第六章彎曲變形

1、材料力學(xué)第六章第六章 彎曲彎曲變形變形材料力學(xué)材料力學(xué)彎曲變形彎曲變形/ /工程中的彎曲變形問題工程中的彎曲變形問題材料力學(xué)彎曲變形彎曲變形/ /工程中的彎曲變形問題工程中的彎曲變形問題 工程中的某些受彎桿件除工程中的某些受彎桿件除強(qiáng)強(qiáng)度要求度要求外，往往還有外，往往還有剛度要求剛度要求，即要求它彈性變形不能過大。即要求它彈性變形不能過大。例：車床主軸、鉆床。例：車床主軸、鉆床。材料力學(xué)彎曲變形彎曲變形/ /工程中的彎曲變形問題工程中的彎曲變形問題車床主軸：車床主軸：材料力學(xué)彎曲變形彎曲變形/ /工程中的彎曲變形問題工程中的彎曲變形問題鉆床：鉆床：材料力學(xué)彎曲變形彎曲變形/ /工程中的彎曲變形

2、問題工程中的彎曲變形問題 工程中雖然經(jīng)常限制彎曲變形，但在有工程中雖然經(jīng)常限制彎曲變形，但在有些情況下，也會利用彎曲變形達(dá)到某種要求。些情況下，也會利用彎曲變形達(dá)到某種要求。例：汽車中的疊板彈簧。例：汽車中的疊板彈簧。材料力學(xué)6.2 6.2 撓曲線的撓曲線的微分方程微分方程彎曲變形彎曲變形/ /撓曲線的微分方程撓曲線的微分方程材料力學(xué)彎曲變形彎曲變形/ /撓曲線的微分方程撓曲線的微分方程一一. .幾個基本概念幾個基本概念1.1.撓曲線撓曲線 變形后，梁的軸線由直線變?yōu)楣饣淖冃魏?，梁的軸線由直線變?yōu)楣饣倪B續(xù)曲線，稱為撓度曲線，簡稱撓曲線。連續(xù)曲線，稱為撓度曲線，簡稱撓曲線。材料力學(xué)撓曲線上橫

3、坐標(biāo)為撓曲線上橫坐標(biāo)為x x的的任意點的縱坐標(biāo)。任意點的縱坐標(biāo)。 即：截面形心沿即：截面形心沿y方向方向的位移，以的位移，以w w表示。表示。 w w與坐標(biāo)軸同向為正。與坐標(biāo)軸同向為正。撓度撓度方程或撓曲線方程方程或撓曲線方程)x(fw y2.2.撓度撓度彎曲變形彎曲變形/ /撓曲線的微分方程撓曲線的微分方程材料力學(xué)橫截面相對于原來位置轉(zhuǎn)橫截面相對于原來位置轉(zhuǎn)過的角度，以過的角度，以 表示。表示。 亦等于亦等于x軸與撓曲線切線軸與撓曲線切線的夾角。的夾角。符號規(guī)定：符號規(guī)定：以梁軸線為基線，逆時針轉(zhuǎn)以梁軸線為基線，逆時針轉(zhuǎn)向為正，反之則為負(fù)。向為正，反之則為負(fù)。y彎曲變形彎曲變形/ /撓曲線的

4、微分方程撓曲線的微分方程3.3.截面轉(zhuǎn)角截面轉(zhuǎn)角材料力學(xué)彎曲變形彎曲變形/ /撓曲線的微分方程撓曲線的微分方程數(shù)學(xué)上，用一次導(dǎo)數(shù)表示曲線數(shù)學(xué)上，用一次導(dǎo)數(shù)表示曲線w=f(x)的斜率的斜率y)(xydxdwtandxdwarctan材料力學(xué)1MEI 1( )( )M xxEI 二二. .撓曲線的近似微分方程撓曲線的近似微分方程材料力學(xué)3221|( )(1)wxw 322|( )(1)wM xEIw材料力學(xué)OxwxOw00 wM wM00Mw 00 wM 00Mw MMMM材料力學(xué) 322( )(1)wM xEIw( )M xwEI2wtan( )ww x2w 材料力學(xué)EIxMdxwd22）（ 適

