凸函數(shù)及其在證明不等式中的應(yīng)用

1、內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)論文M閨”邙禮疾HJTCHEIJiaHGTEACHERSCOLL日GE；本科畢業(yè)論文題目凸函數(shù)及其在證明不等式中的應(yīng)用系別數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)指導(dǎo)教師吳開騰評閱教師班級2004級2班姓名冀學(xué)本學(xué)號學(xué)0402410642008年內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)論文目錄摘要IAbstractI1弓I言12凸函數(shù)的等價定義12.1 凸函數(shù)三種定義的等價性的討論22.1.1 定義1二定義222.1.2 定義1二定義342.2 判定定理與JESEM等式43.性質(zhì)54凸函數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用74.1 利用凸函數(shù)定義證明不等式74.2 利用凸函數(shù)性質(zhì)證明不等式8結(jié)束語11參考文獻1

2、1致謝12內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)論文摘要首先給出了凸函數(shù)的三個典型定義，分析了它們之間的關(guān)系，并證明了三種定義之間的等價性.接著給出了凸函數(shù)的一個判定定理以及Jesen不等式.然后討論了凸函數(shù)的幾條常用性質(zhì)，通過例題展示了凸函數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用.凸函數(shù)具有重要的理論研究價值和實際廣泛應(yīng)用，利用凸函數(shù)的性質(zhì)證明不等式；很容易證明不等式的正確性.因此，正確理解凸函數(shù)的定義、性質(zhì)及應(yīng)用，更對有關(guān)學(xué)術(shù)問題進行推廣研究起著舉足輕重的作用.在不等式證明中的應(yīng)用并舉例說明解題思路與證明方法，最后證明了幾個常見的重要不等式.并得到了幾種常用凸函數(shù)的形式.關(guān)鍵詞凸函數(shù)，凸性不等式，jensen不等式Abstr

3、actFirsthasgiventheconvexfunctionthreemodeldefinition,hasanalyzedbetweenthemtherelations,andhasprovenbetweenthreekindofdefinitionequivalence.ThenhasgivenaconvexfunctiondeterminationtheoremaswellastheJeseninequality.Thendiscussedconvexfunctionseveralcommonlyusednature,hasdemonstratedtheconvexfunction

4、ininequalityproofapplicationthroughthesamplequestion.Theconvexfunctionhastheimportantfundamentalresearchvalueandtheactualwidespreadapplication,theuseconvexfunctionnatureproofinequality;Veryeasytoprovetheinequalitytheaccuracy.Therefore,thecorrectunderstandingconvexfunction'sdefinition,thenaturean

5、dtheapplication,carryonthepromotiontotherelatedacademicquestiontostudythepivotalfunction.Intheinequalityprovedthattheapplicationandexplainswithexamplestheproblemsolvingmentalityandthecertificatemethod,finallyhasprovenseveralcommonimportantinequalities.Andobtainedseveralkindofcommonlyusedconvexfuncti

6、onforms.KeywordsConvexfunction,convexityinequality,jenseninequality內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)論文1引言凸函數(shù)是一類常見的重要函數(shù)，上世紀初建立了凸函數(shù)理論以來，凸函數(shù)這一重要概念已在許多數(shù)學(xué)分支得到廣泛應(yīng)用.例如在數(shù)學(xué)分析、函數(shù)論、泛函分析、最優(yōu)化理論等當中.常用的凸函數(shù)有兩種，一種叫上凸函數(shù)，即曲線位于每一點切線下方或曲線上任意兩點間的弧段總在這兩點連線上方的函數(shù)；另一種叫下凸函數(shù)，即曲線位于每一點切線的上方或曲線上任意兩點間的弧段總在這兩點連線下方的函數(shù).現(xiàn)行高等數(shù)學(xué)教材中也都對函數(shù)的凸性作了介紹，由于各版本根據(jù)自己的需要，對凸

7、函數(shù)這一概念作了不同形式的定義，本文介紹了凸函數(shù)的三種典型定義，討論了它們的等價性，并給出了利用凸函數(shù)的定義證明凸函數(shù)的簡單應(yīng)用.凸函數(shù)在不等式的研究中尤為重要，而不等式證明最終歸結(jié)為研究函數(shù)的特性，所以研究凸函數(shù)的性質(zhì)就顯得十分重要.凸函數(shù)的性質(zhì)相當多，已有很多文獻專門就函數(shù)凸性作了研究.本文就凸函數(shù)的性質(zhì)介紹了幾條常用的性質(zhì)，并給出了證明；最后，重點介紹了凸函數(shù)的性質(zhì)在不等式證明中的應(yīng)用.2凸函數(shù)的等價定義定義11若函數(shù)f(x)對于區(qū)間(a,b)內(nèi)的任意ox2以及九三(0,1)，包有fkx1+(1九)x2k九f(x1)+(1九)f(x2),則稱f(x)為區(qū)間(a,b)上的凸函數(shù).其幾何意義

