數(shù)列的極限與無窮大量課件

Chapt2數(shù)列與極限

嚴(yán)格的證明是數(shù)學(xué)的標(biāo)志,這是數(shù)學(xué)對于文化修養(yǎng)所提供的不可缺少的營養(yǎng),一個學(xué)生若對數(shù)學(xué)證明從未留下印象,那他就缺少了一種基本的思維經(jīng)歷.---波利亞(Polya,G.)

數(shù)學(xué)的主要目標(biāo)是大眾的利益和對自然現(xiàn)象的解釋.---傅里葉(Fourier,J.B.J.)Chapt2.極限與連續(xù)''''2022/12/151Chapt2數(shù)列與極限Chapt2.極限與連

本章主要內(nèi)容

§1.數(shù)列極限和無窮大§2.函數(shù)的極限§3.連續(xù)函數(shù)§4.無窮小量和無窮大量的階Chapt2.極限與連續(xù)''''2022/12/152本章主要內(nèi)容Chapt2.極限與Chapt2.極限與連續(xù)

教學(xué)目的:

本章討論的極限與連續(xù)概念和性質(zhì),是貫穿數(shù)學(xué)分析課程的基本方法與工具.后面全部內(nèi)容的研究都要用到.所以這部分內(nèi)容既是重點(diǎn)同時也是難點(diǎn).

教學(xué)要求:

務(wù)必深刻理解和熟練掌握極限與連續(xù)的概念和性質(zhì)及其運(yùn)算方法,這是學(xué)好本課程的基礎(chǔ)與關(guān)鍵.''''2022/12/153Chapt2.極限與連續(xù)

本節(jié)內(nèi)容

一、數(shù)列極限的定義二、數(shù)列極限的性質(zhì)三、數(shù)列極限的運(yùn)算四、單調(diào)有界數(shù)列五、無窮大量的定義六、無窮大量的性質(zhì)和運(yùn)算七、小結(jié)思考題''''2022/12/154本節(jié)內(nèi)容一、數(shù)列極限的定義''''2022/12/1“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——劉徽1、割圓求周播放

極限思想：三國時期，數(shù)學(xué)家劉徽應(yīng)用極限方法訂正、計(jì)算圓周率圓周長割圓術(shù)！''''2022/12/155“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而討論圓內(nèi)接正多邊形與該圓周的關(guān)系已知圓內(nèi)接正多邊形的周長未知的圓周長（1）在任何有限的過程中，即對任何確定的n，皆為的近似值；（2）在無限的過程中，即當(dāng)n無限增大時，無限接近于常數(shù)的精確值。是當(dāng)n無限增大時的極限''''2022/12/156討論圓內(nèi)接正多邊形與該圓周的關(guān)系已知圓內(nèi)接正多邊形的周長未知圓面積亦如此。啟示：已知與未知有限與無限近似與精確直線與曲線''''2022/12/157圓面積亦如此。啟示：已知與2、截丈問題“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”''''2022/12/1582、截丈問題“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”''''2022一、數(shù)列極限的定義1.數(shù)列:是按一定次序排列的一列無窮多個數(shù)

