科學哲學第四講概率演算2015-20161

1、第四講概率的古典定義和公理化 必然現(xiàn)象和隨機現(xiàn)象在自然界，人們觀察到的現(xiàn)象大體可以分為兩種類型：1.確定性的： 重物在高處總是垂直落到地面; 在一個大氣壓下，水在100度時沸騰。這些現(xiàn)象的共同特點是：在一定條件下必然會發(fā)生,這類事件稱為必然事件.相反還有不可能事件,這兩類事件統(tǒng)稱為確定性或決定性現(xiàn)象。2.不確定性的：拋擲一個質(zhì)地均勻的對稱的硬幣，結(jié)果可能正面向上，或背面向上。新生的嬰兒可能是男是女。這些現(xiàn)象的共同特點是：在基本條件不變的情況下，一系列試驗或觀察會得到不同的結(jié)果。也就是說，就個別的試驗或觀察而言，它時而會出現(xiàn)這種結(jié)果，時而出現(xiàn)另一種結(jié)果，呈現(xiàn)出一種偶然性，這種現(xiàn)象稱為隨機現(xiàn)象。

2、隨機事件對于隨機現(xiàn)象通常關(guān)心的是在試驗或觀察中某個結(jié)果是否出現(xiàn)，這些結(jié)果稱為隨機事件。在0，1，2，,9十個數(shù)字中任意選取一個，可有十種不同的結(jié)果：“取得一個數(shù)是0”， “取得一個數(shù)是9”。但還有其它可能的結(jié)果“取得一個是奇數(shù)”，“取得一個是大于4的數(shù)”，“取得一個數(shù)是3的倍數(shù)”基本事件和復合事件我們把不能再分的事件稱為基本事件，例如在上例中，“取得一個數(shù)是0”，“取得一個數(shù)是1”， “取得一個數(shù)是9”都是基本事件。由若干基本事件組合而成的事件稱為復合事件。如“取得一個數(shù)為3的倍數(shù)”是一個復合事件，它由“取得一個數(shù)是3”，取得“一個數(shù)是6”，“取得一個數(shù)是9”三個基本事件組合而成。 概率對于一

3、個隨機事件A，用一個數(shù)P（A）來表示該事件發(fā)生的可能性大小，這個數(shù)P（A）就稱為隨機事件A的概率，因此概率度量了隨機事件發(fā)生的可能性的大小 古典概率定義在古典概率論中，概率被解釋為：相對于某個實驗，如果在所有n個等可能的基本事件中，事件A包含m個基本事件，那么，事件A的概率一般記為P（A），而P（A）= m/n. 例2從一副去掉大小王的撲克牌中任意抽取一張，求抽出尖子的概率是什么？例3從去掉大小王的撲克牌中隨意摸出一張牌是紅桃或是黑桃或是梅花或是方塊的概率？ 例4從一副去掉大小王的撲克牌中任意地抽出一張，求這張牌是尖子或是老K的概率？ 古典概率的數(shù)學特征P（a) 0;P（t）=1,P（ab)=

4、P（a）+P（b） 概率（1）P（a) 0. (2) P(t)=1，如果t是重言式。 (3) P(ab)=P(a)+P(b),如果a和b是互斥的，也就是說ab.（4）條件定義：P(a/b)=P(ab)/P(b)（P（b) 0) 條件定義P(a/b)=P(ab)/P(b) 條件概率有時我們會碰到這樣的情況，即已知某一事件B已經(jīng)發(fā)生，要求另一事件A發(fā)生的概率。這個概率我們記為P（A/B）。例如，考慮有兩個孩子的家庭，假定男女出生率一樣，則兩個孩子（依大小排列）的性別為（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）的可能性是一樣的。若A表示：隨機選取的這樣一個家庭中有一男一女這一事件。那么P（A）=

