微積分(下)期末復(fù)習(xí)題完整版

1、期末復(fù)習(xí)題一、填空題f cos2 tdtlim I.X2、假設(shè)/(X)在.,用上連續(xù),那么?廠/(x)dx=.dx x3、p(x)是/(*)的原函數(shù),那么Jo-/(V7+a)dr (x0)等于, 假設(shè)e-/是/(x)的一個(gè)原函數(shù),那么r(x)dr= 5、dx =1 +妒6、7、f(x)= . X ,那么/(*)在0, 2的平均值為_ Vl+x2設(shè)J：/(*)心+ sinx =/(*),且/(x)連續(xù),那么 f(x) =8、設(shè)曲線),=x*(& 0,x 0)與直線J = 1及),軸圍成的圖形面積為那么A =9、設(shè) f(x,y) = (x-2)2 j2 -(j-l)arcsinJ-,那么孕V j

2、Qy(0.1)12、設(shè)Z = xe2,那么 - =dxdy交換積分次序J：djJ；/(3)dy = 交換積分次序J*2dxj7/(x,j)dj =13、交換積分次序/(x,j)dx =二、選擇題dn2x ln(l + /)dZ1、極限lim 等于()x-M) 1-COSX(A) 1(B) 2(C) 4(D) 82、設(shè)?j； /(Odr = ex,那么/(x)=()dx J.(A) (B)(C)e-(D) -e-2x3、設(shè)/(x)是連續(xù)函數(shù),Kj/(x)dx = F(x) + C,那么必有()B(A) J7(0dr = F(x)(B) )df憐 F(x)(C) Jra)dr = /(x)(D)

3、Jj0)df = /(x)-/(q)4、設(shè)/(X)在0上連續(xù),那么/(x)在.0上的平均值是()/俗)+/0)(A)2(B)J a(C) -fhf(x)dxb-a Ja(D)1 fbJ /(g a-bJas5、積分 I = tf(tx)dx 與()有關(guān).(A) S,t,X(B) S,t(c) X,t(D) s6、以下方程中變量可別離的是(),、心,(a) -= xr + r dr(B) x - = e/+x sinZ(c) = x2+t2 dr(D) = In(xZ) df7、()是微分方程ylnxdx + xlnyd, = 0滿足條件yL=e 2的特解.(A) Inx2 +lnj2 = 0(

4、B) Inx2 + lnj2 = 2(C) ln2x + ln2 j = 0(D) n2 x + n2 y =-2三、計(jì)算題1、計(jì)算以下不定積分：(1)(心/ (2) f xlnxdx(3) f In2 xdxJ (2-x)lxJf dxf 1 jf 2x ,(4) -i=(5) I dr (6) |- dxJ 1 + Vx + lJ x2a/x2-1j 1 + cos2x2、計(jì)算以下定積分：r22(1) |o2 ex sinxdx (2) 11 | dx (3) J. arctan xdx(4) f,n 7ex -1 dx(5) fl(6) f1 xarctan y/l-x2 dxJo ex

5、 + 3J.f VI-A：2 ,XI i3心| / 口12+xJ xJ.后TT0x2,求 J：/(x_l)dx 一2x0e-x , x 2 034、設(shè) f(x) = l,求 j /(x-2)dx.1 + x2, x = ,J7,W 1.D XIK計(jì)算二重積分JJ Jl一 *2dxdy ,其中D是以(0,0),(1,0),(1,1)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域.D12、計(jì)算 J * dr j *e_j2dj .13、計(jì)算可；偵二3如14、計(jì)算J：dj焰罕dx.15、求微分方程滿足初始條件的特解：+ = 0,火3) = 4.y x16、求微分方程 W + y-ex= 0的通解.17、求方程/ = -2xy

6、+ 2xex2的通解.18、求微分方程2+1)7,+ 2勺一4/=0的通解.19、求解微分方程 xlnxdj + (j-lnx)dx = O, jlx.c=l.四、應(yīng)用題1、求y = A；?與x = y2所圍成的圖形的面積及它繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積.2、求J=-X2與)=X所圍成的圖形的面積,并求此圖形繞X軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積.3、過曲線y =上的點(diǎn)4作切線,使該切線與曲線及X軸所圍成的平面圖形D的面積S為;.4(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)求平面圖形D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體體積.4、為銷售某種產(chǎn)品,需要作兩種方式的廣告,當(dāng)兩種廣告的費(fèi)用分別為x和),時(shí),銷售利潤的增加是 當(dāng)+

