數(shù)學(xué)建模概率統(tǒng)計(jì)模型PPT課件

1、概率統(tǒng)計(jì)模型概率統(tǒng)計(jì)模型數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 第1頁/共121頁線性回歸模型概率統(tǒng)計(jì)模型概率統(tǒng)計(jì)模型經(jīng)濟(jì)軋鋼模型重點(diǎn)重點(diǎn):概率統(tǒng)計(jì)模型的建立和求解概率統(tǒng)計(jì)模型的建立和求解難點(diǎn)難點(diǎn):概率統(tǒng)計(jì)模型的基本原理及數(shù)值計(jì)算概率統(tǒng)計(jì)模型的基本原理及數(shù)值計(jì)算決策模型決策模型數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模建模舉例排隊(duì)論模型 報(bào)紙零售商最優(yōu)購報(bào)問題 第2頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 決策問題是人們?cè)谡?、?jīng)濟(jì)、技術(shù)和決策問題是人們?cè)谡?、?jīng)濟(jì)、技術(shù)和日常生活中經(jīng)常遇到的一類問題。它是現(xiàn)代日常生活中經(jīng)常遇到的一類問題。它是現(xiàn)代企業(yè)管理的核心問題，貫穿于整個(gè)企業(yè)管理企業(yè)管理的核心問題，貫穿于整個(gè)企業(yè)管理的始終。本

2、節(jié)將首先簡(jiǎn)要說明決策的概念和的始終。本節(jié)將首先簡(jiǎn)要說明決策的概念和分類，然后介紹風(fēng)險(xiǎn)型和不確定型決策模型分類，然后介紹風(fēng)險(xiǎn)型和不確定型決策模型及其應(yīng)用。及其應(yīng)用。4.1 4.1 決策模型第3頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 4.1.1 4.1.1 決策的概念和類型 所謂決策，就是從多個(gè)備選方案中，選擇一個(gè)所謂決策，就是從多個(gè)備選方案中，選擇一個(gè)最優(yōu)的或滿意的方案付諸實(shí)施。最優(yōu)的或滿意的方案付諸實(shí)施。例例4.1.1（展銷會(huì)選址問題）（展銷會(huì)選址問題） 某公司為擴(kuò)大市場(chǎng)，要舉辦一個(gè)產(chǎn)品展銷某公司為擴(kuò)大市場(chǎng)，要舉辦一個(gè)產(chǎn)品展銷會(huì)，會(huì)址打算選擇甲、乙、丙三地，獲利情會(huì)，會(huì)址打算選擇甲、乙、丙三地，

3、獲利情況除了與會(huì)址有關(guān)外，還與天氣有關(guān)，天氣況除了與會(huì)址有關(guān)外，還與天氣有關(guān)，天氣分為晴、陰、多雨三種，據(jù)天氣預(yù)報(bào)，估計(jì)分為晴、陰、多雨三種，據(jù)天氣預(yù)報(bào)，估計(jì)三種天氣情況可能發(fā)生概率為三種天氣情況可能發(fā)生概率為0.2，0.5，0.3其收益情況見表其收益情況見表4.4.1，現(xiàn)要通過分析，確定，現(xiàn)要通過分析，確定會(huì)址，使收益最大。會(huì)址，使收益最大。第4頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 1.決策者決策者2.決策的備選方案或策略決策的備選方案或策略A1 ， A2，Am3.決策準(zhǔn)則，即衡量所選方案正確性的標(biāo)準(zhǔn)。對(duì)決策準(zhǔn)則，即衡量所選方案正確性的標(biāo)準(zhǔn)。對(duì) 同一個(gè)決策問題，不同的決策準(zhǔn)則將導(dǎo)致不同同一個(gè)

4、決策問題，不同的決策準(zhǔn)則將導(dǎo)致不同 的方案選擇。的方案選擇。4.事件或自然狀態(tài)事件或自然狀態(tài)N1 ， N2 ， ，Nn5.結(jié)果，即某事件結(jié)果，即某事件(狀態(tài)狀態(tài))發(fā)生帶來的收益或損失值發(fā)生帶來的收益或損失值 決策問題通常包含以下要素：決策問題通常包含以下要素：第5頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 表表 4.4.1 天天 氣氣 情情 況況 N1（晴）（晴） N2（陰）（陰） N3（多雨）（多雨） 自然狀態(tài)自然狀態(tài) 收益值收益值 概概 率率 選址方案選址方案 P1=0.20 P2=0.50 P3=0.30 A1（甲地）（甲地） 4 6 1 A2（乙地）（乙地） 5 4 1.5 A3（丙地）（丙

5、地） 6 2 1.2 第6頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 決策的分類：1.確定型決策確定型決策自然狀態(tài)只有一種，即自然狀態(tài)只有一種，即n=1；2.風(fēng)險(xiǎn)型決策風(fēng)險(xiǎn)型決策n1且各種自然狀態(tài)出現(xiàn)的概率且各種自然狀態(tài)出現(xiàn)的概率Pj（j=1，2，n）可通過某種途徑獲得；）可通過某種途徑獲得；3.不確定型決策不確定型決策各種自然狀態(tài)下發(fā)生的概率各種自然狀態(tài)下發(fā)生的概率既不知道，也無法預(yù)先估計(jì)。既不知道，也無法預(yù)先估計(jì)。 第7頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 4.1.2 4.1.2 風(fēng)險(xiǎn)型決策問題 由概率論知識(shí)，一個(gè)事件的概率就是該事由概率論知識(shí)，一個(gè)事件的概率就是該事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大

6、小，概率越件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大小，概率越大，事件發(fā)生的可能性就越大?；谶@種思大，事件發(fā)生的可能性就越大。基于這種思想，在風(fēng)險(xiǎn)決策中我們選擇一種發(fā)生概率最想，在風(fēng)險(xiǎn)決策中我們選擇一種發(fā)生概率最大的自然狀態(tài)來進(jìn)行決策，而不顧及其他自大的自然狀態(tài)來進(jìn)行決策，而不顧及其他自然狀態(tài)的決策方法，這就是最大可能準(zhǔn)則。然狀態(tài)的決策方法，這就是最大可能準(zhǔn)則。這個(gè)準(zhǔn)則的實(shí)質(zhì)是將風(fēng)險(xiǎn)型決策問題轉(zhuǎn)化為這個(gè)準(zhǔn)則的實(shí)質(zhì)是將風(fēng)險(xiǎn)型決策問題轉(zhuǎn)化為確定型決策問題的一種決策方法。確定型決策問題的一種決策方法。1 1最大可能準(zhǔn)則第8頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 例如例如4.4.14.4.1投資決策問題若采用最大可

7、能準(zhǔn)則可得投資決策問題若采用最大可能準(zhǔn)則可得因此方案因此方案A A1 1最優(yōu)。最優(yōu)。5 . 0max312jjPP6max23112iiaa應(yīng)該指出的是：如果各種自然狀態(tài)出現(xiàn)的概率比較接近，此決策方法不宜采用。第9頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 如果把每個(gè)行動(dòng)方案看作隨機(jī)變量，在每個(gè)自如果把每個(gè)行動(dòng)方案看作隨機(jī)變量，在每個(gè)自 然狀態(tài)下的效益值看作隨機(jī)變量的取值，其概率然狀態(tài)下的效益值看作隨機(jī)變量的取值，其概率為自然狀態(tài)出現(xiàn)的概率，則期望值準(zhǔn)則就是將每為自然狀態(tài)出現(xiàn)的概率，則期望值準(zhǔn)則就是將每個(gè)行動(dòng)方案的數(shù)學(xué)期望計(jì)算出來，視其決策目標(biāo)個(gè)行動(dòng)方案的數(shù)學(xué)期望計(jì)算出來，視其決策目標(biāo)的情況選擇最優(yōu)

