初中數(shù)學(xué)北師大九年級下冊（2023年新編） 二次函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)二次函數(shù)中三角形的面積計(jì)算問題

1、二次函數(shù)中的三角形面積問題授課人：許福燕授課班級：初三（ 6 ）班一、考點(diǎn)解讀二次函數(shù)中的面積問題一直是中考熱點(diǎn)，在近幾年四川各地市中考中占了比較重要的地位，比如2023年成都28題（2）問，2023年達(dá)州25題（2）問，2023年達(dá)州25題（3）問，2023年綿陽25題（3）問，2023年綿陽25題（3）問等等，基本設(shè)計(jì)在壓軸題的第二小問或第三小問，結(jié)合其他知識背景，比如相似，平行線，坐標(biāo)公式，距離公式等考查學(xué)生的知識綜合應(yīng)用能力，考查基本類型有求三角形面積最大值，求一邊上高的最大值，求兩個(gè)三角形等面積問題，求兩個(gè)三角形面積比的問題，這些問題我們往往可以總結(jié)一定的方法，比如公式法，割補(bǔ)法，利

2、用平行線等積轉(zhuǎn)化法，鉛錘法，相似比等等。二、學(xué)情分析初三（ ）班通過學(xué)習(xí)奠定了比較堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，對常規(guī)求解二次函數(shù)的一般問題基本能解決，比如求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)與一次函數(shù)的結(jié)合問題，但在教學(xué)中只要涉及到動點(diǎn)問題，部分孩子們腦海就無思緒，無從下手。盡管已經(jīng)在幾何動點(diǎn)問題求面積、一次函數(shù)和反比例函數(shù)的動點(diǎn)問題求面積中，強(qiáng)調(diào)過解題思路和策略， 由此遷移到二次函數(shù)的動點(diǎn)問題求解面積，但是部分同學(xué)依然存在較大問題。該班同學(xué)喜歡思考問題，整體團(tuán)結(jié)上進(jìn)，對自身有一定要求，并希望在二次函數(shù)求解三角形面積的問題上有所突破。三、設(shè)計(jì)思路從波利亞的思想觀點(diǎn)“發(fā)現(xiàn)問題遠(yuǎn)比解決問題更重要”以及波利亞的解題理論

3、出發(fā)，結(jié)合“實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)”，通過設(shè)計(jì)開放性的問題，讓學(xué)生學(xué)會發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，解決問題，然后引導(dǎo)孩子建模，以達(dá)到充分調(diào)動學(xué)生的主觀積極性，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新力，團(tuán)結(jié)協(xié)作能力以及感受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的成就感與幸福感。四、復(fù)習(xí)目標(biāo)：1回顧基本模型，由單一的三角形求面積問題引導(dǎo)出二次函數(shù)中動點(diǎn)構(gòu)造三角形求面積的問題，回顧最基本的幾何方法-割補(bǔ)法。2合作學(xué)習(xí)并設(shè)計(jì)問題，由已知?jiǎng)?chuàng)造未知，嘗試解決二次函數(shù)中三角形等面積相關(guān)的較復(fù)雜問題，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維和創(chuàng)造力。在設(shè)計(jì)問題與解題過程中進(jìn)行嚴(yán)密推理與計(jì)算，理解并運(yùn)用分類討論，方程思想，轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想。3在學(xué)習(xí)過程中，通過設(shè)計(jì)開放性問題，最

4、大程度調(diào)動學(xué)生的主觀能動性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)信心，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，分析問題，解決問題的能力，合作交流與小組展示時(shí)培養(yǎng)自己團(tuán)隊(duì)協(xié)作與語言表達(dá)能力，提升自己創(chuàng)新能力，體驗(yàn)學(xué)習(xí)的成就感與幸福感。五、重點(diǎn)：1、利用割補(bǔ)法求求三角形的面積2、平行線間距離處處相等。3、利用分類討論，方程思想，轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想求確定二次函數(shù)中的三角形的面積六、難點(diǎn)：在二次函數(shù)中動點(diǎn)問題形成的三角形的面積問題。教學(xué)工具：PPT課件，學(xué)案，多媒體復(fù)習(xí)過程：教學(xué)環(huán)節(jié)學(xué)生活動設(shè)計(jì)意圖教師：親愛的同學(xué)們，平行線和三角形是初中的幾何題目的基礎(chǔ)，很多的問題都是在三角形的問題中提出并增加難度，而最近幾年中考題

5、目的壓軸題，大部分城市均涉及到求解三角形面積的問題。因此，想要取得理想成績不僅僅應(yīng)該夯實(shí)基礎(chǔ)， 而且應(yīng)該在壓軸題上有所突破，今天我們選擇突破點(diǎn)是求解三角形面積相關(guān)的問題。那么，孩子們，有沒有信心突破今天這個(gè)小專題呢？有還是沒有？一起回顧往年的中考真題。學(xué)生：認(rèn)真聽課，做好本節(jié)課準(zhǔn)備，提前感知中考題型吸引他們的注意力，激發(fā)學(xué)生興趣與求知欲，同時(shí)樹立學(xué)習(xí)的信心展示中考真題2023年成都28題（2）問2023年達(dá)州25題（2）問2023年達(dá)州25題（3）問2023年綿陽25題（3）問2023年綿陽25題（3）問一抽象出基本模型，從求三角形面積入手生：小組討論，多種方法解決求三角形面積問題，并找出最優(yōu)

