勾股定理知識(shí)點(diǎn)及例題講解

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)第九講 勾股定理知識(shí)概要勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為，斜邊長(zhǎng)為，那么 的變形式， (注：應(yīng)用勾股定理的關(guān)鍵在于構(gòu)造直角三角形)2、勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形，其中c為斜邊。3、勾股定理的作用（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊.（2）已知在特殊直角三角形中，直角三角形的一邊，求另兩邊的關(guān)系.（3）用于證明平方關(guān)系的問(wèn)題.4、如何判定一個(gè)三角形是否是直角三角形（1）首先確定最大邊（如）.（2）驗(yàn)證與+是否具有相等關(guān)系.

2、若+，則ABC是以C=90的直角三角形；若+，則ABC不是直角三角形.【注意】當(dāng)+時(shí)有兩種情況.（1）當(dāng)+時(shí)，此三角形為銳角三角形，其中為三角形的最大邊.5、常用勾股數(shù)組：(3, 4 ,5); (5, 12 ,13); (6, 8, 10); (7, 24, 25); (8, 15, 17) ; (9, 40 ,41)；（20,21,29）一組勾股數(shù)中各數(shù)的相同的正整數(shù)倍得到的一組新數(shù)還是勾股數(shù)。一組勾股數(shù)中各數(shù)的相同的正數(shù)倍得到的一組新數(shù)為邊，仍構(gòu)成直角三角形。直角三角形的性質(zhì)：（1）直角三角形中斜邊最大；（2）直角三角形中有勾股定理；（3）直角三角形中，30度角所對(duì)應(yīng)直角邊等于斜邊的一半；

3、（4）直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半；（5）等積原理（ab=ch）雙垂圖中的射影定理例題精講板塊一 勾股定理aaaabbbb【例1】如圖，證明勾股定理 【例2】填空題:在ABC中,C為直角.(1)若BC =2, AC=3則AB = ； 若BC =5, AB=13.則AC = ；若AB=61, AC=11.則BC = .(2)若BCAB =35且AB =20則AC= . (3)若A=60且AC=2cm則AB= cm，BC= cm.【鞏固練習(xí)】RtABC中，是直角，（1）已知，求AB之長(zhǎng)；已知，求AC之長(zhǎng)；（3）已知，求BC之長(zhǎng)2、已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為a，求等邊三角形一邊上的高和這等邊

4、三角形的面積【例 3】已知，求BC和AD的長(zhǎng)ABCD【鞏固練習(xí)】CBAD已知：如圖所示，在四邊形ABCD中，AB=AD=8，A=60，D=150，四邊形ABCD的周長(zhǎng)為32，求BC和CD的長(zhǎng). 【例 4】如圖，已知AB13，BC14，AC15,于D，求AD的長(zhǎng).【例 5】如圖，已知：，于P 求證： 【例 6】如圖，已知在中，分別以，為直徑作半圓，面積分別記為，則+的值等于 CABS1S2 【鞏固練習(xí)】1、如圖，已知：在中，分別以此直角三角形的三邊為直徑畫(huà)半圓，試說(shuō)明圖中陰影部分的面積與直角三角形的面積相等2、圖是一株美麗的勾股樹(shù)，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形A

5、、B、C、D的邊長(zhǎng)分別是3、5、2、3，則最大正方形E的面積是A13 B26 C47 D94 3、在直線l上依次擺放著七個(gè)正方形(如圖所示)，已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別是1，2，3，正放置的四個(gè)正方形的面積依次是、，則+=_S11S2S3S4231板塊二 勾股定理逆定理【例7】在ABC中，如果abc =12, 那么A= ,B= C= 如果abc =11, 那么A= ,B= C= 【例 8】判斷由線段a，b，c組成的三角形是不是直角三角形：（1），；（2），；（3），【例 9】已知：在ABC中，A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，滿足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，試判斷A

6、BC的形狀【例 10】如圖，在四邊形ABCD中，C=90，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求證：ADBD【例 11】已知：如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)為DC的中點(diǎn)，E為CB的四等分點(diǎn)即3CEEB求證：AFFE【例 12】如圖，已知四邊形ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積.【鞏固練習(xí)】1.若一個(gè)三角形的周長(zhǎng)為12cm,一邊長(zhǎng)為3cm,其他兩邊之差為cm,則這個(gè)三角形是( ) A.等腰三角形B.等邊三角形 C.直角三角形D.等腰直角三角形2.如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，A、B、C是小正方形的頂點(diǎn)，則ABC的度數(shù)為（ ）A90 B6

