數(shù)字信號處理課程設計巴特沃斯高通數(shù)字濾波器

1、 數(shù)字信號處理課程設計 題 目 巴特沃斯高通數(shù)字濾波器 老 師 學 院 電氣工程學院 班 級 電子信息工程0 81班 學 號 姓 名 二0一一年五月目錄： 一、IIR數(shù)字高通濾波器的設計1、數(shù)字濾波器的概述2、數(shù)字濾波器的設計步驟3、設計方法4、IIR巴特沃斯數(shù)字高通濾波器的實例計算二、軟件仿真工具及實現(xiàn)環(huán)境簡介1、計算機輔助設計方法2、 MATLAB直接設計IIR巴特沃斯數(shù)字高通濾波器三、濾波器結(jié)構(gòu)對數(shù)字濾波器性能指標的影響分析1、 IIR系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)（1）直接型（2）級聯(lián)型（3）并聯(lián)型四、有限字長運算在網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)中對數(shù)字濾波器的影響1 、 運算量化效應對數(shù)字濾波器的影響2 、 參數(shù)的字

2、長對數(shù)字濾波器性能指標的影響2.1 、系數(shù)量化對數(shù)字濾波器的影響五 、運用MATLAB的輔助工具FDATOOL畫出系統(tǒng)函數(shù)圖像六 、設計心得IIR數(shù)字高通濾波器的設計一、IIR數(shù)字高通濾波器的設計1、數(shù)字濾波器的概述所謂數(shù)字濾波器，是指輸入、輸出均為數(shù)字信號，通過數(shù)值運算處理改變輸入信號所含頻率成分的相對比例，或者濾除某些頻率成分的數(shù)字器件或程序。2、 數(shù)字濾波器的設計步驟設計一個IIR數(shù)字濾波器主要包括下面5個步驟：（1） 確定濾波器要求的規(guī)范指標。（2） 選擇合適的濾波器系數(shù)的計算（如圖一流程圖所示）。（3） 用一個適當?shù)慕Y(jié)構(gòu)來表示濾波器（實現(xiàn)結(jié)構(gòu)）。（4） 有限字長效應對濾波器性能的影響

3、分析。（5） 用軟件或硬件來實現(xiàn)濾波器。 確定數(shù)字巴特沃斯高通濾波器指標推導出歸一化模擬巴特沃斯低通濾波器指標計算出歸一化模擬巴特沃斯低通濾波器去歸一化推導出模擬巴特沃斯高通濾波器雙線性變換推導出數(shù)字巴特沃斯高通濾波器圖一 流程圖本次設計的IIR數(shù)字濾波器系數(shù)的計算是根據(jù)已知的模擬濾波器的特性轉(zhuǎn)換到等價的數(shù)字濾波器。本次設計用雙線性變換法得到數(shù)字濾波器。而且，雙線性變換法得到的數(shù)字濾波器保留了模擬濾波器的幅度響應特性。3 、設計方法 頻率變換法設計思想：1 、從歸一化模擬低通原型出發(fā)，先在模擬域內(nèi)經(jīng)頻率變換成為所需類型的模擬濾波器；然后進行雙線性變換，由 S 域變換到 Z 域，而得到所需類型的

4、數(shù)字濾波器。 2 、先進行雙線性變換，將模擬低通原型濾波器變換成數(shù)字低通濾波器；然 后在 Z 域內(nèi)經(jīng)數(shù)字頻率變換為所需類型的數(shù)字濾波器。4 、IIR巴特沃斯數(shù)字高通濾波器的實例計算（1）設計要求設計一個巴特沃斯數(shù)字高通濾波器,要求通帶截止頻率 rad ,通帶衰減不大于1dB,阻帶截止頻率rad，阻帶衰減不小于15dB（2）確定數(shù)字高通的技術(shù)指標：通帶截止頻率 rad， 通帶最小衰減 dB阻帶截止頻率 rad， 阻帶最大衰減 dB（3）將巴特沃斯高通數(shù)字濾波器的技術(shù)指標轉(zhuǎn)換成巴特沃斯高通模擬濾波器的設計指標：令T=2s，預畸變校正得到的模擬邊界頻率：；。（4）模擬低通濾波器的技術(shù)指標計算如下：對