7、寒上(萬元).現(xiàn)花25萬元用于廣告,問怎樣分配兩種方式的廣告費(fèi)用,可使利潤的增加到達(dá) 5+ x 10 +j最大？5、某廠生產(chǎn)產(chǎn)量分別為x和),的兩種產(chǎn)品,總本錢c(x) = x2 + j2 + 4xj-10x + 10j + 500,需求函 數(shù)分別為x = 70-0.25p, _y = 12O-O.5q,(p,0為產(chǎn)品單價(jià)),且產(chǎn)品需求要受限制x + 2j = 50,求工廠獲最大利潤時(shí)的產(chǎn)量和單價(jià).6、設(shè)某企業(yè)的總產(chǎn)量函數(shù)為P(x,j) = 0.005x2j (噸),為兩種投入要素,其單價(jià)分別為1萬元/ 噸和2萬元/噸,且該企業(yè)擁有資金150萬元,試求使產(chǎn)量最大.7、生產(chǎn)某種產(chǎn)品需要4/,.三

8、種原料,且產(chǎn)量與A,B,C原料的用量的關(guān)系為.= 0.005/以, 三種原料莒價(jià)分別為12,3(萬元),今用2400(萬元)購置材料,問應(yīng)如何進(jìn)料才能使產(chǎn)量最大？五、證實(shí)題K 設(shè)/在0,1上連續(xù),證實(shí)：/(sinOk = 2jj/(sinr)d/ .2、設(shè)/(x)在0,1上連續(xù),證實(shí)：J/(sinx)(Lr = y J/(sinx)(Lr .3、證實(shí) J：x(l-x)dx =.解答：一、填空題1.12. -2f(2x)3. 2F(4x +a)-2F(a) 4. -2e-1 5.In2 6. -(V5-1)27. sinx+ y 8. ?9. 810、2e2y 11.f(x,y)dx12-y)d

9、x+fMi/(x)dxfl f X2f J 2-/、JoJo心J.f(x,y)dyHIS、近律題l.C 2.B3、解選B利用變上限積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)J7(r)dr = /(x),結(jié)合Fx)= f(x)f得(A) JV(0d/ = F(x)-F(a), (C) VFt(t)dt = F(x)-F(a), (D) F(f)df = F(x)=/(x), J aJ aJ a應(yīng)選(B).4、解選C假設(shè)函數(shù)/(*)在.0上連續(xù),那么稱 一f f(x)dxf(x)在,A上的平均值,應(yīng)選(C).b-aJa5、解選D設(shè) u-tx 9 那么 X = , dx = -du,tts于是/=r J；/ax)dx=Jo7(

10、w)dw,故積分與$有關(guān).應(yīng)選(D).6、解選8由于x = e/+xsint可寫成=-er sin/ ,故應(yīng)選(B). drdr x7、解選O將原方程別離變量并兩邊積分,得到通解為|ln2x + |ln2j = C,代入初始條件| =e-i ,得C = i 所求特解為ln2x + ln2j = l.42三、計(jì)算題計(jì)算以下不定積分:解令t = y/l-x f 那么x = l-t2t dx = -2/dr,于是r drfp (1/-I ,= 1 =-2l = -2arctanf + C = -2arctan y/l-x +C.J(2-x)Vl J(l + f2)U J1 +尸Jxlnxdx = |

11、lnxd(-) = -Inx-dx = -Inx-x2 +C.(3)xdx = xln2 x Jx-21nxdx = xIn2 x-2|Inxdx=xIn2 x-2xInx + 2j x*dx = xIn2 x-2xInx + 2x + C令lx + l = t, x + l = t3 , dr = 3Z2dZ ,=3fdr = 3r1 + 1dr =3fa-l+)dfi+VTTT Ji+f J i+i J i+f= -r2_3Z + 31nlr + ll+C =-V(x + l)2 -3Vx + l + 31nlVx + l + ll+C解 令 x = secZ , dr = sec/tan

12、/dZ ,sec/tan/f 1. c sec/tan/ , f 八1 八I . dx = f d/ = | cos/ d/ = sinZ + C =+ CJ x2Jx2-1 J se/tanr Jx2x2x解 Idx = dx = fxsec2 xdx = | xdtan xJ l + cos2x J 2cos2x JJ2、=xtanx Jtanxdx = xtanx In I secx l+C 計(jì)算以下定積分：K IT解：|o2 ex sinxdx = R sinxdex = ex sinx|J J2 eA cosxdx = e2 . cosxdex=e2 - ex cosx|J + |o

