南郵概率論習題冊答案

1、2.2.設設A、B、C 為三個事件試用為三個事件試用A、B、C 表示下列事件表示下列事件(2)A，B，C 都不發(fā)生都不發(fā)生(1)A與與B 不不發(fā)生，而發(fā)生，而C 發(fā)生發(fā)生(3)A、B、C 至少有一個發(fā)生至少有一個發(fā)生(4)A、B、C中恰有一個發(fā)生中恰有一個發(fā)生(6) A、B、C 中至多有兩個發(fā)生中至多有兩個發(fā)生(5)A、B、C 中恰有兩個發(fā)生中恰有兩個發(fā)生(7) A、B、C 中中至少有兩個發(fā)生至少有兩個發(fā)生2CBACBACBACBACBACBAACBCABCBACBABCACAB3 3. 3.設設A、B、C為三個事件為三個事件, ,且且 ， 求求A，B，C都不發(fā)生的概率。都不發(fā)生的概率。 41

2、)()()( CPBPAP81)()( ACPABP0)( BCP)()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP 0)()(0 BCPABCP21008181414141 )(1CBAP )()(CBAPCBAP 0)( BCP由由 知知 211 21 481)()1( ABP(2)A、B互不相容互不相容21)(,31)( BPAP 4. 4.設設A、B是兩個事件且是兩個事件且 ，試在，試在三種情況下求三種情況下求)(BAP(3)A、B有包含關系有包含關系 )()()(ABPAPBAP8131 AB)()()()(ABPAPBAPBAP 245 )()()(AB

3、PAPBAP031 31 0)( ABP)()(BPAP BA )()()(ABPAPBAP0)()( APAP5)()()(BAPAPABP 5 . 0)(, 3 . 0)(, 7 . 0)( BAPBPAP5. .設設A、B、C是三個事件是三個事件 求求 ， 。)()(BAPBAP2 . 05 . 07 . 0 )()()()(ABPBPAPBAP )()()()(ABPBPABPBAP 8 . 02 . 03 . 07 . 0 1 . 02 . 03 . 0 6解：以解：以A表示事件表示事件“指定的指定的3本書放在一起本書放在一起”151!10!7! 38)( AP練習二練習二 1.把把

4、10本不同的書任意放在書架上，求其中指定本不同的書任意放在書架上，求其中指定的的3本書放在一起的概率。本書放在一起的概率。10本書任意放置的情況共有本書任意放置的情況共有!103個作整體放置的情況共個作整體放置的情況共3本書的排列共有本書的排列共有8! 36以以A表示事件表示事件“指定的指定的3本書放在一起本書放在一起”以事件以事件A表示表示“指定的指定的3本書放在一起本書放在一起”把事件把事件“指定的指定的3本書放在一起本書放在一起”表示為表示為A把把“指定的指定的3本書放在一起本書放在一起”表示為事件表示為事件A7121)(31025 CCAP 2.在房間里有在房間里有10個人，分別佩戴從

5、個人，分別佩戴從1號到號到10號的號的紀念章，任選紀念章，任選3人記錄企紀念章的號碼。人記錄企紀念章的號碼。(1)求最小號碼為求最小號碼為5的概率的概率解：以解：以A表示事件表示事件“最小號碼為最小號碼為5”(2)求最大號碼為求最大號碼為5的概率的概率解：以解：以B表示事件表示事件“最大號碼為最大號碼為5”201)(31024 CCBP8343817341)(151723341010 CCCCAP3.某油漆公司發(fā)出某油漆公司發(fā)出17桶油漆，其中白漆桶油漆，其中白漆10桶，黑漆桶，黑漆4桶，紅漆桶，紅漆3桶，在搬運中所有標簽脫落，交貨人隨桶，在搬運中所有標簽脫落，交貨人隨意將這些發(fā)給顧客。問一個

6、訂貨白漆意將這些發(fā)給顧客。問一個訂貨白漆10桶，黑漆桶，黑漆3桶，紅漆桶，紅漆2桶的顧客，能按所訂顏色如數得到訂貨桶的顧客，能按所訂顏色如數得到訂貨的概率是多少？的概率是多少？解：以解：以A表示事件表示事件“白漆白漆10桶，黑漆桶，黑漆3桶，紅漆桶，紅漆2桶桶”9452871078)( AP4.已知在已知在10只晶體管中有只晶體管中有2只是次品，在其中取兩次，只是次品，在其中取兩次，每次任取一只，作不放回抽樣，求下列事件的概率。每次任取一只，作不放回抽樣，求下列事件的概率。(1)兩只都是正品兩只都是正品解：以解：以A表示事件表示事件“兩只都是正品兩只都是正品”4528)(21028 CCAP(

7、4)第二次取出的是次品第二次取出的是次品解：以解：以C表示事件表示事件“一只是正品，一只是次品一只是正品，一只是次品”45191012)( BP451)(21022 CCBP(2)兩只都是次品兩只都是次品(3)一只是正品，一只是次品；一只是正品，一只是次品；45169108282)( CP解：以解：以B表示事件表示事件“兩只都是次品兩只都是次品”解：以解：以D表示事件表示事件“第二次取出的是次第二次取出的是次品品”519101282)( DP10042 CB 解：以解：以A表示事件表示事件“該方程有重該方程有重根根”。5.考慮一元二次方程考慮一元二次方程 ，其中，其中B,C分別是分別是將一枚骰

