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文檔簡介

1、初二數學培優(yōu)之等腰三角形的判定閱讀與思考在學習了等腰三角形性質與判定后,我們可以對等腰三角形的判定、證明線段相等的方法作出歸納 總結.1等腰三角形的判定:從定義入手,證明一個三角形的兩條邊相等;從角入手,證明一個三角形的兩個角相等.2 證明線段相等的方法:當所證的兩條線段位于兩個三角形,通過全等三角形證明;當所證的兩條線段位于同一個三角形,通過等角對等邊證明;尋找某條線段,證明所證的兩條線段都與它相等.善于發(fā)現、構造等腰三角形,進而利用等腰三角形的性質為解題服務,是解幾何題的一個常用技 巧常見的構造方法有:平分線 +平行線、平分線+垂線、中線+垂線如圖所示:例題與求解【例1如圖,在 ABC中,

2、AB=7, AC=11 ,點 M是BC的中點,AD是/ BAC的平分線,MF / AD,貝U CF的長為(全國初中數學競賽試題) 解題思路:角平分線+平行線易構造等腰三角形,解題的關鍵是利用條件“中點M ”.【例2如圖,在A AC > 2ABC. ACW 2ABCABC中,/ B=2/ C,貝U AC與2AB之間的關系是(B AC = 2ABD AC V 2AB)(山東省競賽試題)解題思路:如何條件/ B=2 / C,如何得到2AB,這是解本題的關鍵A【例3】兩個全等的含300, 600角的三角板 ADE和三角板ABC,如圖所示放置,E、A、C三點在 一條直線上,連結 BD,取BD中點M

3、,連結ME , MC,試判斷 EMC的形狀,并說明理由.(山東省中考試題)解題思路:從厶ADE BAC出發(fā),先確定厶ADB的形狀,為判斷厶EMC的形狀奠定基礎.D【例4】如圖,已知在厶 ABC中,AD是BC邊上的中線,E是AD上一點,且 BE=AC,延長BE交 AC 于 F,求證:AF=EF .(天津市競賽試題) 解題思路:只需證明/ FAE=Z AEF,利用中線倍長,構造全等三角形、等腰三角形.【例5】如圖,在等腰厶 ABC中,AB=AC ,Z A=20°,在邊 AB上取點D,使AD=BC,求/ BDC度 數.(“祖沖之杯”競賽試題) 解題思路:由條件知底角為30°,這些

4、角并不是特殊角,但它們的差卻為60°, 60°使我們聯想到等邊三角形,由此找到切入口.如圖1,以BC為邊在 ABC內作等邊厶BCO ;如圖,以 AC為邊作等邊 ACE.A圖1能力訓練A級1已知 ABC為等腰三角形,由頂點 A所引BC邊的高線恰等于 BC邊長的一半,則/ BAC =.2.如圖,在Rt ABC中,/ C=90°,/ ABC=66°,A ABC以點C為中點旋轉到 A'B'C的位置,頂點B在斜邊A B '上,A C與AB相交于D,則/ BDC=.(第2題)(第4題)A(第 3 題)4.如圖,一個六邊形的六個內角都是120&

5、#176;,其連續(xù)四邊的長依次是那么這個六邊形的周長是 cm .5.如圖, ABC 中,AB=AC,Z B=36°, D、 等腰三角形共有()A. 3個C. 5個E是BC上兩點,使/(“祖沖之杯”邀請賽試題)ADE= / AED=2/ BAD,則圖中6.若 ABC的三邊長是a , b , c ,44且滿足a b,2 2, 4442 2b c , b a c a c ,3.如圖, ABC是邊長為6的等邊三角形,DE丄BC于E,EF丄AC于F, FD丄AB于D,則AD=(天津市競賽試題)1 cm , 9 cm , 9 cm , 5 cm ,44422c a b a b ,則厶 ABC (

6、D .等邊三角形 (“希望杯” 等腰三角形一腰上的高等于該三角形某一條邊的長度的一半,則其頂角等于(300B . 300 或 1500A .鈍角三角形B .直角三角形C.等腰直角三角形7.A.邀請賽試題)C . 1200 或 1500D . 300 或 1200 或 1500(“希望杯”8.三角形,如圖,已知Rt ABC中,/ 則符合條件的A. 2個P點有(B . 4個C=900,/ A=30°,)C. 6個邀請賽試題) 在直線BC或AC上取一點P,使得 PAB是等腰(江蘇省競賽試題)第5題圖第8題圖B第9題圖9. 如圖在等腰 Rt ABC中,/ ACB=90°, D為BC