8、行動(dòng)方案。的情況選擇最優(yōu)行動(dòng)方案。2 2期望值準(zhǔn)則第10頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 例如，對(duì)例例如，對(duì)例4.1.14.1.1按期望值準(zhǔn)則進(jìn)行決策，則需要按期望值準(zhǔn)則進(jìn)行決策，則需要計(jì)算各行動(dòng)方案的期望收益值，事實(shí)上計(jì)算各行動(dòng)方案的期望收益值，事實(shí)上 顯然，顯然，E(AE(A1 1) ) 最大，所以采取行動(dòng)方案最大，所以采取行動(dòng)方案A A1 1最佳，最佳，即選擇甲地舉辦展銷會(huì)效益最大。即選擇甲地舉辦展銷會(huì)效益最大。 56. 23 . 02 . 15 . 022 . 06)(45. 33 . 05 . 15 . 042 . 05)(1 . 43 . 015 . 062 . 04)(321

9、AEAEAE 有些實(shí)際問題中，為了獲得收益，還必須增加一定的投資，有些實(shí)際問題中，為了獲得收益，還必須增加一定的投資，這時(shí)，需從投資和收益兩個(gè)方面綜合考慮選擇最優(yōu)行動(dòng)方案。這時(shí)，需從投資和收益兩個(gè)方面綜合考慮選擇最優(yōu)行動(dòng)方案。 第11頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 決策樹法就是把各種備選方案、可能出現(xiàn)的狀決策樹法就是把各種備選方案、可能出現(xiàn)的狀態(tài)和概率以及產(chǎn)生的后果用樹狀圖畫出來（形象態(tài)和概率以及產(chǎn)生的后果用樹狀圖畫出來（形象地稱為決策樹或決策樹圖），然后根據(jù)期望值準(zhǔn)地稱為決策樹或決策樹圖），然后根據(jù)期望值準(zhǔn)則進(jìn)行決策的一種方法。則進(jìn)行決策的一種方法。 3. 3. 決策樹法第12頁/共1

10、21頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 1.畫一個(gè)方框畫一個(gè)方框作為出發(fā)點(diǎn)，稱為作為出發(fā)點(diǎn)，稱為決策點(diǎn)決策點(diǎn)。從決策點(diǎn)畫出若干條直線或折線，每一條從決策點(diǎn)畫出若干條直線或折線，每一條代表一個(gè)行動(dòng)方案，這樣的直代表一個(gè)行動(dòng)方案，這樣的直( (折折) )線，稱線，稱為為方案分枝方案分枝。分枝數(shù)表示可能的行動(dòng)方案。分枝數(shù)表示可能的行動(dòng)方案數(shù)。數(shù)。步驟如下: :2.在各方案分枝的末端畫一個(gè)圓圈在各方案分枝的末端畫一個(gè)圓圈，稱，稱為為狀態(tài)節(jié)點(diǎn)狀態(tài)節(jié)點(diǎn)或方案節(jié)點(diǎn)。從狀態(tài)節(jié)點(diǎn)引出或方案節(jié)點(diǎn)。從狀態(tài)節(jié)點(diǎn)引出若干條直線或折線，此分枝稱為若干條直線或折線，此分枝稱為概率分枝概率分枝。每條線表示一種自然狀態(tài)，在線旁邊標(biāo)出每條

11、線表示一種自然狀態(tài)，在線旁邊標(biāo)出相應(yīng)狀態(tài)發(fā)生的概率。相應(yīng)狀態(tài)發(fā)生的概率。第13頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 3.在各概率分枝的末端畫一個(gè)三角在各概率分枝的末端畫一個(gè)三角，稱為，稱為末稍末稍節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)。把各方案在各種狀態(tài)下的益損值標(biāo)記在末。把各方案在各種狀態(tài)下的益損值標(biāo)記在末稍節(jié)點(diǎn)右邊稍節(jié)點(diǎn)右邊4.在決策樹上在決策樹上由右向左計(jì)算各狀態(tài)點(diǎn)出的數(shù)學(xué)期由右向左計(jì)算各狀態(tài)點(diǎn)出的數(shù)學(xué)期望值望值，并將結(jié)果標(biāo)在狀態(tài)節(jié)點(diǎn)上。遇到?jīng)Q策點(diǎn)則，并將結(jié)果標(biāo)在狀態(tài)節(jié)點(diǎn)上。遇到?jīng)Q策點(diǎn)則比較各方案分枝的效益期望值以決定方案的優(yōu)劣，比較各方案分枝的效益期望值以決定方案的優(yōu)劣，并且雙線并且雙線“”劃去淘汰掉的方案分枝，選

12、出劃去淘汰掉的方案分枝，選出收益期望值最大收益期望值最大( (或損失值最小或損失值最小) )的方案作為最優(yōu)的方案作為最優(yōu)方案，將最優(yōu)方案的期望值標(biāo)在決策點(diǎn)的上方。方案，將最優(yōu)方案的期望值標(biāo)在決策點(diǎn)的上方。第14頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 下面采用決策樹法求解展銷會(huì)選址問題 第15頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 例4.4.14.4.1只包括一個(gè)決策點(diǎn)，稱為單級(jí)決策問題。在有些實(shí)際問題中將包括兩個(gè)或兩個(gè)以上的決策點(diǎn)，稱為多級(jí)決策問題，可利用同樣的思路進(jìn)行決策。例例4.1.2 某工程采用正常速度施工，若無壞天氣的某工程采用正常速度施工，若無壞天氣的影響，可確保在影響，可確保在30天內(nèi)

13、按期完成工程，但據(jù)天氣預(yù)天內(nèi)按期完成工程，但據(jù)天氣預(yù)報(bào)，報(bào)，15天后天氣肯定變壞，有天后天氣肯定變壞，有40%的可能出現(xiàn)的可能出現(xiàn)陰雨陰雨天氣天氣，但這不會(huì)影響工程進(jìn)度，有，但這不會(huì)影響工程進(jìn)度，有50%的可能遇到的可能遇到小風(fēng)暴小風(fēng)暴，而使工期推遲，而使工期推遲15天；另有天；另有10%的可能遇到的可能遇到大風(fēng)暴大風(fēng)暴而使工期推遲而使工期推遲20天。對(duì)于以上可能出現(xiàn)的情天。對(duì)于以上可能出現(xiàn)的情況，考慮兩種方案：況，考慮兩種方案：第16頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 1 1）提前加班，確保工程在）提前加班，確保工程在1515天內(nèi)完成，實(shí)施此方案需增加額外支付天內(nèi)完成，實(shí)施此方案需增加額外