8、子接連拋擲兩次先后出現的點數，求該方程將一枚骰子接連拋擲兩次先后出現的點數，求該方程有重根的概率。有重根的概率。02 CBxx樣本空間樣本空間S中共有中共有36個元素滿足判別式的樣本點只有個元素滿足判別式的樣本點只有(2,1)和和(4,4)181362)( AP11練習三練習三 )|(BABP)()()()(BAPBPAPABP )()(BAPBABP1. (1)已知已知 求求 。, 5 . 0)(, 4 . 0)(, 3 . 0)( BAPBPAP)|(BABP解：解：)()()()()(BAPBPAPBAPAP )()(1)(1)()(1BAPBPAPBAPAP 5 . 04 . 013

9、. 015 . 03 . 01 418 . 02 . 0 (2)已知已知 求求 。,21)|(,31)|(,41)( BAPABPAP)(BAP解：解： )(BAP)()()(ABPBPAP )|()()|()()(ABPAPBAPABPAP )|()()|()|()()(ABPAPBAPABPAPAP 314121314141 31 122.假設患肺結核的人通過透視胸部能被確診的概率為假設患肺結核的人通過透視胸部能被確診的概率為0.95，而未患肺結核的人通過透視胸部被誤診為病人的，而未患肺結核的人通過透視胸部被誤診為病人的概率為概率為0.002。根據以往資料表明，某單位職工患肺結。根據以往資

10、料表明，某單位職工患肺結核的概率為核的概率為0.001。現在該單位有一個職工經過透視被?，F在該單位有一個職工經過透視被診斷為患肺結核，求這個人確實患肺結核的概率。診斷為患肺結核，求這個人確實患肺結核的概率。解：以解：以A表示事件表示事件“確實患肺結核確實患肺結核”，以，以B表示事件表示事件“通過透視被確診通過透視被確診”。95. 0)|( ABP002. 0)|( ABP001. 0)( AP)()()|(BPABPBAP )|()()|()()|()(ABPAPABPAPABPAP 002. 0)001. 01(95. 0001. 095. 0001. 0 3223. 0 133.已知男子有

11、已知男子有5%是色盲患者，女子有是色盲患者，女子有0.25 %是色盲患是色盲患者。今從男女人數相等的人群中隨機地挑選一人，則者。今從男女人數相等的人群中隨機地挑選一人，則(1)此人是色盲患者的概率此人是色盲患者的概率005. 0)|( BAP0025. 0)|( BAP)|()()|()()(BAPBPBAPBPAP 02625. 0 0025. 05 . 005. 05 . 0 )()|()()|(APBAPBPABP 02625. 00025. 05 . 0 解：以解：以A表示事件表示事件“色盲患者色盲患者”，以，以B表示事件表示事件“所所取為男子取為男子”。(2)若此人恰好是色盲患者，問

12、此人是女性的概率是多若此人恰好是色盲患者，問此人是女性的概率是多少？少？解：解：211 144.有兩箱同類的零件，第一箱裝有兩箱同類的零件，第一箱裝50只，其中只，其中10只一等品，第二箱只一等品，第二箱裝裝30只，其中只，其中18只一等品，今從兩箱中任選一箱，然后從該箱只一等品，今從兩箱中任選一箱，然后從該箱中任取零件兩次，每次取一只，作不放回抽樣求中任取零件兩次，每次取一只，作不放回抽樣求 (1)第一次取到的零件是一等品的概率第一次取到的零件是一等品的概率(2)在第一次取到的零件是一等品的條件下，第二次取到的零件在第一次取到的零件是一等品的條件下，第二次取到的零件也是一等品的概率。也是一等

13、品的概率。)2 , 1( iAi解：以解：以 表示事件表示事件“第第i次從零件中取到一等品次從零件中取到一等品”)2 , 1( iBi以以 表示事件表示事件“取到第取到第i箱箱”10621501021 1943. 0 )|()()|()()(2121111BAPBPBAPBPAP )()()|(12112APAAPAAP )|()()|()()(2212121121BAAPBPBAAPBPAAP 52 4 . 01943. 0 4856. 0 2930171821495091021 15解：解：3198. 0)|( ABP5.設根據以往記錄的數據分析，某船只運輸的某種物品損壞的情設根據以往記錄

14、的數據分析，某船只運輸的某種物品損壞的情況有三種：損壞況有三種：損壞2%，(這一事件記為這一事件記為 )，損壞，損壞10 %(事件事件 )，損損壞壞90%（事件（事件 ）。且知）。且知 現在現在從已被運輸的物品中隨機地取從已被運輸的物品中隨機地取3件，發(fā)現這件，發(fā)現這3件都是好的件都是好的(這一事件這一事件記為記為B)。試求條件概率。試求條件概率 （這里設物品數（這里設物品數量很多，取出一件后不影響后一件是否為好品的概率。）量很多，取出一件后不影響后一件是否為好品的概率。）2A3A05. 0)(,15. 0)(, 8 . 0)(321 APAPAP),|(),|(),|(321BAPBAPBA