7、中點,DE丄AB,垂足為E,過點B作BF / AC 交DE的延長線于點 F,連接CF交AD于G.求證:AD丄CF ;連結AF,度判斷厶ACF的形狀,并說明理由.10. 如圖, ABC 中,AD丄 BC 于 D,/ B=2/C,求證:AB+BD=CD .(天津市競賽試題)B11. 如圖,已知 ABC是等邊三角形,E是AC延長線上一點,選擇一點 D,使得 CDE是等邊三 角形,如果 M是線段AD的中點,N是線段BE的中點,求證: CMN是等邊三角形.(江蘇省競賽試題)A12. 如圖1, Rt ABC中,/ ACB=900, CD丄AB,垂足為 D, AF平分/ CAB,交CD于點E,交 CB于點F

8、.圖1C圖2B求證:CE=CF; 將圖1中的 ADE沿AB向右平移到 A'D'E的位置,使點E落在BC邊上,其他條件不變,如圖2所示,試猜想:BE與 CF有怎樣的數量關系?請證明你的結論.(山西省中考試題)B級1 如圖, ABC 中,AD 平分/ BAC, AB+BD=AC,則/ B:Z C 的值=(第2題)2. 如圖, ABC的兩邊AB、AC的垂直平分線分別交 BC于D、E,若/ BAC+ / DAE=1500,則/BAC的度數是.3. 在等邊厶ABC所在平面內求一點 卩,使厶FAB、 PBC、A PAC都是等腰三角形,具有這樣性質 的點F有個.4.如圖,在 ABC 中,/

9、ABC=60°,/ ACB=45°,AD、CF都是高,相交于P,角平分線BE分別交AD、CF于Q、S,則圖中的等腰三角形的個數是(第4題)第5題NM5.如圖,在五邊形ABCDE 中,/ A=Z B=120°,EA=AB=BC =1 DC=1 DE,則/ D=(2 2A . 30°B. 45°C. 60°D . 67.5°(“希望杯”競賽試題)6. 如圖,/ MAN =16° , Ai點在AM上,在 AN上取一點 A2,使A2Ai=AAi,再在 AM上取一點 A3,使A3A2=A2A1,如此一直作下去,到不能再作為止

10、,那么作出的最后一點是()A . A5B . A6C . A7D . A87. 若PABC所在平面內一點,且/ APB = Z BPC= / CPA=12°°,則點P叫作 ABC的費爾馬點, 如圖1 .若點P為銳角 ABC的費爾馬點,且/ ABC=6°°, FA=3 , PC=4,貝U PB的值為.如圖2,在銳角厶ABC外側作等邊 ACB;連結 BB求證:BB過厶ABC的費爾馬點 P,且BB =PA+PB+PC.(湖州市中考試題)8 如圖, ABC 中,/ BAC=60°,/ ACB=4O0, P、Q 分別在 BC、AC 上,并且 AP、BQ

11、分別是/ BAC、/ ABC 的角平分線,求證: BQ+AQ=AB+BP.(全國初中數學聯賽試題)9.如圖,在 ABC中,AD是/ BAC的平分線,M是BC的中點,過 M作ME / AD交BA延長線1于 E,交 AC 于 F,求證:BE = CF= (AB+AC).2(重慶市競賽試題)10.在等邊 ABC的邊BC上任取一點D ,作/ DAE=60°, DE交/ C的外角平分線于 E,那么 ADE 是什么三角形?證明你的結論.(學習報公開賽試題)11.如圖,在平面直角坐標系中,o為坐標原點,直線I : y1x m與x軸、y軸的正半軸分2別相交于點A、B,過點C( 4, 4)作平行于y軸的直線交AB于點D, CD=10 .求直線|的解析式;求證: ABC是等腰直角三角形;y軸分別相交于點 A'、B',在直將直線I沿y軸負方向平移,當平移恰當的距離時,直線與線CD上存在點P,使得 A'B'P是等腰直角三角形,請直接寫出所有符合條件的點P的坐標.(寧波市江東區(qū)模擬題)x12.如圖1,在平面直角坐標系中, AOB為等腰直角三

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