逐級遞進(jìn),螺旋上升──小學(xué)階段分?jǐn)?shù)教學(xué)策略初探

1、逐級遞進(jìn)，螺旋上升小學(xué)階段分?jǐn)?shù)教學(xué)策略初探浙江省建德市大同第一小學(xué)鄭巧華一、問題提出作為小學(xué)數(shù)學(xué)的“三數(shù)”（整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)）之一，分?jǐn)?shù)的重要性不言而喻。而關(guān)于分?jǐn)?shù)的教學(xué)，歷來都是教學(xué)的重難點(diǎn)，作為小學(xué)數(shù)學(xué)教師，應(yīng)該客觀、正確、全面地認(rèn)識(shí)、研究它。二、情況分析（一）分?jǐn)?shù)的定義張奠宙教授在分?jǐn)?shù)的定義一文當(dāng)中，提到了關(guān)于分?jǐn)?shù)的幾種定義：1份數(shù)的定義教材很多都是從份數(shù)的定義開始的。一般都這樣描述：單位1平均分為若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)。 2商的定義分?jǐn)?shù)是兩個(gè)正整數(shù)a 除以b 的商。所以分?jǐn)?shù)是一個(gè)商。用a除以b，在除不盡的情況下面，我們就得到了一個(gè)分?jǐn)?shù)。3比的定義分?jǐn)?shù)的第三個(gè)定義是比的

2、定義。兩個(gè)自然數(shù) a比b, b 0, 即叫做分?jǐn)?shù)?！氨取钡亩x是將份數(shù)定義擴(kuò)展，分?jǐn)?shù)乃是“一部分和另一部分之比”，另一部分可以是整體，也可以是部分，把一部分當(dāng)做新的整體。（二）分?jǐn)?shù)的內(nèi)容小 學(xué)階段，分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)，主要包括“初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)”、“理解分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)的意義”“會(huì)進(jìn)行小數(shù)、分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)的轉(zhuǎn)化”“能比較小數(shù)的大小和分?jǐn)?shù)的大小” “能分別進(jìn)行簡單的小數(shù)和分?jǐn)?shù)（不含帶分?jǐn)?shù)）的加、減、乘、除運(yùn)算及混合運(yùn)算（以兩步為主，不超過三步）”和“能解決小數(shù)、分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)的簡單實(shí)際問 題”，真正體現(xiàn)了“逐級遞進(jìn)、螺旋上升的原則”。（三）分?jǐn)?shù)的性質(zhì)分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0除外）

3、，分?jǐn)?shù)的大小不變。也就是說，這一群（類）分?jǐn)?shù)，有著不同分?jǐn)?shù)的外形，但是它的數(shù)值是一樣的，在數(shù)學(xué)上面，這叫做“等價(jià)類”。最簡分?jǐn)?shù)固然重要，但分?jǐn)?shù)的約分，通分在后續(xù)分?jǐn)?shù)比較大小、四則運(yùn)算學(xué)習(xí)中非常有用，所以必須認(rèn)真學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，加深理解。三、教學(xué)策略我們一線教師不妨捫心自問：“我拿什么吸引學(xué)生呢？我拿什么讓學(xué)生忘記吵呢？”“我該如何體現(xiàn)教師的主導(dǎo)作用呢？”這也迫使我們教師在課堂教學(xué)當(dāng)中選擇合理的教學(xué)策略，努力追求教學(xué)的生動(dòng)，追求學(xué)習(xí)的高效。（一）創(chuàng)設(shè)情境，表征轉(zhuǎn)換，認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)數(shù)學(xué)情境是一種激發(fā)學(xué)生問題意識(shí)為價(jià)值取向的刺激性的數(shù)據(jù)材料和背景信息，是從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的環(huán)境，產(chǎn)生數(shù)學(xué)行為的條件。創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)

4、情境既要關(guān)注“社會(huì)化”，又要立足“兒童化”；既要關(guān)注“生活化”，又要突出“數(shù)學(xué)味”；既要倡導(dǎo)內(nèi)容“綜合性”，又要兼顧形式“多樣性”。筆者認(rèn)為，人教版三年級上冊教科書上面的“主題圖”所創(chuàng)設(shè)的數(shù)學(xué)情境的“生活化”值得商榷：實(shí)際生活中，哪有人會(huì)將月餅直接放在地上進(jìn)行切分？既然“生活化”值得商榷，那么這個(gè)教學(xué)情境也就失去了真實(shí)性，不用也罷。倒不如將平分月餅的情境改為日常生活中經(jīng)常遇到的“分蘋果”的情境。美國心理學(xué)家和教育家杰羅姆布魯納認(rèn)為在人類智慧生長期間，有三種表征系統(tǒng)在起作用，這就是“動(dòng)作表征”“表象表征”和“符號表征”。我們認(rèn)為，三年級學(xué)生在學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)初步認(rèn)識(shí)”時(shí)，學(xué)習(xí)過程如下圖所示：（二）借助