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數(shù)列是定義在自然數(shù)集N上的函數(shù)。即以N為定義域并且由小到大取值所對應(yīng)的一列函數(shù)值(集合)。對，設(shè)，則函數(shù)值：自變量：}{nx，表示為數(shù)列為第n項(xiàng)或通項(xiàng)。''''2022/12/159一、數(shù)列極限的定義1.數(shù)列:是按一定次序排列的一列無窮多個例如：01擺動！無限增大!考慮數(shù)列(以下例定性\定量分析)''''2022/12/1510例如：01擺動！無限增大!考慮數(shù)列(以下例定性\定量分析)'播放定性分析：當(dāng)n無限增大時，無限趨近于1，數(shù)1即所謂的“極限”。''''2022/12/1511播放定性分析：當(dāng)n無限增大時，定量分析：無限趨近于1是指：當(dāng)n充分大時,能任意小，并保持任意小。例如：即自然數(shù)10，當(dāng)n>10時，有……''''2022/12/1512定量分析：無限趨近由不等式有，故只須即可。以上還不能說明任意小，并保持任意小，畢竟它們都還是確定的數(shù)。自然數(shù)，當(dāng)時，便有定量定義：則稱數(shù)1是的極限。''''2022/12/1513由不等式有，故只須若數(shù)列不存在極限,則稱數(shù)列是發(fā)散的.如是發(fā)散數(shù)列.''''2022/12/1514若數(shù)列不存在極限,則稱數(shù)列是發(fā)散的.''''2022/12３、數(shù)列極限的幾何解釋:''''2022/12/1515３、數(shù)列極限的幾何解釋:''''2022/12/1215鄰域法定義可見：數(shù)列是否有極限，只與它從某一項(xiàng)以后有關(guān)，而與它前面的有限個項(xiàng)無關(guān)。因此，在討論數(shù)列極限時，可添加、去掉或改變其有限個項(xiàng)的數(shù)值，對數(shù)列收斂性和極限都無影響。？''''2022/12/1516鄰域法定義可見：數(shù)列是否有極限，只與它從某一項(xiàng)以后（2）N的存在性與非唯一性，且N僅與有關(guān)而與n無關(guān)。（1）正數(shù)絕對的任意性和相對固定性。4、關(guān)于數(shù)列極限定義的幾點(diǎn)理解（3）當(dāng)時，即以零為極限的數(shù)列稱為無窮小量。無窮小量不是很小的量。''''2022/12/1517（2）N的存在性與非唯一性，且N僅與有關(guān)而與n無關(guān)''''2022/12/1518''''2022/12/1218例1證:方法1：直接解不等式數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.注意：(不妨設(shè))''''2022/12/1519例1證:方法1：直接解不等式數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法例2證：放大''''2022/12/1520例2證：放大''''2022/12/1220小結(jié):用定義證數(shù)列極限存在時,關(guān)鍵是任意給定尋找N,但不必要求最小的N.方法2：若不易求解，可設(shè)法先把適當(dāng)?shù)胤糯?，再由求解N.''''2022/12/1521小結(jié):用定義證數(shù)列極限存在時,關(guān)鍵是任意給定證明：分三種情況證明.(方法一)或(這里即不是最小的N)''''2022/12/1522證明：分三種情況證明.(方法一)或(這里即不是最小的（方法二）由二項(xiàng)式定理，有''''2022/12/1523（方法二）由二項(xiàng)式定理，有''''2022/12/1223''''2022/12/1524''''2022/12/1224''''2022/12/1525''''2022/12/1225縮小分母，適當(dāng)放大''''2022/12/1526縮小分母，適當(dāng)放大''''2022/12/1226''''2022/12/1527''''2022/12/1227''''2022/12/1528''''2022/12/1228※''''2022/12/1529※''''2022/12/1229()bax()二、數(shù)列極限的性質(zhì)定理1所指出的實(shí)質(zhì)問題是兩個收斂數(shù)列的極限大小與這兩個數(shù)列的充分遠(yuǎn)片段中項(xiàng)的大小的關(guān)系問題。''''2022/12/1530()bax()二、數(shù)列極限的性質(zhì)定理1所指出的實(shí)質(zhì)問題是兩個推論1所指出的實(shí)質(zhì)問題是兩個收斂數(shù)列的充分遠(yuǎn)片段中項(xiàng)的大小與這兩個數(shù)列的極限大小的關(guān)系問題。''''2022/12/1531推論1所指出的實(shí)質(zhì)問題是兩個收斂數(shù)列的充分遠(yuǎn)片段中項(xiàng)的大小與推論2特殊情況所指出的實(shí)質(zhì)問題是一個收斂數(shù)列的極限符號與這個數(shù)列的充分遠(yuǎn)片段中項(xiàng)的符號的關(guān)系問題。''''2022/12/1532推論2特殊情況所指出的實(shí)質(zhì)問題是一個收斂數(shù)列的極限符號與這個Th2.（唯一性）收斂數(shù)列的極限是唯一的。''''2022/12/1533Th2.（唯一性）收斂數(shù)列的極限是唯一的。''''2022/稱“兩邊夾”法則證畢Th3所指出的問題的實(shí)質(zhì)是三個收斂數(shù)列的極限之間的關(guān)系。''''2022/12/1534稱“兩邊夾”法則證畢Th3所指出的問題的實(shí)質(zhì)是三個收斂數(shù)列的''''2022/12/1535''''2022/12/1235由兩面夾法則，得證。由兩面夾法則，得證。放大''''2022/12/1536由兩面夾法則，得證。由兩面夾法則，得證。放大''''2022分析：觀察函數(shù)結(jié)構(gòu)，構(gòu)造出定理給出的結(jié)構(gòu)形式，然后應(yīng)用定理。*由兩面夾法則，得證。''''2022/12/1537分析：觀察函數(shù)結(jié)構(gòu)，構(gòu)造出定理給出的結(jié)構(gòu)形式，然后應(yīng)用定理。Def:''''2022/12/1538Def:''''2022/12/1238''''2022/12/1539''''2022/12/1239

Th4.

