學(xué)新教材高中數(shù)學(xué)平面向量及其應(yīng)用61三22

12/1211/12/第2課時(shí)解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例(15分鐘30分)1.某船從A處向北偏東60°方向航行2QUOTE千米后到達(dá)B處,然后朝南偏西30°的方向航行6千米到達(dá)C處,則A處與C處之間的距離為()A.QUOTE千米B.2QUOTE千米C.3千米D.6千米【解析】選B.設(shè)A處與C處之間的距離為x千米,由余弦定理可得x2=QUOTE+62-2×2QUOTE×6cos(60°-30°)=12,則x=2QUOTE.【補(bǔ)償訓(xùn)練】在相距4千米的A,B兩點(diǎn)處測(cè)量目標(biāo)C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,則A,C兩點(diǎn)之間的距離是()A.4千米 B.2QUOTE千米C.2QUOTE千米 D.2千米【解析】選B.由于∠CAB=75°,∠CBA=60°,所以∠ACB=180°-75°-60°=45°,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,解得AC=2QUOTE.2.某建筑物上有一根長(zhǎng)為20m的旗桿,由地面上一點(diǎn)測(cè)得建筑物頂點(diǎn)的仰角為45°,旗桿頂端的仰角為60°,則此建筑物的高度最接近于()A.25mB.27mC.29mD.31m【解析】選B.設(shè)建筑物高度為h米,根據(jù)題意畫(huà)出圖形:由圖可得AB=h,則tan60°=QUOTE,解得h=QUOTE=10(QUOTE+1)≈27.3.如圖,已知A,B,C是一條直路上的三點(diǎn),AB與BC各等于1km,從三點(diǎn)分別望塔M,在A(yíng)處看見(jiàn)塔在北偏東30°方向,在B處看見(jiàn)塔在正東方向,在C處看見(jiàn)塔在南偏東60°方向,則塔到直路ABC的最短距離為()A.QUOTE B.QUOTE C.1 D.QUOTE【解析】選B.由已知得AB=BC=1,∠AMB=60°,∠CMB=30°,所以∠CMA=90°,所以AB=BC=1=MB,∠AMB=60°=∠A,所以AM=1,CM=QUOTE,設(shè)AC邊上的高為h,則塔到直路ABC的最短距離為h,所以QUOTE·AM·CM=QUOTE·AC·h,解得h=QUOTE.4.甲、乙兩樓相距20米,從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0°,從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0°,則甲、乙兩樓的高分別為米、米.?【解析】如圖,過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AB,垂足為依題意有甲樓的高度為AB=20·tan60°=20QUOTE(米),又CM=DB=20米,∠CAM=60°,所以AM=CM·QUOTE=QUOTE米,故乙樓的高度為CD=20QUOTE-QUOTE=QUOTE(米).答案:20QUOTEQUOTE5.如圖,要測(cè)出山上石油鉆井的井架BC的高,從山腳A測(cè)得AC=60m,井架頂B的仰角45°,井架底的仰角15°,則井架的高BC為m.?【解析】由題意得∠BAC=45°-15°=30°,∠ABC=45°,且AC=60m.在△ABC中,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,解得BC=30QUOTE.答案:30QUOTE6.一海輪以20海里/小時(shí)的速度向正東航行,它在A(yíng)點(diǎn)時(shí)測(cè)得燈塔P在船的北偏東60°方向上,2小時(shí)后船到達(dá)B點(diǎn)時(shí)測(cè)得燈塔P在船的北偏東45°方向上.求:(1)船在B點(diǎn)時(shí)與燈塔P的距離;(2)已知以點(diǎn)P為圓心,55海里為半徑的圓形水域內(nèi)有暗礁,那么船繼續(xù)向正東航行,有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)?【解析】(1)如圖:在△ABP中,∠PAB=30°,∠ABP=135°,所以∠APB=15°.