5、科技，辨清率量，理解意義“拋硬幣”是一類傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)題，它涉及到了“統(tǒng)計(jì)與概率”的內(nèi)容，并且理論上它的概率是?？墒?，在具體的課堂上，因?yàn)闀r(shí)間的限制、樣本數(shù)量的限制，頻率很難接近，數(shù)據(jù)顯示出來的結(jié)果與“理論上概率是”往往存在著一定的誤差。這 時(shí)候，我們教師可以借助于“超級畫板”來進(jìn)行直觀、形象地演示。通過演示，教師可以進(jìn)行大量的模擬實(shí)驗(yàn)（只要單擊相關(guān)按鈕，就可以迅速地進(jìn)行成百上千次的 模擬實(shí)驗(yàn)），幫助學(xué)生感受隨機(jī)現(xiàn)象的隨機(jī)性，感受到理論概率和實(shí)驗(yàn)概率之間的關(guān)系，感受到更好地理解頻率、概率的含義，感受到試驗(yàn)次數(shù)與概率之間的關(guān)系， 明白樣本越大，規(guī)律的變異就越小。同樣是關(guān)于“分?jǐn)?shù)的意義”，還有這樣一道

6、經(jīng)典的例題：兩根同樣長的繩子，一根用去了，另一根用去了米，問哪一根用去的多？前者“一根用去了”當(dāng)中的“”，是作為“率”的分?jǐn)?shù)，它表示的是“相對的量”，這個(gè)“”到底表示多少長，關(guān)鍵還要看整體（單位“1”）表示多少；而后者“另一根用去了米”當(dāng)中的“米”，是作為“量”的分?jǐn)?shù)，它表示的是“絕對的量”，是不變的、穩(wěn)定的。當(dāng)然，這道例題完整的答案是要分情況討論的（詳見下表）：（三）統(tǒng)籌大小，完美升華，相互轉(zhuǎn)化廣東省特級教師黃愛華老師提出以“大問題”為導(dǎo)向的課堂教學(xué)研究，力圖通過兩到三個(gè)牽一發(fā)而動(dòng)全身的問題，提煉大環(huán)節(jié)，構(gòu)建大空間，生成一種多線交融，分層并進(jìn)的新的課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)。例如在教學(xué)“百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)”時(shí)，

7、我們教師不妨活用廣東省特級教師黃愛華老師的三個(gè)大問題貫穿全課：什么是百分?jǐn)?shù)？百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)有什么不同？有了分?jǐn)?shù)，為什么還要用百分?jǐn)?shù)？這三個(gè)大問題既可以溝通新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，更將百分?jǐn)?shù)的意義、區(qū)別于分?jǐn)?shù)的特殊處及與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系等重難點(diǎn)問題都深入滲透了進(jìn)去。除了設(shè)計(jì)“大問題”外，我們教師更應(yīng)該注重小細(xì)節(jié)。一次，江蘇省特級教師華應(yīng)龍老師上小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)互化的復(fù)習(xí)課，要求學(xué)生把0.2化成百分?jǐn)?shù)。在蘭蘭同學(xué)回答出20%后，華老師讓她說說思路。她說：“0.2=，十分之”同學(xué)們“噓”聲一片。華老師示意別打斷她?！?.2=”。華老師耐著性子讓她說完。最后蘭蘭說道“分子分母同乘以20，等于20%?！比A應(yīng)龍

8、老師結(jié)束時(shí)說：“蘭蘭同學(xué)運(yùn)用小數(shù)的意義把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，再根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)進(jìn)行約分，接著又一次靈活運(yùn)用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，將分?jǐn)?shù)巧妙地化成了百分?jǐn)?shù)我都沒有想到這么好的復(fù)習(xí)小數(shù)、分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)互化的例子”。他的這一番話把課堂教學(xué)中的生成資源作了一個(gè)升華小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系。這個(gè)升華也應(yīng)該是這堂復(fù)習(xí)課要達(dá)到的目標(biāo)。（四）把握關(guān)鍵，靈活運(yùn)用，比較大小現(xiàn)行教材在關(guān)于兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小比較時(shí)，往往是先學(xué)習(xí)通分后學(xué)分?jǐn)?shù)的大小比較。這種做法，看上去似乎相當(dāng)高效，殊不知，在追求快速、高效的同時(shí)，很可能將“發(fā)展學(xué)生思維”的其他通道給堵上了。我們不妨學(xué)習(xí)一下華東師范大學(xué)的袁震東教授所介紹的來源于美國的數(shù)學(xué)教育：先學(xué)

