高考數(shù)學(xué)理科第19練-概率與統(tǒng)計的綜合問題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第19練 概率與統(tǒng)計的綜合問題中檔大題規(guī)范練明晰考情1.命題角度：離散型隨機(jī)變量的分布列及期望是高考重點，?？疾楠毩⑹录母怕?，超幾何分布和二項分布的期望等；概率統(tǒng)計的交匯處是近幾年命題的熱點.2.題目難度：中檔偏上難度.考點一互斥事件、相互獨立事件的概率方法技巧求復(fù)雜事件的概率，要正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成，看復(fù)雜事件是能轉(zhuǎn)化為幾個彼此互斥的事件的和事件還是能轉(zhuǎn)化為幾個相互獨立事件同時發(fā)生的積事件，然后用概率公式求解.1.為振興旅游業(yè)，某省面向國內(nèi)發(fā)行總量為2 000萬張的熊貓優(yōu)惠卡，向省外人士發(fā)行的是熊貓金卡(簡稱金卡)，向省內(nèi)人士發(fā)行的是熊貓銀卡(簡稱銀卡).某旅游

2、公司組織了一個有36名游客的旅游團(tuán)到該省名勝旅游，其中是省外游客，其余是省內(nèi)游客.在省外游客中有持金卡，在省內(nèi)游客中有持銀卡.(1)在該團(tuán)中隨機(jī)采訪2名游客，求恰有1人持銀卡的概率；(2)在該團(tuán)中隨機(jī)采訪2名游客，求其中持金卡與持銀卡人數(shù)相等的概率.解(1)由題意得省外游客有27人，其中9人持金卡；省內(nèi)游客有9人，其中6人持銀卡.設(shè)事件A為“采訪該團(tuán)2名游客，恰有1人持銀卡”，則P(A).所以采訪該團(tuán)2名游客，恰有1人持銀卡的概率是.(2)設(shè)事件B為“采訪該團(tuán)2名游客，持金卡人數(shù)與持銀卡人數(shù)相等”，事件B1為“采訪該團(tuán)2名游客，0人持金卡，0人持銀卡”，事件B2為“采訪該團(tuán)2名游客，1人持金卡

3、，1人持銀卡”.P(B)P(B1)P(B2).所以采訪該團(tuán)2名游客，持金卡人數(shù)與持銀卡人數(shù)相等的概率是.2.某險種的基本保費(fèi)為a(單位：元)，繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險次數(shù)012345保費(fèi)0.85aa1.25a1.5a1.75a2a設(shè)該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應(yīng)概率如下：一年內(nèi)出險次數(shù)012345概率0.300.150.200.200.100.05(1)求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率；(2)若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)，求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%的概率.解(1)設(shè)A表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本

4、保費(fèi)”，則事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于1，故P(A)0.200.200.100.050.55.(2)設(shè)B表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%”，則事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于3，故P(B)0.100.050.15.又P(AB)P(B)，故P(B|A).因此所求概率為.3.某居民小區(qū)有兩個相互獨立的安全防范系統(tǒng)(簡稱系統(tǒng))A和B，系統(tǒng)A和系統(tǒng)B在任意時刻發(fā)生故障的概率分別為和p.(1)若在任意時刻至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為，求p的值；(2)求系統(tǒng)A在3次相互獨立的檢測中不發(fā)生故障的次數(shù)大于發(fā)生故障的次數(shù)的概率.解(1)設(shè)“至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件C，

5、那么1P()1·p，解得p.(2)設(shè)“系統(tǒng)A在3次相互獨立的檢測中不發(fā)生故障的次數(shù)大于發(fā)生故障的次數(shù)”為事件D.“系統(tǒng)A在3次相互獨立的檢測中發(fā)生k次故障”為事件Dk.則DD0D1，且D0，D1互斥.依題意，得P(D0)C033，P(D1)C2，所以P(D)P(D0)P(D1).所以系統(tǒng)A在3次相互獨立的檢測中不發(fā)生故障的次數(shù)大于發(fā)生故障的次數(shù)的概率為.考點二 隨機(jī)變量的分布列、期望與方差方法技巧(1)求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是正確理解隨機(jī)變量取每一個值所表示的具體事件，然后綜合應(yīng)用各類求概率的公式，求出概率.(2)如果隨機(jī)變量X能夠斷定服從超幾何分布或二項分布，則其概率可直接