15、P1A)|()()|()()|()()|()()|(332211111ABPAPABPAPABPAPABPAPBAP 8731. 0 329 . 0)|( ABP331 . 0)|( ABP33331 . 005. 09 . 015. 098. 08 . 098. 08 . 0 333321 . 005. 09 . 015. 098. 08 . 09 . 015. 0)|( BAP1268. 0 333331 . 005. 09 . 015. 098. 08 . 01 . 005. 0)|( BAP0001. 0 16練習四練習四)|()()|()()|()()|(BAPBPBAPBPBAPB

16、PABP nbaababbab)21(11 abbnn 221. 口袋里裝有口袋里裝有a+b枚硬幣，其中枚硬幣，其中b枚硬幣是廢品枚硬幣是廢品(兩面兩面都是國徽都是國徽)。從口袋中隨機地取出。從口袋中隨機地取出1枚硬幣，并把它獨枚硬幣，并把它獨立地拋擲立地拋擲n次，結果發(fā)現向上的一面全是國徽，試求次，結果發(fā)現向上的一面全是國徽，試求這枚硬幣是廢品的概率。這枚硬幣是廢品的概率。babBP )(解：以解：以A表示事件表示事件“n次出現都是國徽次出現都是國徽”，B表示事表示事件件“取到廢品取到廢品”baaBP )(17)()()()(APBAPAPABP )()()()()()(APAPBAPABP

17、APABP )|()|(1)|(ABPABPABP 證明：證明：1)|()|( ABPABP2. 設設 且且 。 證明證明A與與B相互獨立。相互獨立。1)(0 , 1)(0 BPAP1)(BP )()()(BPAPABP 183. 設某工廠生產的每臺儀器以概率設某工廠生產的每臺儀器以概率0.7可以直接出廠；可以直接出廠；以概率以概率0.3需要進一步調試，經調試后以概率需要進一步調試，經調試后以概率0.8可以出可以出廠，以概率廠，以概率0.2定位不合格品不能出廠?，F在該廠生產定位不合格品不能出廠。現在該廠生產了了n(n2)臺儀器，求所有儀器都能出廠的概率。臺儀器，求所有儀器都能出廠的概率。解：以

18、解：以Ai表示事件表示事件“第第i件儀器能出廠件儀器能出廠”，以，以B表示事表示事件件“第第i件儀器需要進一步調試件儀器需要進一步調試”，以，以C表示事件：表示事件：“所有儀器都能出廠所有儀器都能出廠”)|()()|()()(BAPBPBAPBPAPiii 17 . 08 . 03 . 0 94. 0 3 . 0)( BP8 . 0)|( BAPi1)|( BAPi7 . 0)( BP)()(321nAAAAPCP n94. 0 184. 設有設有4個獨立工作的元件個獨立工作的元件1,2,3,4，它們的可靠性均為，它們的可靠性均為p。將它們按下圖的方式連接，求這個系統(tǒng)的可靠性。將它們按下圖的方

19、式連接，求這個系統(tǒng)的可靠性。解：以解：以A表示事件表示事件“系統(tǒng)的可靠性系統(tǒng)的可靠性”22)1(1 )(pAP 22)2(pp 1第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布 1. 一個袋內裝有一個袋內裝有6個紅球和個紅球和4個白球，從中任取個白球，從中任取3個，個，設設X為取到的紅球的個數，求為取到的紅球的個數，求X的分布律。的分布律。解：解：X的可能取值為：的可能取值為：練習一練習一310340CCXP 3 , 2 , 1 , 0 k31016241CCCXP 31026142CCCXP 310363CCXP 030110312XP32161301 103 21 61 22. 進行重復獨

20、立試驗，設每次試驗成功的概率為進行重復獨立試驗，設每次試驗成功的概率為 p（0p2Y120 xxdea其它其它 00, 0),()(yxaxyeyxfyx 10dxdyyeaxeyx解：解： 020)(),(2xyxDdyyexdxdxdyyxfYXP 0232322dxxeexxexxx2772742781 01dxxex 022dxexx63.設二維連續(xù)型隨機變量設二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)的概率密度的概率密度 dyyxfxfX),()(其它其它 00 xyxdye其它其它 00),(yxeyxfy求隨機變量求隨機變量(X,Y)關于關于X和和Y的邊緣概率密度的邊緣概率密度)(),(yfx

21、fYX其它其它 00 xex dxyxfyfY),()(其它其它 000yyydxe其它其它 00yyey7 1),(yxf(1)確定常數確定常數c解：解：4.設二維隨機變量設二維隨機變量(X,Y)的概率密度的概率密度 11122xydxdycx(2)求隨機變量求隨機變量(X,Y)關于關于X和和Y的邊緣概率密度的邊緣概率密度)(),(yfxfYX421 c1214 c其它其它 01),(22yxycxyxf dyyxfxfX),()(其它其它 01182182142114222xxxxydyx dxyxfyfY),()(其它其它 01027421252yyyyydyxx6練習二練習二101 p

22、152 q5251151 q1.設二維離散型隨機變量設二維離散型隨機變量(X,Y)的聯合分布律為的聯合分布律為且隨機變量且隨機變量X與與Y相互獨立，求相互獨立，求p與與q的值。的值。211151q2051XY1 1p511031151q2051XY1 1p5110353525310351 p8)()(),(yfxfyxfYX 2.設二維連續(xù)型隨機變量設二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)的概率密度為的概率密度為(2)判斷隨機變量判斷隨機變量X和和Y是否相互獨立。是否相互獨立。 011),(22yxyxf 其它其它解：解： 01|12122112xxxxdy 其它其它(1)求隨機變量求隨機變量(X,Y)

