高斯光束斜入射非平行法布里珀羅干涉儀透射光強(qiáng)分布

高斯光束斜入射非平行法布里珀羅干涉儀透射光強(qiáng)分布

1高斯光束正入射和法布里-鮑羅干涉儀后光束分布的研究fpr-fpe的廣泛應(yīng)用，由于光譜分析、激光共振腔、傳感器技術(shù)和光學(xué)通信技術(shù)的廣泛應(yīng)用，引起了人們的關(guān)注。[1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11]。由于法布里-珀羅干涉儀的應(yīng)用常常和激光聯(lián)系在一起,而基模激光光束具有高斯分布,因而人們對高斯光束經(jīng)過法布里-珀羅干涉儀后透射光束的分布進(jìn)行了大量研究。在眾多研究工作中,人們常常假定高斯光束正入射法布里-珀羅干涉儀或法布里-珀羅干涉儀的兩鏡面為嚴(yán)格平行,但在實(shí)際的應(yīng)用過程中,高斯光束正入射和法布里-珀羅干涉儀兩反射端面嚴(yán)格平行難于實(shí)現(xiàn),因而有必要對高斯光束斜入射(本文的研究針對入射角小于1°)非平行法布里-珀羅干涉儀后光束的情況進(jìn)行研究。Lee等在忽略高斯光束沿傳播路徑上的衍射對光斑強(qiáng)度分布影響的條件下,采用傳輸函數(shù)的方法對此進(jìn)行了研究。顯然,利用這種模型對于入射光斑較小,法布里-珀羅干涉儀的端面反射系數(shù)r較大時(shí)是不合理的。本文利用多光束干涉原理,從高斯光束的傳播方程出發(fā),研究了在不同的入射角下,非平行法布里-珀羅干涉儀鏡面的不平行度(由楔角ε來標(biāo)定,考慮實(shí)際應(yīng)用的情形,本文楔角的取值小于0.01°)對高斯光束的透射光分布的影響。2非平行法布里-賓羅干涉儀兩反射端面插裝法在自由空間沿z軸傳輸?shù)母咚构馐杀硎緸镋(x,y,z)=Aw0w(z)exp[-x2+y2w2(z)]×exp{-i[βz-arctan(zf)]}exp[-iβ(x2+y2)2R(z)],(1)式中A為高斯光束束腰中心的振幅,w0為高斯光束的腰斑半徑,及β=2πn/λ,(2)w(z)=w0√1+(z/f)2,(3)R(z)=z[1+(f/z)2]=z+f2/z,(4)f=nπw20/λ.(5)這里R(z)和w(z)分別為相對于束腰中心傳輸了距離z后高斯光束等相位面的曲率半徑和光斑半徑,n為非平行法布里-珀羅干涉儀兩端面之間介質(zhì)的折射率(本文假設(shè)兩端面之間的介質(zhì)為真空,即n=1),β為傳播常量,λ為光在真空中的波長。圖1為一振動(dòng)方向垂直于xz平面的高斯光束以與非平行法布里-珀羅干涉儀的出射端面M2的法線方向成θ角射入非平行法布里-珀羅干涉儀的光路圖(考慮到入射端面M1的厚度非常小,因此忽略了光線在通過M1時(shí)由于折射引起的側(cè)移),圖中r1,r2分別為端面M1、M2的反射系數(shù),z0為入射處的光斑中心到束腰中心的距離,L為非平行法布里-珀羅干涉儀從高斯光束的入射點(diǎn)到第一個(gè)出射點(diǎn)的距離,由圖1可知非平行法布里-珀羅干涉儀在該出射點(diǎn)處的腔長為Lcos(θ-ε),ε為非平行法布里-珀羅干涉儀兩反射端面所成的楔角。如楔角ε是由入射面M1繞楔形的頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到出射面M2,則楔角ε為正值,如圖1(a)所示。反之楔角ε為負(fù)值,如圖1(b)所示。以圖中與z軸相垂直的平面M′為考察面,o′為入射高斯光束傳輸軸與考察面M′的交點(diǎn),oo′的距離為L0。