6、利用公式求解.4.某公司在迎新年晚會上舉行抽獎活動，有甲、乙兩個抽獎方案供員工選擇.方案甲：員工最多有兩次抽獎機(jī)會，每次抽獎的中獎率均為.第一次抽獎，若未中獎，則抽獎結(jié)束.若中獎，則通過拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，決定是否繼續(xù)進(jìn)行第二次抽獎.規(guī)定：若拋出硬幣，反面朝上，員工則獲得500元獎金，不進(jìn)行第二次抽獎；若正面朝上，員工則須進(jìn)行第二次抽獎且在第二次抽獎中，若中獎，則獲得獎金1 000元；若未中獎，則所獲得的獎金為0元.方案乙：員工連續(xù)三次抽獎，每次中獎率均為，每次中獎均可獲得獎金400元.(1)求某員工選擇方案甲進(jìn)行抽獎所獲獎金X(元)的分布列；(2)試比較某員工選擇方案乙與選擇方案甲進(jìn)行抽獎

7、，哪個方案更劃算？解(1)由題意得，X的所有可能取值為0，500，1 000，則P(X0)××，P(X500)×，P(X1 000)××，所以某員工選擇方案甲進(jìn)行抽獎所獲獎金X(元)的分布列為X05001 000P(2)由(1)可知，選擇方案甲進(jìn)行抽獎所獲獎金X的期望E(X)500×1 000×520，若選擇方案乙進(jìn)行抽獎，中獎次數(shù)B，則E()3×，抽獎所獲獎金Y的期望E(Y)E(400)400E()480，故選擇方案甲較劃算.5.中國鐵路客戶服務(wù)中心為方便旅客購買車票，推出三種購票方式：窗口購票、電話購票、網(wǎng)上購

8、票，旅客任選一種購票方式.若甲、乙、丙3名旅客都準(zhǔn)備購買火車票，并且這3名旅客選擇購票的方式是相互獨立的.(1)求這三名旅客中至少有兩人選擇網(wǎng)上購票的概率；(2)記這三名旅客購票方式的種數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.解(1)記“三名旅客中恰有兩人選擇網(wǎng)上購票”為事件A，“三名旅客都選擇網(wǎng)上購票”為事件B，且A，B互斥.則P(A)C×2×，P(B)3.因此，三名旅客中至少有兩人選擇網(wǎng)上購票的概率PP(A)P(B).(2)由題意知，的所有可能取值為1，2，3，則P(1)C×3；P(2)C×C×2×；P(3).所以隨機(jī)變量的分布列為123P故

9、的數(shù)學(xué)期望E()1×2×3×.6.在心理學(xué)研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用.現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與期望E(X).解(1)記接受甲種心理暗示的志愿

10、者中包含A1但不包含B1的事件為M，則P(M).(2)由題意知，X可取的值為0，1，2，3，4，則P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).因此X的分布列為X01234PE(X)01×2×3×4×2.考點三 概率與統(tǒng)計的綜合問題方法技巧對于將統(tǒng)計圖表和隨機(jī)變量相結(jié)合的綜合問題，首先要正確處理圖表數(shù)據(jù)，明確隨機(jī)變量的意義，然后判斷隨機(jī)變量分布的類型，求出分布列.7.(2018·桂林模擬)甲、乙兩名運(yùn)動員互不影響地進(jìn)行四次射擊訓(xùn)練，根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計，他們射擊成績均不低于8環(huán)(成績環(huán)數(shù)以整數(shù)計)，且甲、乙射擊成績(環(huán)數(shù))的分布列如