5、用范圍：適用范圍：比例極限內(nèi)的撓曲線小變形。比例極限內(nèi)的撓曲線小變形。復(fù)復(fù) 習(xí)：習(xí)：1.1.公式中各符號的含義；公式中各符號的含義；2.2.常見截面對中性軸的慣性矩常見截面對中性軸的慣性矩IzIz。彎曲變形彎曲變形/ /撓曲線的微分方程撓曲線的微分方程材料力學(xué)6.3 6.3 用積分法用積分法求彎曲變形求彎曲變形彎曲變形彎曲變形/ /用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形材料力學(xué)EIxMdxwd22）（ 材料力學(xué)EI)x(Mdxwd22 由撓曲線的近似微分方程由撓曲線的近似微分方程CdxEI)x(Mdxdw （轉(zhuǎn)角方程）（轉(zhuǎn)角方程）DCxdxdxEI)x(Mw （撓度方程）（撓度方程）式中式中C、

6、D為積分常數(shù)，由梁的約束條件決定。為積分常數(shù)，由梁的約束條件決定。彎曲變形彎曲變形/ /用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形材料力學(xué)彎曲變形彎曲變形/ /用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形梁的約束條件梁的約束條件邊界條件邊界條件連續(xù)性條件連續(xù)性條件材料力學(xué)彎曲變形彎曲變形/ /用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形1.1.邊界條件邊界條件撓度和轉(zhuǎn)角均為撓度和轉(zhuǎn)角均為0 0固定端固定端材料力學(xué)彎曲變形彎曲變形/ /用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形鉸支座鉸支座撓度為撓度為0 0材料力學(xué)彎曲變形彎曲變形/ /用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形彎曲變形的對稱點彎曲變形的對稱點轉(zhuǎn)角為轉(zhuǎn)角為0 0材

7、料力學(xué)2.2.連續(xù)性條件連續(xù)性條件撓曲線應(yīng)該是一條連續(xù)光滑的曲線。撓曲線應(yīng)該是一條連續(xù)光滑的曲線。在撓曲線的任意點上，有唯一確定的撓度和轉(zhuǎn)角。在撓曲線的任意點上，有唯一確定的撓度和轉(zhuǎn)角。彎曲變形彎曲變形/ /用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形 根據(jù)邊界條件和連續(xù)性條件根據(jù)邊界條件和連續(xù)性條件可確定積分常數(shù)。可確定積分常數(shù)。 總結(jié)：總結(jié)：材料力學(xué)彎曲變形彎曲變形/ /用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形 求得梁的撓度和轉(zhuǎn)角后，根據(jù)需求得梁的撓度和轉(zhuǎn)角后，根據(jù)需要，限制最大撓度和最大轉(zhuǎn)角不超過要，限制最大撓度和最大轉(zhuǎn)角不超過某一規(guī)定數(shù)值，就得到某一規(guī)定數(shù)值，就得到剛度條件：剛度條件：w wmax

8、maxw w maxmax 材料力學(xué)彎曲變形彎曲變形/ /用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形FlBAeg.1eg.1已知懸臂梁的抗彎剛度為已知懸臂梁的抗彎剛度為EIEI，確定梁的撓度和轉(zhuǎn)角方程，并求點確定梁的撓度和轉(zhuǎn)角方程，并求點A處的撓度和轉(zhuǎn)角。處的撓度和轉(zhuǎn)角。思路思路材料力學(xué)彎曲變形彎曲變形/ /用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形FlxBAx)(FxM 0)(Fx)( 逆逆逆逆xMM材料力學(xué)EI)x(Mdxwd22 )x(MdxwdEI22 x FEIw 積分一次得轉(zhuǎn)角方程：積分一次得轉(zhuǎn)角方程：積分二次得撓度方程：積分二次得撓度方程：CEIwEIFx 22 DCxEIwFx 63彎曲變