14、支付18 18 000000元。元。2 2）先維持原定的施工進(jìn)度，等到）先維持原定的施工進(jìn)度，等到1515天后根據(jù)實(shí)際出現(xiàn)的天氣狀況再天后根據(jù)實(shí)際出現(xiàn)的天氣狀況再作對(duì)策：作對(duì)策：a a）若若遇陰雨天遇陰雨天，則維持正常進(jìn)度，不必支付額外費(fèi)用。，則維持正常進(jìn)度，不必支付額外費(fèi)用。b b）若）若遇小風(fēng)暴遇小風(fēng)暴，則有下述兩個(gè)供選方案：一是抽空（風(fēng)暴過后）施，則有下述兩個(gè)供選方案：一是抽空（風(fēng)暴過后）施工，支付工程延期損失費(fèi)工，支付工程延期損失費(fèi)20 00020 000元，二是采用應(yīng)急措施，實(shí)施此措施元，二是采用應(yīng)急措施，實(shí)施此措施可能有三種結(jié)果：有可能有三種結(jié)果：有50%50%的可能減少誤工期的可

15、能減少誤工期1 1天，支付延期損失費(fèi)和應(yīng)天，支付延期損失費(fèi)和應(yīng)急費(fèi)用急費(fèi)用24 00024 000元；元；30%30%的可能減少誤工期的可能減少誤工期2 2天，支付延期損失費(fèi)和應(yīng)急天，支付延期損失費(fèi)和應(yīng)急費(fèi)用費(fèi)用18 00018 000元元; ;有有20%20%的可能減少誤工期的可能減少誤工期3 3天，支付延期損失費(fèi)和應(yīng)急天，支付延期損失費(fèi)和應(yīng)急費(fèi)用費(fèi)用12 00012 000元。元。c c）若）若遇大風(fēng)暴遇大風(fēng)暴，則仍然有兩個(gè)方案可供選擇：一是抽空進(jìn)行施工，則仍然有兩個(gè)方案可供選擇：一是抽空進(jìn)行施工，支付工程的延期損失費(fèi)支付工程的延期損失費(fèi)50 00050 000元元; ;二是采取應(yīng)急措施，

16、實(shí)施此措施可二是采取應(yīng)急措施，實(shí)施此措施可能有三種結(jié)果：有能有三種結(jié)果：有70%70%的可能減少誤工期的可能減少誤工期 2 2天，支付延期損失費(fèi)及應(yīng)天，支付延期損失費(fèi)及應(yīng)急費(fèi)用急費(fèi)用54 00054 000元；有元；有20%20%可能減小誤工期可能減小誤工期3 3天，支付延期損失費(fèi)及應(yīng)急天，支付延期損失費(fèi)及應(yīng)急費(fèi)用費(fèi)用46 00046 000元；有元；有10%10%的可能減少誤工期的可能減少誤工期4 4天，支付延期損失費(fèi)及應(yīng)急天，支付延期損失費(fèi)及應(yīng)急費(fèi)用費(fèi)用38 00038 000元。元。 試進(jìn)行決策，選擇最佳行動(dòng)方案。試進(jìn)行決策，選擇最佳行動(dòng)方案。第17頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模

17、解解 （1 1）據(jù)題意畫出決策樹）據(jù)題意畫出決策樹第18頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 （2）計(jì)算第一級(jí)節(jié)點(diǎn)）計(jì)算第一級(jí)節(jié)點(diǎn)E,F的損失費(fèi)用期望值的損失費(fèi)用期望值將將19 800和和50 800標(biāo)在相應(yīng)的機(jī)會(huì)點(diǎn)上，然后在第一級(jí)決策點(diǎn)標(biāo)在相應(yīng)的機(jī)會(huì)點(diǎn)上，然后在第一級(jí)決策點(diǎn)C,D外分外分別進(jìn)行方案比較：首先考察別進(jìn)行方案比較：首先考察C點(diǎn)，其應(yīng)急措施支付額外費(fèi)用的期望值較點(diǎn)，其應(yīng)急措施支付額外費(fèi)用的期望值較少，故它為最佳方案，同時(shí)劃去抽空施工的方案分枝，再在少，故它為最佳方案，同時(shí)劃去抽空施工的方案分枝，再在C上方標(biāo)明上方標(biāo)明最佳方案期望損失費(fèi)用最佳方案期望損失費(fèi)用19 800元；再考慮元；

18、再考慮D外的情況，應(yīng)急措施比抽空外的情況，應(yīng)急措施比抽空施工支付的額外費(fèi)用的期望值少，故劃去應(yīng)急措施分標(biāo)，在施工支付的額外費(fèi)用的期望值少，故劃去應(yīng)急措施分標(biāo)，在D上方標(biāo)上上方標(biāo)上50 000元。元。（3）計(jì)算第二級(jí)節(jié)點(diǎn)）計(jì)算第二級(jí)節(jié)點(diǎn)B的損失費(fèi)用期望值的損失費(fèi)用期望值將其標(biāo)在將其標(biāo)在B的上方，在第二級(jí)決策點(diǎn)的上方，在第二級(jí)決策點(diǎn)A處進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)正常進(jìn)度方案處進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)正常進(jìn)度方案為最佳方案，故劃去提前加班的方案分枝，并將為最佳方案，故劃去提前加班的方案分枝，并將14 900標(biāo)在標(biāo)在A點(diǎn)上方。點(diǎn)上方。50800380001 . 0460002 . 0540007 . 0)(19800120

19、002 . 0180003 . 0240005 . 0)(FEE. 0198005 . 004 . 0)(BE第19頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 4.1.3 4.1.3 不確定型決策1.1.樂觀準(zhǔn)則 樂觀準(zhǔn)則的思想就是對(duì)客觀情況總是持樂觀態(tài)樂觀準(zhǔn)則的思想就是對(duì)客觀情況總是持樂觀態(tài)度，事事都合人意，即選最大效益的最大值度，事事都合人意，即選最大效益的最大值所對(duì)應(yīng)的行動(dòng)方案作為決策，也稱為所對(duì)應(yīng)的行動(dòng)方案作為決策，也稱為好中求好法好中求好法。ijjiaxmaxma第20頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 2 2悲觀準(zhǔn)則 悲觀準(zhǔn)則的思想就是對(duì)客觀情況總是持悲觀悲觀

20、準(zhǔn)則的思想就是對(duì)客觀情況總是持悲觀態(tài)度，萬事都不會(huì)如意，即總是把事情的結(jié)果估態(tài)度，萬事都不會(huì)如意，即總是把事情的結(jié)果估計(jì)的很不利，因此就在最壞的情況下找一個(gè)較好計(jì)的很不利，因此就在最壞的情況下找一個(gè)較好的行動(dòng)方案。也就是在每個(gè)狀態(tài)下的最小效益值的行動(dòng)方案。也就是在每個(gè)狀態(tài)下的最小效益值中選最大值中選最大值 所對(duì)應(yīng)的行動(dòng)方案作為所對(duì)應(yīng)的行動(dòng)方案作為決策，也稱為決策，也稱為小中取大小中取大法法。ijjianmixma第21頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 3 3等可能準(zhǔn)則（LaplaceLaplace準(zhǔn)則） 等可能準(zhǔn)則的思想就是既然不能斷定哪種自然等可能準(zhǔn)則的思想就是既然不能斷定哪種自然狀態(tài)出