23、關于關于X和和Y的邊緣概率密度的邊緣概率密度)(),(yfxfYX dyyxfxfX),()( dxyxfyfY),()( 01|12122112yyyydx 其它其它顯然顯然不獨立不獨立8Y 服從參數為服從參數為1的指數分布，令的指數分布，令 2ln02ln11YYX212ln3ln, 2ln0, 021 YPYYPXXP(1)求二維隨機變量求二維隨機變量(X1,X2)的聯合概率分布律的聯合概率分布律 3ln03ln12YYX03ln, 2ln1, 021 YYPXXP3ln2ln3ln, 2ln0, 121 YPYYPXXP3ln3ln, 2ln1, 121 YPYYPXXP1216101

24、X2X0103161)2(ln)3(ln FF313ln1 YP(2) 判斷隨機變量判斷隨機變量X1與與X2是否相互獨立是否相互獨立31322121顯然，顯然， 不獨立。不獨立。213221 94.設設X和和Y是相互獨立的隨機變量，是相互獨立的隨機變量，X在在(0,1)上服從均上服從均勻分布，勻分布，Y服從參數服從參數 的指數分布。的指數分布。2 )()(),(yfxfyxfYX (1)求隨機變量求隨機變量X 和和Y 的聯合概率密度的聯合概率密度f (x, y); 0101)(xxfX其它其它 0021)(2yeyfyY其它其它由獨立：由獨立： 00, 1021),(2yxeyxfy其它其它0

25、22 YXaa(2)設含有設含有a的二次方程的二次方程 試求試求a有實根的概有實根的概率。率。22, 044XYYX dxedxdyedxdyyxfXYPxxyxy 10210022)1(21),(2221445. 0)0()1(1 17練習三練習三 zxx101. 設設X和和Y是相互獨立的隨機變量，且是相互獨立的隨機變量，且X和和Y 的概率密的概率密度分別為度分別為 dxxzfxfzfYXZ)()()(求隨機變量求隨機變量Z=X+Y的概率密度的概率密度 。)(zfZ 0101)(xxfX其它其它 00)(yeyfyY其它其它解：解： 011010)(0)(zdxezdxexzzxz其它其它

26、01)1(101zeezezz其它其它17 zxzxxzx1101010 dxxzfxfzfYXZ)()()(2. 設設X和和Y是相互獨立的隨機變量，且都在是相互獨立的隨機變量，且都在(0,1)上服上服從均勻分布，求隨機變量從均勻分布，求隨機變量Z=X+Y的概率密度的概率密度 。)(zfZ 0101)(xxfX其它其它 0101)(yyfY其它其它解：解：X和和Y的概率密度函數分別為的概率密度函數分別為 02110110zdxzdxzz其它其它 021210zzzz其它其它3)(, )(21 YX3. 3. 設設 是相互獨立的隨機變量，是相互獨立的隨機變量， 證明：證明：YX,)(21 YXZ

27、顯然，顯然， , 2 , 1 , 0!),(222 kekkXPYk , 2 , 1 , 0!),(111 kekkXPXk 0,1, 1, 0 YkXkYXkYXPkZP kiikYiXP0, kiikYPiXP021)!(!201 eikeiikkii)!(!201)(22ikieikkii !kkikikiikikke 210)()!( !22 ikikiikCke 210)(!22 )(2122!)( ekkZPk)(21 YXZ所以所以17 222),()(22zyxZdxdyyxfzYXPzZPzF2222221)()(),( yxYXeyfxfyxf 2222222221zyxy

28、xdxdye 0 z22YXZ ), 0(2 N4. 設設X和和Y是兩個相互獨立的隨機變量，它們都服從正是兩個相互獨立的隨機變量，它們都服從正態(tài)分布態(tài)分布 ，試驗證隨機變量，試驗證隨機變量 的概率的概率密度為密度為其它其它 00, 0)(2222 zezzfzZ)0( 我們稱我們稱Z服從參數為服從參數為 的瑞利分布的瑞利分布證明：由證明：由X和和Y獨立獨立令令 sin,cosryrx 其它其它 00, 0)(2222 zezzfzZ175. 設隨機變量設隨機變量(X,Y) 的概率密度為的概率密度為其它其它 00 , 1011),()(1yxeeyxfyx(1)求隨機變量求隨機變量(X,Y)關于

29、關于X和和Y的邊緣概率密度的邊緣概率密度)(),(yfxfYX dyyxfxfX),()( dxyxfyfY),()( 01011101)(1xeedyeexyx其它其它 001110)(1yedxeeyyx其它其它(2)判斷隨機變量判斷隨機變量X和和Y是否相互獨立？是否相互獨立？顯然，顯然， 獨立。獨立。)()(),(yfxfyxfYX 17(3)求隨機變量求隨機變量U=maxX,Y的分布函數的分布函數 。)(uFU 111011100011xxeedxeexxxx xXXdxxfxF)()( yYYdyyfyF)()( yyyyedyey00100)()()(uFuFuFYXU 11101

