打破思維定勢(shì)巧學(xué)二次函數(shù)

1、打破思維定勢(shì)，巧學(xué)二次函數(shù)宜城三中 丁寧二次函數(shù)是貫穿初高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn),也是歷年高考的熱點(diǎn),更是學(xué)生學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn).在初、高中階段,教材對(duì)其處理方式是不同的.初中階段,教材是在明處讓學(xué)生在全體實(shí)數(shù)上感知二次函數(shù)的整體性態(tài)，而高中階段,教材則在暗處用后繼知識(shí)不斷深化對(duì)二次函數(shù)的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用.因此,在高中階段,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生打破思維定勢(shì),用后繼知識(shí)不斷充實(shí)對(duì)其新的認(rèn)識(shí)和理解,化暗為明,讓其豐富的內(nèi)涵得到充分的展現(xiàn)和深化.下面就二次函數(shù)筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐,略陳淺見(jiàn)。一. 制造認(rèn)知沖突, 強(qiáng)調(diào)局部形象如果說(shuō)二次函數(shù)在初中是一個(gè)完美的形象,意指其圖像是整條拋物線(xiàn);那么高中階段更多的是局部形象,就

2、是說(shuō)二次函數(shù)通常是定義在某個(gè)區(qū)間內(nèi),其圖像是拋物線(xiàn)上的一部分.因此,在高中教學(xué)中,首先應(yīng)幫助學(xué)生樹(shù)立二次函數(shù)的局部形象.完成這個(gè)轉(zhuǎn)變最有效的手段是布置一些針對(duì)性強(qiáng),能給學(xué)生留下強(qiáng)烈印象和心靈震撼的問(wèn)題.如:設(shè)u,v是方程的兩實(shí)根,當(dāng)為何值時(shí),有最小值?并求出這個(gè)最小值. 對(duì)剛升入高中的學(xué)生來(lái)說(shuō),一接觸該題,馬上就會(huì)這樣求解: 由韋達(dá)定理得u+v=,uv=,=.當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸時(shí), 有最小值=.此時(shí),學(xué)生會(huì)驚奇地發(fā)現(xiàn):不可能!因?yàn)?.新舊知識(shí)產(chǎn)生了強(qiáng)烈的沖突,抓住時(shí)機(jī),幫助學(xué)生轉(zhuǎn)變觀念,樹(shù)立二次函數(shù)局部形象,已是水到渠成.提問(wèn)學(xué)生:當(dāng)=1/4時(shí),方程根的情況如何?原方程顯然無(wú)實(shí)根.原因找到了,不能取任意

3、實(shí)數(shù),必須滿(mǎn)足方程有實(shí)根,即0,得-1或2.再引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)出圖像,把局部形象呈現(xiàn)出來(lái),讓學(xué)生細(xì)細(xì)品味. 二 .打破思維定勢(shì),樹(shù)立配方意識(shí)對(duì)于初三學(xué)生求二次函數(shù)最值問(wèn)題,發(fā)現(xiàn)絕大部分學(xué)生熱衷于用現(xiàn)存結(jié)論來(lái)求,即當(dāng)x=時(shí),y最值=,而對(duì)其解析式先配方,再求出最值,既不樂(lè)意,也有陌生感.對(duì)剛升入高中的學(xué)生來(lái)說(shuō),由于經(jīng)歷了用結(jié)論求最值的題海式訓(xùn)練,已形成強(qiáng)烈的思維定勢(shì),一碰到求二次函數(shù)最值,馬上就機(jī)械地呈現(xiàn)下列求解順序:當(dāng)x=時(shí),y最值=.因此,打破學(xué)生的思維定勢(shì),牢固樹(shù)立配方意識(shí)是高中二次函數(shù)教學(xué)的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn).這就需要教師結(jié)合教材內(nèi)容,編制相關(guān)的題組進(jìn)行訓(xùn)練,特別是解決二次函數(shù)在閉區(qū)間上求最值問(wèn)題,應(yīng)

4、凸現(xiàn)配方的作用.另外,在用二次函數(shù)的圖像解決相關(guān)問(wèn)題時(shí),其圖像的特征量:對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、與軸的交點(diǎn)情況、交點(diǎn)橫坐標(biāo)等,在配方下均能清晰地呈現(xiàn)出來(lái),配方式的作用是十分顯著的.三. 突出“頂點(diǎn)作用”,化解最值難點(diǎn)求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值是學(xué)生學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn),尤其是含參數(shù)的最值問(wèn)題,涉及到分類(lèi)討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,學(xué)生更是理不清頭緒,盲目入手,容易走入歧途.那么,如何突破這個(gè)難點(diǎn)?筆者認(rèn)為,應(yīng)突出“頂點(diǎn)”作用,讓學(xué)生明確二次函數(shù)的最值和它的頂點(diǎn)與變量取值區(qū)間的位置有關(guān).相應(yīng)的圖像可劃分為有頂點(diǎn)和無(wú)頂點(diǎn)兩種狀態(tài):若頂點(diǎn)在,則最值在頂點(diǎn)處或區(qū)間端點(diǎn)處取得;若無(wú)頂點(diǎn),則最值在區(qū)間端點(diǎn)處取得.例1