8、為：凸函數(shù)曲線y=f(x)上任意兩點(x1,f(x1),(x2,f(x2)間的割線總在曲線之上.定義2若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)，對于區(qū)間(a,b)內(nèi)的任意x1,x2,恒有f(xl_X2).il|f(x1)f(x2)l,22則稱f(x)為區(qū)間(a,b)上的凸函數(shù).其幾何意義為：凸函數(shù)曲線y=f(x)上任意兩點(%,f(%),(乂2,f(x2)間割線的中點總在曲線上相應(yīng)點(具有相同橫坐標)之上.定義3若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可微，且對于區(qū)間(a,b)內(nèi)的任意x及,恒有f(x)至f(%)+f'(x0)(x-%),則稱f(x)為區(qū)間(a,b)上的凸函數(shù).內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)

9、論文其幾何意義為：凸函數(shù)曲線y=f(x)上任一點處的切線，總在曲線之下.以上三種定義中，定義3要求y=f(x)在(a,b)內(nèi)是可導(dǎo)的，定義2要求f(x)在(a,b)上是連續(xù)的.而定義1對函數(shù)y=f(x)則沒有明顯地要求.實際上可以證明在定義1中，函數(shù)y=f(x)在(a,b)上是連續(xù)的.而定義1和定義2兩個定義是否要求函數(shù)y=f(x)是可導(dǎo)的，則沒有提出.如果加上可導(dǎo)的條件，則可證明三種定義是等價的.2.1 凸函數(shù)三種定義的等價性的討論2.1.1 定義1二定義2證明定義1n定義3,取九=，由定義1推得定義2.2定義2n定義1首先，論證f(x0寸于任意的x1,x2w(a,b)及有理數(shù)人正(0,1)

10、,不等式f九x1+(1一九)x2jW九f(x1)+(1九)f(x2.成立.事實上，對于此有理數(shù)九總可以表示為有窮二進位小數(shù)，即c.ag,a22na»2'an_0.a1a2an-n2?其中司=0或1,(i=1,2,，n-1);an=1.由于1-九也是有理數(shù).所以也可以表示為有窮二進位小數(shù)，即1-0bbb-b125b2"也2bn1一一0.b1b2bn-_n2n,由于九十(1九)=1,有0=0或1,(i=1,2，n-1);bn=1,于是fb%+匕乂2kajf(%)+bjf(x2)(i=1,2,，n1).所以fI-.x1-1)x2=f；a12nl+a22n“+an=2+a0

11、+b12n二+b22n+丁2+1-f2nx12nx2內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)論文，1，fa1x1b1x2-fn_2n_2.a22:;+anb22+bn-一尸nN二一子nX22-2-(a1x1+nX2)+a22nna32n工an2anb22n/-b322ndX-bn2bnnJX2一1aifXibfX22fa22T.,anb22nnbn27X12x211112IIa1fX1b1fX2-2*-|la2fx1b2fX222f'2n，+一+an21+bn2X1+2x2<-L11一2|a1fX1-b1fX2-22艮fX1.b2fX2!一2anfX1bnfX2fanX1bnX22111三211a1

12、fX1b1fx22fX1b2fX2FfnfX1bnfX21一一2IlanfX1bnfX2&2na22n-2a_2an工bZ"1b22-2bn_24工=2TX1pfX2-fX117fX2卜面再論證f(x)對九為無理數(shù)時定義1也成立.事實上，對任意無理數(shù)兒三(0,1),存在有理數(shù)列%u(0,1)dnT%(nT8),所以Knx1+(1%)x2t九x1+(1)x2(nT如由于f(x代(a,b)內(nèi)連續(xù)，所以f|L；-X1-1-'X2二flim.nX,1-'X2=nmf%X1+(1-九)X2j州區(qū)£一1r(1-?jf(X2)=fX11-fX2綜上即知，定義1與定

