二重積分習(xí)題練習(xí)及解析

補(bǔ)充輪換對稱性結(jié)論:若D關(guān)于x,y滿足輪換對稱性(將D的邊界曲線方程中的x與y交換位置,方程不變),則1證所以,例2習(xí)題課二重積分知識要點(diǎn)解題技巧典型例題3其中一、二重積分的概念與性質(zhì)是各小閉區(qū)域的直徑中的最大值.幾何意義二重積分I表示以D為底,柱體的體積.z=f(x,y)為曲頂,側(cè)面是（一）二重積分的定義,幾何意義與物理意義定義1.平面上有界閉區(qū)域D上二元有界函數(shù)z=f(x,y)的二重積分2.當(dāng)連續(xù)函數(shù)以D的邊界為準(zhǔn)線,母線平行于z軸的柱面的曲頂一般情形,知識要點(diǎn)

4物理意義3.xOy平面上方的曲頂柱體體積減xOy平面下方的曲頂柱體體積.若平面薄片占有平面內(nèi)有界閉區(qū)域D,則它的質(zhì)量M為:它的面密度為連續(xù)函數(shù)5性質(zhì)1(線性運(yùn)算性質(zhì))為常數(shù),則(重積分與定積分有類似的性質(zhì))性質(zhì)2將區(qū)域D分為兩個(gè)子域?qū)Ψe分區(qū)域的可加性質(zhì).（二）二重積分的性質(zhì)6以1為高的性質(zhì)3(幾何應(yīng)用)若為D的面積

注既可看成是以D為底,柱體體積.

又可看成是D的面積.特殊地性質(zhì)4(比較性質(zhì))則(保序性)7幾何意義以m為高和以M為高的性質(zhì)5(估值性質(zhì))σ為D的面積,則則曲頂柱體的體積介于以D為底,兩個(gè)平頂柱體體積之間.8性質(zhì)6(二重積分中值定理)體體積等于以D為底幾何意義域D上連續(xù),σ為D的面積,則在D上至少存在一點(diǎn)使得則曲頂柱為高的平頂柱體體積.設(shè)f(x,y)在閉區(qū)9(1)設(shè)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù).若D關(guān)于則x軸對稱,f(x,y)對y為奇函數(shù),即f(x,y)對y為偶函數(shù),即則其中（三）對稱區(qū)域上奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)10(2)設(shè)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù).若D關(guān)于則y軸對稱,f(x,y)對x為奇函數(shù),即

f(x,y)對x為偶函數(shù),即則其中11(3)設(shè)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù).12其中函數(shù)在區(qū)間[a,b]上連續(xù).二、在直角坐標(biāo)系中化二重積分為累次積分(1)設(shè)f(x,y)在平面有界閉區(qū)域D上連續(xù).先對y

后對x的二次積分13其中函數(shù)在區(qū)間[c,d]上連續(xù).(2)設(shè)f(x,y)在平面有界閉區(qū)域D上連續(xù).先對x

后對y的二次積分.14極坐標(biāo)系中的面積元素三、在極坐標(biāo)系中化二重積分為累次積分θ(1)設(shè)f(x,y)在平面有界平面閉區(qū)域D上連續(xù).其中函數(shù)15(2)設(shè)f(x,y)在平面有界平面閉區(qū)域D上連續(xù).其中函數(shù)16極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積θ(3)設(shè)f(x,y)在平面有界平面閉區(qū)域D上連續(xù).其中函數(shù)17再確定交換積分次1.交換積分次序:先依給定的積分次序?qū)懗龇e分域D的不等式,并畫D的草圖;序后的積分限;2.

如被積函數(shù)為圓環(huán)域時(shí),或積分域?yàn)閳A域、扇形域、則用極坐標(biāo)計(jì)算;解題技巧18

3.注意利用對稱性質(zhì),數(shù)中的絕對值符號.以便簡化計(jì)算;4.被積函數(shù)中含有絕對值符號時(shí),應(yīng)將積分域分割成幾個(gè)子域,使被積函數(shù)在每個(gè)子域中保持同一符號,以消除被積函19解例計(jì)算積分交換積分次序.原式=

典型例題1.交換積分次序20計(jì)算解積分域是圓故關(guān)于x、y軸、故將被積函數(shù)分項(xiàng)積分:而