萬(wàn)有引力雙星與三星問(wèn)題

1、專(zhuān)題：“雙星及“三星問(wèn)題【前置性學(xué)習(xí)】圖11.甲、乙兩名溜冰運(yùn)發(fā)動(dòng) m甲二70kg, m乙=36 kg,面對(duì)面拉著彈簧秤做 圓周運(yùn)動(dòng)的溜冰表演如圖1,兩人相距0.9 m,彈簧秤的示數(shù)為 21 N, 以下判斷正確的選項(xiàng)是A.兩人的線(xiàn)速度相同,約為 1 m/sB.兩人的角速度相同,為 1 rad/sC.兩人的運(yùn)動(dòng)半徑相同,為 0.45 mD.兩人的運(yùn)動(dòng)半彳5不同,甲為 0.6 m,乙為0.3 m學(xué)習(xí)目標(biāo)1.新知探究一、“雙星問(wèn)題：兩顆質(zhì)量可以相比的恒星相互繞著旋轉(zhuǎn)的現(xiàn)象,叫雙星.雙星問(wèn)題是萬(wàn)有引力定律在 天文學(xué)上的應(yīng)用的一個(gè)重要內(nèi)容,現(xiàn)就這類(lèi)問(wèn)題的處理作簡(jiǎn)要分析.1 .要明確雙星中兩顆子星做勻速圓

2、周運(yùn)動(dòng)的向心力來(lái)源雙星中兩顆子星相互繞著旋轉(zhuǎn)可看作勻速圓周運(yùn)動(dòng),其向心力由兩恒星間的萬(wàn)有引力提供.由于力的作用是相互的,所以?xún)勺有亲鰣A周運(yùn)動(dòng)的向心力大小是相等的,利用萬(wàn)有引力定律可以求得其大小.2 .要明確雙星中兩顆子星勻速圓周運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)參量的關(guān)系兩子星繞著連線(xiàn)上的一點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng),所以它們的運(yùn)動(dòng)周期是相等的,角速度也是相等 的,所以線(xiàn)速度與兩子星的軌道半徑成正比.3 .要明確兩子星圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)關(guān)系.設(shè)雙星的兩子星的質(zhì)量分別為M和M2,相距L, M和M2的線(xiàn)速度分別為 Vi和V2,角M：M1M2L2M： 小包 gt2Mi"1速度分別為3 1和3 2,由萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律得:

3、2 M1r1 12M2 r2 2在這里要特別注意的是在求兩子星間的萬(wàn)有引力時(shí)兩子星 間的距離不能代成了兩子星做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑.4 .“雙星問(wèn)題的分析思路質(zhì)量m, m；球心間距離L;軌道半徑r 1 ,2 ；周期不,T2 ；角速度1, «2線(xiàn)速度V2, 周期相同：| 參考同軸轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題TZT!角速度相同：參考同軸轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題W 1 =32向心力相同：Fn1=Fri2由于在雙星運(yùn)動(dòng)問(wèn)題中,忽略其他星體引力的情況下向心力由雙星彼此間萬(wàn)有引力提供,可理解為一對(duì)作用力與反作用力軌道半徑之比與雙星質(zhì)量之比相反：由向心力相同推導(dǎo)C：r2=n2：-m w 2r 1=m>w 2r2mr 1=m2r

4、2 r 1：r 2=m2:m1線(xiàn)速度之比與質(zhì)量比相反：由半徑之比推導(dǎo)W:V2=m:m12= CO r 2M= 3 r1V:V2=ri：r 2=m>:mi二、"三星"問(wèn)題有兩種情況：第一種三顆星連在同一直線(xiàn)上,兩顆星圍繞中央的星(靜止不動(dòng))在同一半徑為 的圓軌道上運(yùn)行,周期相同；第二種三顆星位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上,并沿外接于等邊三角形的外接圓軌道 運(yùn)行,三星運(yùn)行周期相同.例題精析【例題1】在天體運(yùn)動(dòng)中,將兩顆彼此相距較近的行星稱(chēng)為雙星.它們?cè)谙嗷サ娜f(wàn)有引力作用下間距保持不變,并沿半徑不同的同心圓軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng).如果雙星間距為二 量分別為峭和也,試計(jì)算：(1)雙星

5、的軌道半徑；(2)雙星的運(yùn)行周期；(3)雙星的線(xiàn)速度.分析：雙星系統(tǒng)中,兩顆星球繞同一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),且兩者始終與圓心共線(xiàn),相同 時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)相同的角度,即角速度相等,那么周期也相等.但兩者做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑 不相等.解：設(shè)行星轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為 曰,周期為T(mén)(1)如圖,對(duì)星球由向心力公式可得:_, Ar/- ,. ZL. = Q '4；=M工點(diǎn)工同理對(duì)星球工叼 有：FT兩式相除得：典處即軌道半徑與質(zhì)量成反比又由于' -所以此1-%一,一上4LT 竺7=2j£ I L2由于, 一工,所以一幅+/P -.J-!-X£=鮑 3由于官二如,所以 3 占 必-%上的十