有極限（收斂）的數(shù)列是有界的。舉出反例即可。''''2022/12/1540Th4.有極限（收斂）的數(shù)列是有界的。舉出反例即可。'三、數(shù)列極限的運(yùn)算（常數(shù)）''''2022/12/1541三、數(shù)列極限的運(yùn)算（常數(shù)）''''2022/12/1241''''2022/12/1542''''2022/12/1242''''2022/12/1543''''2022/12/1243注1.兩數(shù)列收斂僅是極限運(yùn)算成立的充分條件，而非必要條件。例如：''''2022/12/1544注1.兩數(shù)列收斂僅是極限運(yùn)算成立的充分條件，''''2注2.

極限運(yùn)算可推廣到有限多個數(shù)列的情形，但對無窮多個卻不成立。''''2022/12/1545注2.極限運(yùn)算可推廣到有限多個數(shù)列的情形，''''202''''2022/12/1546''''2022/12/1246''''2022/12/1547''''2022/12/1247''''2022/12/1548''''2022/12/1248''''2022/12/1549''''2022/12/1249四.單調(diào)有界數(shù)列Def:若等號都不成立，則稱它是嚴(yán)格單調(diào)增加（或減少）的。Th（實(shí)數(shù)連續(xù)性）

單調(diào)有界數(shù)列必有極限。''''2022/12/1550四.單調(diào)有界數(shù)列Def:若等號都不成立，則稱它是嚴(yán)格單※放大''''2022/12/1551※放大''''2022/12/1251※''''2022/12/1552※''''2022/12/1252

五、無窮大量的定義

Def:''''2022/12/1553五、無窮大量的定義

Def:''''2022/12/12極限含義的差別。(記號統(tǒng)一)注)).O-GGx''''2022/12/1554極限含義的差別。(記號統(tǒng)一)注)).O-GGx''''202''''2022/12/1555''''2022/12/1255''''2022/12/1556''''2022/12/1256''''2022/12/1557''''2022/12/1257六、無窮大量的性質(zhì)和運(yùn)算Th.''''2022/12/1558六、無窮大量的性質(zhì)和運(yùn)算Th.''''2022/12/125''''2022/12/1559''''2022/12/1259''''2022/12/1560''''2022/12/1260''''2022/12/1561''''2022/12/1261''''2022/12/1562''''2022/12/1262''''2022/12/1563''''2022/12/1263七、小結(jié)數(shù)列:研究其變化規(guī)律;數(shù)列極限:極限思想、定義、幾何意義;收斂數(shù)列的性質(zhì):保號性、唯一性、“兩邊夾法則”、有界性;數(shù)列極限的運(yùn)算:代數(shù)和、積與商;單調(diào)有界數(shù)列必有極限。無窮大量、定義、性質(zhì)和運(yùn)算作業(yè):p54.p56''''2022/12/1564七、小結(jié)數(shù)列:研究其變化規(guī)律;數(shù)列極限:極限思想、定義、幾何Chapt2數(shù)列與極限

嚴(yán)格的證明是數(shù)學(xué)的標(biāo)志,這是數(shù)學(xué)對于文化修養(yǎng)所提供的不可缺少的營養(yǎng),一個學(xué)生若對數(shù)學(xué)證明從未留下印象,那他就缺少了一種基本的思維經(jīng)歷.---波利亞(Polya,G.)

數(shù)學(xué)的主要目標(biāo)是大眾的利益和對自然現(xiàn)象的解釋.---傅里葉(Fourier,J.B.J.)Chapt2.極限與連續(xù)''''2022/12/1565Chapt2數(shù)列與極限Chapt2.極限與連

本章主要內(nèi)容

§1.數(shù)列極限和無窮大§2.函數(shù)的極限§3.連續(xù)函數(shù)§4.無窮小量和無窮大量的階Chapt2.極限與連續(xù)''''2022/12/1566本章主要內(nèi)容Chapt2.極限與Chapt2.極限與連續(xù)

教學(xué)目的:

本章討論的極限與連續(xù)概念和性質(zhì),是貫穿數(shù)學(xué)分析課程的基本方法與工具.后面全部內(nèi)容的研究都要用到.所以這部分內(nèi)容既是重點(diǎn)同時也是難點(diǎn).

