量子力學導論5

1、 2022年年7月月8日星期五日星期五 理論物理導論理論物理導論 量子力學量子力學11:36:44 2022年年7月月8日星期五日星期五 理論物理導論理論物理導論 量子力學量子力學11:36:45經(jīng)典波的疊加經(jīng)典波的疊加 合成的波中有各種成分合成的波中有各種成分 相干性相干性 態(tài)疊加原理是量子力學中一個很重要的原理態(tài)疊加原理是量子力學中一個很重要的原理 1 1、經(jīng)典波的疊加原理、經(jīng)典波的疊加原理 如果如果1和和2是兩個可能的波動過程，那么它們是兩個可能的波動過程，那么它們的線性疊加的線性疊加a1+b2（a，b都是常數(shù)）也是一個可能都是常數(shù)）也是一個可能的波動過程。的波動過程。 2022年年7月

2、月8日星期五日星期五 理論物理導論理論物理導論 量子力學量子力學11:36:45 可能性和概率可能性和概率 干涉項的概率性干涉項的概率性 是粒子運動狀態(tài)概率波自身的干是粒子運動狀態(tài)概率波自身的干涉，不是不同粒子之間的干涉涉，不是不同粒子之間的干涉量子態(tài)的疊加量子態(tài)的疊加 相干性相干性 新特點新特點2、量子態(tài)的疊加原理、量子態(tài)的疊加原理 二個量子態(tài)的疊加原理：如果二個量子態(tài)的疊加原理：如果1與與2是體系的可是體系的可能狀態(tài)，那么它們的能狀態(tài)，那么它們的 線性迭加態(tài)線性迭加態(tài) =c11+c22，（，（c1 、c2是復數(shù)）也是這個體系的一個可能狀態(tài)。是復數(shù)）也是這個體系的一個可能狀態(tài)。 2022年年

3、7月月8日星期五日星期五 理論物理導論理論物理導論 量子力學量子力學11:36:452112212ccc2222212ccc態(tài)疊加原理一般表述：態(tài)疊加原理一般表述： 若若 1， 2 ,., n ,.是體系的一系列可能的狀態(tài)，則這是體系的一系列可能的狀態(tài)，則這些態(tài)的線性疊加些態(tài)的線性疊加 = C1 1 + C2 2 + .+ Cn n + . =cii (其其中中 C1 , C2 ,.,Cn ,.為復常數(shù)為復常數(shù))也是體系的一個可能狀態(tài)。也是體系的一個可能狀態(tài)。 處于處于 態(tài)的體系，部分的處于態(tài)的體系，部分的處于 1態(tài)，部分的處于態(tài)，部分的處于 2態(tài)態(tài).，部分的處于，部分的處于 n，.等，即各有

4、一定幾率處在迭加之前等，即各有一定幾率處在迭加之前的各個態(tài)的各個態(tài)i。 若體系處于迭加態(tài)若體系處于迭加態(tài)時，則體系部分處于時，則體系部分處于1態(tài)，部態(tài)，部分處于分處于2態(tài)。態(tài)。 1幾率幾率 2幾率幾率1，2已歸一化已歸一化 2022年年7月月8日星期五日星期五 理論物理導論理論物理導論 量子力學量子力學11:36:453、力學量的不確定性、力學量的不確定性12,n Fnnnc體系所體系所處狀態(tài)處狀態(tài) 測力學量測力學量所得值所得值 1F12F2nFn不定，有多種可能值，不定，有多種可能值，F(xiàn)n，每次測得的值是不能預先確定的，每次測得的值是不能預先確定的，帶有偶然性，但只能是可能值中的一個，帶有偶

5、然性，但只能是可能值中的一個，而且每種可能值以確定的幾率出現(xiàn)。而且每種可能值以確定的幾率出現(xiàn)。FFFF體系可能態(tài)體系可能態(tài) FFnnnc 2022年年7月月8日星期五日星期五 理論物理導論理論物理導論 量子力學量子力學11:36:452-62-6 一維諧振子問題一維諧振子問題 1 1、一維諧振子的定態(tài)薛定諤方程、一維諧振子的定態(tài)薛定諤方程 在經(jīng)典力學中，簡諧振動的定義：在經(jīng)典力學中，簡諧振動的定義：任何物理量任何物理量 x 的變化規(guī)律若滿足方程式的變化規(guī)律若滿足方程式0dd222xtx并且并且是決定于系統(tǒng)自身的常量，則該物理量的變是決定于系統(tǒng)自身的常量，則該物理量的變化過程就是簡諧振動。化過程