11、下：甲環(huán)數(shù)8910概率p乙環(huán)數(shù)8910概率q(1)求p，q的值；(2)若甲、乙兩射手各射擊兩次，求四次射擊中恰有三次命中9環(huán)的概率；(3)若兩個射手各射擊1次，記兩人所得環(huán)數(shù)的差的絕對值為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.解(1)由題意得p，q.(2)記事件C：甲命中一次9環(huán)，乙命中兩次9環(huán)，事件D：甲命中兩次9環(huán)，乙命中一次9環(huán)，則四次射擊中恰有三次命中9環(huán)為事件CD，P(CD)C×××C2C2×C××.(3)的取值分別為0，1，2，P(0)×××，P(1)××××，P(2

12、)××，的分布列如下表：012PE()0×1×2×.8.(2018·全國)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品.檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗.設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0p1)，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立.(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)，求f(p)的最大值點p0；(2)現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中確定的p0作為p的值.已知每件產(chǎn)品的檢驗費(fèi)用

13、為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用.若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X，求E(X)；以檢驗費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？解(1)20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)Cp2·(1p)18(0p1).因此f(p)C2p(1p)1818p2(1p)172Cp(1p)17(110p)，0p1.令f(p)0，得p0.1.當(dāng)p(0，0.1)時，f(p)0；當(dāng)p(0.1，1)時，f(p)0.所以f(p)的最大值點為p00.1.(2)由(1)知，p0.1.令Y表示余下的180件

14、產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知YB(180，0.1)，X20×225Y，即X4025Y.所以E(X)E(4025Y)4025E(Y)4025×180×0.1490.若對余下的產(chǎn)品作檢驗，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費(fèi)用為400元.由于E(X)400，故應(yīng)該對余下的產(chǎn)品作檢驗.9.(2017·全國改編)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個零件，并測量其尺寸(單位：cm).根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(，2).(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在(

15、3，3)之外的零件數(shù)，求P(X1)及X的數(shù)學(xué)期望；(2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(3，3)之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.()試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；()下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸：9.95 10.129.96 9.9610.019.92  9.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計算得i9.97，s0.212，其中xi為抽取的第i個零件的尺寸，i1，2，16.用樣本平均數(shù)作為的估計值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為的估計值

16、，利用估計值判斷是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除(3，3)之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計和(精確到0.01).附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(，2)，則P(3<Z<3)0.997 4，0.997 4160.959 2，0.09.解(1)抽取的一個零件的尺寸在(3，3)之內(nèi)的概率為0.997 4，從而零件的尺寸在(3，3)之外的概率為0.002 6，故XB(16，0.002 6).因此P(X1)1P(X0)10.997 4160.040 8.X的數(shù)學(xué)期望E(X)16×0.002 60.041 6.(2)()如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個零件尺寸在(3，3)之外的概率只有0.002

17、 6，一天內(nèi)抽取的16個零件中，出現(xiàn)尺寸在(3，3)之外的零件的概率只有0.040 8，發(fā)生的概率很小，因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的.()由9.97，s0.212，得的估計值為9.97，的估計值為0.212，由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個零件的尺寸在(3，3)之外，因此需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.剔除(3，3)之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為×(16×9.979.22)10.02.因此的估計值為10.02.16×0.212216×9.972

18、1 591.134.剔除(3，3)之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為×(1 591.1349.22215×10.022)0.008，因此的估計值為0.09.典例(12分)某校工會對全校教職工每天收看世界杯足球賽比賽的時間作了一次調(diào)查，得到如下頻數(shù)分布表：收看時間(單位：小時)0，1)1，2)2，3)3，4)4，5)5，6收看人數(shù)143016282012(1)若將每天收看比賽時間不低于3小時的教職工定義為“足球達(dá)人”，否則定義為“非足球達(dá)人”，請根據(jù)頻數(shù)分布表補(bǔ)全2×2列聯(lián)表：男女總計足球達(dá)人40非足球達(dá)人30總計并判斷能否有90%的把握認(rèn)為該校教職工是否為“