教學(xué)要求:

務(wù)必深刻理解和熟練掌握極限與連續(xù)的概念和性質(zhì)及其運(yùn)算方法,這是學(xué)好本課程的基礎(chǔ)與關(guān)鍵.''''2022/12/1567Chapt2.極限與連續(xù)

本節(jié)內(nèi)容

一、數(shù)列極限的定義二、數(shù)列極限的性質(zhì)三、數(shù)列極限的運(yùn)算四、單調(diào)有界數(shù)列五、無窮大量的定義六、無窮大量的性質(zhì)和運(yùn)算七、小結(jié)思考題''''2022/12/1568本節(jié)內(nèi)容一、數(shù)列極限的定義''''2022/12/1“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——劉徽1、割圓求周播放

極限思想：三國時期，數(shù)學(xué)家劉徽應(yīng)用極限方法訂正、計(jì)算圓周率圓周長割圓術(shù)！''''2022/12/1569“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而討論圓內(nèi)接正多邊形與該圓周的關(guān)系已知圓內(nèi)接正多邊形的周長未知的圓周長（1）在任何有限的過程中，即對任何確定的n，皆為的近似值；（2）在無限的過程中，即當(dāng)n無限增大時，無限接近于常數(shù)的精確值。是當(dāng)n無限增大時的極限''''2022/12/1570討論圓內(nèi)接正多邊形與該圓周的關(guān)系已知圓內(nèi)接正多邊形的周長未知圓面積亦如此。啟示：已知與未知有限與無限近似與精確直線與曲線''''2022/12/1571圓面積亦如此。啟示：已知與2、截丈問題“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”''''2022/12/15722、截丈問題“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”''''2022一、數(shù)列極限的定義1.數(shù)列:是按一定次序排列的一列無窮多個數(shù)