5、 函數(shù)的最小值是(    ).2    .0    .4     .6解令=sinx-1,1,得因?yàn)轫旤c(diǎn)落在區(qū)間-1,1的右側(cè),所以最小值在區(qū)間端點(diǎn)處取得,當(dāng)=1時(shí)有最小值0,故選.例2  已知函數(shù),問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)、,當(dāng)x的取值范圍是,時(shí),f(x)的取值范圍恰是4,4?解：.若頂點(diǎn)在區(qū)間,上,則1,此時(shí)最大值1=4,=1/4,矛盾.故頂點(diǎn)不落在區(qū)間,上,且<14,則頂點(diǎn)落在,的右測(cè). 依題意得f(m)=4,f(n)=4,解得=-2,=0.所以存在實(shí)數(shù)

6、=-2,=0,可使函數(shù)f(x)在x-2,0時(shí),其值域是-8,0.例3 已知函數(shù)在區(qū)間a,b上的最小值是2a,最大值是2b,求a,b.解:若頂點(diǎn)落在區(qū)間上,即a<0<b,這時(shí)=2b,b=13/4.若f(a)=2a,得a =,滿(mǎn)足條件;若f(b)=2a,得a=39/64>0,矛盾.若頂點(diǎn)不落在區(qū)間a,b上,分兩種情形:()a<b<0,這時(shí)f(x)在a,b上單調(diào)遞增,f(a)=2a,f(b)=2b,解得a=,b=,與a<b<0矛盾,此時(shí)無(wú)解.()若b>a0這時(shí)f(x)在a,b上單調(diào)遞減,f(a)=2b,f(b)=2a,解之得a=1,b=3.綜上所述,得

7、a,b為1,3或,13/4.四. 巧學(xué)三個(gè)二次，凸顯“統(tǒng)帥地位”一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式,簡(jiǎn)稱(chēng)三個(gè)“二次”,有著緊密的聯(lián)系,相互制約、相互作用.在處理三者的問(wèn)題時(shí),應(yīng)注意突出二次函數(shù)在其中的統(tǒng)帥地位.教材中一元二次不等式的求解,既體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法,又展示了三個(gè)“二次”的美妙聯(lián)系,突出了二次函數(shù)的主角地位.建議在教學(xué)中應(yīng)充分展示三者聯(lián)系的過(guò)程教學(xué),切忌將揭示三者聯(lián)系的過(guò)程一筆帶過(guò),而對(duì)一元二次不等式的解集結(jié)果卻要求學(xué)生死記硬背,盲目套用,淡化其中蘊(yùn)含的豐富的數(shù)學(xué)思想.曾做過(guò)這樣一個(gè)練習(xí)：已知函數(shù)f(x)=lg(),若其定義域?yàn)?求a的取值范圍;已知函數(shù)f(x)=lg()

8、,若其值域?yàn)?求a的取值范圍.問(wèn)題絕大部分學(xué)生都能唾手可得:若其定義域?yàn)?則不等式>0的解集是,從而=4-4a<0,得a>1;但對(duì)問(wèn)題,許多學(xué)生感到十分茫然,其中部分學(xué)生竟認(rèn)為與問(wèn)題一樣.此時(shí),我先引導(dǎo)學(xué)生從范圍a>1中取特殊值驗(yàn)證.如:a=2,f(x)=lg()=lglg1=0,值域不是,因此,兩個(gè)問(wèn)題是截然不同的.接著,引導(dǎo)學(xué)生考察對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)=lgx,從圖像知,其值域?yàn)?x必需取遍所有大于0的實(shí)數(shù).若令=,則必需取到大于0的所有實(shí)數(shù),我問(wèn)學(xué)生:二次函數(shù)的圖像應(yīng)如何?許多學(xué)生竟不知所云.究其癥結(jié),根源在三個(gè)“二次”的教學(xué)中,未能凸現(xiàn)二次函數(shù)的統(tǒng)帥地位,特別是二次

9、函數(shù)的圖像在解決相關(guān)問(wèn)題時(shí)的獨(dú)特作用.另外,在解決二次方程的根的分布問(wèn)題及二次不等式在閉區(qū)間上恒成立的問(wèn)題時(shí),一定要突出二次函數(shù)的統(tǒng)帥地位,把問(wèn)題的解決轉(zhuǎn)化到二次函數(shù)圖像特征的識(shí)別上,切忌把注意力集中到對(duì)上述問(wèn)題各種題型的結(jié)論歸納,而把美妙的數(shù)學(xué)思想淹沒(méi)其中.若如此,則十分可惜!五. 把握“二次函數(shù)”，滲透數(shù)學(xué)“建?！闭麄€(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)問(wèn)題往往都有它的實(shí)際背景;反過(guò)來(lái),模型的構(gòu)造或背景的揭示又可以為數(shù)學(xué)研究提供有益的幫助.所謂模型思想主要包括這樣的兩個(gè)方面,一是構(gòu)造模型,二是使用模型,它的實(shí)質(zhì)是把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)已經(jīng)解決了的或容易解決的問(wèn)題.因此,我們說(shuō)模型思想的滲透和應(yīng)用最能培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性地轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力,而“二次函數(shù)”模型可以說(shuō)是高中數(shù)學(xué)中應(yīng)用最廣,最具典型性和代表性的函數(shù)