9、形彎曲變形/ /用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形材料力學(xué)3.3.確定積分常數(shù)確定積分常數(shù)C、DxFw wlxBA原則：原則：約束條件約束條件由于由于B B端為固定端，所以端為固定端，所以 x=l 時，時，=0 0 x=l 時，時， w=0 0代入方程得代入方程得22FlC 33FlD 彎曲變形彎曲變形/ /用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形材料力學(xué)彎曲變形彎曲變形/ /用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形4.4.求求A處的撓度和轉(zhuǎn)角處的撓度和轉(zhuǎn)角xFw wlxBA 將將A A處對應(yīng)坐標(biāo)處對應(yīng)坐標(biāo)x=0 x=0，代入撓度方程和轉(zhuǎn)，代入撓度方程和轉(zhuǎn)角方程即得角方程即得A A處的撓度和轉(zhuǎn)角。處

10、的撓度和轉(zhuǎn)角。注：注：A處對應(yīng)梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。處對應(yīng)梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。材料力學(xué)彎曲變形彎曲變形/ /用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形例例2 一簡支梁受力如圖所示。試求一簡支梁受力如圖所示。試求 和和 。)(),(xwx max,wA ALFCabB思路：思路：求支座反力求支座反力列彎矩方程（分段）列彎矩方程（分段）積分一次，求轉(zhuǎn)角方程積分一次，求轉(zhuǎn)角方程積分二次，求撓度方程積分二次，求撓度方程x=0，求，求A處的轉(zhuǎn)角處的轉(zhuǎn)角=0，求最大撓度，求最大撓度材料力學(xué)ALFCabAyFByF1.1.求支座反力求支座反力,LFbFAy LFaFBy x2.2.分段列彎矩方程分段列彎矩方

11、程xLFbxFxMA )(1)(Lxa BC段段x)0(ax AC段段B)()(2axFxLFbxM 彎曲變形彎曲變形/ /用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形材料力學(xué)彎曲變形彎曲變形/ /用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形3.3.積分求轉(zhuǎn)角方程和撓度方程積分求轉(zhuǎn)角方程和撓度方程)0(ax AC段段xLFb EIw1 1211CxL2FbEIEIw 1131DxCxL6FbEIw )(Lxa BC段段)ax(FxLFb EIw2 22222C)ax(2FxL2FbEIEIw 22332DxC)ax(6FxL6FbEIw 材料力學(xué)4.4.確定積分常數(shù)確定積分常數(shù)邊界條件：邊界條件：0w, 0

12、xA （1）0w,LxB （2）連續(xù)性條件：連續(xù)性條件：21 時時，ax（3）21wwax 時時，（4）可解得：可解得：)(62221bLLFbCC 021 DDALFCab彎曲變形彎曲變形/ /用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形B1211CxL2FbEIEIw 1131DxCxL6FbEIw 22222C)ax(2FxL2FbEIEIw 22332DxC)ax(6FxL6FbEIw 材料力學(xué)彎曲變形彎曲變形/ /用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形將積分常數(shù)代入，得完整的轉(zhuǎn)角和撓度方程將積分常數(shù)代入，得完整的轉(zhuǎn)角和撓度方程)0(ax AC段段)(Lxa BC段段)(36)(2221bLxL

13、EIFbx x)bL(xLEI6Fb)x(w2231 2)()(36)(22222axFbLxLEIFbx )ax(6Lx)bL(xLEI6Fb)x(w32232 材料力學(xué)LEIbLFbxA6)(2201 彎曲變形彎曲變形/ /用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形5.5.求求A處的轉(zhuǎn)角處的轉(zhuǎn)角ALFCabBA處，處，x=0材料力學(xué), 06)(22 LEIbLFbA )(03)(1baLEIbaFabaxC 段段在在AC0 0)(36)(2221 bLxLEIFbx 則由則由解得：解得：322bLx 6.6.求求最大撓度最大撓度彎曲變形彎曲變形/ /用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形 最大撓度