13、義2等價.內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)論文2.1.2定義1已定義3證明定義1n定義3:對(a,b)內(nèi)任意的及x,若xo<x,則取h>0,使%+h<x.于是，可以得至IfXoh-fXofx-fXo?hx-x0上式中令hT0,由于f(x)可微，所以有f'(x0產(chǎn)f(x)-f(X。),即x-xof(x之(f0)x+<砥x-)ox若x<x。,則取h>0,使x<x+h<x。，同理可證.定義3二定義1:對于區(qū)間(a,b)內(nèi)的任意ox?(不妨設(shè)xi<x2)以及九w(0,1),令X<x<x?,則有x1x=(1九X"x2)?2x=,式x

14、2x),由泰勒公式，得f(x)=(f)x'(efK1-成fxx2)=f(x)+f也止-x),其中x1<曰1<x<仇<x2,于是-fx11-fx2=fF"1-x21-x2-X：if%-fF再進一步由f'(%)>f'(目)，所以兒f(x)+(1九)f(x2戶f,"+(1九區(qū)即fKx1+(1一九)x2E九f(x)才(1一九)f(x),2最后，由等價的傳遞性即知定義2與定義3也是等價的.2.2判定定理與Jesen不等式判定定理2設(shè)f為區(qū)間I上的二階可導(dǎo)函數(shù)，則在I上f為凸函數(shù)的充要條件是f"(x)之0,xWI.用定義直

15、接來判斷一個函數(shù)是不是凸函數(shù)，往往是很困難的.但用該判定定理來判斷一個光滑函數(shù)是否凸，則是相當簡便的.在實際應(yīng)用中常常先用導(dǎo)數(shù)來肯定函數(shù)的凸性，再反過來引出它必定滿足凸性不等式.在許多證明題中，我們常常遇到一些不等式的證明，其中有一類不等式利用凸函數(shù)的性質(zhì)定理來證明可以非常簡潔、巧妙.證明不等式就是凸函數(shù)的一個應(yīng)用領(lǐng)域，但關(guān)鍵是構(gòu)造能夠解決問題的凸函數(shù).定理(Jensen不等式)網(wǎng)設(shè)函數(shù)f:(a,bpR.f在(a,b)上處處二次可微，且內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)論文f"(x)>0(對任意xw(a,b),則f(x)為(a,b)上的凸函數(shù)，即對任意mwN,xkw(a,b)及m箍>0

16、,z七=1成立如下不等式k4(1)mmf(Z限Xk)<Zkf(Xk),k4k該不等式稱為Jensen不等式，該性質(zhì)是凸函數(shù)的一個重要性質(zhì)，也是定義的一般情況.可以說，凸函數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用很大程度上是由Jensen不等式來體現(xiàn)的，因為每個凸函數(shù)都有一個Jensen不等式，因而它在一些不等式證明中有著廣泛的應(yīng)用.利用它可以推出常用的一些重要公式，為證明不等式開辟了一條新路.注：由定理，經(jīng)簡單計算知下列函數(shù)在其定義域上都是凸函數(shù)，從而fj(x)(i=1,2,3)都11酒足不等式(1).(a)f1(x)=(x>0,a>0),(b)f2(x)=(0<x<c),(c)a

17、xc-xf3(x)=(0<x<c).凸函數(shù)及其性質(zhì)在解題中有著十分廣泛的應(yīng)用，下面試舉數(shù)例c-x述之.3.性質(zhì)利用函數(shù)的凸性來證明不等式，是一種重要的方法，通常需要構(gòu)造適當?shù)耐购瘮?shù)，再運用函數(shù)的凸性的定義及幾個等價論斷，可將一些初等不等式，積分不等式轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的性態(tài)，從而使不等式簡化進而得到證明.函數(shù)的凸性是函數(shù)在區(qū)間上變化的整體性態(tài)，把握區(qū)間上整體性態(tài)，不僅可以更加科學(xué)、準確的描繪函數(shù)的圖象，而且有助于對函數(shù)的定性分析.凸函數(shù)是一類重要的函數(shù).凸函數(shù)在不等式的研究中尤為重要，而不等式最終歸結(jié)為研究函數(shù)的特性，所以研究凸函數(shù)的性質(zhì)就顯得十分必要了.性質(zhì)14設(shè)函數(shù)f(x卜g(x)

