天體運動中的追及相遇問題

1、天體運動中的追及相遇問題信陽高中陳慶威在天體運動的問題中，我們常遇到一些這樣的問題。比如， A、B 兩物體都繞同一中心天體做圓周運動，某時刻 A、B 相距最近，問 A、B 下一次相距最近或最遠需要多少時間，或“至少”需要多少時間等問題。而對于此類問題的解決和我們在直線運動中同一軌道上的追及相遇問題在思維有上一些相似的地方， 即必須找出各相關(guān)物理量間的關(guān)系， 但它也有其自身特點。根據(jù)萬有引力提供向心力， 即當(dāng)天體速度增加或減少時， 對應(yīng)的圓周軌道就會發(fā)生相應(yīng)的變化，所以天體不可能在同一軌道上實現(xiàn)真正意義上的追及或相遇。天體運動的追及相遇問題中往往還因伴隨著多解問題而變得更加復(fù)雜， 成為同學(xué)們學(xué)習(xí)

2、中的難點。 而解決此類問題的關(guān)鍵是就要找好角度、 角速度和時間等物理量的關(guān)系。一、追及問題【例 1】如圖 1所示，有 A、 B 兩顆行星繞同一顆恒星 M做圓周運動，旋轉(zhuǎn)方向相同， A 行星的周期為 T1，B 行星的周期為 T2 ，在某一時刻兩行星相距最近，則經(jīng)過多長時間，兩行星再次相距最近經(jīng)過多長時間，兩行星第一次相距最遠解析：A、B 兩顆行星做勻速圓周運動，由萬有引力提供向心力，因此 T1T2。可見當(dāng) A 運動完一周時， B 還沒<有達到一周，但是要它們的相距最近，只有A、 B 行星和恒星 M的連線再次在一條直線上，且A、B 在同側(cè)，從角度上看，在相同時間內(nèi)， A 比 B 多轉(zhuǎn)了 ；如

3、2果 A、B 在異側(cè)，則它們相距最遠，從角度上看，在相同時間內(nèi)，A比 B多轉(zhuǎn)了。所以再次相距最近的時間t 1，由；第一次相距最遠的時間 t 2，由。如果在問題中把“再次”或“第一次”這樣的詞去掉，那么就變成了多解性問題?！纠?2】如圖 2，地球和某行星在同一軌道平面內(nèi)同向繞太陽做勻速圓周運動。地球的軌道半徑為 R，運轉(zhuǎn)周期為 T。地球和太陽中心的連線與地球和行星的連線的夾角叫地球?qū)π行堑挠^察視角（簡稱視角）。已知該行星的最大視角為，當(dāng)行星處于最大視角處時， 是地球上天文愛好者觀察該行星的最佳時期。 若某時刻該行星正好處于最佳觀察期， 問該行星下一次處于最佳觀察期至少需經(jīng)歷多長時間解析：由題意可

4、得行星的軌道半徑 rRsin設(shè)行星繞太陽的運行周期為 T/，由開普勒大三定律有：太陽R 3r 3，得： TTsin3行星T2T2視角繞向相同，行星的角速度比地球大，行星相對地球地球222(1sin 3)圖 2TTT sin 3某時刻該行星正好處于最佳觀察期，有兩種情況：一是太陽剛看到；二是馬上看不到 , 如圖 3 所示。到下一次處于最佳觀察期至少需經(jīng)歷時間分別為行星2(2 ) sin 3兩者都順時針運轉(zhuǎn)：t1?T2(1sin3)地球2(2) sin3圖 3兩者都逆時針運轉(zhuǎn)：t22(1sin 3?T)二、相遇問題【例 3】設(shè)地球質(zhì)量為 M，繞太陽做勻速圓周運動，有一質(zhì)量為 m的飛船由靜止開始從

5、P 點沿 PD方向做加速度為 a 的勻加速直線運動， 1年后在 D 點飛船掠過地球上空，再過 3個月又在 Q處掠過地球上空，如圖 4所示（圖中“ S”表示太陽）。根據(jù)以上條件，求地球與太陽之間的萬有引力大小。解析：飛船開始與地球相當(dāng)于在D點相遇，經(jīng)過 3個月后，它們又在 Q點相遇，因此在這段時間內(nèi)， 地球與太陽的連線轉(zhuǎn)過的角度。設(shè)地球的公轉(zhuǎn)周期為 T ，飛船由靜止開始做加速 度為a 的勻加速 直線 運動 ，則地球的公轉(zhuǎn)半徑為所以，地球與太陽之間的萬有引力大小為【例 4】從地球表面向火星發(fā)射火星探測器，設(shè)地球和火星都在同一平面上繞太陽做同向圓周運動， 火星軌道半徑 r 火 為地球軌道半徑 r 地

6、 的 150 倍，簡單而又比較節(jié)省能量的發(fā)射過程可分為兩步進行：第一步：在地球表面用火箭對探測器進行加速，使之獲得足夠動能，從而脫離地球引力作用成為一個沿地球軌道運動的人造衛(wèi)星 ( 如圖 5) ；第二步：在適當(dāng)時刻點燃與探測器連在一起的火箭發(fā)動機，在短時間內(nèi)對探測器沿原方向加速， 使其速度數(shù)值增加到適當(dāng)值， 從而使得探測器沿著一個與地球軌道及火星軌道分別在長軸兩端相切的半個橢圓軌道正好射到火星上( 如圖6) 。當(dāng)探測器脫離地球并沿地球公轉(zhuǎn)軌道穩(wěn)定運行后，在某年 3 月 1 日零時測得探測器與火星之間的角距離為 60°（火星在前，探測器在后），如圖7 所示。問應(yīng)在何年何月何日點燃探測器

7、上的火箭發(fā)動機，方能使探測器恰好落在火星表面（時間計算僅需精確到日），已知：；?；鹦腔鹦屈c火火星解析：根據(jù)根據(jù)開普勒第三定律，可求出火星的公轉(zhuǎn)周期T 火：r火3r地3600探測器，題設(shè) r火 1.5r地 ，太陽22T火T地火星地球探測器太陽探測器太陽得： T火（3×）T地1.5= 365=671d地球地球初始相對角距離=600。點火前，探測器與地球在同一公轉(zhuǎn)軌道同向運行，圖 7周期跟地球的公轉(zhuǎn)周期相同，故相對火星的角位移為探測器在圖適當(dāng)5位置點火后，沿橢圓軌道到與火星相遇所需圖時6間tTd2(2.5r第 ) 33TdT地因2r地得： t=3=255dTd2T地22（1.25）2在這段

8、時間 t內(nèi)，探測器的絕對角位移為1800 ，火星的絕對角位移為火火t3600255 1370671探測器相對火星的角位移為218001370430 。到探測器與火星相遇時，初始相對角距離（=600），應(yīng)等于點火前探測器相對火星的角位移，與探測器沿橢圓軌道運動時間內(nèi)相對火星的角位移1 2 之和，即則160 043 017 0而11 ? t1故得：t1117038 d360036001365671已知某年 3 月 1 日零時，探測器與火星角距離為60°（火星在前， 探測器在后），點燃發(fā)動機時刻應(yīng)選在當(dāng)年3 月 1 日后 38 天，注意到“ 3 月大”（有 31 號），即應(yīng)在 4 月 7 日零時點燃發(fā)動