21、的可能性的大小，就認(rèn)為各自然狀態(tài)出現(xiàn)的狀態(tài)出的可能性的大小，就認(rèn)為各自然狀態(tài)出現(xiàn)的可能性相同可能性相同，即，即 。然后按風(fēng)險(xiǎn)決。然后按風(fēng)險(xiǎn)決策的方法進(jìn)行決策。策的方法進(jìn)行決策。njnNpj,2 , 1,1)( 第22頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 例例4.1.3 4.1.3 某廠有一種新產(chǎn)品，其推銷策略有某廠有一種新產(chǎn)品，其推銷策略有A A1 1，A A2 2，A A3 3 三種可供選擇，但各方案所需資金、時(shí)間都不同，三種可供選擇，但各方案所需資金、時(shí)間都不同，加上市場(chǎng)情況的差別，因而獲利和虧損情況不同，加上市場(chǎng)情況的差別，因而獲利和虧損情況不同，而市場(chǎng)情況有三種：而市場(chǎng)情況有三種：N

22、N1 1需求量大需求量大， N N2 2需求量一般需求量一般， N N3 3需求量低需求量低。市場(chǎng)情況的概率并不知道，其效益值。市場(chǎng)情況的概率并不知道，其效益值見表見表4.1.24.1.2。 （1 1）用）用樂觀法樂觀法進(jìn)行決策。進(jìn)行決策。 （2 2）用）用悲觀法悲觀法進(jìn)行決策。進(jìn)行決策。 （3 3）用）用等可能等可能法進(jìn)行決策。法進(jìn)行決策。第23頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 市場(chǎng)情況銷售策略 A1 A2 A3 N1 N2 N3 50 10 -5 30 25 0 10 10 10 N aA表表4.1.2第24頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 解 樂觀法：樂觀法：因?yàn)槊總€(gè)行動(dòng)方案在各

23、種狀態(tài)下的最因?yàn)槊總€(gè)行動(dòng)方案在各種狀態(tài)下的最大效益值為大效益值為 所以最大效益的最大值為所以最大效益的最大值為 其最大值其最大值50對(duì)應(yīng)的行動(dòng)方案為對(duì)應(yīng)的行動(dòng)方案為A1 ，因此用樂觀，因此用樂觀法的決策結(jié)果是執(zhí)行策略法的決策結(jié)果是執(zhí)行策略A1 。 1010,10,10max300 ,25,30max505,10,50max321 jjjjjjaxmaaxmaaxma5010,30,50max ijjiaxmaxma第25頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 解 悲觀法：悲觀法：因?yàn)槊總€(gè)行動(dòng)方案在各種狀態(tài)下的因?yàn)槊總€(gè)行動(dòng)方案在各種狀態(tài)下的最大效益值為最大效益值為 所以最大效益的最大值為所以最大效

24、益的最大值為 其最大值其最大值1010對(duì)應(yīng)的行動(dòng)方案對(duì)應(yīng)的行動(dòng)方案A A3 3為。因此用悲觀為。因此用悲觀法決策的結(jié)果是應(yīng)執(zhí)行策法決策的結(jié)果是應(yīng)執(zhí)行策略略A A3 3 。1010,10,10min00 ,25,30min55,10,50min321 jjjjjjanmianmianmi1010, 0 , 5max ijjianmixma第26頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 解 等可能法：等可能法：取取 計(jì)算出各行計(jì)算出各行動(dòng)方案的期望值為動(dòng)方案的期望值為 顯然顯然 都達(dá)到最大值，這時(shí)究竟選都達(dá)到最大值，這時(shí)究竟選那一個(gè)策略可由決策者的偏好決定，若是樂觀型的，那一個(gè)策略可由決策者的偏好決定

25、，若是樂觀型的，可選可選A A1 1，否則選，否則選A A2 2 。10103110311031)(35503125313031)(355)5(3110315031)(321 AEAEAE;3 ,2 , 1,31)( jNpj)()(21AEAE 第27頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 從本例可以看出，對(duì)不確定型的決策問題，采用不同的決策準(zhǔn)則所得到的結(jié)果并非完全一致。但難說哪個(gè)準(zhǔn)則好，哪個(gè)準(zhǔn)則不好。究竟在實(shí)際問題中采用哪個(gè)準(zhǔn)則，依決策者對(duì)各種自然狀態(tài)的看法而定。因此，為了改進(jìn)不確定型決策，人們總是設(shè)法得到各自然狀態(tài)發(fā)生的概率，然后進(jìn)行決策。 第28頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 問問

26、題題報(bào)紙零售商售報(bào)：報(bào)紙零售商售報(bào)： a (零售價(jià)零售價(jià)) b(購進(jìn)價(jià)購進(jìn)價(jià)) c(退回價(jià)退回價(jià))售出一份賺售出一份賺 a-ba-b；退回一份賠；退回一份賠 b-cb-c 每天購進(jìn)多少份可使收入最大？每天購進(jìn)多少份可使收入最大？分分析析購進(jìn)太多購進(jìn)太多賣不完退回賣不完退回賠錢賠錢購進(jìn)太少購進(jìn)太少不夠銷售不夠銷售賺錢少賺錢少應(yīng)根據(jù)需求確定購進(jìn)量應(yīng)根據(jù)需求確定購進(jìn)量每天需求量是隨機(jī)的每天需求量是隨機(jī)的優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)應(yīng)是長(zhǎng)期的日平均收入優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)應(yīng)是長(zhǎng)期的日平均收入每天收入是隨機(jī)的每天收入是隨機(jī)的存在一個(gè)合存在一個(gè)合適的購進(jìn)量適的購進(jìn)量等于每天收入的期望等于每天收入的期望4.24.2 報(bào)

27、紙零售商最優(yōu)購報(bào)問題第29頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 建建模模 設(shè)每天購進(jìn)設(shè)每天購進(jìn) n 份，份，日平均收入為日平均收入為 G(n)調(diào)查需求量的隨機(jī)規(guī)律調(diào)查需求量的隨機(jī)規(guī)律每天每天需求量為需求量為 r 的概率的概率 p(r), r=0,1,2準(zhǔn)準(zhǔn)備備)()(rncbrnrbarnr賠賠退退回回賺賺售售出出nbannr)( 賺賺售售出出nrnrrnpbarprncbrbanG01)()()()()()(求求 n 使使 G(n) 最大最大 已知售出一份賺已知售出一份賺 a-b；退回一份賠；退回一份賠 b-c第30頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 nndrrnfbadrrfrncbrb

28、anG0)()()()()()(求解求解將將r視為連續(xù)變量視為連續(xù)變量概率密度）()()(rfrp0dndGcbbadrrfdrrfnn)()(0nndrrfbadrrfcb0)()()()(ndrrfbannfba)()()()(ndrrfcbnnfba0)()()()(第31頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 cbbadrrfdrrfnn)()(0結(jié)果解釋結(jié)果解釋nnfdrrffdrrf201)(,)(cbbaff21取取n使使 a-b 售出一份賺的錢售出一份賺的錢 b-c 退回一份賠的錢退回一份賠的錢0rfnf1f2第32頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 當(dāng)報(bào)童與報(bào)社簽訂的合同使報(bào)

29、童每份賺錢與賠錢當(dāng)報(bào)童與報(bào)社簽訂的合同使報(bào)童每份賺錢與賠錢之比越大時(shí)，報(bào)童購進(jìn)的份數(shù)就應(yīng)該越多。之比越大時(shí)，報(bào)童購進(jìn)的份數(shù)就應(yīng)該越多。結(jié)論實(shí)例：實(shí)例：如如a=1，b=0.6,c=0.3，需求量，需求量r服從正態(tài)分服從正態(tài)分布布N（100,102），），則則不難計(jì)算查表得到不難計(jì)算查表得到n=102時(shí)長(zhǎng)期平均收益最大。時(shí)長(zhǎng)期平均收益最大。ncabadrrf074)(第33頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 例例4.2.14.2.1 某商店擬出售甲商品，已知每單位甲商品成本為某商店擬出售甲商品，已知每單位甲商品成本為50元，售價(jià)為元，售價(jià)為70元，如果售不出去，每單位商品將元，如果售不出去，每單