9、分?jǐn)?shù)的大小比較，再學(xué)通分。這樣有利于培養(yǎng)學(xué)生靈活多變的思維方式，提高學(xué)生解決問題的能力。例如我們教師可以不先教通分，而是從分?jǐn)?shù)的意義入手，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)比較這兩組分?jǐn)?shù)的大小：“”這組分?jǐn)?shù)，因?yàn)樗麄兊姆肿酉嗤虼?，根?jù)分?jǐn)?shù)的意義，分母越大的分?jǐn)?shù)數(shù)值反而越小，即；而這組分?jǐn)?shù)，因?yàn)榈谝粋€(gè)分?jǐn)?shù)的分子小于第二個(gè)分?jǐn)?shù)的分子，而其分母反而大于第二個(gè)分?jǐn)?shù)的分母，因此，。除了從通分和分?jǐn)?shù)的意義入手比較分?jǐn)?shù)的大小之外，我們還可以靈活運(yùn)用“同分子比較法”“搭橋法”“比較倒數(shù)法”等方法來比較各種分?jǐn)?shù)的大小。教給學(xué)生各種方法，供其自由選擇、以便靈活運(yùn)用。例如搭橋法在要比較的兩個(gè)分?jǐn)?shù)之間，找一個(gè)中間分?jǐn)?shù)，根據(jù)這兩個(gè)分?jǐn)?shù)和

10、中間分?jǐn)?shù)的大小關(guān)系，比較這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小。例如比較和的大小。把作為中間分?jǐn)?shù)?？梢院苋菀卓闯觯?，所以。又例如比較和的大小。我們可以先將和分別與相比較，比大，比大。而，因此+，所以。（五）利用直觀，數(shù)形結(jié)合，進(jìn)行運(yùn)算小學(xué)生的思維特點(diǎn)（從以具體形象思維為主要形式向以抽象邏輯思維為主要形式過渡），決定了我們教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)當(dāng)利用直觀，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。例如有這樣一道例題：一瓶油重千克，用去，問用了多少千克油？我們用長方形表示單位“1”，涂上陰影表示分?jǐn)?shù)（第一幅圖表示，第二幅圖再將取出的等分成四份，再取出三份，也即再取出），就可以非常直觀地看出的積應(yīng)該是。結(jié)合直觀圖和算式，我們可以很清楚地看到兩個(gè)因數(shù)的

11、分子分母與積的分子分母的關(guān)系，列出算式，從而啟發(fā)合情推理，理解分?jǐn)?shù)乘法的意義，得到分?jǐn)?shù)乘法的計(jì)算法則。有這樣一道數(shù)學(xué)題，求“”的和。學(xué)生最常規(guī)的解題方法，一般是采用通分求和的方法解題，這樣往往費(fèi)時(shí)費(fèi)力，還容易出錯(cuò)。因此，為了提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，我們可以引導(dǎo)學(xué)生充分利用數(shù)形結(jié)合，觀察算式的特點(diǎn)和圖形的規(guī)律，爭取將復(fù)雜的分?jǐn)?shù)加法轉(zhuǎn)化成一步計(jì)算的分?jǐn)?shù)減法。即：原式要求的是“”的和，我們將它們轉(zhuǎn)化成圖形（見下圖）后，不難發(fā)現(xiàn)，要求“”的和，我們可以進(jìn)一步將它轉(zhuǎn)化成“總量1”減去“深色區(qū)域”（也即），從而迅速而又準(zhǔn)確地得出答案。（六）應(yīng)用開放，厘清關(guān)系，解決問題有這樣一道花圃設(shè)計(jì)問題：有一塊長4米，寬3

12、米的園地，現(xiàn)要在園地上辟出一個(gè)花圃，使花圃的面積是原園地面積的，問如何設(shè)計(jì)？這既是幾何領(lǐng)域的應(yīng)用開放題，同時(shí)也同分?jǐn)?shù)有關(guān)（使花圃的面積是原園地面積的）。現(xiàn)選取學(xué)生的部分答案展示如下： 六年級上冊第三單元“分?jǐn)?shù)除法”增加了兩類“問題解決”，其中一類就是利用抽象的“1”來解決的實(shí)際問題。教材利用修路這一“工程問題”來引入，并且，在練習(xí)中編排了運(yùn)輸問題、行程問題、泄洪問題、種樹問題，使學(xué)生學(xué)會(huì)透尋找不同情境背后的共同的數(shù)學(xué)模型。這類題目首先要學(xué)會(huì)分析數(shù)量關(guān)系。在兩種基本數(shù)量關(guān)系的復(fù)合中，存在著主體數(shù)量關(guān)系和從屬數(shù)量關(guān)系。主體數(shù)量關(guān)系的確定，不取決于題目的客體，而是基于解題者的選擇，不同的選擇反映了不同的解題思路。例如：甲、乙兩輛清潔車執(zhí)行公路清掃任務(wù).甲車單獨(dú)清掃需要10小時(shí)，乙車單獨(dú)清掃需要15小時(shí)，兩車同時(shí)從東、西城相向開出，相遇時(shí)甲車比乙車多清掃12千米，問東、西兩城相距多