14、處，轉(zhuǎn)角最大撓度處，轉(zhuǎn)角為零，利用轉(zhuǎn)角求出最大為零，利用轉(zhuǎn)角求出最大撓度對應(yīng)的坐標(biāo)值撓度對應(yīng)的坐標(biāo)值x xALFCab材料力學(xué)EIL39)bL(Fbw2322max EI48)b4L3(Fbww222Lxmax maxw代入得代入得將將x=L/2代入得代入得322bLx 彎曲變形彎曲變形/ /用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形材料力學(xué)彎曲變形彎曲變形/ /用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形注意注意（1 1）控制截面應(yīng)作為分段點；）控制截面應(yīng)作為分段點；（2 2）截面變化處應(yīng)作為分段點；）截面變化處應(yīng)作為分段點；（3 3）凡分段點處應(yīng)列出連續(xù)條件。）凡分段點處應(yīng)列出連續(xù)條件。 根據(jù)梁變形的連

15、續(xù)性，對同一截面只可根據(jù)梁變形的連續(xù)性，對同一截面只可 能有唯一確定的撓度和轉(zhuǎn)角。能有唯一確定的撓度和轉(zhuǎn)角。材料力學(xué)彎曲變形彎曲變形/ /用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形已共同完成：已共同完成：課本課本180180頁例頁例6.16.1和和183183頁例頁例6.36.3要求獨立完成：要求獨立完成：課本課本182182頁例頁例6.26.2材料力學(xué)6.4 6.4 用疊加法用疊加法求彎曲變形求彎曲變形彎曲變形彎曲變形/ /用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形材料力學(xué)疊加法分類：疊加法分類：彎曲變形彎曲變形/ /用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形材料力學(xué)一一. . 在小變形和線彈性范圍內(nèi)，由幾個

16、載荷在小變形和線彈性范圍內(nèi)，由幾個載荷共同作用下梁的任一截面的撓度和轉(zhuǎn)角，應(yīng)共同作用下梁的任一截面的撓度和轉(zhuǎn)角，應(yīng)等于每個載荷單獨作用下同一截面產(chǎn)生的撓等于每個載荷單獨作用下同一截面產(chǎn)生的撓度和轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。度和轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。疊加原理：疊加原理：彎曲變形彎曲變形/ /用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形材料力學(xué)例例1 1：q q、l l、EIEI， 求：求：w wC 和和 B彎曲變形彎曲變形/ /用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形材料力學(xué)彎曲變形彎曲變形/ /用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形 參見參見188188頁表頁表6.16.1w1010w8 8、9 9w6 6材料力學(xué)www,243

17、1EIqlB EIqlwC384541 ,33)(323EIqlEIlqlB EI16qlw43C ,EIqlEIl)ql(B1616322 EIlqlwC48)(32 彎曲變形彎曲變形/ /用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形材料力學(xué)321BBBB EIql243 EIql33 EIql163 EIql48113 321CCCCwwww EIql38454 EIql4834 EIlql48)(3 EIql384114 彎曲變形彎曲變形/ /用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形材料力學(xué)二二. .彎曲變形彎曲變形/ /用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形疊加原理：疊加原理：將梁的撓曲線分成幾段，

18、首先分別計算各段梁的變形將梁的撓曲線分成幾段，首先分別計算各段梁的變形在所求處引起的位移（撓度和轉(zhuǎn)角），然后計算其總在所求處引起的位移（撓度和轉(zhuǎn)角），然后計算其總和即得所求位移。在分析各段梁的變形在所求處引起和即得所求位移。在分析各段梁的變形在所求處引起的位移時，除所研究的梁段發(fā)生變形外，其余各段梁的位移時，除所研究的梁段發(fā)生變形外，其余各段梁均視為剛體。均視為剛體。材料力學(xué)ABaLFC彎曲變形彎曲變形/ /用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形例例2 2：F F、L L、a a、EIEI， 求：求：w wC材料力學(xué)ABalFCFABalCFaFaBC+1）考慮）考慮AB段段(BC段看作剛體段看