13、2 ex sinxdx = e2 +1 - jex sinxdx 解得 fo exsinxdx = -(e2 +1). 解：原式=-j；ln JjTdx +J： InJdxe2=一- J x d In y/x + x -j； x dln/x-e2 e2zTr.一 Z Z 寸 Z xusXIffi + 一 K-I I K 一 Z7 +一 .飛寸r7 + 1rqrl JP JP I 71K3JB J 一 一+ 飛-J - x - -J - -一 z -二 H 右 ZRIqEXIWJ =Mcn ZHIIr 僉 是(9) 0 f -HJPQJEH apfi;H-pQLi;=祁幽 =cn 74 唾(s)

14、 klH y38MI7)z n蚤見寸乖打T普=&c唾尋) - - 寸 ZS 0 f 0-,i Hkd I w ImrJ 5一 j 角二 NLtel岐 一二小 7pdJ H JP 匚 JIPLMS7 J n JpalJSM P)e 街yd f x -y7、解： = 2x arctany , rdxxdxdy x +y8、解：方程兩邊關(guān)于x求偏導(dǎo),3x2+3z2-J+j-J = 0 = 冬dx dxdx 3z +j方程兩邊關(guān)于?求偏導(dǎo),3尸套+ ,些=0 n =dy dy dx 3z2 +j9、解)h=e (2x + 2y +4j + l) = 01J/；=e2jr(2j + 2) = 022A

15、= /(i -l) = 2e0, 8 = /；G,_l) = 0, C = /；(；,_ 1) = 2e , 1 粉 所以(萬1)為極小值點(diǎn),極小值為/(萬1) = .10、解 原式=drj 2= J.(sinx-xsinx)dx =(-cosx + xcosx-sinx)= 1-sinl.11、解 |J71-x2db = J：dxj：ll-x2 dy = jxy/l-x2 dx = 0d000312、解交換積分次序,原式=J(蛆：* = e dy = _頊=*_ .40 t13、解交換積分次序,原式=fdjf-zdr = |f1 2.+j3 =把：.J. J.序 2人序況 3、 o 314、

16、解 交換積分次序,原式=J：dx里F(iy =j,sinxdr =sinl-cosl.15、解別離變量,xdr +jdy = 0,積分得x2 +j2 = C ,將火3) = 4代入,得C = 25,所求特解為x2 + j2 = 25.16、解 方程改寫為yf + -y = 9 (1分)x xj = eTf.eTdx + C (3分)=-(exdx4-C = e +C . J XX JX17、解 原方程為yf + 2xy = 2xe/ ,y = e 2xdr(J 2xe-x e2xtLvdx + C) = ex2 (J2xdx + C) = ex? (x2 +C)18、解 原方程為：礦+ 半=半

17、),X +1 x +1. dr2 (-dr1 A,=e e (f-eJ+1 dx + C) = -(-x3+C)J x +1x + l 319、解 原方程改寫為？ +、一?=上,通解為 xinx xj = e inx (jLjxmx 心 + c) =j給dx + C = -(In2 x + C),xIn xxIn x 2將火e) = l代入,得C = i,故所求特解為y = ：(lnx +!一).2 2 Inx四、應(yīng)用題1、解 S = jV-X2)dX = -, K =時(shí)(&)2一(*2)2心=混2、解 S=(-x2-x)dx = L, V = x2-(-x2)2dr = J-16J-1153

18、、解Q)設(shè)4(.3,做0,貝徹線的斜率A=?2,切線方程：y = La-2xa切線與x軸交點(diǎn)3 33為(-&3,0), 8=/-(-23) = 4 = ,解得“ =1, 4(1,1).(2)切線方程：j =+ r.Vx = 2(ix + )2dx-(Vx)2dx = J JJ JQ4、解：目標(biāo)函數(shù)為匕3=浩+*p約束條件f = 2550x25j5+x 10+j250 (5+x)250(10+x)2x + y = 25解得唯一駐點(diǎn)x = 15, j = 10 由實(shí)際意義,此時(shí)利潤的增加最大5、解：目標(biāo)函數(shù)為 L(x,y) = px qy -C = -5x2 - 3y2 + 290x + 230j -4xj - 500, 約束條件x + 2j = 50F = -5x2 -3j2 + 290x + 230j-4xy-500 + 2(x + 2j 50)令 F； = -lOx + 290 - 4j + 2 = 0 , F； = -6y + 230- 4x + 22 = 0 , x + 2j = 50解得唯一駐點(diǎn)