6、就是簡諧振動。 在經(jīng)典力學中，一維經(jīng)典諧振子問題是個基本在經(jīng)典力學中，一維經(jīng)典諧振子問題是個基本的問題，它是物體在穩(wěn)定平衡位置附近作小振動的問題，它是物體在穩(wěn)定平衡位置附近作小振動這類常見問題的普遍概括。這類常見問題的普遍概括。 2022年年7月月8日星期五日星期五 理論物理導論理論物理導論 量子力學量子力學11:36:45簡諧振動物體受到的線性回復力簡諧振動物體受到的線性回復力kxF取系統(tǒng)的平衡位置作為系統(tǒng)勢能的零點，簡諧振動取系統(tǒng)的平衡位置作為系統(tǒng)勢能的零點，簡諧振動系統(tǒng)的勢能系統(tǒng)的勢能221)(kxxUk2221)(xxU簡諧振動系統(tǒng)的總能量簡諧振動系統(tǒng)的總能量2221122EkAA簡諧

7、振動運動方程的解簡諧振動運動方程的解)cos(tAx)(xUox 2022年年7月月8日星期五日星期五 理論物理導論理論物理導論 量子力學量子力學11:36:45 一維諧振子在量子力學中是一個重要的物理模一維諧振子在量子力學中是一個重要的物理模型。例如研究分子的振動、晶格的振動、原子核表型。例如研究分子的振動、晶格的振動、原子核表面的振動以及輻射場的振動，等等。面的振動以及輻射場的振動，等等。 在微觀領(lǐng)域中，一維量子諧振子問題也是個基本的在微觀領(lǐng)域中，一維量子諧振子問題也是個基本的問題。因為它不僅是微觀粒子問題。因為它不僅是微觀粒子在穩(wěn)定平衡位置附近作小在穩(wěn)定平衡位置附近作小振動一類常見問題的

8、普遍概括振動一類常見問題的普遍概括，而且更是將來場量子化，而且更是將來場量子化的基礎。的基礎。 2022年年7月月8日星期五日星期五 理論物理導論理論物理導論 量子力學量子力學11:36:45 我們認為，微觀粒子所處的勢場的形式仍然可以表我們認為，微觀粒子所處的勢場的形式仍然可以表達為達為2221)(xxU粒子受到的勢不隨時間變化，這是一個定態(tài)問題！粒子受到的勢不隨時間變化，這是一個定態(tài)問題！)()()(222rErrU定態(tài)薛定諤方程定態(tài)薛定諤方程 2022年年7月月8日星期五日星期五 理論物理導論理論物理導論 量子力學量子力學11:36:45)()(21dd222222xExxx為了簡潔起見

9、，引入三個無量綱參量：為了簡潔起見，引入三個無量綱參量： Ex2,dd22 ( )()( )20 求解此方程，并考慮到束縛態(tài)條件，就可以得到一求解此方程，并考慮到束縛態(tài)條件，就可以得到一維諧振子的能量本征值和與其對應的本征波函數(shù)。維諧振子的能量本征值和與其對應的本征波函數(shù)。 2022年年7月月8日星期五日星期五 理論物理導論理論物理導論 量子力學量子力學11:36:452 2、一維諧振子的本征函數(shù)和能量本征值、一維諧振子的本征函數(shù)和能量本征值 一維諧振子的定態(tài)薛定諤方程的解，即一維諧振一維諧振子的定態(tài)薛定諤方程的解，即一維諧振子的定態(tài)波函數(shù)為：子的定態(tài)波函數(shù)為：)(He)(222xNxnxnn