由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以BP=20(QUOTE+QUOTE).(2)過(guò)P作PD⊥AB,D為垂足.PD=BPsin45°=20QUOTE+20<55,故繼續(xù)航行有觸礁危險(xiǎn).(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.已知A,B兩地距離為2,B,C兩地距離為3,現(xiàn)測(cè)得∠ABC=QUOTE,則A,C兩地的距離為()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.因?yàn)锳B=2,BC=3,∠ABC=QUOTE,所以由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=4+9-2×2×3cosQUOTE=19,即AC=QUOTE.2.如圖,在限速為90km/h的公路AB旁有一測(cè)速站P,已知點(diǎn)P距測(cè)速區(qū)起點(diǎn)A的距離為0.08km,距測(cè)速區(qū)終點(diǎn)B的距離為0.05km,且∠APB=60°,現(xiàn)測(cè)得某輛汽車(chē)從A點(diǎn)行駛到B點(diǎn)所用的時(shí)間為3s,則此車(chē)的速度介于()A.60～70km/h B.70～80km/hC.80～90km/h D.90～100km/h【解析】選C.由余弦定理得AB=QUOTE=0.07,則此車(chē)的速度為QUOTE=7×12=84km/h.3.(2020·天津高一檢測(cè))雕塑成了大學(xué)環(huán)境不可分割的一部分,有些甚至能成為這個(gè)大學(xué)的象征,在中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)校園中就有一座郭沫若的雕像.雕像由像體AD和底座CD兩部分組成.如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=70.5°,在Rt△DBC中,∠DBC=45°,且CD=2.3米,則像體AD的高度為()(最后結(jié)果精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):sin70.5°≈0.943,cos70.5°≈0.334,tan70.5°≈2.824)A.4.0米 B.4.2米 C.4.3米 D.4.4米【解析】選B.在Rt△BCD中,BC=CD=2.3(米),在Rt△ABC中,AC=BCtan∠ABC≈2.3×2.824≈6.5(米),所以AD=AC-CD=6.5-2.3=4.2(米).4.劉徽是我國(guó)魏晉時(shí)期著名的數(shù)學(xué)家,他編著的《海島算經(jīng)》中有一問(wèn)題:“今有望海島,立兩表齊,高三丈,前后相去千步,令后表與前表相直.從前表卻行一百二十三步,人目著地取望島峰,與表末參合.從后表卻行一百二十七步,人目著地取望島峰,亦與表末參合.問(wèn)島高幾何?”意思是:為了測(cè)量海島高度,立了兩根表,高均為5步,前后相距1000步,令后表與前表在同一直線(xiàn)上,從前表退行123步,人恰觀(guān)測(cè)到島峰,從后表退行127步,也恰觀(guān)測(cè)到島峰,則島峰的高度為(注:3丈=5步,1里=300步)()?A.4里55步 B.3里125步C.7里125步 D.6里55步【解析】選A.如圖.由題意BC=DE=5步,設(shè)AH=h步,BF=123,DG=127,QUOTE=QUOTE,HF=QUOTE,由題意,(HG-127)-(HF-123)=1000,即QUOTE-QUOTE-4=1000,解得h=1255步=4里55步.【誤區(qū)警示】不能正確作出圖示是本題最易犯的錯(cuò)誤.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對(duì)得5分,選對(duì)但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)5.某人在A(yíng)處向正東方向走xkm后到達(dá)B處,他向右轉(zhuǎn)150°,然后朝新方向走3km到達(dá)C處,結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好QUOTEkm,那么x的可取值為()A.QUOTE B.2QUOTE C.3QUOTE D.3【解析】選AB.