如圖所示,入射高斯光束在非平行法布里-珀羅干涉儀中經(jīng)過m(m=0,1,2,…)次往返反射后的出射光束為第(m+1)次光束,其傳輸軸與考察面M′的交點(diǎn)為(其中o′與點(diǎn)重合),其場分布為Em,光強(qiáng)分布為EmE*m。對于第(m+1)次出射的次光束,如圖1(a)所示,其傳輸軸線相對入射光束的傳輸軸線偏轉(zhuǎn)了一個(gè)2mε角,其在M2平面上的光斑中心沿o″x″方向相對于o″點(diǎn)移動(dòng)的距離為Δxm,Δxm為圖1中點(diǎn)o″與點(diǎn)xm之間的距離。光束相對于入射處多傳輸?shù)木嚯x為Δzm,Δzm為圖1(a)中光斑中心由入射點(diǎn)傳輸?shù)絰m所經(jīng)過的距離,利用與文獻(xiàn)中類似的幾何推導(dǎo)方法可得到Δxm、Δzm:Δxm=Lcos(θ-ε)cosθ/sinεcos(θ+2nε)-Lcos(θ-ε)sinε,(6)Δzm=Lcos(θ-ε)cosθsinθ×[tan(θ+2mε)-tan(θ-ε)].(7)而在考察面M′上,第(m+1)次出射的次光束的光斑中心沿o′x′相對于o′點(diǎn)移動(dòng)的距離為Δ■m,Δ■m為圖1中點(diǎn)o′到x′的距離,光束的光斑中心相對于入射處o點(diǎn)多傳輸?shù)木嚯x為Δ■m,由(6)式、(7式)可推得Δ■m、Δ■m:Δx′m=Δxmcosθ+(L0-L-Δxmsinθ)tan(2mε),(8)Δz′m=z0+Δzm+(L0-L-Δxmsinθ)/cos(2mε),(9)在圖1(a)中,考察o′x′上的任一點(diǎn)p,p離o′的距離x′,則p點(diǎn)到第(m+1)次出射的次光束的傳輸軸線的距離pz′為Xm=|(x′-Δx′m)cos(2mε)|,(10)相應(yīng)的光束軸線傳輸?shù)絲′點(diǎn)的距離為Ζm=Δx′m+(x′-Δx′m)sin(2mε),(11)由高斯光束的傳輸方程并考慮高斯光束在法布里-珀羅干涉儀中的來回傳播,可推導(dǎo)出第(m+1)次出射的次光束在p點(diǎn)所產(chǎn)生的光場:Em(Xm,y,Ζm)=Κ(r1r2)mw0w(Ζm)exp[-X2m+y2w2(Ζm)]×exp{-i[βΖm-arctan(Ζmf)]}×exp[-iβ(X2m+y2)2R(Ζm)],(12)其中Κ=A√(1-r21)(1-r22),(13)因此,p點(diǎn)總的透射光場為各次光束在該點(diǎn)所產(chǎn)生的光場之和,即Et=Ν∑m=0Em(Xm,y,Ζm),(14)從圖1中可以看出,當(dāng)2mε+θ≥π/2時(shí),在腔中往返m次后的光束不再從端面M2出射,而從腔的側(cè)面逃逸,因此可得Ν=[π4ε-θ2ε],(15)表示取整,則p點(diǎn)的光強(qiáng)為Ι=EtE*t=k2Ν∑m=0Ν∑n=0(r1r2)m+nw20w(Ζm)w(Ζn)exp[-X2m+y2w2(Ζm)]exp[-X2n+y2w2(Ζn)]×cos{β(Ζn-Ζm)+arctan(Ζmf)-arctan(Ζnf)+β2[Xn+y2R(Ζn)-X2m+y2R(Ζm)]},(16)以上的推導(dǎo)及所得各式對于楔角ε為負(fù)值時(shí)同樣適用,當(dāng)ε為零時(shí)我們已在文獻(xiàn)中作了相關(guān)研究。由于p點(diǎn)為o′x′軸上的任意一點(diǎn),通過改變x′的大小,即可得到M′面上任意點(diǎn)的光強(qiáng),從而可對其透射光束的分布進(jìn)行研究。