19、足球達(dá)人”與性別有關(guān)；(2)在全?！白闱蜻_(dá)人”中按性別分層抽樣抽取6名，再從這6名“足球達(dá)人”中選取2名作足球知識講座.記其中女職工的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.附表及公式：P(K2k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K2.審題路線圖規(guī)范解答·評分標(biāo)準(zhǔn)解(1)由題意得下表：男女總計足球達(dá)人402060非足球達(dá)人303060總計7050120K2的觀測值k3.429>2.706.5分所以有90%的把握認(rèn)為該校教職工是“足球達(dá)人”與性別有關(guān).6分(2)由題意知抽取的6名“

20、足球達(dá)人”中有4名男職工，2名女職工，所以的可能取值為0，1，2.且P(0)，P(1)，P(2)，10分所以的分布列為012PE()0×1×2×.12分構(gòu)建答題模板第一步定變量：根據(jù)已知條件確定分類變量及取值；第二步填表格：填寫列聯(lián)表；第三步下結(jié)論：計算K2值并下結(jié)論；第四步算概率：計算隨機(jī)變量取每一個值的概率并列出分布列；第五步求期望：根據(jù)公式求期望.1.甲、乙兩名同學(xué)參加定點投籃測試，已知兩人投中的概率分別是和，假設(shè)兩人投籃結(jié)果相互沒有影響，每人各次投球是否投中也沒有影響.(1)若每人投球3次(必須投完)，投中2次或2次以上，記為達(dá)標(biāo)，求甲達(dá)標(biāo)的概率；(2)若

21、每人有4次投球機(jī)會，如果連續(xù)兩次投中，則記為達(dá)標(biāo).達(dá)標(biāo)或能斷定不達(dá)標(biāo)，則終止投籃.記乙本次測試投球的次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).解(1)記“甲達(dá)標(biāo)”為事件A，則P(A)C×2×3.(2)X的所有可能的值為2，3，4.P(X2)2，P(X3)××××3××，P(X4)××××.所以X的分布列為X234P所以E(X)2×3×4×.2.(2018·咸陽模擬)針對國家提出的延遲退休方案，某機(jī)構(gòu)進(jìn)行了網(wǎng)上調(diào)查，所有參與調(diào)查的人中，持

22、“支持”、“保留”和“不支持”態(tài)度的人數(shù)如下表所示：支持保留不支持50歲以下8 0004 0002 00050歲以上(含50歲)1 0002 0003 000(1)在所有參與調(diào)查的人中，用分層抽樣的方法抽取n個人，已知從持“不支持”態(tài)度的人中抽取了30人，求n的值；(2)在持“不支持”態(tài)度的人中，用分層抽樣的方法抽取10人看成一個總體，從這10人中任意選取3人，求50歲以下人數(shù)的分布列和期望；(3)在接受調(diào)查的人中，有10人給這項活動打出的分?jǐn)?shù)如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2，8.3，9.7，把這10個人打出的分?jǐn)?shù)看作一個總體，從中任取一個數(shù)，求該數(shù)與總體平

23、均數(shù)之差的絕對值超過0.6的概率.解(1)參與調(diào)查的總?cè)藬?shù)為8 0004 0002 0001 0002 0003 00020 000，其中從持“不支持”態(tài)度的2 0003 0005 000人中抽取了30人，所以n20 000×120.(2)在持“不支持”態(tài)度的人中，50歲以下及50歲以上(含50歲)人數(shù)之比為23，因此抽取的10人中，50歲以下與50歲以上(含50歲)人數(shù)分別為4人，6人，0，1，2，3，P(0)，P(1)，P(2)，P(3)，所以的分布列如下表：0123PE()0×1×2×3×.(3)總體的平均數(shù)為(9.48.69.29.68.79.39.08.28.39.7)9.0，那么與總體平均數(shù)之差的絕對值超過0.6的數(shù)有8.2，8.3，9.7，所以任取1個數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對值超過0.6的概率為.3.(2018·全國)某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動，提出了完成某項生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人.第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時間(單位：min)繪制了如下莖葉圖：