6、%說(shuō)明：處理雙星問(wèn)題必須注意兩點(diǎn)1兩顆星球運(yùn)行的角速度、周期相等；2軌道半徑不等于引力距離這一點(diǎn)務(wù)必理解.弄清每個(gè)表達(dá)式中各字母的含義,在示意圖中相應(yīng)位置標(biāo)出相關(guān)量,可以最大限度減少錯(cuò)誤.【例題2】01北京.08寧夏卷兩個(gè)星球組成雙星,它們?cè)谙嗷ブg的萬(wàn)有引力作用下,繞連線(xiàn)上某點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng).現(xiàn)測(cè)得兩星中央距離為R,其運(yùn)動(dòng)周期為 T,求兩星的總質(zhì)量.引力常量為 G解；設(shè)兩星質(zhì)量分別為打產(chǎn)都繞連埃卜.點(diǎn)作周期為r的圓周運(yùn)動(dòng)星球】和星球？到仃的距離分別為由由萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律及幾何條件可得7一L T方 t聯(lián)立解得【例題3】宇宙中存在一些離其它恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的

7、三星系統(tǒng),通?？珊雎云渌求w對(duì)它們的引力作用.已觀(guān)測(cè)到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種根本的構(gòu)成形式：一種是三顆星位于同一直線(xiàn)上,兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運(yùn)行；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個(gè)項(xiàng)點(diǎn)上,并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運(yùn)行.設(shè)三顆星質(zhì)量相等,每個(gè)星體的質(zhì)量均為 m1試求第一種情況下,星體運(yùn)動(dòng)的線(xiàn)速度和周期2假設(shè)第二種情況下星體之間的距離為R,求星體運(yùn)動(dòng)的線(xiàn)速度和周期HTB 即:式F MttA量正偉日和正仲C兩個(gè)的萬(wàn)力列力.它重的弁力就此當(dāng)FM4L線(xiàn)速慢.周財(cái)滿(mǎn)足療國(guó)二G K0 M T訕 ntr -i-+ r ="-=- -好博Ji1impR廬三5廬YR r ,

8、SG*存；&二沖怡電件 星吐回的曲需為R,群女園£崛勒干? =f=4,眠休也囊的合力為i爺"空=不上H2 RIW二叵.也.sjYa f Iwui自我測(cè)評(píng)1,兩顆靠得很近的天體稱(chēng)為雙星,它們都繞兩者連線(xiàn)上某點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),因而不 至于由于萬(wàn)有引力而吸引到一起,以下說(shuō)法中正確的選項(xiàng)是：A、它們做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度之比與其質(zhì)量成反比.日它們做圓周運(yùn)動(dòng)的線(xiàn)速度之比與其質(zhì)量成反比.C它們做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑與其質(zhì)量成正比.D、它們做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑與其質(zhì)量成反比.解析：兩子星繞連線(xiàn)上的某點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的周期相等,角速度也相等.由 v=rco得線(xiàn)速度 與兩子星圓周運(yùn)動(dòng)的半徑是成正比的.

9、由于兩子星圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由兩子星間的萬(wàn)有引力提供,向心力大小相等,由gM詈 M1rl 2,G岑絲 m2r2 2可知：M1rl 2 M2r2 2, 所以它們的軌道半徑與它們的質(zhì)量是成反比的. 而線(xiàn)速度又與軌道半徑成正比, 所以線(xiàn)速 度與它們的質(zhì)量也是成反比的.正確答案為：BD=2. 2021 全國(guó)卷I 如圖,質(zhì)量分別為 m和M的兩個(gè)星球A和B 在引力作用下都繞 O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),星球 A和B兩者中央之間 的距離為L(zhǎng),A、B的中央和O三點(diǎn)始終共線(xiàn),A和B分別在O的 兩側(cè).引力常數(shù)為 G1求兩星球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期；2在地月系統(tǒng)中,假設(shè)忽略其它星球的影響,可以將月球和地球 看成上述星球 A和B,月

10、球繞其軌道中央運(yùn)行的周期記為T(mén)1.但在近似處理問(wèn)題時(shí),常常認(rèn)為月球是繞地心做圓周運(yùn)動(dòng)的,這樣算得的運(yùn)行周期記為 Ta,地球和月球的質(zhì)量分別為5.98 X 1024 kg和7.35 X 1022 kg.求T2與T1兩者平方之比.結(jié)果保存3位小數(shù)解析：1設(shè)兩個(gè)星球 A和B做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑分別為r和R相互作用的引力大小為f,運(yùn)行周期為T(mén).根據(jù)萬(wàn)有引力定律有f=由勻速圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律得 f = m2T1)2rf = MI2TL)2R由題意有L= R+ r聯(lián)立式得 T= 2n J ±m- G IVH- m(2)在地月系統(tǒng)中,由于地月系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)所圍繞的中央O不在地心,月球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期可不