30、位商品將損失損失10元。已知甲商品銷售量元。已知甲商品銷售量r 服從參服從參 （即平均（即平均銷售量為銷售量為6單位）的泊松分布，單位）的泊松分布，問該商店訂購量應(yīng)為多少單位時(shí)，才能問該商店訂購量應(yīng)為多少單位時(shí)，才能使平均收益使平均收益最大最大？6 !)(rerpr ,2,1 ,0r第34頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 理學(xué)院理學(xué)院解 該商店每單位盈利為該商店每單位盈利為70-5070-5020;20; 每單位損失為每單位損失為50-4050-401010，即，即a=70a=70，b=50b=50，c=40,c=40,故故667.03240705070cabaQrrPQF0)()(!6)

31、(6rerPr今記今記 ，而，而 ，查泊松分布表得，查泊松分布表得7440. 0!6)7(6063. 0!6)6(706606rrrrreFreF)7()6(FcabaF而而F F（6 6）的數(shù)值更接近于）的數(shù)值更接近于0.6670.667，所以訂貨量應(yīng)為，所以訂貨量應(yīng)為6 6個(gè)單位。個(gè)單位。第35頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 軋制鋼材軋制鋼材兩道工序兩道工序 粗軋粗軋(熱軋熱軋) 形成鋼材的雛形形成鋼材的雛形 精軋精軋(冷軋冷軋) 得到鋼材規(guī)定的長(zhǎng)度得到鋼材規(guī)定的長(zhǎng)度粗軋粗軋鋼材長(zhǎng)度正態(tài)分布鋼材長(zhǎng)度正態(tài)分布均值可以調(diào)整均值可以調(diào)整方差由設(shè)備精度確定方差由設(shè)備精度確定粗軋鋼材長(zhǎng)粗軋鋼材

32、長(zhǎng)度大于規(guī)定度大于規(guī)定切掉多余切掉多余 部分部分粗軋鋼材長(zhǎng)粗軋鋼材長(zhǎng)度小于規(guī)定度小于規(guī)定整根報(bào)廢整根報(bào)廢隨機(jī)因隨機(jī)因素影響素影響精軋精軋問題：如何調(diào)整粗軋的均值，使精軋的浪費(fèi)最小問題：如何調(diào)整粗軋的均值，使精軋的浪費(fèi)最小背背景景4.3 4.3 經(jīng)濟(jì)軋鋼模型第36頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 分析分析設(shè)已知精軋后鋼材的規(guī)定長(zhǎng)度為設(shè)已知精軋后鋼材的規(guī)定長(zhǎng)度為 l， 粗軋后鋼材長(zhǎng)度的均方差為粗軋后鋼材長(zhǎng)度的均方差為 切掉多余部切掉多余部分的概率分的概率)(lxPP 整根報(bào)廢整根報(bào)廢的概率的概率)(lxPPPP,PP,記粗軋時(shí)可以調(diào)整的均值為記粗軋時(shí)可以調(diào)整的均值為 ，則粗軋得到的，則粗軋得到

33、的鋼材長(zhǎng)度為正態(tài)隨機(jī)變量，記作鋼材長(zhǎng)度為正態(tài)隨機(jī)變量，記作 xN( , 2) 存在最佳的存在最佳的 使總的浪費(fèi)最小使總的浪費(fèi)最小 0f(概率密度概率密度)xPP P P第37頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 lldxxxpdxxplxW)()()(建模建模選擇合適的目標(biāo)函數(shù)選擇合適的目標(biāo)函數(shù)切掉多余部分切掉多余部分的浪費(fèi)的浪費(fèi)整根報(bào)廢整根報(bào)廢的浪費(fèi)的浪費(fèi)總浪費(fèi)總浪費(fèi) =+每次軋制鋼材的平均浪費(fèi)量每次軋制鋼材的平均浪費(fèi)量每次軋制獲得成品鋼的平均長(zhǎng)度每次軋制獲得成品鋼的平均長(zhǎng)度 llPdxxlfL)(其中其中 表示表示的的 概率，概率，ldxxfP)(lx 第38頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建

34、 模模 222)(21)(,)(xlexfdxxfP每次軋制（包括粗軋、精軋）的平均浪費(fèi)量與每次軋制每次軋制（包括粗軋、精軋）的平均浪費(fèi)量與每次軋制獲得成品鋼的平均長(zhǎng)度之比最小為標(biāo)準(zhǔn)。獲得成品鋼的平均長(zhǎng)度之比最小為標(biāo)準(zhǔn)。 目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù))(11lPllPlPLWJ優(yōu)化模型：求優(yōu)化模型：求 使使J1最?。ㄒ阎钚。ㄒ阎猯 , ）第39頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 求解求解由于由于l是常數(shù)，故等價(jià)的目標(biāo)函數(shù)為是常數(shù)，故等價(jià)的目標(biāo)函數(shù)為記記 其中其中 )21exp(21)(2tt求求 z 使使J(z) 最?。ㄒ阎钚。ㄒ阎?） 目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù) )()()(1zzzJJ)(1)(ldxxf

35、PJlxdttxxzl)()(1)(,1第40頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 )()()(1zzzJ0)()()(11zzz)(/ )(1zzz)()(1zz21221)()()(tzetdyyz)(/ )()()(1zzzFzzF求解求解0dzdJ第41頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 計(jì)算實(shí)例：計(jì)算實(shí)例： =l/ =25z*=-2.19 *= （ -z*）=5.438即將鋼材的均值調(diào)整到即將鋼材的均值調(diào)整到5.438m5.438m時(shí)浪費(fèi)最少時(shí)浪費(fèi)最少 設(shè)要軋制長(zhǎng)為設(shè)要軋制長(zhǎng)為l=5.0m的成品鋼材，由粗軋?jiān)O(shè)備的成品鋼材，由粗軋?jiān)O(shè)備等因素組成的方差精度等因素組成的方差精度 =0.2

36、m ，問需要將鋼，問需要將鋼材長(zhǎng)度的均值調(diào)整到多少才使浪費(fèi)最少？材長(zhǎng)度的均值調(diào)整到多少才使浪費(fèi)最少？首先做出及的圖形首先做出及的圖形-3-2-1123102030405060第42頁/共121頁某個(gè)農(nóng)戶辛勤勞動(dòng)積累了一萬元，他決定將這一萬元用來某個(gè)農(nóng)戶辛勤勞動(dòng)積累了一萬元，他決定將這一萬元用來發(fā)展生產(chǎn)，他了解了三個(gè)發(fā)展方向：發(fā)展生產(chǎn)，他了解了三個(gè)發(fā)展方向：（1 1）將這一萬元存入投資銀行，由投資銀行安排資金的利）將這一萬元存入投資銀行，由投資銀行安排資金的利用，他可以獲得利息，年利率為用，他可以獲得利息，年利率為10%10%；（2 2）辦養(yǎng)雞場(chǎng)。如果順利，他可以贏得）辦養(yǎng)雞場(chǎng)。如果順利，他可以