5、？但是，如果我們預先知道:這家庭至少有一個女孩（B），那么上述事件的概率又是多少呢？P（A/B）=？假如已知事件B發(fā)生，即至少有一女孩，那么可能發(fā)生的樣本點是（男，女），（女，男），（女，女），總數(shù)為MB=3，而有利的場合（至少有一個女孩而且有一男一女）數(shù)MAB=2，因此P（A/B）=2/3=(MAB/n)/(MB/n) =P(A B)/P(B) 條件定義P(a/b)=P(ab)/P(b) 例5同時拋擲甲乙兩枚硬幣，下落后都是正面朝上的概率。（a,b)是相互獨立的。P（ab）=P(a）P（b）一個缸里有7個紅球和4個白球，我們隨意地從缸里摸出一個球后，不放回再摸出第二個球，求這兩個球都是紅色的

6、概率？ P（he)=P(h) P(h/e) =7/116/10=42/110. 兩點說明（1）概率值指派給命題而不是事件。（2）概率的認識論解釋。 有用的定理（1）P(a)=1-P(a);Example. If theres a 30% chance itll rain, theres a 70% chance it wont.（2）P(F)=0;(F為矛盾式） 定理3（3）如果ab,那么P（a)=P(b);Example. The probability that all humans are mortal is the same as theprobability that all non

7、-mortals are non-human.Tip. If A and B are logically equivalent, what is the probability of AB?Now use axiom (3) and Theorem 1.定理4（4）如果ab,那么P（a) P(b). 定理5和6 (5) 0P（a) 1. (6)P(a1an)=P(a1)+P(an). (ai aj,1 ij n)定理7：全概率定理（7）如果P(a1an)=1，并且ai aj,對于ij, ，那么對于任何句子命題b, P（b)=P(b&a1)+P(b&an)如果P(ai)0,那么P（b)=P(b/

8、a1)P(a1)+P(b/an)P(an)例7Example. The probability that Ill go to the beach is just the probabilityIll go to the beach and swim plus the probability Ill go to the beach and not swim.定理8(8)如果h e,并且P（h) 0,P(e) 1,那么P（h/e) P(h).解釋證認？ 貝葉斯定理第一種形式：P（h/e)=P(e/h)P(h)/P(e),(P(h),P(e) 0)第二種形式：如果P（h1h n)=1,而對于ij的h

9、,hi hj,并且P（hi),P(e)0,那么P（hk/e)=P(e/hk)P(hk)/P(e/hi)P(h i); ExampleThere are two cab companies in Milton: Red and Green.85% of the cabs in Milton are Red cabs. A cab was involved in a hit-and-run and a witness says it was Red. Witnesses correctly identify Red cabs as such 95% of the time, and they sa

10、y that hit-and-run cabs are Red 90% of the time. What is the probability that the cab was Red, given the witness testimony? 第三種形式P(h/e)=P(h)/P(h)+P(e/h)/P(e/h) P(h)P（h/e)決定于P（h)和 【P(e/h)/P(e/h）】如果ab,并且ba, 那么P(a/c) =P（b/c).證明: (1) 如果ab,并且ba那么有ab. (2) P(a/c)=P(a&c)/P(c) （3）P（b/c) =P(b&c)/P(c) （4）a&c b

11、&c (5) P(a/c) =P（b/c). P（a/b)=1 iff P(b/a)=1證明：（1） P（a/b)=1 （2） ba (3) a b (4) P(b/a)=1If P（a/b)=1then ba 證明：(1) (b a) (假設）（2） ba(3) bb&a(4) b&a b(5) P(b&a) P(a)證明題P(e1&e2&en)= P(e1)P(e2/e1)P.P(en/e1&.&en-1) 思考題：The Probability of The Evidence“Charles Babbage examined numerous logarithmic tables pub

12、lished over two centuries in various parts of the world. He was interested in whether they derived from the same source or had been worked out independently.Babbage(1827)found the same six errors in all but two and drew the “irresistible” conclusion that ,apart from these two, all the tables originated in a common source” Theory t1: some logarithmic t