由題意得∠ABC=30°,由余弦定理得cos30°=QUOTE,解得x=2QUOTE或x=QUOTE.6.《數(shù)書(shū)九章》是中國(guó)南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作,全書(shū)十八卷共八十一個(gè)問(wèn)題,分為九類(lèi),每類(lèi)九個(gè)問(wèn)題,《數(shù)書(shū)九章》中記錄了秦九昭的許多創(chuàng)造性成就,其中在卷五“三斜求積”中提出了已知三角形三邊a,b,c求面積的公式,這與古希臘的海倫公式完全等價(jià),其求法是:“以小斜冪并大斜冪減中斜冪,余半之,自乘于上,以小斜冪乘大斜冪減上,余四約之,為實(shí),一為從隅,開(kāi)平方得積.”若把以上這段文字寫(xiě)成公式,即S=QUOTE.現(xiàn)有△ABC滿(mǎn)足sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶QUOTE,且△ABC的面積S△ABC=6QUOTE,則運(yùn)用上述公式判斷下列命題正確的是()A.△ABC周長(zhǎng)為10+2QUOTEB.△ABC三個(gè)內(nèi)角A,C,B滿(mǎn)足A+B=2CC.△ABC外接圓直徑為QUOTED.△ABC中線(xiàn)CD的長(zhǎng)為3QUOTE【解析】選ABC.由正弦定理可得:a∶b∶c=2∶3∶QUOTE,設(shè)a=2m,b=3m,c=QUOTEmQUOTE,所以S=QUOTE=QUOTEm2=6QUOTE,解得:m=2,所以△ABC的周長(zhǎng)為a+b+c=4+6+2QUOTE=10+2QUOTE,A正確;由余弦定理得:cosC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以C=QUOTE,因?yàn)锳+B+C=π,所以A+B=QUOTE,即A+B=2C,B正確;由正弦定理知外接圓直徑為2R=QUOTE=QUOTE=QUOTE,C正確;由中線(xiàn)定理得a2+b2=QUOTEc2+2CD2,即CD2=QUOTE×QUOTE=19,所以CD=QUOTE,D錯(cuò)誤.【光速解題】本題B中可以直接令a=2,b=3,c=QUOTE,從而可快速判斷.三、填空題(每小題5分,共10分)7.如圖,一棟建筑物AB高(30-10QUOTE)m,在該建筑物的正東方向有一個(gè)通信塔CD.在它們之間的地面M點(diǎn)(B,M,D三點(diǎn)共線(xiàn))測(cè)得對(duì)樓頂A、塔頂C的仰角分別是15°和60°,在樓頂A處測(cè)得對(duì)塔頂C的仰角為30°,則通信塔CD的高為m.?【解析】由題意可知∠CAM=45°,∠AMC=105°,由三角形內(nèi)角和定理可知∠ACM=30°.在Rt△ABM中,sin∠AMB=QUOTE?AM=QUOTE.在△ACM中,由正弦定理可知:QUOTE=QUOTE,所以CM=QUOTE=QUOTE.在Rt△DCM中,sin∠CMD=QUOTE,所以CD=CM·sin60°=QUOTE·sin60°=60.答案:60【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖,為了測(cè)量山坡上燈塔CD的高度,某人從高為h=40的樓AB的底部A處和樓頂B處分別測(cè)得仰角為β=60°,α=30°,若山坡高為a=32,則燈塔高度是.?【解析】如圖,BN⊥DC于N,DC延長(zhǎng)線(xiàn)交地面于M,則DN=BNtanα,DM=AMtanβ,而B(niǎo)N=AM,所以BNtanβ-BNtanα=h,即BN(tan60°-tan30°)=40,BN=QUOTE=20QUOTE,所以DC=AMtan60°-CM=BNtan60°-32=20QUOTE×QUOTE-32=28.答案:288.海洋藍(lán)洞是地球罕見(jiàn)的自然地理現(xiàn)象,被喻為“地球留給人類(lèi)保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”,我國(guó)擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞,若要測(cè)量如圖所示的藍(lán)洞的口徑A,B兩點(diǎn)間的距離,現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點(diǎn)C,D,測(cè)得CD=80,∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°,則A,B兩點(diǎn)的距離為.?