30、)1 (0012ueueeuuu1第四章第四章 隨機變量的數字特征隨機變量的數字特征1. 設在某一規(guī)定的時間間隔里，某電氣設備用于最大設在某一規(guī)定的時間間隔里，某電氣設備用于最大負荷的時間負荷的時間X(以分計以分計)是一個隨機變量其概率密度為是一個隨機變量其概率密度為 dxxxfXE)()( 030001500)3000(150011500015001)(22xxxxxf其它其它試求隨機變量試求隨機變量X的數學期望的數學期望E(X)。xdxxdxx)3000(15001150011500030001500222 解：解2解：解：3 . 023 . 004 . 0)2(

31、)(2222 XE3 . 0)523(3 . 0)503(4 . 0)5)2(3()53(2222 XE8 . 2 2. 設隨機變量設隨機變量X的分布律為的分布律為 試求試求)53(),(22 XEXE4.02 0XP23.03.04 .13 3.設隨機變量設隨機變量X的概率密度為的概率密度為 000)(xxexfx(1)求隨機變量求隨機變量X的數學期望的數學期望 dxxxfXE)()( 0dxxex1 (2)求隨機變量求隨機變量Y2X的數學期望的數學期望 dxxxfXEYE)(2)2()( 02dxxex2 (3)求隨機變量求隨機變量Ze5X的數學期望的數學期望 dxxfeeEZExX)()

32、()(55 06dxex61 34.設二維連續(xù)型隨機變量設二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)的概率密度為的概率密度為 100212xdxdyxy dxdyyxxyfXYE),()(其它其它 01012),(2xyyyxf試求試求)(),(),(22YXEXYEXE dxdyyxxfXE),()(54 1516 解：解： 1003212xdxdyyx21 dxdyyxfyxYXE),()()(2222 100422)1212(xdxdyyyx4)()()(2121XEXEXXE 解：解：X1，X2的概率密度分別為的概率密度分別為(1)求求)(21XXE 81 0002)(21xxexfx(2)又設又設

33、X1，X2相互獨立，求相互獨立，求)(21XXE21)(1 XE)()()(2121XEXEXXE 0004)(42xxexfx41)(2 XE43 解：解：5練習二練習二21211)()()(XEXEXD 1.設某臺設備由三個元件所組成，在設備運轉中各個元件需要設某臺設備由三個元件所組成，在設備運轉中各個元件需要調整的概率分布為調整的概率分布為0.1,0.2,0.3。假設各個元件是否需要調整是相。假設各個元件是否需要調整是相互獨立，以互獨立，以X表示同時需要調整的元件數，試求表示同時需要調整的元件數，試求X的數學期望和的數學期望和方差。方差。解：以解：以Xi表示第表示第i個元件的調整情況，個

34、元件的調整情況，i=1,2,316. 0 09. 0 1 . 0)(1 XE321XXXX 01iX第第i個元件需要調整個元件需要調整第第i個元件不需要調整個元件不需要調整2 . 0)(2 XE3 . 0)(3 XE22222)()()(XEXEXD 23233)()()(XEXEXD 21. 0 6 . 0)()()()(321 XEXEXEXE46. 0)()()()(321 XDXDXDXD6814835834413)( XEA與與B比賽，如果有一個隊勝比賽，如果有一個隊勝3場，則比賽結束。已知場，則比賽結束。已知A隊在比賽中獲勝的概率為隊在比賽中獲勝的概率為0.5，試求比賽場數，試求比

35、賽場數X的數的數學期望。學期望。解：隨機變量解：隨機變量X的可能取值為的可能取值為3,4,5。41)211()21(333 XP83)211()21(2124223 CXP83)211()21(21252224 CXP722)()()(ZEZEZD (1)寫出隨機變量寫出隨機變量(X,Y)的概率密度函數。的概率密度函數。3.設二維連續(xù)型隨機變量設二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)在區(qū)域在區(qū)域 內服從均勻分布。內服從均勻分布。xyxxD , 10: 2ln0, 100),(Yxyxxyxf其它其它613 34 解：積分區(qū)域的面積為解：積分區(qū)域的面積為1 dxdyyxfyxYXEZE),()2()2()

36、(2)求隨機變量求隨機變量Z2XY的數學期望及方差。的數學期望及方差。 10)2(xxdxdyyx dxdyyxfyxyxYXYXEZE),()44()44()(22222 1022)44(xxdxdyyxyx187916613 8 3)(3 dxxfXP解：解：21 )21, 4( bY521)()()(222 YEYDYE1)211(214)( YDdxx 32cos214.設隨機變量設隨機變量X的概率密度為的概率密度為 ，對，對X獨立地重復觀察獨立地重復觀察4次，用次，用Y表示觀察值大于表示觀察值大于 的次的次數，求隨機變量數，求隨機變量 的數學期望。的數學期望。 00cos21)( x

37、xxf其它其它3 2Y2214)( YE9)()(2)2()(YEXEYXEZE (1)求隨機變量求隨機變量Z=2X+Y的分布；的分布；)()(4)2()(YDXDYXDZD )65,2080(2NZ)1525,80( NZ20806407202 80640720)()()()( YEXEYXEZE令令15252530)()()()(22 YDXDYXDZD5.設隨機變量設隨機變量X,Y相互獨立，相互獨立，)25,640(),30,720(22NYNXYXZ 解：解：42252530422 YXP (2)求概率求概率9798. 0)1525800(10100 ZPZPYXPYXP1400 YX

