高等數(shù)學(xué)上冊6-2幾何應(yīng)用1

1、四、 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積 (補充)三、已知平行截面面積函數(shù)的 立體體積第二節(jié)一、 平面圖形的面積二、 平面曲線的弧長 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用 第六章 一、平面圖形的面積1. 直角坐標情形設(shè)曲線與直線及 x 軸所圍曲則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 邊梯形面積為 A ,右下圖所示圖形面積為 例1. 計算兩條拋物線在第一象限所圍所圍圖形的面積 . 解: 由得交點機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例2. 計算拋物線與直線的面積 . 解: 由得交點所圍圖形為簡便計算, 選取 y 作積分變量,則有機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例3. 求橢圓所圍圖形的面積 .

2、解: 利用對稱性 , 有利用橢圓的參數(shù)方程應(yīng)用定積分換元法得當 a = b 時得圓面積公式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一般地 , 當曲邊梯形的曲邊由參數(shù)方程 給出時,按順時針方向規(guī)定起點和終點的參數(shù)值則曲邊梯形面積機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例4. 求由擺線的一拱與 x 軸所圍平面圖形的面積 .解:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 極坐標情形求由曲線及圍成的曲邊扇形的面積 .在區(qū)間上任取小區(qū)間則對應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為所求曲邊扇形的面積為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對應(yīng) 從 0 變例5. 計算阿基米德螺線解:點擊圖片任意處播放開始或暫停機動 目錄 上

3、頁 下頁 返回 結(jié)束 到 2 所圍圖形面積 . 例6. 計算心形線所圍圖形的面積 . 解:(利用對稱性)心形線 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 心形線(外擺線的一種)即點擊圖中任意點動畫開始或暫停 尖點: 面積: 弧長:參數(shù)的幾何意義三、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積設(shè)所給立體垂直于x 軸的截面面積為A(x), 則對應(yīng)于小區(qū)間的體積元素為因此所求立體體積為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 上連續(xù),特別 , 當考慮連續(xù)曲線段軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時,有當考慮連續(xù)曲線段繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時,有機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例13. 計算由橢圓所圍圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積. 解: 利用直角坐標方程(利用對稱性)則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例14. 計算擺線的一拱與 y0所圍成的圖形分別繞 x 軸 , y 軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積 .解: 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為利用對稱性機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)1. 平面圖形的面積邊界方程參數(shù)方程極坐標方程直角坐標方程上下限按順時針方向確定機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 機動 目錄