【解析】由已知,△ACD中,∠ACD=15°,∠ADC=150°,所以∠DAC=15°,由正弦定理得AC=QUOTE=QUOTE=40(QUOTE+QUOTE).△BCD中,∠BDC=15°,∠BCD=135°,所以∠DBC=30°,由正弦定理,QUOTE=QUOTE,所以BC=QUOTE=QUOTE=40(QUOTE-QUOTE).在△ABC中,由余弦定理AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=1600(8+4QUOTE)+1600(8-4QUOTE)+2×1600(QUOTE+QUOTE)(QUOTE-QUOTE)×QUOTE=1600×16+1600×4=1600×20=32000,故AB=80QUOTE,即A,B間的距離為80QUOTE.答案:80QUOTE四、解答題(每小題10分,共20分)9.某船在海面A處測(cè)得燈塔C在北偏東30°方向,與A相距10QUOTE海里,測(cè)得燈塔B在北偏西75°方向,與A相距15QUOTE海里,船由A向正北方向航行到D處,測(cè)得燈塔B在南偏西60°方向,這時(shí)燈塔C與D相距多少海里?C在D的什么方向?【解析】作AE⊥BD于E,CF⊥AD于F,由題意得AB=15QUOTE海里,AC=10QUOTE海里,∠BAD=75°,∠ADB=60°,則∠B=45°,所以AE=QUOTEAB=15QUOTE海里,因?yàn)椤螦DB=60°,所以∠DAE=30°,所以AD=30海里.因?yàn)椤螪AC=30°,AC=10QUOTE海里,所以CF=QUOTEAC=5QUOTE海里,AF=15海里,所以DF=15海里,又FC=5QUOTE海里,所以CD=QUOTE=10QUOTE海里,則∠CDF=30°,所以燈塔C與D相距10QUOTE海里,C在D南偏東30°方向.10.如圖,甲船以每小時(shí)30QUOTEnmile的速度向正北方航行,乙船按固定方向勻速直線(xiàn)航行,當(dāng)甲船位于A(yíng)1處時(shí),乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1處,此時(shí)兩船相距20nmile,當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A2處時(shí),乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2處,此時(shí)兩船相距10QUOTEnmile,問(wèn)乙船每小時(shí)航行多少海里?【解析】如圖,連接A1B2,由題意知,A2B2=10QUOTEnmile,A1A2=30QUOTE×QUOTE=10QUOTEnmile,所以A1A2=A2B2.又∠A1A2B2=180°-120°=60°,所以△A1A2B2是等邊三角形.所以A1B2=A1A2=10QUOTEnmile.由題意知A1B1=20nmile,∠B1A1B2=105°-60°=45°,在△A1B2B1中,由余弦定理得B1QUOTE=A1QUOTE+A1QUOTE-2A1B1·A1B2·cos45°=202+QUOTE-2×20×10QUOTE×QUOTE=200,所以B1B2=10QUOTEnmile.因此,乙船速度的大小為QUOTE×60=30QUOTE(nmile/h).答:乙船每小時(shí)航行30QUOTEnmile.根據(jù)國(guó)際海洋安全公約規(guī)定:兩國(guó)軍艦正常狀況下(聯(lián)合軍演除外)在公海上的安全距離為20mile(即距離不得小于20mile),否則違反了國(guó)際海洋安全規(guī)定.如圖,在某公海區(qū)域有兩條相交成60°的直航線(xiàn)XX′,YY′,交點(diǎn)是O,現(xiàn)有兩國(guó)的軍艦甲,乙分別在OX,OY上的A,B處,起初OA=30mile,OB=10mile,后來(lái)軍艦甲沿XX′的方向,乙軍艦沿Y′Y的方向,同時(shí)以40mile/h的速度航行.(1)起初兩軍艦的距離為多少?(2)試判斷這兩艘軍艦是否會(huì)違反國(guó)際海洋安全規(guī)定?并說(shuō)明理由.【解析】(1)連接AB,在△ABO中,由余弦定理得AB=QUOTE=10QUOTE.所以,起初兩軍