7、0 C45 D303.有一塊土地形狀如圖所示,B=D=90,AB=20米,BC=15米,CD=7米,請(qǐng)計(jì)算這塊地的面積. 4.如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC=2，CD=3，AD=1，且ABC=90，試求A的度數(shù)。ABDC課后作業(yè)A100 641、在RtABC中，（1），則_；（2），則_；（3），則_；（4），則_2、三個(gè)正方形的面積如圖，正方形A的面積為（ ） A6 B36 C64 D83、在RtABC中，有兩邊的長(zhǎng)分別為3和4，則第三邊的長(zhǎng)（ ）A、5 B、C、5或D、5或（1）等腰三角形的腰長(zhǎng)是20厘米，底長(zhǎng)是32厘米，求它的面積 （2）已知一等邊三角形的高是，求面積 （3）直角三

8、角形的面積為120，斜邊長(zhǎng)為26，求它的周長(zhǎng).5.尋求某些勾股數(shù)的規(guī)律：(1)對(duì)于任何一組已知的勾股數(shù)都擴(kuò)大相同的正整數(shù)倍后，就得到了一組新的勾股數(shù)例如：，我們把它擴(kuò)大2倍、3倍，就分別得到和，若把它擴(kuò)大11倍，就得到 ，若把它擴(kuò)大n倍，就得到 (2)對(duì)于任意一個(gè)大于1的奇數(shù)，存在著下列勾股數(shù)：若勾股數(shù)為3，4，5，因?yàn)?，則有；若勾股數(shù)為5，12，13，則有；若勾股數(shù)為7，24，25，則有 ； (3)對(duì)于大于4的偶數(shù)：若勾股數(shù)為6，8，10，因?yàn)?，則有請(qǐng)找出這些勾股數(shù)之間的關(guān)系，并用適當(dāng)?shù)淖帜副硎境鏊囊?guī)律來(lái)，并求當(dāng)偶數(shù)為24的勾股數(shù)6、如圖，點(diǎn)C是以為AB直徑的半圓上的一點(diǎn)，則圖中陰影部分的

9、面積是 第13講 勾股定理（二）勾股問(wèn)題的應(yīng)用模型1. 折疊翻轉(zhuǎn)問(wèn)題：注意對(duì)稱中的線段的相等與轉(zhuǎn)移，結(jié)合全等三角形性質(zhì)模型2. 最短距離問(wèn)題：把立體圖形的展開(kāi)，構(gòu)造平面圖形，利用勾股定理計(jì)算證明模型3. 其他實(shí)際問(wèn)題：學(xué)會(huì)把實(shí)際問(wèn)題抽象成幾何圖形，利用勾股定理求解例題精講板塊一 折疊翻轉(zhuǎn)問(wèn)題【例1】如圖，將三邊長(zhǎng)分別為3、4、5的，沿最長(zhǎng)邊翻轉(zhuǎn)成，則長(zhǎng)為（ ）CBA【例2】如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊，將ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為DE，求CD的長(zhǎng)?！纠?】如圖，已知長(zhǎng)方形ABCD中AB=8 cm,BC=10 cm,在邊CD上取一點(diǎn)E，將ADE折疊使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F，

10、求CE的長(zhǎng).【鞏固練習(xí)】1.如圖，將矩形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，已知AB3，AD9，求BE的長(zhǎng)2.如圖，在矩形ABCD中，AB=6，將矩形ABCD折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，C落在C處，若AE:BE=1:2，則折痕EF的長(zhǎng)為多少？EDCBAF3.如圖，已知：點(diǎn)E是正方形ABCD的BC邊上的點(diǎn)，現(xiàn)將DCE沿折痕DE向上翻折，使DC落在對(duì)角線DB上，則CDCE_【拓展】如圖,折疊矩形紙片ABCD,先折出對(duì)角線BD,再折疊使AD邊與BD重合,得到折痕DG,若AB=8. BC=6,求AG的長(zhǎng)板塊二 最短距離問(wèn)題【例4】如圖，在長(zhǎng)、寬都是3，高是8的長(zhǎng)方體外部，若螞蟻要從頂點(diǎn)A爬到頂點(diǎn)B，那么