5、通帶邊界頻率歸一化，由于本設計的為1dB截止頻率，所以把和-帶入求得歸一化巴特沃斯低通濾波器的阻帶截止頻率為： ， dB（5）設計歸一化巴特沃斯模擬濾波器G（p）。：所以取N=4，根據(jù)巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù)表(見附錄)可得歸一化模擬低通原型系統(tǒng)函數(shù)G(p)為： （6）利用頻率變換公式將G(p)轉(zhuǎn)換成模擬高通： 把代入此式可得： 用雙線性變換法將模擬高通轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通：令 ,二 、 軟件仿真工具及實現(xiàn)環(huán)境簡介1、 計算機輔助設計方法 在優(yōu)秀科技應用軟件MATLAB的信號處理工具箱中提供了一整套模擬，數(shù)字濾波器的設計命令和運算函數(shù)，方便準確，簡單容行使得設計人員除了可按上述傳統(tǒng)設計步驟快速的

6、進行較復雜高階選頻濾波器的計算、分析外，還可通過原型變換直接進行各種典型數(shù)字濾波器設計，即應用MATLAB設計工具從模擬原型直接變換成滿足原定頻域指標要求有數(shù)字濾波器。2、 MATLAB直接設計IIR巴特沃斯數(shù)字高通濾波器MATLAB編程如下：fs=5000;wp=800*2/fs;ws=400*2/fs;rp=1;rs=15;Nn=128;N,wn=buttord(wp,ws,rp,rs)b,a=butter(N,wn,'high')freqz(b,a,Nn,fs)MATLAB運算結(jié)果如下：N = 4wn = 0.2388b = 0.3647 -1.4587 2.1881 -

7、1.4587 0.3647a = 1.0000 -2.0578 1.8545 -0.7895 0.1331三、 濾波器結(jié)構(gòu)對數(shù)字濾波器性能指標的影響分析1 、 IIR系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡結(jié)構(gòu) IIR系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)有三種，即直接型、級聯(lián)型和并聯(lián)型。（1）直接型N階差分方程如下：對應的系統(tǒng)函數(shù)為設M=N=2，按照差分方程可以直接畫出網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)如下圖（a）所示。圖中第一部分系統(tǒng)函數(shù)用表示，第二部分用表示，那么，當然也可以寫成,按照該式，相當于將下圖(a)中兩部分流圖交換位置，如下圖（b）所示。該圖中節(jié)點變量w1=w2，因此前后兩部分的延時支路可以合并，形成如下圖 (c)所示的網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)流圖，我們將下圖 (

8、c)所示的這類流圖稱為IIR直接型網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)。M=N=2時的系統(tǒng)函數(shù)為對照下圖 (c)的各支路的增益系數(shù)與分母分子多項式的系數(shù)可見，可以直接按照畫出直接型結(jié)構(gòu)流圖。 IIR網(wǎng)絡直接型結(jié)構(gòu)由bz和az寫出數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)：有H（z）寫出差分方程如下：直接型網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)如下圖：x(n)y(n)0.36472.0578-1.85450.7895-0.1331-0.145872.18811.45870.3647直接型網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)圖 在后面的分析中我們將發(fā)現(xiàn)，直接型系統(tǒng)對濾波器的性能控制作用不明顯，極點對系數(shù)的變化不靈敏，易出現(xiàn)不穩(wěn)定或較大誤差，而且運算的累積誤差較大。因此，在設計時一般不選用直接型。（2）級聯(lián)

9、型級聯(lián)型結(jié)構(gòu)是將系統(tǒng)傳遞函數(shù)H(z)寫成具有實系數(shù)的二階節(jié)的乘積。將分子和分母多項式分解為各自的根，然后將一對復數(shù)共軛根（或者任意兩個實數(shù)根）組合成二階多項式。在直接型表示的系統(tǒng)函數(shù)H(z)中，分子、分母均為多項式，且多項式的系數(shù)一般為實數(shù)。現(xiàn)將分子、分母多項式分別進行因式分解，得到：上式中, A是常數(shù); Cr和dr分別表示H(z)的零點和極點。由于多項式的系數(shù)是實數(shù)，Cr和dr是實數(shù)或者是共軛成對的復數(shù)，將共軛成對的零點（極點）放在一起，形成一個二階多項式，其系數(shù)仍為實數(shù)；再將分子、分母均為實系數(shù)的二階多項式放在一起，形成一個二階網(wǎng)絡。如下式：上式中表示一個一階或二階的數(shù)字網(wǎng)絡的子系統(tǒng)函數(shù)，