11、=2式&ML+m'式中,M和m'分別是地球與月球的質(zhì)量,L'是地心與月心之間的距離.假設(shè)認(rèn)為月球在地球的引力作用下繞地心做勻速圓周運(yùn)動(dòng),那么GM m = ni ( § ) 2L'LI 2Z)式中,T2為月球繞地心運(yùn)動(dòng)的周期.由式得In/Gi?由式得()2=1 +胃11M代入題給數(shù)據(jù)得(元)2=1.0123.用天文望遠(yuǎn)鏡長(zhǎng)期觀(guān)測(cè),人們?cè)谟钪嬷邪l(fā)現(xiàn)了許多雙星系統(tǒng),通過(guò)對(duì)它們的研究,使我們對(duì)宇宙中物質(zhì)存在的形式和分布有了較深刻的熟悉,雙星系統(tǒng)是由兩個(gè)星體構(gòu)成,其中每個(gè)星體的線(xiàn)度都小于兩星體間的距離,一般雙星系統(tǒng)距離其它星體很遠(yuǎn),可以當(dāng)做孤立系統(tǒng)處理,

12、現(xiàn)根據(jù)對(duì)某一雙星系統(tǒng)的光度學(xué)測(cè)量確定,該雙星系統(tǒng)中每個(gè)星體的質(zhì)量都是M兩者相距L,它們正圍繞兩者連線(xiàn)的中點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng).(1)計(jì)算該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期 T計(jì)算.(2)假設(shè)實(shí)驗(yàn)上觀(guān)測(cè)到的運(yùn)動(dòng)周期為T(mén)觀(guān)測(cè),且T觀(guān)測(cè)：T計(jì)算=1: JN (N>1),為了解釋 T觀(guān)測(cè)與T計(jì)算的不同,目前有一種流行的理論認(rèn)為,在宇宙中可能存在一種望遠(yuǎn)鏡觀(guān)測(cè)不到的 暗物質(zhì),作為一種簡(jiǎn)化模型,我們假定在這兩個(gè)星體邊線(xiàn)為直徑的球體內(nèi)均勻分布著暗物質(zhì), 而不考慮其它暗物質(zhì)的影響,試根據(jù)這一模型和上述觀(guān)測(cè)結(jié)果確定該星系間這種暗物質(zhì)的密 度.解析：(1)雙星繞它們的連線(xiàn)中點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng),由萬(wàn)有引力提供向心力,根據(jù)萬(wàn)有引力和牛頓第

13、二定律得： gm! mA,而 巳.解得：T計(jì)算=L&L/JGM.L22T一,-1(2)由于T觀(guān)測(cè)=丁一1計(jì)算<T計(jì)算,這個(gè)差異是以雙星連線(xiàn)為直徑的球體內(nèi)均勻分布著, N的暗物質(zhì)引起的,設(shè)這種暗物質(zhì)質(zhì)量為 M ,位于兩星連線(xiàn)中點(diǎn)處的質(zhì)點(diǎn)對(duì)雙星的影響相同,這時(shí)雙星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由雙星的萬(wàn)有引力和M'對(duì)雙星的萬(wàn)有引力提供,所以有:22/2,一m M MM M觀(guān)測(cè)L ,又 觀(guān)測(cè) GF+GBT觀(guān)測(cè)解得暗物質(zhì)的質(zhì)量為：M=(N1) M/4而暗物質(zhì)的體積為：V = 4 (-)332所以暗物質(zhì)的密度為：=M- 3(N 1)M /(2 L3)4. (2006天津理綜卷第25題).神奇的

14、黑洞是近代引力理論所預(yù)言的一種特殊天體, 探尋黑洞的方案之一是觀(guān)測(cè)雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.天文學(xué)家觀(guān)測(cè)河外星系大麥哲倫云時(shí),發(fā)現(xiàn)了 LMC* 3雙星系統(tǒng),它由可見(jiàn)星A和不可見(jiàn)的暗星 B構(gòu)成.兩星視為質(zhì)點(diǎn),不考慮其它 天體的影響,A、B圍繞兩者連線(xiàn)上的 O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),它們之間的距離保持不變,如 圖所示.引力常量為 G由觀(guān)測(cè)能夠彳#到可見(jiàn)星 A的速率v和運(yùn)行周期To(1)可見(jiàn)星A所受暗星B的引力Fa可等效為位于 O點(diǎn)處質(zhì)量為m'的星體(視為質(zhì)點(diǎn)) 對(duì)它的引力,設(shè) A和B的質(zhì)量分別為 m、m2,試求m 的表達(dá)式(用 m、m表示)；(2)求暗星B的質(zhì)量m2與可見(jiàn)星A的速率v、運(yùn)行周期T和質(zhì)量m之間的關(guān)系式；(3)恒星演化到末期,如果其質(zhì)量大于太陽(yáng)質(zhì)量ms的2倍,它將有可能成為黑洞.假設(shè)可見(jiàn)星A的速率v=2.7 X105m/s,運(yùn)行周期 T= 4.7 104s,質(zhì)量m=6