37、贏得50005000元，如果不順元，如果不順利，他將損失利，他將損失10001000元，他有元，他有80%80%的把握辦好養(yǎng)雞場(chǎng)；的把握辦好養(yǎng)雞場(chǎng)；（3 3）養(yǎng)貂。如果順利，他可以贏得）養(yǎng)貂。如果順利，他可以贏得1000010000元，如果不順利，元，如果不順利，他將損失他將損失30003000元。養(yǎng)貂順利的機(jī)會(huì)為元。養(yǎng)貂順利的機(jī)會(huì)為60%60%。他猶豫不決，希。他猶豫不決，希望用決策分析的方法幫助他分析各種可能的結(jié)果。望用決策分析的方法幫助他分析各種可能的結(jié)果。 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 習(xí)題：習(xí)題： 第43頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 習(xí)題：習(xí)題： 為了生產(chǎn)某種產(chǎn)品，設(shè)計(jì)了兩個(gè)基建方

38、案一是建大廠，二是建小廠，為了生產(chǎn)某種產(chǎn)品，設(shè)計(jì)了兩個(gè)基建方案一是建大廠，二是建小廠，大廠需要投資大廠需要投資300300萬元，小廠需要投資萬元，小廠需要投資160160萬元，兩者使用期都是萬元，兩者使用期都是1010年。年。估計(jì)在此期間，產(chǎn)品銷路好的可能性是估計(jì)在此期間，產(chǎn)品銷路好的可能性是0.70.7，銷路差的可能性是，銷路差的可能性是0.30.3。若。若銷路好，建大廠每年收益銷路好，建大廠每年收益100100萬元，建小廠每年收益萬元，建小廠每年收益4040萬元；若銷路差，萬元；若銷路差，建大廠每年損失建大廠每年損失2020萬元，建小廠每年收益萬元，建小廠每年收益1010萬元，試問應(yīng)建大廠

39、還是建萬元，試問應(yīng)建大廠還是建小廠？小廠？ 進(jìn)一步，將投資分為前三年和后七年兩期考慮，根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，前進(jìn)一步，將投資分為前三年和后七年兩期考慮，根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，前三年銷路好的概率為三年銷路好的概率為0.70.7，而如果前三年的銷路好，則后七年銷路好的，而如果前三年的銷路好，則后七年銷路好的概率為概率為0.90.9，如果前三年的銷路差則后七年的銷路肯定差，在這種情況，如果前三年的銷路差則后七年的銷路肯定差，在這種情況下，建大廠和建小廠哪個(gè)方案好？下，建大廠和建小廠哪個(gè)方案好？ 若先建設(shè)小廠，如銷路好，則三年以后考慮擴(kuò)建，擴(kuò)建投資需要若先建設(shè)小廠，如銷路好，則三年以后考慮擴(kuò)建，擴(kuò)建投資需要14014

40、0萬元，擴(kuò)建后可使用七年，每年的益損值與大廠相同，這個(gè)方案與萬元，擴(kuò)建后可使用七年，每年的益損值與大廠相同，這個(gè)方案與建大廠方案比較，優(yōu)劣如何？建大廠方案比較，優(yōu)劣如何？第44頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 在現(xiàn)實(shí)生活中，變量與變量之間經(jīng)常存在一定的關(guān)系，在現(xiàn)實(shí)生活中，變量與變量之間經(jīng)常存在一定的關(guān)系，一般來說，可分為兩大類，一類是一般來說，可分為兩大類，一類是確定性確定性的關(guān)系，這種關(guān)系的關(guān)系，這種關(guān)系通常用函數(shù)來表示。另一類是通常用函數(shù)來表示。另一類是非確定性非確定性關(guān)系，變量之間的這關(guān)系，變量之間的這種非確定性關(guān)系通常稱為相關(guān)關(guān)系。種非確定性關(guān)系通常稱為相關(guān)關(guān)系。 回歸分析回歸分析

41、就是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中研究相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方就是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中研究相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方法，它就是通過大量的試驗(yàn)或觀測(cè)，發(fā)現(xiàn)變量之間關(guān)系的法，它就是通過大量的試驗(yàn)或觀測(cè)，發(fā)現(xiàn)變量之間關(guān)系的統(tǒng)統(tǒng)計(jì)規(guī)律計(jì)規(guī)律。它在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科學(xué)研究各個(gè)領(lǐng)域中均有廣泛應(yīng)。它在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科學(xué)研究各個(gè)領(lǐng)域中均有廣泛應(yīng)用。回歸分析一般分為用?；貧w分析一般分為線性回歸分析線性回歸分析與與非線性回歸分析非線性回歸分析。本。本節(jié)著重介紹線性回歸分析，它是兩類回歸分析中較為簡(jiǎn)單的節(jié)著重介紹線性回歸分析，它是兩類回歸分析中較為簡(jiǎn)單的一類，也是應(yīng)用得較多的一類。一類，也是應(yīng)用得較多的一類。 4.4 4.4 線性回歸模型第45頁/共121頁

42、黑龍江科技學(xué)院 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 4.4.14.4.1數(shù)學(xué)模型例例4.4.14.4.1（水泥凝固時(shí)放出熱量問題）（水泥凝固時(shí)放出熱量問題） 某種水泥在凝固時(shí)放出的熱量某種水泥在凝固時(shí)放出的熱量y（卡（卡/克）與水泥中下克）與水泥中下列列4種化學(xué)成份有關(guān)。種化學(xué)成份有關(guān)。 x1：3CaOAl2O3的成份（的成份（%） x2：3CaOSiO2的成份（的成份（%） x3：4CaOAl2O3Fe3O3的成份（的成份（%） x4：2CaOSiO2的成份（的成份（%） 現(xiàn)記錄了現(xiàn)記錄了13組數(shù)據(jù)，列在表組數(shù)據(jù)，列在表4.4.1中，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，中，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，試研究試研究y與與x1，x2，x3

43、，x4四種成份的關(guān)系。四種成份的關(guān)系。 第46頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 表表4.4.14.4.1 編編 號(hào)號(hào)x1(%)x2(%)x3(%)x4(%)y (卡卡/克克)172666078.52129155274.331156820104.34113184787.6575263395.961155922109.27371176102.78131224472.59254182293.1102147426115.911140233483.8121166912113.3131068812109.4第47頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 為了研究方便，我們考慮一個(gè)變量受其它變量影響時(shí)，為了

44、研究方便，我們考慮一個(gè)變量受其它變量影響時(shí)，仍把這變量稱為因變量，記為仍把這變量稱為因變量，記為Y Y，其它變量稱為自變量，其它變量稱為自變量，記為記為X X，這時(shí)相關(guān)關(guān)系可記作，這時(shí)相關(guān)關(guān)系可記作 Y=f Y=f（x x）+其中其中f f（x x）為當(dāng)）為當(dāng)X=X=x x時(shí)，因變量時(shí)，因變量Y Y的均值，即的均值，即 f f（x x）=E=E（Y Y| |X=xX=x）稱稱f f（x x）為）為Y Y對(duì)對(duì)X X的的回歸函數(shù)回歸函數(shù)，為為Y Y與與f f（x x）的的偏差偏差，它是一個(gè)隨機(jī)變量，并假定它是一個(gè)隨機(jī)變量，并假定E E（）=0=0。第48頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 回歸函