10、每個的網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)均采用前面介紹的直接型網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)，如下圖所示，H(z)則由k個子系統(tǒng)級聯(lián)構(gòu)成。 一階和二階直接型網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)級聯(lián)型的MATLAB的表示與實現(xiàn)：將數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H（z）：用MATLAB轉(zhuǎn)換成級聯(lián)型的程序如下：bz=0.3647 -1.4587 2.1881 -1.4587 0.3647;az=1.0000 -2.0578 1.8545 -0.7895 0.1331;S,G=tf2sos(bz,az)freqz(bz,az)說明：S,G=tf2sos(bz,az):實現(xiàn)直接型到級聯(lián)型的變換。B和A分別為直接型系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母多項式系數(shù)向量。返回L級二階級聯(lián)型結(jié)構(gòu)的系數(shù)矩陣S和增益常

11、數(shù)G。MATLAB運算結(jié)果如下：S = 1.0000 -2.1807 1.1988 1.0000 -0.8976 0.2272 1.0000 -1.8190 0.8341 1.0000 -1.1602 0.5859G = 0.3647由S和G寫出數(shù)字濾波器級聯(lián)型系統(tǒng)函數(shù)：級聯(lián)型網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)如下圖：-0.2961x(n)y(n)-0.8976-0.2272-2.18071.1988-1.0003-0.123780.06189級聯(lián)型網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)圖在級聯(lián)型結(jié)構(gòu)中，每一級分子的系數(shù)確定一對零點，分母的系數(shù)確定一對極點，因為子網(wǎng)絡的零極點也即整體網(wǎng)絡的零極點，所以整個系統(tǒng)的零極點都可以準確的由每一級的系數(shù)來調(diào)整

12、和控制，這樣便于調(diào)整濾波器的頻率響應性能，其靈敏度特性優(yōu)于直接型和正準型結(jié)構(gòu)。其次，級聯(lián)結(jié)構(gòu)具有最少的存儲器。并聯(lián)支路的極點也是整個網(wǎng)絡的極點，而并聯(lián)支路的零點卻不是整個網(wǎng)絡的零點，因此并聯(lián)網(wǎng)絡能獨立的調(diào)整系統(tǒng)的極點位置，但不能控制零點。并聯(lián)結(jié)構(gòu)的靈敏度由于直接型和正準型，運算累積誤差比級聯(lián)型小。（3）并聯(lián)型如果將級聯(lián)形式的H(z)展成部分分式形式，則得到：對應的網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)為這k個子系統(tǒng)并聯(lián)。上式中，Hi(z)通常為一階網(wǎng)絡或二階網(wǎng)絡，網(wǎng)絡系統(tǒng)均為實數(shù)。二階網(wǎng)絡的系統(tǒng)函數(shù)一般為式中，、和i都是實數(shù)。如果=0，則構(gòu)成一階網(wǎng)絡。由上式，其輸出Y(z)表示為上式表明將x(n)送入每個二階（包括一階）網(wǎng)

13、絡后，將所有輸出加起來得到輸出y(n)。 在并聯(lián)型結(jié)構(gòu)中，每一個一階網(wǎng)絡決定一個實數(shù)極點，每一個二階網(wǎng)絡決定一對共軛極點，因此調(diào)整極點位置方便，但調(diào)整零點位置不如級聯(lián)型方便。另外，各個基本網(wǎng)絡是并聯(lián)的，產(chǎn)生的運算誤差互不影響，不像直接型和級聯(lián)型那樣有誤差積累，因此，并聯(lián)形式運算誤差最小。由于基本網(wǎng)絡并聯(lián)，可同時對輸入信號進行運算，因此并聯(lián)型結(jié)構(gòu)與直接型和級聯(lián)型比較，其運算速度最高。四、有限字長運算在網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)中對數(shù)字濾波器的影響1 、 運算量化效應對數(shù)字濾波器的影響在實現(xiàn)數(shù)字濾波器時，將遇到相乘與求和運算。在定點制運算中，每一次乘法運算之后都要作一次舍入（或截留）處理，研究定點實現(xiàn)相乘運算的流圖