11、它爬行的最短距離為 【鞏固練習(xí)】如圖，正方體盒子的棱長(zhǎng)為2，BC的中點(diǎn)為M，一只螞蟻從M點(diǎn)沿正方體的表面爬行到點(diǎn)，螞蟻爬行的最短距離是（ ）A B3 C D2+【拓展】1.如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為1cm 和3cm，高為6cm如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短需要 cm；如果從點(diǎn)A開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面纏繞圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短需要 cmBA6cm3cm1cm2.如圖,是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階,它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為20dm，3dm，2dm，A和B是這個(gè)臺(tái)階兩相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只昆蟲(chóng)想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則昆蟲(chóng)沿著臺(tái)階爬到B點(diǎn)的最短路程是多少dm？ AB3

12、220【例5】如圖，A、B兩個(gè)小集鎮(zhèn)在河流CD的同側(cè)，分別到河的距離為AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，現(xiàn)在要在河邊建一自來(lái)水廠，向A、B兩鎮(zhèn)供水，鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每千米3萬(wàn)，請(qǐng)你在河流CD上選擇水廠的位置M，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最節(jié)省，并求出總費(fèi)用是多少？ABCDL【鞏固練習(xí)】如圖，一個(gè)牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家.他要完成這件事情所走的最短路程是多少？AB小河?xùn)|北牧童小屋板塊三 其他實(shí)際問(wèn)題【例6】如圖,一根旗桿的升旗的繩垂直落地后還剩余1米,若將繩子拉直, 則繩端離旗桿底端的距離(BC)有5米

13、.求旗桿的高度.60120140B60A【例7】如圖，是一個(gè)外輪廓為矩形的機(jī)器零件平面示意圖，根據(jù)圖中標(biāo)出尺寸（單位：mm）計(jì)算兩圓孔中心A和B的距離為 . 【例8】 如圖，是一只圓柱形的封閉易拉罐，它的底面半徑為4cm，高為15cm，問(wèn)易拉罐內(nèi)可放的攪拌棒(直線型)最長(zhǎng)可以是多長(zhǎng)?【鞏固練習(xí)】如圖，有一個(gè)高1.5米，半徑是1米的圓柱形油桶，在靠近邊的地方有一小孔，從孔中插入一鐵棒，已知鐵棒在油桶外的部分是0.5米，問(wèn)這根鐵棒應(yīng)有多長(zhǎng)？ 【例9】長(zhǎng)為4m的梯子搭在墻上與地面成45角，作業(yè)時(shí)調(diào)整為60角（如圖所示），則梯子的頂端沿墻面升高了 m 【鞏固練習(xí)】 如圖，一架2.5米長(zhǎng)的梯子AB，斜靠

14、在一豎直的墻AC上，這時(shí)梯足B到墻底端C的距離為0.7米，如果梯子的頂端沿墻下滑0.4米，那么梯足將向外移多少米？【例10】如圖所示，秋千OA在平衡位置時(shí)，下端 A 距地面0.6 米，當(dāng)秋千蕩到 OA 的位置時(shí)，下端A距平衡位置的水平距離 AB 為 2.4 米，距地面1.4米，求秋千OA的長(zhǎng)ABCD【例11】如圖，某沿海開(kāi)放城市A接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)，在該市正南方向100km的B處有一臺(tái)風(fēng)中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移動(dòng)，已知城市A到BC的距離AD=60km，那么臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間從B點(diǎn)移到D點(diǎn)？如果在距臺(tái)風(fēng)中心30km的圓形區(qū)域內(nèi)都將有受到臺(tái)風(fēng)的破壞的危險(xiǎn)，正在D點(diǎn)休閑的游人在接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)后的幾小時(shí)內(nèi)撤離才可脫離危險(xiǎn)？課后作業(yè)1.有兩棵樹(shù)，一棵高8米，另一棵高2米，兩樹(shù)相距8米，一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的樹(shù)梢飛到另一棵樹(shù)的樹(shù)梢， 至少飛了 米2.有一個(gè)小朋友拿著一根竹竿要通過(guò)一個(gè)長(zhǎng)方形的門，如果把竹竿豎放就比門高出1尺，斜放就恰好等于 門的對(duì)角線，已知門寬4尺，求竹竿高與門高.3.木工周師傅加工一個(gè)長(zhǎng)方形桌面，測(cè)量得到桌面的長(zhǎng)為40cm，寬為50cm，對(duì)角線為60cm， 這個(gè)桌面 (填“合格”或“不合格”)。4.如下圖,今年的冰雪災(zāi)害中,一棵大樹(shù)在離地面3米