10、由由波函數(shù)的歸一化條件波函數(shù)的歸一化條件所確定的常系數(shù)所確定的常系數(shù) Nn為：為：Nnnn (!)1 21 22式中式中 Hn( )稱為稱為厄米多項式厄米多項式，具體形式為，具體形式為 Hedde22-nnnn( )() 1 2022年年7月月8日星期五日星期五 理論物理導論理論物理導論 量子力學量子力學11:36:45最簡單的幾個厄米多項式為：最簡單的幾個厄米多項式為：H0( ),1H1( ), 2H2( ),422n=0, n=1, n=2,一維諧振子的波函數(shù)的一般形式為一維諧振子的波函數(shù)的一般形式為 nnE tx txn( , )( )/ei,.3 , 2 , 1 , 0,e )(He/

11、i222nxNtEnxnn一維諧振子的能量（本征值）為一維諧振子的能量（本征值）為 EEnnn(), , ,120 1 2說明：說明： 一維諧振子的能量只能取一系列一維諧振子的能量只能取一系列分立值分立值； 2022年年7月月8日星期五日星期五 理論物理導論理論物理導論 量子力學量子力學11:36:45 一維諧振子的能譜是一維諧振子的能譜是等間距等間距的，即相鄰兩能級的的，即相鄰兩能級的能量差是固定的；能量差是固定的；Eknann2222222212 3, , ,EEnnn(), , ,120 1 2能量的分立現(xiàn)象在微觀領(lǐng)域是普遍存在的！能級間距能級間距 = 一維諧振子的基態(tài)能量不等于零，即存

12、在零點能。一維諧振子的基態(tài)能量不等于零，即存在零點能。210E 零點能是微觀粒子波粒二象性的表現(xiàn)！ 2022年年7月月8日星期五日星期五 理論物理導論理論物理導論 量子力學量子力學11:36:45)( xUoxAANME經(jīng)典禁區(qū)經(jīng)典禁區(qū)經(jīng)典禁區(qū)經(jīng)典禁區(qū)經(jīng)典物理學中的一維諧振子：經(jīng)典物理學中的一維諧振子：.,經(jīng)典禁區(qū)經(jīng)典允許區(qū)；AxAxnnxnxNx( )()eH2 22量子力學中的一維諧振子：量子力學中的一維諧振子：,)(2/41022xex,2)(2/41122xxex,1221)(2/2241222xexx 2022年年7月月8日星期五日星期五 理論物理導論理論物理導論 量子力學量子力學1

13、1:36:46考慮一維諧振子的基態(tài)：考慮一維諧振子的基態(tài)：210E2221)(xxU=2x1諧振子的特征長度諧振子的特征長度按照經(jīng)典理論，按照經(jīng)典理論，.,11經(jīng)典禁區(qū)經(jīng)典允許區(qū)；xx按照量子力學中波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋，基態(tài)粒子處于經(jīng)按照量子力學中波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋，基態(tài)粒子處于經(jīng)典禁區(qū)中的概率為：典禁區(qū)中的概率為：%16d )()(d )()(110000 xxxxxx微觀粒子的隧道效應微觀粒子的隧道效應 2022年年7月月8日星期五日星期五 理論物理導論理論物理導論 量子力學量子力學11:36:46,)(2/41022xex,2)(2/41122xxex,1221)(2/2241222xexx由

14、圖可以看出，量子數(shù)由圖可以看出，量子數(shù)n較小時，粒子位置的概率較小時，粒子位置的概率密度分布與經(jīng)典結(jié)論明顯不同。隨著量子數(shù)密度分布與經(jīng)典結(jié)論明顯不同。隨著量子數(shù)n的增的增大大, 概率密度的平均分布將越來越接近于經(jīng)典結(jié)論概率密度的平均分布將越來越接近于經(jīng)典結(jié)論。 2022年年7月月8日星期五日星期五 理論物理導論理論物理導論 量子力學量子力學11:36:46線性諧振子波函數(shù)線性諧振子位置概率密度00nx11nx2n2x200nx222nx211nx 2022年年7月月8日星期五日星期五 理論物理導論理論物理導論 量子力學量子力學11:36:4621111nx線性諧振子 n =11 時的概率密度分