14、如下圖所示。圖（a）表示無限精度乘積y(n)；圖（b）表示有限精度乘積,表示舍入運算。采用統(tǒng)計分析方法時，可以將舍入誤差作為獨立噪聲e(n)疊加在信號上，如圖(c)所示。a理想相乘 b實際相乘的非線性流圖 c統(tǒng)計模型的線性流圖定點相乘運算的流圖表示顯然，采用統(tǒng)計分析方法后，實際的輸出可以表示為：對于舍入處理，e(n)的均值為零，方差為：現(xiàn)在以一個一階IIR巴特沃斯數(shù)字高通濾波器為例來討論分析方法。表示其輸入與輸出關(guān)系的差分方程為 ， n0式中|a|<1。它含有乘積項，這將引入一個舍入噪聲，其統(tǒng)計分析流圖示于下圖。一階IIR濾波器的幅頻特性整個系統(tǒng)可以當作線性系統(tǒng)來處理。輸出噪聲是由噪聲源

15、e(n)造成的輸出誤差，可由量化誤差通過線性系統(tǒng)的方法求得輸出噪聲。由于e(n)疊加在輸入端，因此式中h(n)=anu(n)是一階系統(tǒng)的單位脈沖響應,由式 （為輸出噪聲方差）和可求得輸出噪聲的方差式中H(z)為一階IIR系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，即有此可以求得 ，（,）由此可見，字長b越大，數(shù)字濾波器輸出端的噪聲越小。2 、參數(shù)的字長對數(shù)字濾波器性能指標的影響2.1 、系數(shù)量化對數(shù)字濾波器的影響 系統(tǒng)對輸入信號進行處理時需要若干參數(shù)或者稱為系數(shù)，這些系數(shù)都要存儲在有限位數(shù)的寄存器中，因此存在系數(shù)的量化效應。系數(shù)的量化效應誤差直接影響系統(tǒng)函數(shù)的零、極點位置，如果發(fā)生了偏移，會使系統(tǒng)的頻率響應偏移理論設計的

16、頻率響應，不滿足實際需要。 下面分析系數(shù)量化誤差對極零點位置的影響。如果極零點位置改變了，嚴重時不僅IIR系統(tǒng)的頻率響應會發(fā)生變化，還會影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此研究極點位置的改變更加重要。為了表示系數(shù)量化對極點位置的影響，引入極點位置靈敏度的概念，所謂極點靈敏度, 是指每個極點對系數(shù)偏差的敏感程度。相應的還有零點位置靈敏度，分析方法相同。下面討論系數(shù)量化對極點位置的影響。現(xiàn)分析一個N階直接型結(jié)構(gòu)的IIR濾波器的傳遞函數(shù)上式表示了一個N階直接型結(jié)構(gòu)的IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，該濾波器的極點都在單位圓內(nèi)聚集在z=1附近。系數(shù)ak和bk必須用有限位二進制數(shù)進行量化，存儲在有限長的寄存器中，經(jīng)過量化后

17、的系數(shù)誤差為ar和br，量化后的系數(shù)用和，即則實際的系統(tǒng)函數(shù)可表示為:顯然，系數(shù)量化后的頻率響應已不同于原來設計的頻率響應。用直接型結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)該濾波器時，系數(shù)ak和bk都將直接出現(xiàn)在信號流程圖中，其中ak影響著極點的位置。當由于系數(shù)量化誤差使一個極點從單位圓內(nèi)移動到單位圓上或單位圓外時，濾波器的穩(wěn)定性即受到破壞。所以，只要有一個系數(shù)由于量化產(chǎn)生很微小的誤差，就有可能使系統(tǒng)失去穩(wěn)定。反饋支路的階次N越高，使濾波器失去穩(wěn)定的系數(shù)量化誤差的絕對值就越小，則越容易使濾波器變得不穩(wěn)定。 設濾波器的傳輸函數(shù)，系數(shù)ak 和bk經(jīng)舍入量化后為和，這里ar和br是量化誤差。 分母多項式有N個極點，用（i=1,2