45、數(shù)可以是一元函數(shù)，也可以是多元函數(shù)，即回歸函數(shù)可以是一元函數(shù)，也可以是多元函數(shù)，即 Y=Y=f f（x x1 1，x x2 2，x xm m）+ +其中其中f f（x x1 1，x x2 2，x xm m）= E= E（Y|XY|X1 1= =x x1 1，X X2 2= =x x2 2，XXm m= =x xm m）為為m m元回歸函數(shù)，統(tǒng)稱為元回歸函數(shù)，統(tǒng)稱為多元回歸函數(shù)多元回歸函數(shù)。 若回歸函數(shù)若回歸函數(shù)f f（x x1 1，x x2 2，x xm m）中的）中的m m =1,=1,且是一元線性函數(shù)，則稱為是且是一元線性函數(shù)，則稱為是一一元線性回歸元線性回歸；m m11且是多元線性函數(shù)，

46、則稱為是且是多元線性函數(shù)，則稱為是多元多元線性回歸線性回歸；若回歸函數(shù)；若回歸函數(shù)f f（x x1 1, ,x x2 2，x xm m）是非線性函數(shù)，則稱為是）是非線性函數(shù)，則稱為是非線性回非線性回歸歸。第49頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 例如，在水泥凝固時(shí)放出熱量問題中，可建立例如，在水泥凝固時(shí)放出熱量問題中，可建立線性回歸模型線性回歸模型其中其中E（）=0，D（）=2，b0，b1，b2，b3，b4和和2是未知參數(shù)，為了估計(jì)這些參數(shù)，將表是未知參數(shù)，為了估計(jì)這些參數(shù)，將表4.4.14.4.1的的值代入模型值代入模型 443322110 xbxbxbxbbY第50頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)

47、學(xué) 建建 模模 其中，其中，x1，x2，xm是自變量，是自變量，b0為常數(shù)，為常數(shù)，b1，b2，bm為回歸系數(shù)，為回歸系數(shù)，b0，b1，b2，bm皆為未知，統(tǒng)稱皆為未知，統(tǒng)稱b0，b1，b2，bm為回歸參數(shù)，一旦回歸參數(shù)確定，則多元線為回歸參數(shù)，一旦回歸參數(shù)確定，則多元線性回歸模型就完全確定，一般假定隨機(jī)誤差性回歸模型就完全確定，一般假定隨機(jī)誤差N（0,2） )131,( ,),(, 0)(2443322110jiCovExbxbxbxbbyijjiiiiiiii 22110mmxbxbxbbY得線性模型得線性模型一般地，多元線性回歸模型可表示為一般地，多元線性回歸模型可表示為第51頁/共12

48、1頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 為了得到回歸參數(shù)的估計(jì)值，就要對(duì)變量進(jìn)行觀測(cè)，為了得到回歸參數(shù)的估計(jì)值，就要對(duì)變量進(jìn)行觀測(cè)，假設(shè)對(duì)變量的假設(shè)對(duì)變量的n（nm）次獨(dú)立觀測(cè)數(shù)據(jù)為）次獨(dú)立觀測(cè)數(shù)據(jù)為 （yi，xi1，xi2，xim）,i=1n,則這些觀測(cè)數(shù)據(jù)應(yīng)滿足上式，即有則這些觀測(cè)數(shù)據(jù)應(yīng)滿足上式，即有 11022211021111101nnmmnnmmmmxbxbbyxbxbbyxbxbby)1,(),(, 0)(2njiCovEijjii第52頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 則多元線性回歸的數(shù)學(xué)模型式可以寫成矩陣形式則多元線性回歸的數(shù)學(xué)模型式可以寫成矩陣形式 nIVarE2)(, 0)() 1

49、(212222111211111mnnmnnmmxxxxxxxxxX若記若記,),(,),(,),(211021TnTmTnbbbyyyY XY第53頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 為了獲得參數(shù)為了獲得參數(shù)的估計(jì)，我們采用最小二乘法，即選的估計(jì)，我們采用最小二乘法，即選擇擇，使，使 TniiQ 12)( )()( XYXYT 0)(2 XYXQT達(dá)到最小。達(dá)到最小。 將將Q（）對(duì)）對(duì)求導(dǎo)數(shù)并令其為零，得求導(dǎo)數(shù)并令其為零，得 1 1回歸系數(shù)的最小二乘估計(jì)回歸系數(shù)的最小二乘估計(jì)4.4.2 4.4.2 模型參數(shù)估計(jì)第54頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 此方程稱為此方程稱為正規(guī)方程正規(guī)方程

50、， 其中其中 X X 為為n n（m+1m+1） 階矩階矩陣，一般假定陣，一般假定rankrank（X X）=m+1=m+1，由線性代數(shù)理論可知，由線性代數(shù)理論可知，L=XL=XT TX X為滿秩矩陣，它的秩為滿秩矩陣，它的秩rankrank（L L）=m+1=m+1，則正規(guī)方程有，則正規(guī)方程有唯一解，記作唯一解，記作 YXXXTT YXLT 1YXLT 即即 我們可以證明上式中的我們可以證明上式中的 為參數(shù)向量為參數(shù)向量的最小二乘法估的最小二乘法估計(jì)量。計(jì)量。 記記 ，則，則XXLT第55頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 在實(shí)際工作中，常稱在實(shí)際工作中，常稱為為經(jīng)驗(yàn)線性回歸方程經(jīng)驗(yàn)線性回

51、歸方程。mmxbxbby110第56頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 2 2最小二乘法估計(jì)量的性質(zhì)最小二乘法估計(jì)量的性質(zhì) nIVarE2)(,0)(首先假定首先假定 （1 1） 是是的線性無偏估計(jì)量的線性無偏估計(jì)量（2 2） 的協(xié)方差矩陣為的協(xié)方差矩陣為12L（3 3） 是是的最小方差線性無偏估計(jì)的最小方差線性無偏估計(jì)) 1, 2 , 1 , 0,( ,),(,)(22mjicbbCovcbDijjiiii)1()1(1)(mmijcCL其中其中 第57頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 4.4.34.4.3多元線性回歸模型的檢驗(yàn)與預(yù)測(cè)nixxxyimiii1),(21從上面的參數(shù)估計(jì)過

52、程可以看出，對(duì)于一批觀察數(shù)據(jù)從上面的參數(shù)估計(jì)過程可以看出，對(duì)于一批觀察數(shù)據(jù)不論它們是否具有線性關(guān)系，總可以利用最小二乘法不論它們是否具有線性關(guān)系，總可以利用最小二乘法建立起多元線性回歸方程建立起多元線性回歸方程mmxbxbxbby22110但是但是Y與與x1，x2，xm 是否確實(shí)存在相關(guān)關(guān)系呢？回歸方程的效果是否確實(shí)存在相關(guān)關(guān)系呢？回歸方程的效果如何呢？這就要進(jìn)行如何呢？這就要進(jìn)行“整個(gè)回歸效果是否顯著整個(gè)回歸效果是否顯著”的檢驗(yàn)。的檢驗(yàn)。 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 沒有關(guān)系，沒有關(guān)系，回歸模型沒有意義，于是我們要檢驗(yàn)回歸模型沒有意義，于是我們要檢驗(yàn) 是否成立。是否成立。 mxxxy,21與0:210m

