考研xdf各科講義合集

2015考研數(shù)學(xué)概率論零基 講主講：：名師，博士，著名考研數(shù)學(xué)輔導(dǎo)專家，教育部“國家精品課程建設(shè)骨育《入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)考試參考書（大綱解析》編者之一，2007年斯洛文尼亞全球可持續(xù)發(fā)展大會(huì)受邀專家（15分鐘主旨。首創(chuàng)“題源教學(xué)法”，對 第一 第二講一維隨量及其概率分 第三講隨量的數(shù)字特 第一 隨機(jī)與概 ②隨機(jī)試驗(yàn)每一最簡單、最基本的結(jié)果稱為基 或樣本點(diǎn)，記為 【注】①等可能：對于可能結(jié)果1,2,,n，我們找不到任何理由認(rèn)為其中某一結(jié)果i更易發(fā)生，則只好（客觀）認(rèn)為所有結(jié)果在試驗(yàn)中發(fā)生的可能性一樣.②如果古典概型的基本總數(shù)為n，A包含k個(gè)基本，即有利于A的基kA 基 基 總n 類方法，第一類方法中有 種方法，第二類方法中有種方法，……，第n類方法中有mn種方法，則完成此事共有m1m2mn種辦法法，……，第n步中有mn種方法，則完成此事共有m1m2mn種辦法.

.當(dāng)mnnPmPnn!，稱為全排列

(n④組合：從n個(gè)不同元素中取出m(mn個(gè)元素并成一組，叫組合. 叫做組合數(shù)，記作Cnn

引例如果(1)樣本空間(基本空間)Ω是一個(gè)可度量的幾何區(qū)域；(2)每個(gè)樣本點(diǎn)(基本)ΩAA的幾何在幾何概型隨機(jī)試驗(yàn)中，如果SA是樣本空間Ω一個(gè)可度量的子區(qū)域，則A＝“樣PA)SA的幾何測的幾何測2】在區(qū)間(0,1)求逆P(A)1P(減法P(A－B)＝P(A)加法

5【注】①設(shè)A1，A2，…，An是兩兩互不相容的，則

i i②若A1，A2，…，An相互獨(dú)立，則

Ai)1[1P(Aii iP(B|A)P(

條件概率P(B|A)1P(B|P(BC|A)1P(B|A-P(BC|A)＞0n如果AiAiAj(i

BAiB,P(B)P(Ai)P(B|Aii in如果AiAiAj(i

P(

|B)P(Ai)P(B|Ai)(i1,2,,nP(Ai)(B|Ain“在A發(fā)生的條件下”或“已知A發(fā)生”等等，均要考慮條件概率．與某些前提條件(或原因、因素或前一階段結(jié)果)Ai相聯(lián)系，那么在計(jì)算P(B)時(shí)，我們總是將i果其中任何一個(gè)或幾個(gè)發(fā)生的概率都不受其余的某一個(gè)或某幾個(gè)發(fā)生與否的影響，則稱A1，A2，…，An相互獨(dú)立．?dāng)?shù)學(xué)定義設(shè)A、B為，如果P(AB)＝P(A)P(B)，則稱A與B相互獨(dú)立，簡稱為A與B獨(dú)立．P(Ai1Ai2…Aik)＝P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik)，則稱n個(gè)A1，A2，…，An相互獨(dú)立． 〈1〉A(chǔ)1…An相互獨(dú)立任意k≥2P(Aij)PAijj jA、B獨(dú)立P(B|A)P(B|A)P(B).〈2〉n個(gè)相互獨(dú)立的充要條件是，它們中任意一部分換成各自的對立所得到的n個(gè)相互獨(dú)立．〈2〉n個(gè)相互獨(dú)立，則不含相同的組經(jīng)某種運(yùn)算后所得的是相互獨(dú)立的．例如，A、B、C、DABCD相互獨(dú)立，ABCD相互獨(dú)立，在現(xiàn)實(shí)生活中，難于想像兩兩獨(dú)立而不相互獨(dú)立的情況，可以這樣想：獨(dú)立第二講一維隨量及其概率分隨量就是“其值隨機(jī)會(huì)而定”EΩ＝{}，如果對每一個(gè)∈Ω，都有唯一X)與之對應(yīng)，并且對任x，{：X()≤x}是隨機(jī)，則稱定義Ω上的實(shí)單X()為隨量．簡記為隨量X．一般用大寫字母X，Y，Z…或希臘字母ξ，η，ξ…來表示隨量．定義設(shè)X是隨量，x是任意實(shí)數(shù)，稱函數(shù)F(x)=P{X≤x}(x∈R)為隨量X的分布函數(shù)，或稱X服從分布F(x)，記為X～F(x)．充分必要條件函數(shù)F(x)為某一隨量X的分布函數(shù)的充要條件 F(x)xx∈RlimF(xF(x0)F(x03°F()=limF(x)0,F()limF(x)