18、在區(qū)間I為凸函數(shù)，則f(x)+g(x)在區(qū)間I也為凸函數(shù).證明：卡為？2wI,V九三(0,1)因函數(shù)f(x)、g(x在區(qū)間I為凸函數(shù)，從而f(KXi+(1九%)<Af(Xi)十(1九)fj2),且gKx1+(1少2戶九g(x1)+(1-%)g(x2)于是有f，x15%g-x1-x2"fXigx11-1fx2gx2因此f(x)+g(x禰區(qū)間I為凸函數(shù).內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)論文性質(zhì)2設(shè)函數(shù)f(x卜g(x)在區(qū)間I為凸函數(shù)，則maxf(x),g(x)在區(qū)間I為凸函數(shù).證明vx1,x2wI,w(0,1),因函數(shù)f(x)、g(x)在區(qū)間I為凸函數(shù)從而有f(九為+(1九)x2WKf(x片(

19、1一九)f(x),2且g(九X+(1九*2A九g(xi)+(1九)g(x2).令F(x)=maxf(x),g(x),則Fx11-x2=max：fx11-x2,gx11-x2-maxifx11-fx21gxi1-gx2;<九maxf(x1),g(x1'+(1九)maxf(x2g(x2'=7F(x1)+(1-K)F(x2).因此，F(xiàn)(x)=maxf(x)g(x?在區(qū)間I為凸函數(shù).性質(zhì)35設(shè)函數(shù)f(x卜9門)在區(qū)間儲力)為遞增的非負凸函數(shù)，則f(x)g(x)在區(qū)間(a,b必凸函數(shù).證明%乂2w(a,b),設(shè)x1<x2,因fxbx()為非負凸函數(shù)，由定理3知Vxw(a,b)

20、,f(xbg(x"點x連續(xù),且),x1x20<f(-2)<(2(g%gx2)一2因此f(x)g(x渲區(qū)間(a,b)連續(xù)，13f(x'g(x)遞增,從而ILf又2-fx)gx2-gX:-11/x1gxfx2gx?)-fxgx2fx?gx1-0f()g(x1x2、<：2-fx2fxgx2g為22fxgxfx2gx2fxgx2fx2gx1二fx2gx2fxg為內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)論文由定義知f(xjg(x祚區(qū)間(a,b)為凸函數(shù).當然凸函數(shù)的性質(zhì)還遠不止施工述幾條，這里就不一一列舉.4凸函數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用4.1利用凸函數(shù)定義證明不等式a：；b例1求證：對任意

21、實數(shù)a,b,有e2<(ea+eb).證明設(shè)f(x)=ex，則f"x)Xw(廿f),故fX件'為)上的凸函數(shù).從1而對x1=a,x2=b,九=,由te乂有2r111r1rf。1+(1-/255f(xi)+(1./(x2),ab1即e2<1(ea+eb).21.a例2設(shè)0<x<1,0<a<1,則有(1+x)(1-xa)<1-x.證明設(shè)f(x)=(1+x1,X1-xa)(0<x<1),那么1 -afx=1-a1x1-xa1x-axfx)；二a1-a1x”1-xa-a1-a1x“xa,-a1-a1x“xa1-aa-?-aa-11x

22、xa=a1-a1x“1C：1。xa11xxa，x"1xi(1x2xa-a4a-1=-a(1-a*1+x)(1-x尸a(1-a(1+x)(x-1),于是0ex<1,0ca<1時，f"(x)>0.由嚴格凸函數(shù)的定義，其中九=x,x1=1,x2=0得f(x)=fxg+(1x)/<xgf(1)+(1x)gf(0),1-a即(1+x)(1-x)<1-x.例36若f(x)為(a,b)內(nèi)的凸函數(shù),x亡(a,b),i=1,2，n,求證內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)論文qxnn1.f()<-Zf(Xi>nnij1證明對n=2,x=1，不等式是顯然的，設(shè)對n-1

23、不等式成立，則因為2x1x2q"n-1x1x2"1=+xn,nnn-1n這里九=",».方),由定義有nn-1nn，'x/'、xif(-)<n1f(J-nnn-1、1,1，)+f(xn)=£f缶),0+8+，.+a例4若日iw(0,n),i=1,2，n則sin-2n之g'sindsin%sin/.n,證明令f)=In(sinq),eiw(0尸)，i=1,2,，n.由于f”拒產(chǎn)sec2d>0則f(x)為(0,n)上的嚴格凸函數(shù)，所以由例3的不等式有1n.1n一ln(sin£4)七一一£ln(