15、布虛線代表經(jīng)典結(jié)果： 經(jīng)典諧振子在原點速度最大，停留時間短粒子出現(xiàn)的概率??； 在兩端速度為零，出現(xiàn)的概率最大。 2022年年7月月8日星期五日星期五 理論物理導論理論物理導論 量子力學量子力學11:36:46討論：微觀一維諧振子能量量子化, 2 , 1 , 0)21(nnEn，能量特點：(1)量子化，等間距 hE (2)有零點能 210E 2022年年7月月8日星期五日星期五 理論物理導論理論物理導論 量子力學量子力學11:36:46概率分布特點:xn很大EnE1E2E00V(x)21 2n 22 20 E V 區(qū)有隧道效應 2022年年7月月8日星期五日星期五 理論物理導論理論物理導論 量子

16、力學量子力學11:36:46基態(tài)的性質(zhì) 基態(tài)位置概率分布200nx210E零點能2220| )(|xex是個Gauss分布特征，這是束縛態(tài)的一個典型接結(jié)果。是測不準原理的一個直 2022年年7月月8日星期五日星期五 理論物理導論理論物理導論 量子力學量子力學11:36:4622)()(200 xexxW量子：量子：在其它范圍也能找到粒子。屬于經(jīng)典禁區(qū)。中運動，而的區(qū)域基態(tài)諧振子只允許在11|) 1|(|xx率最小。處粒子的速率最大，概在0 x在x = 0 處概率最大經(jīng)典：經(jīng)典： 2022年年7月月8日星期五日星期五 理論物理導論理論物理導論 量子力學量子力學11:36:46處，勢能在1|x2/

17、21k.|1屬于經(jīng)典禁區(qū)x)/(212mm21221)(kxxV為振動轉(zhuǎn)折點，1x為總能量2| )(|x111 2022年年7月月8日星期五日星期五 理論物理導論理論物理導論 量子力學量子力學11:36:4616. 0d/d0122ee算出此幾率為出現(xiàn)在這個區(qū)域。容易粒子仍有一定幾率但按照量子力學觀點，如下圖所示： 2022年年7月月8日星期五日星期五 理論物理導論理論物理導論 量子力學量子力學11:36:46符合玻爾對應原理 11(x) 2量子量子經(jīng)典經(jīng)典量子概率分布過渡到經(jīng)典概率分布:時當n 2022年年7月月8日星期五日星期五 理論物理導論理論物理導論 量子力學量子力學11:36:46例

18、例1 1:一個電子被束縛在一維無限深勢阱內(nèi)，勢阱寬度一個電子被束縛在一維無限深勢阱內(nèi)，勢阱寬度為為1.01 10 10 m。求當電子處于基態(tài)時對阱壁的平均。求當電子處于基態(tài)時對阱壁的平均沖力。沖力。 設電子質(zhì)量為設電子質(zhì)量為me、速度為、速度為vx、動量為、動量為px 、勢阱寬度為、勢阱寬度為a。解解: 要求平均沖力，先要求平均沖力算符。要求平均沖力，先要求平均沖力算符。動量定理：在運動過程中，作用于質(zhì)點的合力在一段動量定理：在運動過程中，作用于質(zhì)點的合力在一段時間內(nèi)的沖量等于質(zhì)點動量的增量。時間內(nèi)的沖量等于質(zhì)點動量的增量。平均沖力等于單位時間內(nèi)的沖量。平均沖力等于單位時間內(nèi)的沖量。電子與阱壁

19、碰撞一次，電子所受到的沖量：電子與阱壁碰撞一次，電子所受到的沖量：xxxpppI2電子與阱壁碰撞一次，阱壁所受到的沖量：電子與阱壁碰撞一次，阱壁所受到的沖量：xpII2 2022年年7月月8日星期五日星期五 理論物理導論理論物理導論 量子力學量子力學11:36:46ampavpfIFxxxe222Fm ax 222e將算符將算符 2222)i(xxpx 代入上式代入上式，得，得電子連續(xù)兩次碰撞同一電子連續(xù)兩次碰撞同一側(cè)阱壁所需要的時間：側(cè)阱壁所需要的時間：xvaT2單位時間內(nèi)電子碰撞同單位時間內(nèi)電子碰撞同一側(cè)阱壁的次數(shù)：一側(cè)阱壁的次數(shù)：avTfx21單位時間內(nèi)電子對同一側(cè)阱壁的沖量，即沖力為單

