三元一次方程組的消元策略規(guī)劃

1、三元一次方程組的消元策略解三元一次方程組的基本思路是消元，即化三元為二元，從而轉(zhuǎn)化為二元一次方程組求解，這里的關(guān)鍵是消元，解題若能根據(jù)題目的特點(diǎn)，靈活地進(jìn)行消元，則可把方程組解得又 準(zhǔn)確又快捷，下面介紹幾種常見的消元策略，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考.策略一若方程組中某個(gè)方程缺某個(gè)元，則可從另外兩個(gè)方程消去這個(gè)元，轉(zhuǎn)化為二元一次方程求解x + 3y + 2z = 2, 解方程組J 2x - y = 7,|3x + 2y-4z= 3.分析：簡解：X 8+，得 21x=63，即 x=3, 把x=3,y=1代入，得z=1.策略二若三個(gè)方程中均未缺元，由于方程中缺少 z項(xiàng),X + ，得 5x+8y=7.所以先從

2、、消去乙從而，得y=l.但三個(gè)方程中同一未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等（或成倍數(shù)關(guān)系），可消去這個(gè)元，轉(zhuǎn)化為二元一次方程組求解2x + 4y + 3z= 9, 3x-2y + 5z = 11, 5x-6y+ 7z= 13.分析：由于三個(gè)方程中 y的系數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，所以可先消去y.簡解：+X 2,得8x+13z=31.X 3-，得 4x+8z=20,即 x+2z=5.1由、解得x=-1,z=3，從而，得yr?.策略三若均非上述三種情況，可消去三個(gè)方程中同一未知數(shù)的系數(shù)絕對值的最小公倍 數(shù)最小的那個(gè)元，轉(zhuǎn)化為二元一次方程組求解.r2x + 3y-4z = 3,例3 解方程組彳3x + 4y-5z = 5

3、,l5x + 7y + 6z = 23.分析：顯然三個(gè)方程中 x的系數(shù)的最小公倍數(shù)為最小，應(yīng)先消去未知數(shù)x.簡解：X 3-X 2,得y-2z=-1. X 5- X 2，得 y-32z=-31.由、解得y=1,z=1 ,從而x=2.策略四 對于一些特殊的三元一次方程組，可根據(jù)其特殊結(jié)構(gòu)，靈活處理x + y = 1,y + z = 6,z + x = 3.例4解方程組分析：這里的三個(gè)方程是循環(huán)對稱的，故若將它們整體相加后再分別減去每個(gè)方程,可直接得出方程組的解.簡解：+，得2x+2y+2z=10.即 x+y+z=5.把分別減去、，得z=4,x=-1,y=2.三元一次方程組解法分析解三元一次方程組的

4、基本思路是元一次方程.通過解二元一次方程組或:將三元一次方程組消元，轉(zhuǎn)化為二元一次方程組或 元一次方程求到方程組的解.下面舉例說明.jx + y + z = 26,例1解方程組x - y =1,2x _ y + z =18.分析：觀察方程組中的三個(gè)方程，其中方程不含有未知數(shù)Z，可通過-，消去未知數(shù)Z，然后把所得到的方程與方程組合二元一次方程組，通過解這個(gè)二元一次方程組可求 到X，y的值，進(jìn)而求到原方程組的解.解：-，得x-2y= -8，Tx V = 1由，組成方程組得 |x - 2y =解這個(gè)方程組，得 10'ly =9把x=10, y=9代代入，得 z=7 ,X =10,所以方程組的

5、解為y=9,lz=7.y的方法得到關(guān)于X、z的方程組求解.評注：解三元一次方程組的基本思想是消元，在解題過程中，應(yīng)根據(jù)方程組中方程的 特點(diǎn)確定消元的方法.本題也可以采用消去未知數(shù)x +y - z =0, 例2解方程組*x+2y-z=3,l2x-3 y + 2z =5.分析：觀察方程組的特點(diǎn)，方程， 的值，把所得的y的值代入，并組成方程組, 此方程組可得到 X、z的值.解：-，得y=3，X、 z中X, z的系數(shù)相等，若用-可以直接求到y(tǒng) 可得到關(guān)于X、z的二元一次方程組，解fx z = 3I2x+2z =14把y=3代入，得L _:. 解這個(gè)方程組，得|X"2,Iz =52,«