19、作剛體)F F作用在支座上，不產(chǎn)生變形。作用在支座上，不產(chǎn)生變形。B FaFa使使ABAB梁產(chǎn)生向上凸的變形。梁產(chǎn)生向上凸的變形。查表得：查表得：EIlFaB3)( 1CwawBC 1)(32 EIlFa彎曲變形彎曲變形/ /用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形材料力學(xué)2）考慮）考慮BC段段(AB段看作剛體段看作剛體)AFaBC2Cw)(332 EIFawC21CCCwww )(3332 EIFaEIlFaABalCFaB 1Cw彎曲變形彎曲變形/ /用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形3）兩段疊加）兩段疊加查表得：查表得：材料力學(xué)彎曲變形彎曲變形/ /用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形已共

20、同完成：已共同完成：課本課本186186頁例頁例6.46.4和和187187頁例頁例6.56.5要求獨立完成：要求獨立完成：課本課本191191頁例頁例6.66.6材料力學(xué) 6.5 6.5 簡單超靜定梁簡單超靜定梁彎曲變形彎曲變形/ /簡單超靜定梁簡單超靜定梁材料力學(xué)一一.基本概念基本概念超靜定次數(shù)：超靜定次數(shù)：彎曲變形彎曲變形/ /簡單超靜定梁簡單超靜定梁 未知力（支座反力）的數(shù)目多于能列出未知力（支座反力）的數(shù)目多于能列出的獨立平衡方程的數(shù)目，僅利用平衡方程不的獨立平衡方程的數(shù)目，僅利用平衡方程不能解出全部未知力，則稱為超靜定問題。能解出全部未知力，則稱為超靜定問題。未知力的數(shù)目未知力的數(shù)

21、目- -獨立平衡方程數(shù)獨立平衡方程數(shù)超靜定梁：超靜定梁：材料力學(xué)彎曲變形彎曲變形/ /簡單超靜定梁簡單超靜定梁材料力學(xué)彎曲變形彎曲變形/ /簡單超靜定梁簡單超靜定梁BqL求解固定端和鉸支座的約束反力求解固定端和鉸支座的約束反力材料力學(xué)彎曲變形彎曲變形/ /簡單超靜定梁簡單超靜定梁BqL超靜定次數(shù)超靜定次數(shù)= =未知力的數(shù)目未知力的數(shù)目- -獨立平衡方程數(shù)獨立平衡方程數(shù) =3-2=3-2 =1 =1材料力學(xué)彎曲變形彎曲變形/ /簡單超靜定梁簡單超靜定梁 將超靜定梁的將超靜定梁的多余約束多余約束解除，得到相應(yīng)的解除，得到相應(yīng)的靜定梁。靜定梁。多余約束的數(shù)目多余約束的數(shù)目= =超靜定次數(shù)超靜定次數(shù)材

22、料力學(xué)BqL彎曲變形彎曲變形/ /簡單超靜定梁簡單超靜定梁ByFBqLA 解除解除B B支座的約支座的約束，以束，以F Fbyby代替，即代替，即選擇選擇A A端固定，端固定，B B端自端自由的懸臂梁作為基本由的懸臂梁作為基本靜定梁。靜定梁。靜定梁的選擇原則：靜定梁的選擇原則：首選懸臂梁，其次簡首選懸臂梁，其次簡支梁，最后外伸梁。支梁，最后外伸梁。材料力學(xué)彎曲變形彎曲變形/ /簡單超靜定梁簡單超靜定梁 比較原超靜定梁和解除約束后的靜定梁，比較原超靜定梁和解除約束后的靜定梁，根據(jù)兩者在解除約束處的變形情況應(yīng)完全相同，根據(jù)兩者在解除約束處的變形情況應(yīng)完全相同，得到變形協(xié)調(diào)條件。得到變形協(xié)調(diào)條件。BqLByFBqLA0wB 材料力學(xué)彎曲變形彎曲變形/ /簡單超靜定梁簡單超靜定梁ByF