當(dāng)楔角為負(fù)值時(shí),如圖1(b)所示,隨著高斯光束在非平行法布里-珀羅干涉儀腔內(nèi)多次往返反射,出射次光束出射點(diǎn)的位置先逐漸往o′x′軸的正方向偏,在往返反射m次后,當(dāng)θ+2mε≤0時(shí),這時(shí)次光束出射點(diǎn)的位置將反過來向o′x′軸的負(fù)方向偏移,光束在此處出現(xiàn)“反跳”,由(8)式可知反跳點(diǎn)離o′的距離:x′c=Δxmcosθ+(L0-L-Δxmsinθ)tan(2mε),(17)其中mc=[-θ2ε].(18)我們知道當(dāng)光束在平行法布里-珀羅干涉儀腔內(nèi)傳輸滿足共振條件時(shí),這時(shí)腔的透過率最大,而對于楔行腔,腔內(nèi)往返次數(shù)不等的光束之間是無法嚴(yán)格滿足共振條件的,但如果鄰近出射次光束之間在考察面上的相位接近2π的整數(shù)倍時(shí),非平行法布里-珀羅干涉儀的透射性最好,出射光束的的峰值強(qiáng)度最強(qiáng),稱此時(shí)光束在非平行的法布里-珀羅干涉儀腔內(nèi)的傳輸滿足準(zhǔn)共振條件,把滿足此條件的頻率稱為準(zhǔn)共振頻率ωm,光波的頻率ω偏離ωm的大小即為頻率失諧,用Ω表示:Ω=ω-ωm,(19)結(jié)合(19)式和(16)式即可討論失諧大小對透射光強(qiáng)的影響。3《反跳》的結(jié)果分析圖2給出了不同腰斑大小的高斯光束經(jīng)過具有不同楔角的非平行法布里-珀羅干涉儀后透射光強(qiáng)沿o′x′的分布圖,這里,為了簡化僅討論一維分布的情形。其中圖2(a1)、圖2(a2)為大光斑入射高斯光束的透射光強(qiáng)分布圖,入射光束腰斑處的半峰全寬(FWHM)D=6mm,它的腰斑半徑大小ω0=D/1.665,圖2(b1)、圖2(b2)、圖2(c1)、圖2(c2)中入射光斑的半峰全寬為D=1mm。計(jì)算時(shí)所用其它的數(shù)據(jù)為:θ=5mrad,r12=r22=0.99,λ=632.8nm,L=9.998806mm,L0=0.2m,z0=0,A=1。從圖2中可看出,當(dāng)楔角為正值時(shí),圖2(a1)中出射光斑在o′稍偏右位置形成一主峰,在主峰計(jì)算中,為了使光束在非平行法布里-珀羅干涉儀中傳輸滿足準(zhǔn)共振條件,L的大小作微小的適當(dāng)調(diào)整。主峰的右側(cè)形成了一系列的次峰,次峰的強(qiáng)度沿o′x′的正方向越來越小而使光斑右側(cè)的強(qiáng)度逐漸平滑地下降。當(dāng)楔角為負(fù)值時(shí)[圖2(a2)],在o′x′的零值附近形成的光強(qiáng)分布大體與楔角為正時(shí)相同,但光斑右側(cè)的強(qiáng)度隨o′x′的正方向不是越來越平滑地下降,而是形成幅度越來越大的振蕩,當(dāng)振蕩到某一值時(shí),光強(qiáng)突然下降到零。從圖2(a2)中的放大部分看,在主峰的頂端也出現(xiàn)了振蕩。由上文的理論分析可知,這是由于在楔角為負(fù)時(shí),沿o′x′的出射位置先左偏后右偏的出射次光束之間在考察面上的相位復(fù)雜,互相干涉后的強(qiáng)度分布也極為復(fù)雜的緣故。