6、解問題引入：例1：在平面直角坐標(biāo)系中，AOB的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)A（3,6），B（5,2），求AOB的面積。認(rèn)識最基本模型，一個(gè)任意的三角形，思考如何求面積方法一：補(bǔ)。分別過A，B作y軸，x軸的垂線，分別交y軸于M點(diǎn)，x軸于N點(diǎn)，兩垂線相交于P點(diǎn)，SOAB=S四邊形MONP-SAPB-SBNO激發(fā)孩子對二次函數(shù)中求三角形面積問題的信心方法二：割。過B作y軸的垂線交AO于P，A（3,6）O（0,0）直線AO解析式為y=2x又B（5,2）所以yB=yP=2把yP=2帶入y=2x中，得Xp=1,即P（1,2）SOAB=通過合作學(xué)習(xí)探討，打開孩子們的思維，利用多種方法的求解，歸納為割補(bǔ)兩種思路，從多種方

7、法中選擇最優(yōu)解，為二次函數(shù)求三角形面積問題做準(zhǔn)備方法三：割。過A作x軸垂線，交OB于G。A（3,6）xG=3又因?yàn)?（0,0），B（5,2）所以O(shè)B直線為所以點(diǎn)G坐標(biāo)為（3，），所以方法四：補(bǔ)SAOB=SAOC-SBOC二、如果把三角形放進(jìn)二次函數(shù)中，你會怎么設(shè)計(jì)問題以及解決問題呢？例2：已知二次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸交A、B、C三點(diǎn)，請?jiān)O(shè)計(jì)出與求三角形面積相關(guān)的較簡單的問題，并嘗試解決。小組討論，并設(shè)計(jì)問題。預(yù)設(shè)1：學(xué)生可能會設(shè)計(jì)求SABC、SAOC，SBOC這樣的問題。復(fù)習(xí)平行線間距離處處相等以及對稱性，同時(shí)增加孩子們的合作學(xué)習(xí)能力創(chuàng)設(shè)問題，解決問題，達(dá)到應(yīng)用應(yīng)用鉛錘高，水平寬求面積的最大值對

8、稱軸與拋物線交于D點(diǎn)，求BCD的面積。拋物線上是否存在其他的點(diǎn)D1使得BCD1的面積與BCD的面積相等？若有，請求出。預(yù)設(shè)2：對稱軸與拋物線交于D點(diǎn)，求BCD的面積。（3）若拋物線上存在一點(diǎn)E使得SABE=SABC，那么E點(diǎn)坐標(biāo)為多少？預(yù)設(shè)3：若拋物線上存在一點(diǎn)E使得SABE=SABC，那么E點(diǎn)坐標(biāo)為多少？（4）x負(fù)半軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)F使得SACF的值最大，若有求F點(diǎn)坐標(biāo)預(yù)設(shè)4：x負(fù)半軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)F使得SACF的值最大，若有求F點(diǎn)坐標(biāo)（5）在拋物線上存在一點(diǎn)G，使得BGC的面積S為何值時(shí)，G點(diǎn)有3個(gè)，請問G點(diǎn)坐標(biāo)分別為多少？變式1：已知拋物線與y軸交于A點(diǎn)，與x軸交

9、于B點(diǎn)和C點(diǎn)（B在C的左側(cè)），過A作ADy軸交拋物線于D點(diǎn)，若E是拋物線上一點(diǎn)，且E點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)在直線AD上，求EAD的面積；若P點(diǎn)是直線AB下方的拋物線上一動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到某一位置時(shí)，ABP的面積最大，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)和ABP的最大面積。變式2：2023年重慶T26已知拋物線與x軸交A,B兩點(diǎn)（A在B左側(cè)），與y軸交C點(diǎn)，對稱軸與x軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)E（4，n）在拋物線上，若P是直線CE下方拋物線上一點(diǎn)，連接PC，PE，當(dāng)PCE的面積最大時(shí)，連接CD,CB，K是線段CB的中點(diǎn)，M是CP上一點(diǎn)，N是CD上一點(diǎn)，求KM+MN+NK的最小值在變式的基礎(chǔ)上，融合動點(diǎn)的最小值問題。變式3達(dá)州202

10、3T25：已知拋物線與x軸交于A,B兩點(diǎn)（B在A左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)E，點(diǎn)P是拋物線上位于第二象限的點(diǎn)，線段PA交BE于點(diǎn)M，交y軸于點(diǎn)N，BMP和EMN的面積分別為m，n，求m-n的最大值進(jìn)一步變化，在二次函數(shù)中求面積作差的問題，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，面積割補(bǔ)的思想變式4:已知拋物線與x軸，y軸交A,B兩點(diǎn)（A在B左側(cè)），與y軸交C點(diǎn)，P點(diǎn)從A出發(fā)，在線段AB上以每秒2個(gè)單位長度的速度向B運(yùn)動，同時(shí)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)以每秒1個(gè)單位長度的速度向C運(yùn)動，當(dāng)一個(gè)停止時(shí)另一個(gè)也停止。設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒，求運(yùn)動時(shí)間t為多少秒時(shí)，PBQ的面積S最大，并求出其最大面積。在（1）的條件下，PBQ的面積最大時(shí)，在線段BC下方的拋物線上是否存在點(diǎn)M，使BMC的面積是PBQ的面積的1.6倍？若存在，求出M的坐標(biāo)，若不存在，說明理由?？偨Y(jié)：1.若在二次函數(shù)中求三角形的面積最值問題，最主要的是構(gòu)造鉛錘高，水平寬。若是求面積相等問題，則是找到公共邊或者把面積表示出來，建立等式。若是面積比例問題，則除了直接求面積建立等式外，還可以利用面積比等于相似比的平方建立等式。遇到動點(diǎn)問題，以靜制動，尋找等量關(guān)系建