初中數學證明三角形全等方法總結

初中數學證明三角形全等方法總結姓名： 指導： 日期： 第1頁共10頁在證明線段或角相等時，解題的關鍵往往是根據條件找到兩個可能全等的三角形，再證明這兩個三角形全等，最后得出結論.利用全等三角形的性質可以證明分別屬于兩個三角形中的線段或角相等.下面介紹證明三角形全等的幾種方法，供同學們參考.一、利用公共角證明全等【例題1】如圖1，已知AB=AC,AE=AF,BF交CE于點O.CC圖1求證：/ABF=zACE.分析：要證明/ABF=/ACE,只需證明SOE空「OF或MB匡MCE.而由圖形可知/A是公共角，又由已知條件AB=AC,AE=AF,所以△AB匡MCEISAS),于是問題獲證.二、利用對頂角證明全等【例題2】如圖2,點B、E、F、D在同一條直線上，AB=CD,BE=DF,AE=CF,連接AC交BD于點O.第2頁共10頁

圖圖2求證：AO=CO.分析：要證明AO=CO,只需證明^AOE空4COF或4AOB空4COD即可.根據現有條件都無法直接證明而由已知條件AB=CD,BE=DF,AE=CF可直接證明4ABE空△CDF,則有/AEB=/CFD,進而有/AEO=/CFO,再利用對頂角相等即可證明MOE空「OFlAAS)于是問題獲證.三、利用公共邊證明全等【例題3】如圖3，已知AB=CD,AC=BD.CC圖3求證：nB=zC.分析：設AC與BD交于點O,此時nB與nC分別在△AOB和^DOC中，而用現有的已知條件是不可能直接證明這兩個三角形全等的，需添加輔助線來構造另一對全等三角形.此時可以連接AD,那么AD是MBD和4DCA的公共邊，這樣可以證明MBD空4DCAlSSS),從而可證明nB=nC,于是問題獲證.第3頁共10頁

證明：略.四、利用相等線段中的公共部分證明全等【例題4】如圖4,點E、F是平行四邊形ABCD的對角線AC上的兩點，AF=CE.求證：BEIIDF.分析：要證明BEIIDF,只需證明zBEC=/DFA,此時可以轉換為證明zAEB=zCFD,進而證明MEB空△CFD(SAS).而AE=AF-EF,CF=CE-EF,故AE=CF.證明：;在平行四邊形ABCD中，??ABHCD,AB=CD,?./BAE=zDCF,;AE=AF-EF,CF=CE-EF,AF=CE,?.AE=CF,?.△AEB丁△CFD(SAS),??/AEB=/CFD,??/BEC=1800-/AEB=180°-/CFD=/DFA,??BEIIDF.第4頁共10頁

五、利用等角中的公共部分證明全等【例題5】如圖5，已知zE=30°,AB=AD,AC=AE,zBAE=zDAC.二圖5求：zC的度數.分析：已知zE=30°,要求zC,可考慮證明^ABC空4ADE,由zBAE二zDAC,結合圖形可知zBAC=zDAE,于是問題獲解.證明：???zBAE=zDAC,???zBAE+zEAC=zDAC+zEAC,??.zBAC=zDAE,「AB=AD,AC=AE,,aABC空aADE(SAS),,zC=zE=30°.六、利用互余或互補角的性質證明全等【例題6】如圖6,已知zDCE=90°,zDAC=90°,BE±AC于點B,且DC=EC,能否找出與AB+AD相等的線段，并說明理由.第5頁共10頁

此時只需證明AD二BC即可而事實上用同角的余角相等可得到zDCA二/E,從而證明aADC空aBCE,問題獲證.注意考點：同角或等角的余角相等.證明：;BE±AC,?.nEBC=90°,??nDCA+zACE=zDCE=90°,zE+zACE=90°,「.nDCA=zE,?.zDAC=zEBC=90°,DC=EC,?.aADC空aBCE(AAS),?.AC=BE,AD=BC,?.AB+AD=AB+BC=AC=BE.七、利用角平分線的性質構造全等三角形證明全等考點：角平分線上的點到角兩邊的距離相等【例題7】如圖7,點P是zABC的平分線BN上一點，PE垂直AB所在的直線與E,PF垂直BC所在的直線于F,zPAB+zPCB=180°.第6頁共10頁圖圖7求證：PA=PC.證明：「BN是zEBC的角平分線，PE，BA,PF，BC,「./PEA=zPFC=90°,PE=PF,??nPAB+/PAE=/PAB+/PCB=180°,「./PAE=/PCF,「?aPAE空aPCF,「.PA=PC.八、利用截長補短法構造全等三角形證明全等所謂截長法是指在較長的線段上截取一條線段等于較短的線段，而補短法是指延長較短的線段等于較長的線段，通過截長補短可以把分散的條件相對集中起來，以便構造全等三角形?！纠}8】如圖8,在aABC中，/C=2/B,/1=/2.圖8圖8-1求證：AB=AC+CD.第7頁共10頁分析:從結論分析，〃截長〃或〃補短”都可實現問題的轉化，即延長AC至E使CE=CD，圖圖8-2來證明^ADB空aADE(AAS).或在AB上截取AF=AC,來證明^ADF空aADC(SAS),圖圖8-3AB=AF+FB=AF+FD=AC+CD.證明：略.九、利用“一線三等角”模型構造全等三角形證明全等所謂〃一線三等角〃是指一條直線上有三個相等角，如果有一組邊對應相等則可以構造全等三角形.類型一：直角三角形中的“一線三等角”模型【例題9】如圖9,在MBC中，nB=90°,CD，AC,過點D作DE±BC交BC延長線于點E,且AC=CD,第8頁共10頁

圖9圖9求證：MBC空aCED.證明：;de±bc,cd±ac,??.nDEC=90°,nACD=90°,?「nA+zACB=90°,nACB+zDCE=180°-zACD=90°,「.nA=nDCE,「nB=nE=90°,AC=CD,nA=nDCE,??.aABC空aCED(AAS).類型二：等腰三角形中底邊上的〃一線三等角〃模型【例題10］如圖10,在aABC中，AB=AC,點D、E分別在AB、BC上，圖10圖10作nDEF=nB,射線EF交線段AC于點F,若DE=EF,求證：4DBE空aECF.證明：AB=AC,「nB=nC,第9頁共10頁「/BED