53、bbbH021mbbb第58頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 若若H0成立，則成立，則x1，x2，xm對(duì)對(duì)y沒有影響；反之，沒有影響；反之，若若H0不成立，則不成立，則x1，x2，xm對(duì)對(duì)y有影響，此時(shí)有影響，此時(shí)y與與x1，x2，xm的線性關(guān)系顯著，也稱為整個(gè)回歸效果顯著。的線性關(guān)系顯著，也稱為整個(gè)回歸效果顯著。 但要注意，即使整個(gè)回歸效果是顯著的，但要注意，即使整個(gè)回歸效果是顯著的，y y也可能只也可能只與某幾個(gè)與某幾個(gè)x xi i關(guān)系密切（相應(yīng)的關(guān)系密切（相應(yīng)的b bi i顯著不為零），而與另幾顯著不為零），而與另幾個(gè)個(gè)x xi i關(guān)系不密切（相應(yīng)的關(guān)系不密切（相應(yīng)的b bi i為零

54、）。這就是說，多元線性為零）。這就是說，多元線性回歸除了首先要檢驗(yàn)回歸除了首先要檢驗(yàn)“整個(gè)回歸是否顯著整個(gè)回歸是否顯著”外，還要逐個(gè)外，還要逐個(gè)檢驗(yàn)每一個(gè)檢驗(yàn)每一個(gè)b bi i是否為零，以便分辨出哪些是否為零，以便分辨出哪些x xi i對(duì)對(duì)y y并無顯著影并無顯著影響，最后，還要對(duì)各個(gè)響，最后，還要對(duì)各個(gè)b bi i作出區(qū)間估計(jì)。作出區(qū)間估計(jì)。第59頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 1 1回歸方程的顯著性檢驗(yàn)（1 1）回歸顯著性檢驗(yàn)（）回歸顯著性檢驗(yàn)（F檢驗(yàn)）檢驗(yàn)）若若H H0 0為真為真 )1,(11122 mnmFRRmmnQUmmnF 2)(iiyyU（回歸平方和）（回歸平方和） )

55、(iiyyQ（殘差平方和）（殘差平方和）其中其中 niiyny11 niiyyyyl12)(（離差平方和）（離差平方和）yyyylQlUR 1（復(fù)相關(guān)系數(shù)）（復(fù)相關(guān)系數(shù)）故故)1,( mnmFF 拒絕拒絕H H0 0，否則就接受，否則就接受H H0 0第60頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 （2 2）單個(gè)回歸系數(shù)為零的檢驗(yàn)（）單個(gè)回歸系數(shù)為零的檢驗(yàn)（t檢驗(yàn)）檢驗(yàn)）若若H0i為真為真 mimntscbtiiii, 2 , 1),1( 其中其中（剩余標(biāo)準(zhǔn)差或估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差）（剩余標(biāo)準(zhǔn)差或估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差）1 mnQs 為為 中第中第i i個(gè)對(duì)角線元素。個(gè)對(duì)角線元素。 iic1 LC故故拒絕拒絕H H

56、0i0i，否則就接受，否則就接受H H0i0i)1(2 mntti 第61頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 2 2回歸系數(shù)的置信區(qū)間對(duì)對(duì)bi的區(qū)間估計(jì)的區(qū)間估計(jì) 由于由于 因而因而b bi i的的 置信區(qū)間為置信區(qū)間為 其中其中 )1( mntscbbiiii 1),(iiiidbdbscmntdiii )1(2 第62頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 3 3預(yù)測(cè)a a）點(diǎn)預(yù)測(cè)）點(diǎn)預(yù)測(cè)求出回歸方程求出回歸方程 mmxbxbby110對(duì)于給定自變量的值對(duì)于給定自變量的值 ，用，用來預(yù)測(cè)來預(yù)測(cè)*1,mxx *110*mmxbxbby*110*mmxbxbby稱稱 為為 的的點(diǎn)預(yù)測(cè)點(diǎn)預(yù)測(cè)。

57、*y*y第63頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 b b）區(qū)間預(yù)測(cè)）區(qū)間預(yù)測(cè) y0的的95%預(yù)測(cè)區(qū)間近似為預(yù)測(cè)區(qū)間近似為 其中其中)2,2(00sysymmxbxbxbby002201100第64頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 1 1多項(xiàng)式回歸分析模型多項(xiàng)式回歸分析模型4.4.44.4.4多元線性回歸分析模型的推廣 多項(xiàng)式回歸模型的一般形式為：多項(xiàng)式回歸模型的一般形式為：), 0(,22210 NxbxbxbbYmm mmxxxxxx,221令令則模型就變成為則模型就變成為多元線性回歸模型多元線性回歸模型：mmxbxbxbbY22110第65頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 多項(xiàng)式

58、回歸還有許多推廣的形式：多項(xiàng)式回歸還有許多推廣的形式： 上述模型的共同特點(diǎn)是未知參數(shù)都是以線性形式出現(xiàn)，上述模型的共同特點(diǎn)是未知參數(shù)都是以線性形式出現(xiàn)，所以都可以采用恒等變換化為多元線性回歸模型。所以都可以采用恒等變換化為多元線性回歸模型。 xcxbxbxbbymm2210 xmmCLnxbxbxbby2210)(2210mmxbxbxbbExpy)(2210 xcxbxbxbbExpymmcmmxxbxbxbbExpy)(2210第66頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 廣義線性回歸模型的一般形式為：廣義線性回歸模型的一般形式為： 其中：其中： 是一個(gè)不含未知數(shù)參數(shù)的一元函數(shù)，是一個(gè)不含未

59、知數(shù)參數(shù)的一元函數(shù)，且有反函數(shù)：且有反函數(shù)： 的不含未的不含未知參數(shù)的多元函數(shù)。知參數(shù)的多元函數(shù)。 ),(),(2121110mppmxxxFbxxxFbbfy)(0yfy )(0ygymmjxxxpjxxxF,), 2 , 1)(,(2121是2 2廣義線性回歸模型廣義線性回歸模型第67頁/共121頁數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 廣義線性回歸模型的回歸系數(shù)的確定：廣義線性回歸模型的回歸系數(shù)的確定：niimiippimiiixxxFbxxxFbbygQ122121110),(),()(達(dá)到最小。達(dá)到最小。),(),(),(2121110mppmxxxFtxxxFtygY此時(shí)也就是令此時(shí)也就是令 即廣

60、義線性回歸模型化為多元線性回歸模型。即廣義線性回歸模型化為多元線性回歸模型。pptbtbbY110則則用最小二乘法求出用最小二乘法求出 的估計(jì)的估計(jì) 使得使得pbbb,10pbbb,10第68頁/共121頁 黑龍江科技學(xué)院 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 理學(xué)院理學(xué)院4.4.54.4.5建立線性回歸模型的步驟mmxbxbby110YXLT12.2.估計(jì)參數(shù)估計(jì)參數(shù)mmxbxbby1101.1.建立理論模型建立理論模型3.3.進(jìn)行檢驗(yàn)進(jìn)行檢驗(yàn)a a）標(biāo)準(zhǔn)誤差）標(biāo)準(zhǔn)誤差b b）判定系數(shù)）判定系數(shù)R2c) c) 復(fù)相關(guān)系數(shù)復(fù)相關(guān)系數(shù)d d）回歸系數(shù)顯著性檢驗(yàn)（）回歸系數(shù)顯著性檢驗(yàn)（t檢驗(yàn)）檢驗(yàn)）e) e)