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數(shù)列是定義在自然數(shù)集N上的函數(shù)。即以N為定義域并且由小到大取值所對應(yīng)的一列函數(shù)值(集合)。對，設(shè)，則函數(shù)值：自變量：}{nx，表示為數(shù)列為第n項(xiàng)或通項(xiàng)。''''2022/12/1573一、數(shù)列極限的定義1.數(shù)列:是按一定次序排列的一列無窮多個例如：01擺動！無限增大!考慮數(shù)列(以下例定性\定量分析)''''2022/12/1574例如：01擺動！無限增大!考慮數(shù)列(以下例定性\定量分析)'播放定性分析：當(dāng)n無限增大時，無限趨近于1，數(shù)1即所謂的“極限”。''''2022/12/1575播放定性分析：當(dāng)n無限增大時，定量分析：無限趨近于1是指：當(dāng)n充分大時,能任意小，并保持任意小。例如：即自然數(shù)10，當(dāng)n>10時，有……''''2022/12/1576定量分析：無限趨近由不等式有，故只須即可。以上還不能說明任意小，并保持任意小，畢竟它們都還是確定的數(shù)。自然數(shù)，當(dāng)時，便有定量定義：則稱數(shù)1是的極限。''''2022/12/1577由不等式有，故只須若數(shù)列不存在極限,則稱數(shù)列是發(fā)散的.如是發(fā)散數(shù)列.''''2022/12/1578若數(shù)列不存在極限,則稱數(shù)列是發(fā)散的.''''2022/12３、數(shù)列極限的幾何解釋:''''2022/12/1579３、數(shù)列極限的幾何解釋:''''2022/12/1215鄰域法定義可見：數(shù)列是否有極限，只與它從某一項(xiàng)以后有關(guān)，而與它前面的有限個項(xiàng)無關(guān)。因此，在討論數(shù)列極限時，可添加、去掉或改變其有限個項(xiàng)的數(shù)值，對數(shù)列收斂性和極限都無影響。？''''2022/12/1580鄰域法定義可見：數(shù)列是否有極限，只與它從某一項(xiàng)以后（2）N的存在性與非唯一性，且N僅與有關(guān)而與n無關(guān)。（1）正數(shù)絕對的任意性和相對固定性。4、關(guān)于數(shù)列極限定義的幾點(diǎn)理解（3）當(dāng)時，即以零為極限的數(shù)列稱為無窮小量。無窮小量不是很小的量。''''2022/12/1581（2）N的存在性與非唯一性，且N僅與有關(guān)而與n無關(guān)''''2022/12/1582''''2022/12/1218例1證:方法1：直接解不等式數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.注意：(不妨設(shè))''''2022/12/1583例1證:方法1：直接解不等式數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法例2證：放大''''2022/12/1584例2證：放大''''2022/12/1220小結(jié):用定義證數(shù)列極限存在時,關(guān)鍵是任意給定尋找N,但不必要求最小的N.方法2：若不易求解，可設(shè)法先把適當(dāng)?shù)胤糯?，再由求解N.''''2022/12/1585小結(jié):用定義證數(shù)列極限存在時,關(guān)鍵是任意給定證明：分三種情況證明.(方法一)或(這里即不是最小的N)''''2022/12/1586證明：分三種情況證明.(方法一)或(這里即不是最小的（方法二）由二項(xiàng)式定理，有''''2022/12/1587（方法二）由二項(xiàng)式定理，有''''2022/12/1223''''2022/12/1588''''2022/12/1224''''2022/12/1589''''2022/12/1225縮小分母，適當(dāng)放大''''2022/12/1590縮小分母，適當(dāng)放大''''2022/12/1226''''2022/12/1591''''2022/12/1227''''2022/12/1592''''2022/12/1228※''''2022/12/1593※''''2022/12/1229()bax()二、數(shù)列極限的性質(zhì)定理1所指出的實(shí)質(zhì)問題是兩個收斂數(shù)列的極限大小與這兩個數(shù)列的充分遠(yuǎn)片段中項(xiàng)的大小的關(guān)系問題。''''2022/12/1594()bax()二、數(shù)列極限的性質(zhì)定理1所指出的實(shí)質(zhì)問題是兩個推論1所指出的實(shí)質(zhì)問題是兩個收斂數(shù)列的充分遠(yuǎn)片段中項(xiàng)的大小與這兩個數(shù)列的極限大小的關(guān)系問題。''''2022/12/1595推論1所指出的實(shí)質(zhì)問題是兩個收斂數(shù)列的充分遠(yuǎn)片段中項(xiàng)的大小與推論2特殊情況所指出的實(shí)質(zhì)問題是一個收斂數(shù)列的極限符號與這個數(shù)列的充分遠(yuǎn)片段中項(xiàng)的符號的關(guān)系問題。''''2022/12/1596推論2特殊情況所指出的實(shí)質(zhì)問題是一個收斂數(shù)列的極限符號與這個Th2.（唯一性）收斂數(shù)列的極限是唯一的。''''2022/12/1597Th2.（唯一性）收斂數(shù)列的極限是唯一的。''''2022/稱“兩邊夾”法則證畢Th3所指出的問題的實(shí)質(zhì)是三個收斂數(shù)列的極限之間的關(guān)系。''''2022/12/1598稱“兩邊夾”法則證畢Th3所指出的問題的實(shí)質(zhì)是三個收斂數(shù)列的''''2022/12/1599''''2022/12/1235由兩面夾法則，得證。由兩面夾法則，得證。放大''''2022/12/15100由兩面夾法則，得證。由兩面夾法則，得證。放大''''2022分析：觀察函數(shù)結(jié)構(gòu)，構(gòu)造出定理給出的結(jié)構(gòu)形式，然后應(yīng)用定理。*由兩面夾法則，得證。''''2022/12/15101分析：觀察函數(shù)結(jié)構(gòu)，構(gòu)造出定理給出的結(jié)構(gòu)形式，然后應(yīng)用定理。Def:''''2022/12/15102Def:''''2022/12/1238''''2022/12/15103''''2022/12/1239

Th4.

有極限（收斂）的數(shù)列是有界的。舉出反例即可。''''2022/12/15104Th4.有極限（收斂）的數(shù)列是有界的。舉出反例即可。'三、數(shù)列極限的運(yùn)算（常數(shù)）''''2022/12/15105三、數(shù)列極限的運(yùn)算（常數(shù)）''''2022/12/1241''''2022/12/15106''''2022/12/1242''''2022/12/15107''''2022/12/1243注1.兩數(shù)列收斂僅是極限運(yùn)算成立的充分條件，而非必要條件。例如：''''2022/12/15108注1.兩數(shù)列收斂僅是極限運(yùn)算成立的充分條件，'