38、P(3)求概率求概率令令YXZ )1525,1360( NZ1539. 0)152513601400(11400114001400 ZPZPYXP10練習三練習三0)()()(),( YEXEXYEYXCov1. 設二維離散型隨機變量設二維離散型隨機變量(X,Y)的聯合分布律為：的聯合分布律為：083141083)1()( XE試證明：試證明：X和和Y是不相關的，但是不相關的，但X與與Y不是相互獨立的。不是相互獨立的。81)1(081)1(181)1(081)1()1()( XYE1 8181011 XY010818181818181418383838341083141083)1()( YE0

39、8111810181)1(18110000 0 XY 故故X,Y不相關，而且不獨立。不相關，而且不獨立。110)()()(),( YEXEXYEYXCov),(),(YXCovXE2. 設二維連續(xù)型隨機變量設二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)在區(qū)域在區(qū)域 內服從均勻分布，計算內服從均勻分布，計算 。xyxxD , 10: dxdyyxxfXE),()( 0, 101),(xyxxyxf其它其它解：解：(X,Y)的概率密度函數為的概率密度函數為3210 xxxdxdy dxdyyxyfYE),()(010 xxydxdy dxdyyxxyfXYE),()(010 xxxydxdy12解：解： 1314

40、441 )2 ,2(),(21YXYXCovXXCov ),(4)(4)()2()(1YXCovYDXDYXDXD )()()()()()()(),(212121212121XDXDXEXEXXEXDXDXXCovXX 13254135 41113.3.設隨機變量設隨機變量(X,Y)的協方差矩陣為的協方差矩陣為 ，求，求 與與 的相關系數。的相關系數。YXX21 YXX 22),(2),(4),(),(2YYCovXYCovYXCovXXCov 4214112 5 ),(4)()(4)2()(2YXCovYDXDYXDXD 414414 131212100 dxexdxexxx dxxfxXE

41、)(|)(|Rxexfx ,21)(|4. 設連續(xù)型隨即變量設連續(xù)型隨即變量X的概率密度為的概率密度為(1)問問X與與|X|是否相關？為什么？是否相關？為什么？解：解：0|)(|)()|(|)|,(| XEXEXXEXXCov dxxxfXE)()(0212100 dxexdxexxx dxxfxxXXE)(|)|(|021210202 dxexdxexxx顯然不相關。顯然不相關。(2)問問X與與|X|是否獨立？為什么？是否獨立？為什么？不獨立不獨立145. 已知已知 ，試求，試求17)(, 9)(, 4)( YXDYDXD(1)協方差協方差),(YXCov2179421)()()(21),(

42、 YXDYDXDYXCov31322)()(),( YDXDYXCovXY 17),(2)()()( YXCovYDXDYXD(3)互協方差互協方差),2(YXYXCov (2)相關系數相關系數XY ),(2),(2),(),(),2(YYCovXYCovYXCovXXCovYXYXCov )(2),(2),()(YDXYCovYXCovXD 1292424 1第五章第五章 大數定理與中心極限定理大數定理與中心極限定理1. 設設 ，則由契比雪夫不等式，則由契比雪夫不等式有有 3| XP2)(,)( XDXE解：解：989122 2.設設 相互獨立且均服從參數相互獨立且均服從參數 的泊松的泊松分

43、布，試證明：當分布，試證明：當n趨向于無窮大時，趨向于無窮大時， 依概依概率收斂于率收斂于12。nXXX,213 niinXnY1211293)()()(222 iiiXEXDXE niiniinXEnXnEYE1212)(1)1()(12121 nn由辛欽大數定律由辛欽大數定律1|12|lim YPn2221212)()(1)1()(aXEXEnXnEZEiniiniin 證明：當證明：當n充分大時，充分大時， 近似服從正態(tài)分布，并近似服從正態(tài)分布，并指出其分布參數。指出其分布參數。 niinXnZ121解：解：22)(aXE )()(11lim)(lim224212xxnaanaXnPzF

44、niinZnn )(1,(2242aanaNZn 3.設設 相互獨立且同分布，已知相互獨立且同分布，已知nXXX,214 , 3 , 2 , 1,)( kaXEkk44)(aXE 2242)()()(XEXEXD 224aa )(1)(1)(1)1()(224212212aanXDnXDnXnDZDiniiniin 34.有一批建筑房屋用的木柱，其中有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的長度不小于的長度不小于3m，現從這批木柱中隨機地取出，現從這批木柱中隨機地取出100根，問其中至少根，問其中至少有有30根短于根短于3m的概率是多少。的概率是多少。2 . 0)( XE1301001 iiXPVP

45、解：設隨機變量解：設隨機變量0062. 09938. 01)5 . 2(142 . 0100308 . 02 . 01002 . 010011001 iiXP 10X木柱長度不小于木柱長度不小于3m木柱長度小于木柱長度小于3mX服從服從(0-1)分布且分布且16. 0)( XD 1001iiXV令令4 1515115115150011500115001iiiiiiXPXPXP解：設解：設X表示隨機變量，則舍入誤差表示隨機變量，則舍入誤差XU(-0.5,0.5)5.計算器在進行加法時，將每個加數取最靠近它的數據。設所計算器在進行加法時，將每個加數取最靠近它的數據。設所有的舍入誤差是獨立的。且在有