18、, N）表示。這樣，實際的濾波器的傳輸函數(shù)為:上式中，是第i個極點的偏差，稱為極點誤差，它應該和各個系數(shù)偏差都有關(guān)，它和各系數(shù)偏差的關(guān)系用下式表示:上式中，的大小決定著系數(shù)的偏差對極點偏差的影響程度。越大，對影響也越大。稱為極點對系數(shù)變化的靈敏度。五 、運用MATLAB的輔助工具FDATOOL畫出系統(tǒng)函數(shù)圖像系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)向量經(jīng)過1位二進制舍入量化前后幅頻特性和相位響應 系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)向量經(jīng)過4位二進制舍入量化前后幅頻特性和相位響應 系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)向量經(jīng)過1位二進制舍入量化前后零極點特性圖 系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)向量經(jīng)過4位二進制舍入量化前后零極點特性圖由MATLAB運算1位和4位二進制舍入量化后結(jié)果可以看出

19、，因為系數(shù)的量化，使極點位置發(fā)生變化，系數(shù)量化的相對誤差（p-pq）不到10%，極點位置的相對誤差ap達到了70%。問題不但是數(shù)量的變化，算一下極點的模，可以發(fā)現(xiàn)所有根的模都變大了，說明量化后的極點離單位圓稍遠一些，如系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)向量經(jīng)過1和4位二進制舍入量化前后的零極點特性圖如圖（c）、（d）所示。這致使數(shù)字高通濾波器的幅頻特性降低，運用MATLAB的輔助工具FDATOOL畫出1位和4位量化墻后的幅頻特性曲線分別如圖（a）、（b）中的實線和虛線所示，這說明由于系數(shù)量化效應，使極點位置發(fā)生了變化，從而改變了原來設計的頻率響應特性。另外，我們還注意到4位二進制舍入量化后極點都在單位圓內(nèi)部，但在系

20、統(tǒng)函數(shù)系數(shù)向量經(jīng)過1位二進制舍入量化后，原來較小的系數(shù)相對誤差變化較大，使濾波器性能偏離原設計指標要求，使本來穩(wěn)定的系統(tǒng)變成了不穩(wěn)定濾波器。從以上分析可以看出，系數(shù)的量化效應誤差直接影響系統(tǒng)函數(shù)的零、極點位置，如果發(fā)生了偏移，會使系統(tǒng)的頻率響應偏移理論設計的頻率響應，不滿足實際需要。因此，在設計濾波器的時候應盡量選擇合理的系數(shù)量化，以減小量化誤差，以便設計出較為理想的實用濾波器。六 、設計心得： 在課設之前， 我對 MATLAB 軟件，特別是濾波器設計中的函數(shù)基本上處于一種模糊狀態(tài)。但是通過與同學不斷的交流，最后完成了這次課設，對濾波器的設計有了比較清楚的了解。 這次課設的完成，真的不太容易。

21、我的理論基礎不是很扎實，所以完成起來要比其他同學費勁。在課程設計的過程中，我學到了很多東西，比如設計濾波器的一些基本函數(shù)的用法， 各種模擬濾波器的特性，設計濾波器的一些基本方法。但更為重要的是，我對于解決一個問題的思路更加清晰，找到了屬于自己的方法。當然，在設計的過程中，不可能避免的遇到了很多問題，如剛開始思路比較混亂，沒有明確的方向。也由于一些基本的概念了解的不夠清楚，比如模擬頻帶變換，我理解為是做模擬濾波器，而老師的課程設計題上有一句話似乎要求是要做數(shù)字濾波器。所以，在這個問題上，走了很多彎路。但通過與同學交流終于弄清楚數(shù)字濾波器而不是模擬濾波器。模擬頻帶變換只不過是一種變化方式或者說一種

22、變化過程。是由模擬低通變?yōu)槟M高通，再由模擬高通變?yōu)閿?shù)字高通的過程。 總的來說，這次課程設計讓我對 MATLAB 有了更深刻的了解，對數(shù)字濾波器的設計流程有了大致的了解，掌握了一些設計濾波器的基本方法，提高了理論用于實踐的能力，掌握了更多專業(yè)相關(guān)的使用知識與技能。同時，也暴露了我很多的不足，在以后的學習中， 將進一步發(fā)現(xiàn)并克服缺點。Dr3uhd3uhd3u斷喉弩好多年課代表卡不都快遞吧4坤角兒4進而34就可4蛕?D脙#軟媁?vo滂焜?蔣 鱷N-P"-觴?F瀢?鷲2SXWJ扱;$E鍇?咼?wb,O?hW芀嚙C八?迎q?&锃?.楧D峘?wB賛裝 綄?衈瞹?嘁?尥?b袦20?箻&g

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