曲線與曲面積分串講

二、曲線積分的概念與計算一、對稱性在積分學(xué)中的應(yīng)用主要內(nèi)容三、曲面積分的概念與計算一、對稱性在積分學(xué)中的應(yīng)用1、奇偶對稱性二重積分中若積分區(qū)域關(guān)于y軸對稱,而被積函數(shù)(1)關(guān)于x是奇函數(shù),則積分結(jié)果為0.三重積分中若積分區(qū)域關(guān)于xoy面對稱,而被積函數(shù)關(guān)于z是奇函數(shù),則積分結(jié)果為0.(2)奇偶對稱性適用于:定積分,二重積分,三重積分,第一類曲線積分,第一類曲面積分.2、輪換對稱性(1)若中三個變量按任一順序同時對換后,函數(shù)的表達式不變,空間閉域(空間曲線,曲面,立體)的輪換對稱性與上述定義類似,本質(zhì)上就是同時對換坐標(biāo)軸.(2)假設(shè)空間閉域具有輪換對稱性,則在上的積分關(guān)于被積表達式輪換相等.則稱具有輪換對稱性.(3)例如:輪換對稱性適用于:二重積分,三重積分,兩類曲線積分,兩類曲面積分.①若,則②若,則③若,取外側(cè),則二、曲線積分的概念與計算1、曲線積分的概念(1)第一類曲線積分(對弧長)①背景:平面曲線的質(zhì)量②定義:記作③性質(zhì):(無向性)︵︵(2)第二類曲線積分(對坐標(biāo))①背景:變力沿曲線做功②定義:③性質(zhì):(有向性)記作(3)兩類曲線積分之間的關(guān)系LBA切向量與曲線的走向一致(1)基本思路:定積分轉(zhuǎn)化(2)關(guān)鍵步驟:曲線積分把曲線方程表示為參數(shù)形式L:(3)注意事項:第一類:(無向性)下限<上限第二類:(有向性)上下限起終點2、曲線積分的計算(4)基本方法：“三替換法”①第一類:②第二類:例1.

計算其中①L是直線上點之間的一段②L是折線OBA，其中③L是上半圓周AB︵解:①②由可加性：︵︵③︵︵︵︵︵例2.

計算其中解:①①由點經(jīng)直線到②由經(jīng)軸到再經(jīng)過到③由經(jīng)上半圓周到②由可加性：︵︵③︵︵︵︵(5)解題技巧:②利用對稱性簡化計算;③利用積分與路徑無關(guān)的等價條件;④格林公式:①利用曲線方程簡化被積函數(shù);二重積分轉(zhuǎn)化第二類曲線積分例3.計算其中

為曲線解:利用輪換對稱性,有利用重心公式知(

的重心在原點)重心公式例4.求其中L沿從到解:方法一:“三替換法”(以為參數(shù)）方法二:令則所以在不含原點的某單連通區(qū)域內(nèi)與路徑無關(guān)從而可采取“換路法”求解D取從A到B思考：積分路徑是否可以選取有向線段AB，為什么？對又如何？例5：已知平面區(qū)域L為D的邊界,試證證:(1)根據(jù)格林公式①②所以相等,從而左端相等,即(1)成立.(2003考研)因①、②兩式右端積分具有輪換對稱性,(2)由①式由輪換對稱性1、曲面積分的概念(1)第一類曲面積分(對面積)①背景:空間曲面的質(zhì)量②定義:③性質(zhì):(無向性)記作三、曲面積分的概念與計算(2)第二類曲