46、的舍入誤差是獨立的。且在(-0.5,0.5)上服從均勻分布。上服從均勻分布。(1)若將若將1500個數相加，問誤差總和的絕對值超過個數相加，問誤差總和的絕對值超過15的概率是多的概率是多少少121)(, 0)( XDXE 1211500015001512115000150012115000150015115001iiX1802. 0 )341. 1()341. 1(1 解：設最多可以有解：設最多可以有n個數相加使得誤差總和絕對值小于個數相加使得誤差總和絕對值小于10(2)最多可以有幾個數相加使得誤差總和的絕對值小于最多可以有幾個數相加使得誤差總和的絕對值小于10的概率的概率不小于不小于0.9？

47、 10101011niiniiXPXP9 . 012010120120101 nnnnXnnnii解之得：解之得：65. 11210 n441 n1第六章樣本及抽樣分布第六章樣本及抽樣分布解：解：1.自總體自總體X抽得一個容量為抽得一個容量為5的樣本為的樣本為8,2,5,3,7，求樣，求樣本均值本均值 和樣本方差和樣本方差 及經驗分布函數及經驗分布函數 。X)(xFs2S5573528 X 222222)57()53()55()52()58(151 S5 . 6)44099(41 81875475535352325120)(xxxxxxxFs練習一練習一238033|80| XPXP解：解：8

48、664. 0 2.在總體在總體 中隨機地取一容量為中隨機地取一容量為100的樣本，的樣本，問樣本均值與總體均值差的絕對值小于問樣本均值與總體均值差的絕對值小于3的概率是多的概率是多少？少？)20,80(2NX1002031002080100203 XP)5 . 1()5 . 1( 19332. 021)5 . 1(2 31121121|12| XPXPXP2628. 08686. 01 2)12. 1(1 2 5XZzFzF)()( (1)求樣本均值與總體均值之差的絕對值大于求樣本均值與總體均值之差的絕對值大于1的概率。的概率。3.在總體在總體XN(12,4)中隨機地抽一容量為中隨機地抽一容量

49、為5的樣本的樣本nXXX,212923093320121215115F1555X.).()()( )12. 1()12. 1(152152125215212 XPXP),max(521XXXZ 解：令解：令15),max(521 XXXP(2)求概率求概率解：解：10),min(521 XXXP(3)求概率求概率1511515),max(521 ZPZPXXXP)10(1010),min(521ZFZPXXXP ),min(521XXXZ 解：令解：令5XZzF11zF)()( 5785. 0)8413. 0(1)1(1)21210(1 1)10(1 15555 XF12.設設 是取自具有是取

50、自具有 分布的總體的樣分布的總體的樣本，本， 與與 分別為樣本均值與樣本方差求分別為樣本均值與樣本方差求X1621,XXX)(2n 2S)(),(),(2SEXDXE解：設總體為解：設總體為XnXDnXE2)(,)( nXEXE )()(816216)()(nnXDXD nXDSE2)()(2 1解：解：1.設設 是取自正態(tài)總體是取自正態(tài)總體 的簡單隨的簡單隨機樣本，求概率機樣本，求概率 。44. 11012 iiXP1021,XXX)3.0,0(2N44. 11012 iiXP 101223 . 044. 13 . 00iiXP1 . 0 )1 , 0(3 . 003NX 練習二練習二)10

51、(3 . 0010122 iiX 1012163 . 00iiXP解：設總體為解：設總體為X )(,)(XDXE )()(XEXEnnXDXD )()( )()(2XDSE44. 11012 iiXP2.設設 是取自參數為是取自參數為 的泊松總體的泊松總體 的一個簡單隨機樣本，的一個簡單隨機樣本， 與與 分別為樣本均值與樣分別為樣本均值與樣本方差求本方差求XnXXX,21 2S)(),(),(2SEXDXE)( X1132 d0)(2)(21 XEXXE4321,XXXX3.(1)設設 是來自正態(tài)總體是來自正態(tài)總體XN(0,2)的一個的一個簡單隨機樣本，試給出常數簡單隨機樣本，試給出常數c使得

52、使得 服從服從 分布，并指出它的自由度。分布，并指出它的自由度。2 )()(243221XXXXcY解：解：c = 1/4，自由度為，自由度為2。 解：解：2)(2)(21 XDXXD25242321252423213232XXXXXdXXXXXd 26 d自由度為自由度為3。 25242321XXXXXd (2設設 是來自正態(tài)總體是來自正態(tài)總體XN(0,1)的一個簡的一個簡單隨機樣本，試給出常數單隨機樣本，試給出常數 d 使得使得 服從服從 t 分布，并指出它的自由度。分布，并指出它的自由度。54321,XXXXX130)15(22 SD)1()1(222 nSn (1)求求 ，其中，其中