或X~

數(shù)列{pi：i＝1，2，…}是離散型隨量概率分布的充要條件是pi≥0(i＝1，2，…)piiF(x)P(Xx)P(Xxixipi＝P(X＝xi)＝P(X≤xi)-P(X＜xi)＝F(xi)-P(XB)P(XxixF(x)f(t)dt(xx 量X概率密度的充要條件是，f(x)≥0且f(x)dx1(由此可知，可以改變f(x)有限個(gè)點(diǎn)的值，f(x)仍然是密度函數(shù))．有P(XB)fBbP(aXb)af(x)dxF(b)Fbb{x＜X≤x＋h}的概率(h＞0為常數(shù))，應(yīng)為F(x＋h)－F(x)．所以，比值[F(x＋h)F(x)]/h可xh這么長的區(qū)間(x，x＋h)h→0，則這個(gè)x點(diǎn)處的“密集程度”1，概率b密度相當(dāng)于桿上各點(diǎn)的質(zhì)量密度．(2P(aXbaf(x)dxX 0

1P如果X的概率分布為pP(Xk)Ckpk(1p)nk,k ,n,0p1，則稱X服 【評注】①如果X是n重試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)，則X～B(n，p)，其中p＝kk 布近似，即Cnp(1 k!eXpkPXk

kke,k kkXpkPXk)

n N CC

k0,1,min(MnMNn xb bf(x) axb,F(x)b b

ax b【評注】區(qū)間(a，b)，可以是閉區(qū)間[a，b]；幾何概型是均勻分布的實(shí)際背景．用幾 f(x)ex x0或F(x)1ex x0( x x 1(xf(x) e2 (x1其中－∞＜μ＜∞，σ＞0X服從參數(shù)為(μ，σ2)X為正態(tài)變量，記1最大值f() (x)

1

Φ(0)1,Φ(x)12σ2)，則其分布函F(x)P(Xx)Φ(x);F(x)F(x)P(aXb)

b

)

a k123P(Xk2(1(1PX2)

3，求未知參數(shù)及X4f(xF(x)F(0)=1，求 U[0,]，求YsinX的概率密度fY(y)2

1x【例】設(shè)隨量X的概率密度為f

(x 0x2,YX2

第三講隨量的數(shù)字特定義設(shè)X是隨量，Y是X的函數(shù)(1)如果X是離散型隨量，其分布律為pi＝P{X＝xi}(i＝1，2，…)．若級 量X的數(shù)學(xué)期望存在，并將級數(shù)xiP{Xxi}和 EXxiP{Xg(xi)P{Xxi}g(X)數(shù)學(xué)期望EX存在，且EX xf(x)dx，否則稱X的數(shù)學(xué)期望不存在．若積 g(xf(x)dxg(X)EgXg(xf(x)dx．否則g(X)的數(shù)學(xué)期望不存在．對任意常數(shù)ai和隨量Xi(i＝1，…，n) E(aiXi)ai 特別地XY一般地，設(shè)X1，X2，…，Xn相互獨(dú)立， E(Xi)EXi,E(gi(Xi))Egi(Xi X 為X的標(biāo)準(zhǔn)差或均方差，稱隨 量X*? 此時(shí)EX*＝0，DX*X EX)(Y nD(aiXi)aiajE(XiEXi)(Xj