差；然后，在去掉已選入第一組的數后，對余下的數按第一組

16、的挑選方式構成其次組，這時的余差為 r2 ;如此連續(xù)構成第三組（余差為r 3） ,第四組（余差為 r4）， ，直至第 n 組（余差為 r n）把這些數全部分完為止.判定 r 1,r 2, ,r n 的大小關系，并指出除第n 組外的每組至少含有幾個數；當構成第 nn<n 組后，指出余下的每個數與rn 的大小關系，并證明 :r150nl>n-1）;n1對任何滿意條件t 的有限個正數，證明n 11.7.（上海）某單位用木料制作如圖1 所示的框架，框架的下部是邊長分別為 x,y（單位： m）的矩形；上部是等腰直角三角形；要求y框架圍成的總面積為8m2；問 x,y 分別為多少（精確到0.00

17、1m）x圖一時用料最??？ .（上海）記函數 fx=2（）求：x3 的定義域為， gx=lgx a 12a-x （ a<1 ）的定義域為x132（）如 . ，求實數 a 的取值范疇（天津）已知函數fx ax bx3x 在 x ± 1 處取得極值（）爭論 f1 和 f-1是函數 fx 的極大值仍是微小值；（）過點（，）做曲線y fx 的切線，求此切線方程10 （重慶）設函數 fx xx x aa>1 （）求導數f x , 并證明 fx 有兩個不同的極值點x 1 ,x 2.（）如不等式fx 1 fx 2 0 成立，求 a 的取值范疇11 （湖南）已知函數fx x 2eax ，其

18、中 a 0,e 為自然對數的底數（）爭論函數 fx 的單調性（）求函數fx 在區(qū)間 0,1 上的最大值12 （浙江）設曲線 y e -x x 0 在點 t,e -t 處的切線 l 與 x 軸、 y 軸所圍成的三角形面積為 t （）求切線l 的方程（）求 t 的最大值13 （福建）已知f x2 xa xx22r 在區(qū)間，上是增函數（）求實數 a 的值組成的集合（）設關于 x 的方程 fx 1 的兩個非零實根為x1、x2 .試問 :是否存在實數 m,使得不等式xm2 tm 1 | x1 x2對任意 a及 t 1, 1 恒成立？如存在，求m的取值范疇；如不存在，請說明理由14（遼寧）設全集 ）解關于

19、x 的不等式 x 1| a 1 0a r；（）記為 1 中不等式解集，集合x|sin x-+3 cos x-=0 ，如 a b33恰有個元素，求a 的取值范疇15 （遼寧）甲方是一農場，乙方是一工廠由于乙方生產須占用甲方的資源，因此甲方有權向乙方索賠以補償經濟缺失并獲得肯定凈收入，在乙方不賠付甲方的情形下，乙方的年利潤x 元與年產量 t 噸滿意函數關系 x=2000t ；如乙方每生產一噸產品必需賠付甲方s 元（以下稱 s為賠付價格） ，（）將乙方的年利潤w 元 表示為年產量t 噸的函數，并求出乙方獲得最大利潤的年產量（）甲方每年受乙方生產影響的經濟缺失金額y=0.002t2 元 ，在乙方根據獲

20、得最大利潤的產量進行生產的前提下，甲方要在索賠中獲得最大的凈收入，應向乙方要求的賠付價格s 是多少？16 （遼寧）已知函數fx=lnex +aa>0.（）求函數y=fx的反函數 y=f -1 及 fx 的導數 f x;（）假設對任意x ln3a,ln4a,不等式 |m-f -1 x|+lnf x<0成立，求實數 m的取值范疇17（2004 江蘇）已知函數 fxx r滿意以下條件： 對任意的實數 x1，x 2 都有 x 1 -x 2 2x 1-x 2 fx1-fx2 和|fx1-fx2| |x 1 -x 2| ，其中 是大于的常數設實數a0,a,b滿意fa 0=0 和 b=a- fa

21、.（）證明 ，并且不存在b0 a0, 使得 fb 0=0（）證明 b- a0（）證明 fb21- 21- 2a-a 2022fa18（ 2004 廣東）設函數 fx=x-lnx+m,其中常數 m為整數（）當 m為何值時， fx 0（）定理：如函數gx 在a,b上連續(xù)，且 ga 與 gb 異號，就至少存在一點x 0 a,b,-m使 gx 0=0. 試用上述定理證明：當整數m>1時，方程 fx=0,在 e-m,e2m-m內有兩個實根|x+1|-|x-1|19（ 2005 全國理 17）設函數 fx=2, 求使 fx 22 的 x 的取值范疇20（ 2005 江西卷， 17）已知函數 fx= x 1=3,x 2=4（）求函數 fx的解析式；（）設 k>，解關于 x 的不等式：2xaxbf xa,b為常數 且方程 fx-x+12=0有兩個實根為 k1 xk.2x21（ 2005 浙江卷，文 20）已知函數 fx和 gx 的圖象關于原點對稱，且fx=x2+2x.（）求函數 gx 的解析式；（）解不等式 gx fx-|x-1