6、; y = 3,z =5評注：解三元一次方程組，應(yīng)注意觀察其特點(diǎn)，根據(jù)特點(diǎn)靈活選擇消元方法 直接把代入進(jìn)行消元，得到所以原方程組的解為.本題也可以y的值.,x +y =1,例3解方程組 y +z =6,Iz + X = 3分析：方程組的各個(gè)方程中所含未知數(shù)個(gè)數(shù)相等，且未知數(shù)的系數(shù)都是個(gè)方程相加，則可得 x+y+z=5，用x+y+z=5減去每個(gè)方程，可以得到方程組的解 解：+，由-，得z=4,-，得x=-1,-，得y=2.得 2(x+y+z)=10,即 x+y+z=5 1如果將三：x =-1,h =2,z= 4.評注:本題采用整體代入消元的方法得到方程組的解，這是一種比較簡單的求解方法.實(shí)際上，

7、本題也可以先用方程，消去y,把所得到的方程和組成二元一次方程組求解.所以方程組的解為三元一次方程組消元八法消元是解三元一次方程組的關(guān)鍵，若能根據(jù)各未知數(shù)系數(shù)的特點(diǎn)，靈活地進(jìn)行消元，則可以提高解題速度。下面介紹幾種消元方法。、先消系數(shù)最簡單的未知數(shù)廠 3x- y+2z=3例1解方程組 2x+y -3z = 11I x + y+ z=12。分析 三個(gè)方程中，y的系數(shù)的絕對值都是1,所以先消去y比較簡單。解+，得5x -z =14。-，得 x-4z = -1。一 X5，得 19z =19 , z=1。把Z = 1代入，得X = 3。把X = 3 , Z =1代入，得y = 8。二、先消某個(gè)方程中缺少

8、的未知數(shù)r4x - 9 = 17<例2解方程組 3x+y+15z=1,8x+2 y+3z=2分析 因?yàn)榉匠讨腥鄙賧,所以由先消去y比較簡單。解決2 -得5x+27z=34。1再解由、組成的方程組，得x=5 , r。1把X = 5， Z = -代入，解得y = -2。3三、先消去系數(shù)的絕對值相等（或成倍數(shù)關(guān)系）的未知數(shù)N+4 y+3z=9，例3解方程組丫 3x-2y +5z=1,1匕 5x 6y + 7 = 1。3 分析三個(gè)方程中y的系數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，因此先消去y比較簡單。解 +X2，得8x+13z=31。*3-，得 4x+8z=20。、兩個(gè)方程中X的系數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，易消去X,由X2-，得3

9、z = 9 , z=3。把Z =3代入，得x = T。1把x-1，z = 3代入，得y。四、整體代入消元x+y+z=26，例4解方程組5 x-y =1 ,J2x+ z-y=18 ,分析將方程左邊變形為含有方程、左邊代數(shù)式的形式，作整體代入 便可消元求解。解方程變形為:(X +y+Z )+(x-y )y =18。把、代入，得26+1-y =18 0 y=9把y =9代入，得x-9=1。.X = 10 0把x=10 , y =9代入，得z=7 0五、整體加減消元3x +2y+z =13 ,例5解方程組$ X + y +2z = 7 ,J2x + 3y -z =12 0分析 觀察三個(gè)方程中未知數(shù)X、

10、Z的系數(shù)特點(diǎn)，可用整體加減消元法來解。解+-，得2y =6 ,中并化簡，得x + y =5 0把y =3代入，得x = 2 0把代入，得5+2z=7 0 Z=1o六、設(shè)比值參數(shù)消元x : y =3 : 2，例6解方程組*y : z=5 : 4，x+y+z=66 o 分析 方程組中前兩個(gè)方程是比例式，可用設(shè)比值參數(shù)法消元求解。解設(shè)每一份為k，則x=3k , y=2k , z=1.6k o 把代入得3k + 2k + 1.6k = 66。I k =10。貝U x=3x10 =30 , y=2x10=20 ,z =1.6x10 =16 o七、輪換相加法分析觀察發(fā)現(xiàn)每兩個(gè)方程都有兩對互為相反數(shù),故兩兩相加均可同時(shí)消去廠X + y -Z =11 ,< y + z- X =5 ,1 z + X - y 斗 o例7解方程組兩個(gè)元。解將三個(gè)方程兩兩相加再除以2,即得x = 6 ,y =