如入射光斑變小為D=1mm[其光強(qiáng)分布如圖2(b1)、圖2(b2)、圖2(c1)、圖2(c2)所示],當(dāng)楔角為正時(shí),光強(qiáng)分布為單峰結(jié)構(gòu),峰值的右側(cè)不如左側(cè)陡峭,而且光強(qiáng)逐漸衰減到零,比較圖2(b1)、圖2(c1)可知,出射光束的峰值強(qiáng)度隨楔角的增大而減小;當(dāng)楔角為負(fù)時(shí)[如圖2(b2)、圖2(c2)所示],楔角的絕對值越大,光強(qiáng)振蕩得越劇烈,由圖中的放大部分可見,出射光束有很多個(gè)次峰,“反跳”處的光強(qiáng)隨楔角的絕對值增大而增大,ε達(dá)到一定值時(shí),“反跳”處的光強(qiáng)為光斑峰值強(qiáng)度。利用文獻(xiàn)中給出的數(shù)據(jù)所模擬得到的透射光強(qiáng)的分布圖與文獻(xiàn)中的結(jié)果圖7、圖8相比較發(fā)現(xiàn),當(dāng)入射高斯光束的光斑半徑較大時(shí)所得到的和文獻(xiàn)相同,但當(dāng)入射高斯光束的腰斑半徑較小時(shí),我們所得到的結(jié)果與文獻(xiàn)的結(jié)果相差較大。這是由于在文獻(xiàn)中忽略了高斯光束沿傳播路徑上的衍射對光斑強(qiáng)度分布的影響,從而導(dǎo)致該文中理論結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果存在較大的偏差。在圖3、圖4中分別給出了透射光的峰值強(qiáng)度和峰值強(qiáng)度位置隨楔角ε的變化曲線。從圖3中可以看出:隨著楔角值的增大,峰值強(qiáng)度總體呈現(xiàn)下降的趨勢。峰值強(qiáng)度先下降得較快,然后隨著ε的進(jìn)一步增大,峰值強(qiáng)度的下降趨緩,最后曲線趨于平坦。在圖4中,峰值強(qiáng)度位置的兩條曲線都分為兩段,它們的變化趨勢大體相同。開始時(shí),隨著負(fù)楔角ε的絕對值的減少,峰值沿o′x′的正方向偏離零點(diǎn)越大,ε達(dá)到某一值時(shí),峰值位置突然下跳到零附近,且隨之出現(xiàn)小幅波動(dòng),然后緩慢向零值靠近。結(jié)合圖3、圖4還可看出,在相同的楔角ε下,θ角越大,光斑的峰值強(qiáng)度越小,峰值強(qiáng)度的位置在負(fù)楔角范圍內(nèi)所形成跳躍性變化卻越大。從上文的分析可知,“反跳”處的光強(qiáng)較強(qiáng)是由于此處有較多相位差接近2π整數(shù)倍的次光束相長干涉所致,且楔角的絕對值越大,“反跳”的位置出現(xiàn)得越早,“反跳”處的出射次光束在腔內(nèi)往返的次數(shù)越少,因此干涉后的強(qiáng)度也越大。而θ角越小,在ε為負(fù)時(shí),使得“反跳”出現(xiàn)得更早;在ε為正時(shí),使次光束之間的重疊部分增大,準(zhǔn)共振作用加強(qiáng)。楔角ε和入射角θ角的共同作用導(dǎo)致圖3、圖4所示的結(jié)果。圖5給出了峰值強(qiáng)度隨對法布里-珀羅干涉儀腔的自由光譜范圍(RFS)進(jìn)行歸一化后的頻率失諧的變化曲線?？煽闯龇逯祻?qiáng)度隨頻率失諧量的變化近似為高斯型,在楔角的絕對值為相等的條件下,楔角為負(fù)時(shí)出射光斑的峰值強(qiáng)度比楔角為正時(shí)的大;當(dāng)楔角一定時(shí),θ角越小,出射光斑的峰值強(qiáng)度越大,曲線的半極大寬度也越小(峰值強(qiáng)度隨頻率失諧量的變化更陡峭)。從圖5中還可出,透射光束的峰值強(qiáng)度隨失諧量的增大而迅速下降,因此,為得到好的透射特性,入射光束的頻率與法布里-珀羅干涉儀腔的共振頻率間的頻率失諧量的絕對值必須小于RFS/F[F為法布里-珀羅干涉儀腔的精細(xì)度,F=πR/(1-R)]。4透射光束分布