20、位時間內(nèi)電子對同一側(cè)阱壁的沖量，即沖力為 2022年年7月月8日星期五日星期五 理論物理導論理論物理導論 量子力學量子力學11:36:46一維無限深勢阱的基態(tài)波函數(shù)為一維無限深勢阱的基態(tài)波函數(shù)為d)()(rArAAaxaxsin2)(1)(1x電子對阱壁的平均沖力為電子對阱壁的平均沖力為 3e2223224e2211dsine2dsin2d000amuuamxaxamxFFaaN1017. 17 2022年年7月月8日星期五日星期五 理論物理導論理論物理導論 量子力學量子力學11:36:46例例2 2:如果粒子的波函數(shù)為如果粒子的波函數(shù)為 ，試求：，試求：),(r在在r到到r+dr的的球殼球殼

21、內(nèi)找到粒子的概率；內(nèi)找到粒子的概率；解解: 要求概率，只要確定概率密度和相應的體積。要求概率，只要確定概率密度和相應的體積。r到到r+dr的的球殼球殼的體積：的體積：rrdddsind2球坐標系下的體積元的表達式：球坐標系下的體積元的表達式：rrVddsindd2020 在在r到到r+dr的的球殼球殼內(nèi)找到粒子的概率：內(nèi)找到粒子的概率：rrrddsind),(20202 2022年年7月月8日星期五日星期五 理論物理導論理論物理導論 量子力學量子力學11:36:47例例3 3:求處于一維無限深方勢阱中的粒子的位置、動量求處于一維無限深方勢阱中的粒子的位置、動量和動能的平均值。和動能的平均值。

22、解解: 要求力學量的平均值，只要找到相應的力學量算要求力學量的平均值，只要找到相應的力學量算符和波函數(shù)就可以了。符和波函數(shù)就可以了。)(xn;0,sin2axaxna., 0, 0axx,.3 , 2 , 1n 2022年年7月月8日星期五日星期五 理論物理導論理論物理導論 量子力學量子力學11:36:47粒子的位置的平均值：粒子的位置的平均值：xxxad0 xaxnxaad )(sin202xaxnxaad )2cos1 (10;2a粒子的動量的平均值：粒子的動量的平均值：pid)()(rArAA 2022年年7月月8日星期五日星期五 理論物理導論理論物理導論 量子力學量子力學11:36:4

23、7xppad0 xaxnxiaxnaadsin)dd(sin200 在一維無限深方勢阱中，粒子位置與動量的平均在一維無限深方勢阱中，粒子位置與動量的平均值與粒子所處的本征態(tài)的級數(shù)，即值與粒子所處的本征態(tài)的級數(shù)，即 n 沒有關(guān)系。沒有關(guān)系。粒子的動能的平均值：粒子的動能的平均值：在勢阱內(nèi)部，勢能為零，則粒子的動能也就是其總能在勢阱內(nèi)部，勢能為零，則粒子的動能也就是其總能量。量。在定態(tài)問題中，總能量算符也就是哈密頓算符。在定態(tài)問題中，總能量算符也就是哈密頓算符。)(rUH222 2022年年7月月8日星期五日星期五 理論物理導論理論物理導論 量子力學量子力學11:36:47xHEaKd0 xaxn

24、xaxnaadsin)dd2(sin22220 xaxnanadsin023222nttan0222dsin22222 anEknann2222222212 3, , ,平均動能，即平均能量，是量子化的。平均動能，即平均能量，是量子化的。 2022年年7月月8日星期五日星期五 理論物理導論理論物理導論 量子力學量子力學11:36:47例例4 4:求一維線性諧振子在第一激發(fā)態(tài)時概率最大的位求一維線性諧振子在第一激發(fā)態(tài)時概率最大的位置。置。 解解: 要求粒子在空間的概率的最大值，只要對概率密要求粒子在空間的概率的最大值，只要對概率密度求極大即可。度求極大即可。nnxnxNx( )()eH2 22量子力學中的一維諧振子：量子力學中的一維諧振子：,2)(2/41122xxex概率密度：概率密度：1122232xex0ddx1, 0 x零是個極小值，舍去；零是個極小值，舍去；故極大值處為故極大