53、為樣本方差。為樣本方差。2S04. 222 SP(2)求求)(2SD解：由解：由01. 016 .301504. 2151504. 2222222 SPSPSP)1(2)1(22 nSnD 30)(22524 SD 解：解： 4.設在總體設在總體 中抽取一容量為中抽取一容量為16的樣本，這里的樣本，這里 均為未知。均為未知。),(2 N2, )15(15222 S42152)( SD99. 001 1.隨機地取隨機地取8只活塞環(huán)，測得它們的直徑只活塞環(huán)，測得它們的直徑為為(以以mm計計)2 .746 .748 .730 .741 .743 .745 .741 .74試求總體均值試求總體均值 及

54、方差及方差 的矩估計值，并求樣本方差。的矩估計值，并求樣本方差。 2 解：解： X niiXn11)2 .746 .748 .730 .741 .743 .745 .741 .74(81 2 .74 2 niiXXn12)(1)2 .742 .74()2 .746 .74()2 .748 .73()2 .740 .74()2 .741 .74()2 .743 .74()2 .745 .74()2 .741 .74(8122222222 48. 081 06. 0 2S niiXXn12)(1148. 0181 06857. 0 第七章第七章 參數估計參數估計 練習一練習一 02X 的密度函數為

55、的密度函數為(1) 矩估計量矩估計量 cxcxxcxf0)()1( 1 c1 cxc 11且且 是來自總體是來自總體X的一個簡單隨機樣本，的一個簡單隨機樣本， 為相應的樣本值，求參數為相應的樣本值，求參數 的矩估計量和最大似然估計的矩估計量和最大似然估計量。量。(其中其中c已知且已知且 )1 nxxx,21nXXX,21解解:)(XE dxxxf)( cdxxcx)1( 解之得：解之得：c 11 將將 代入代入11A cXXcAA 11 03(2) 最大似然估計量最大似然估計量解解:最大似然函數為：最大似然函數為： cxcxxxxciinnn0)()1(21 求對數求對數 niixfL1);(

56、)( niixcnnL1ln)1(lnln)(ln 求導數求導數0lnln)(ln1 niixcnndLd 解之得，最大似然估計值為解之得，最大似然估計值為cnxnniilnln1 最大似然估計量為最大似然估計量為cnXnniilnln1 04X 的分布律為的分布律為10, 2 , 1 , 0)1(pmxppCxXPxmxxmmp1 )(1XE 解之得：解之得：將將 代入得矩估計量代入得矩估計量11 AmpmAp1 p為未知參數。為未知參數。且且 是來自總體是來自總體X的一個簡單隨機樣本，的一個簡單隨機樣本， 為相應的樣本值，求參數為相應的樣本值，求參數p的矩估計量和最大似然估計量。的矩估計量

57、和最大似然估計量。nxxx,21nXXX,21(1) 矩估計量矩估計量解解:mX05求導數求導數niiniinxnmxxmxmxmppCCC1121)1(求對數求對數最大似然函數最大似然函數 niixXPpL1)(最大似然估計最大似然估計量量為為)1ln(lnln)(ln111pxnmpxCpLniiniinixmi(2) 最大似然估計量最大似然估計量解解:01)(ln11pxnmpxdppLdniiniimxp 最大似然估計最大似然估計值值為為mXp 06X具有分布律具有分布律)(1XE 2, 3, 2, 14321 xxxx(1) 矩估計值矩估計值 23 解之得解之得:其中其中 為未知參數

58、，已知取得了樣本值為未知參數，已知取得了樣本值)10( 22)1(3)1(221 故矩估計故矩估計值值為為試求參數試求參數 的矩估計值和最大似然估計值。的矩估計值和最大似然估計值。 12 )1(2 2)1( 23PX231 23231XA 242321 x2122323 x 即矩估計量即矩估計量又矩估計值又矩估計值23x 07)1ln(4ln44ln)(ln L(1)最大似然估計值最大似然估計值)1(2)1()1(222 最大似然函數為最大似然函數為最大似然估計最大似然估計值值為為 41)(iixXPL 0144)(ln dLd23214321 XPXPXPXP44)1(4 21 08 5.設

59、某種電子器件的壽命設某種電子器件的壽命(以小時計以小時計)T服從雙參數的服從雙參數的指數分布，其概率密度為指數分布，其概率密度為 ctctetfct01)( niictfcL1),;(),( (1)求求c與與 的最大似然估計的最大似然估計 最大似然函數為最大似然函數為其中，其中， 為未知參數，自一批這種器件中隨機地為未知參數，自一批這種器件中隨機地取取n件進行壽命試驗，設它們的失效時間依次為件進行壽命試驗，設它們的失效時間依次為)0,(, ccnttt 21 ctcteiictnnii011)( 求對數求對數 niictncL1)(ln),(ln09求導數求導數 0nccL0ct1ncLn1i

60、i2),(ln)(),(ln由最大似然原則知由最大似然原則知最大似然估計值為最大似然估計值為最大似然估計量為最大似然估計量為1tc 1tt 1Tc 1TT 10)(1TE (2)求求c與與 的矩估計的矩估計 解之得解之得 21211 cc dtttf)(dte1tctc c )(22TE dttft)(2dte1tctc2 2222cc 將將 代入代入2211, AA即即 niiniiTTnTcTTn1212)(1)(1 112)1()1(21212122221122212212112 nnSnSnSnnnSnnnSw解：解：)2)1()1()(212222112 nnSnSnESEw)(21