24、sin),nid門口'1-2'".1即ln(sin-一2n1 .)之一ln(sinWsinasin%),由e>1得nO,+8+十也，,-sin之sin81sin日2sin8n,n,上式等號僅在4=日2=成立.4.2利用凸函數(shù)性質(zhì)證明不等式例5證明不等式：.x<i+x'xxx2+x2#"'+x2-Mgxn<x上員<412迎)2,nn其中x>0,i=1,2，n.證明考慮對數(shù)函數(shù)f(x)=lnx(一，.1一x>0),因為f(x)=-一2<0,故函數(shù)f(x)=lnx是x上凸函數(shù)，由上凸函數(shù)的性質(zhì)，即得lnxx

25、2x°-1lnx11nx2,lnxn=lnnx1x2xn,nn由對數(shù)性質(zhì)，即證明了94M22xn(2)內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)論文又考慮函數(shù)g(x)=_x2(x>0),所以g"(x)=-2<0.故g(x)=-2也是上凸函數(shù),上凸函數(shù)的性質(zhì)，得22(Xx2xn2_x-x2_()nn222xx2x2x1x2-xn(),nn因此Xix2Xn222,x1x2xn12一(),n(3)綜合(2),(3)整個命題證明結(jié)束.例6設(shè)%,%土勻為正數(shù)，且0tl+a2+£n=1.求證:121212(-1f(-2fGnV1：2、(1n)2n證明考慮函數(shù)f(x)=X,因為f&quo

26、t;(x)=2.0,所以f(x)=X是下凸函數(shù)，x1=a1'>,xn-ana1由下凸函數(shù)的性質(zhì)，則有an(現(xiàn)1)2(a2-)2(an-)2aia2anaia2一.a。.一/a1-n(an)2(4)11112(1q+1)2,naa2a0由柯西不等式：Ca2)(vb2)-Ca：h2)2現(xiàn)a2anaa?an1112二()a1a2an-n,Aa2an_1112于是有(一+)之n2,并代入(4)式即得aa2an內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)論文2(1n)2一)n,1、2,1、2,1、(11)(：2一)Gn)證畢.例77在AABC中，求證sinA+sinB+sinCW33.2證明考慮函數(shù)y=sinx(

27、0<x<n),因為y=sinx<0(0<x<n)，所以y=sinx在(0,冗)內(nèi)是上凸函數(shù)，由上凸函數(shù)的性質(zhì)有sinAsinBsinC.sin3ABC由于A+B+C=n.故sinA+sinB+sinCW33.2例8網(wǎng)設(shè)2由wr+,i=1,2,，n,zaibii=1i12aiabi1n、a.2ynna證明記s=£ai則工亙=1,取f(x)=i1i=1s,x1x0,易知f"(x)>0,有判定定理知bnnf(x)為凸函數(shù)，取xi由于£ai=£b=s.故由性質(zhì)得ai1i1n_2nvaivai11ss£=s£

28、'sn=n-;-=一yaihys1x1%?x1八92i=1si1s1nnnq例9設(shè)a,bi>0,i=1,2,，n,有工ah<廬a：廬bq,其中P>0,q>0,i1_i=1_i=1pq：1：2:n證明令f(x產(chǎn)xP,p>1,x>0,因為f"(x)=Pp1)px2>0由判定定理知f(x)=x,p>1,x>0,在(0,收)上是嚴格凸函數(shù)，由Jensen不等式得到nnnn(Zixi)p<Z%xip,今設(shè)u1,u2,，un為非負實數(shù)且Zui#0,在上述表達式中以ui/zuiyyi1ii1nnn代替,得到(ZuiX)pWqxip

29、)ui尸.i1i1i110內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)論文11一,一.n由題設(shè)一+-=1知q=p/(p1)令4=匕，不妨設(shè)工h=0,代入上式使得pqy1nn.-nq不等式£ab<£ap'iZb：1.i1i坦i坦nnin特別地，取p=q=2時得就到柯西不等式£aibi<歸2歸bi2.i41i1i1綜上所述，在不等式的證明中，巧妙地應(yīng)用凸函數(shù)的定義及性質(zhì)，就可使一些較復(fù)雜的不等式迎刃而解.結(jié)束語通過研究凸函數(shù)的幾種定義，分析它們之間的關(guān)系，證明了給出三種典型定義之間的等價性.給出了凸函數(shù)的一個判定定理以及Jesen不等式.然后討論了凸函數(shù)的幾條常用性質(zhì)，接著通過例題展示了凸函數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用.凸函數(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域非常廣泛，主要是在不等式的證明中，運用它解題顯得巧妙，簡練，通過對上述問題的證明，我們認識到利用凸函數(shù)的定義、等價定義、性質(zhì)及