圖形變換及顯示-計算機圖形學-課件-北京工業(yè)大學-05

第五章圖形變換及顯示1為什么要進行圖形變換光柵圖形工程師繪圖工程師甲工程師乙圖形定義空間:屏幕？？？的解決：圖形變換2幾何變換基礎(chǔ)：齊次坐標(homogeneouscoordinate)3續(xù):xyW

例:在XYW

齊次坐標空間中,點P(X,Y,W)在

W=1平面上的投影是(X,Y)

P43D變換的代數(shù)表示5矩陣表示引入齊次坐標后[0001]6坐標系固定，圖形變換說明：變換的兩種實現(xiàn)方式圖形固定，坐標系變換在固定坐標系下對點集的變換，等價于對該坐標系進行相應的逆變換7續(xù)

證明：假設(shè)固定坐標系下進行的變換表示為矩陣T1，變換前后的點集記為A，B.則

B=AT1,.若圖形固定不變，則變換前后需采用不同的基底（分記為X和X’）表示圖形即BX’=AX,

因此，

X’=T1-1X8本章內(nèi)容二維幾何變換二維觀察流程三維幾何變換投影變換三維顯示流程如何使用戶坐標系下定義的圖形在屏幕上顯示出來9第一節(jié)二維幾何變換平移變換旋轉(zhuǎn)變換縮放變換反射變換錯切變換復合變換坐標系變換變換的光柵方法10變換的表示:變換矩陣旋轉(zhuǎn)、比例、錯切平移整體比例投影11平移變換（1）平移指將物體沿直線路徑從一個坐標位置移到另一個坐標位置的重定位，即平移變換效果演示該式可寫成向量形式：12平移變換（2）采用齊次坐標方式描述為：稱為平移矩陣。其中：13平移變換（3）圖形的平移：剛體變換物體上各點做同樣的平移操作圖形關(guān)鍵點的平移及圖形重定義逆變換：14旋轉(zhuǎn)變換（1）二維旋轉(zhuǎn)是將物體沿平面內(nèi)的圓弧路徑重定位。旋轉(zhuǎn)變換效果演示需要指定旋轉(zhuǎn)角和旋轉(zhuǎn)基準點的位置：旋轉(zhuǎn)角的正值定義基準點逆時針旋轉(zhuǎn)負值則以順時針方向旋轉(zhuǎn)物體默認情況下以坐標原點為旋轉(zhuǎn)基準點15繞坐標原點的旋轉(zhuǎn)變換（2）使用齊次坐標表示為：其中：稱為旋轉(zhuǎn)變換矩陣逆變換:16繞任意基準點的旋轉(zhuǎn)變換（3）17圖元的旋轉(zhuǎn)變換（4）旋轉(zhuǎn)變換是剛體變換圖元上各點旋轉(zhuǎn)同樣角度：旋轉(zhuǎn)定義點并重定義圖元18縮放變換（1）縮放變換是指對點的X，Y坐標值進行縮放。變換的表達式為：縮放效果演示其中sx,sy

稱為縮放系數(shù)，可取任何正數(shù);S稱為縮放矩陣。19縮放變換（2）縮放變換可使物體產(chǎn)生重定位，如右圖所示縮放比例不同，定位距離也不同當縮放系數(shù)大于1時，物體被放大，否則縮??；當時，物體發(fā)生等比變換，否則發(fā)生差值縮放，產(chǎn)生變形。20指定縮放固定點的縮放變換（3）縮放固定點：縮放后不改變位置的點，記為由平移變換、相對于原點的縮放及逆平移變換復合而成21指定縮放固定點的縮放變換（4）變換公式為：22圖元的縮放變換（5）多邊形縮放頂點，由新頂點定義多邊形圓（中心對稱圖形）縮放半徑，并在原圓心繪制圓給定定義參數(shù)的圖形對定義參數(shù)進行變換并重定義圖元23反射變換（1）是產(chǎn)生物體鏡象的一種變換，也稱為對稱變換。變換的一般形式為：24反射變換（2）關(guān)于X軸的反射變換：a=1，b=d=0，e=-1；25反射變換（3）關(guān)于Y軸的反射變換：a=-1，b=d=0，e=1；26反射變換（4）關(guān)于原點的反射變換：a=-1，b=d=0，e=-1；等價于繞原點進行180度的旋轉(zhuǎn)變換。27反射變換（5）關(guān)于x=y軸的反射變換：a=e=0，b=d=1；關(guān)于x=-y軸的反射變換：a=e=0，b=d=-1；28反射變換（6）關(guān)于任意軸的對稱變換29錯切變換（1）定義：保持圖形上各點的某一坐標值不變，而另一坐標值關(guān)于該坐標值呈線性變化。變換矩陣的一般形式b=0或者d=030錯切變換（2）相對于X軸的錯切:b=0錯切效果圖依賴軸方向軸X方向的錯切效果演示31錯切變換（3）相對于y=Yref的錯切錯切效果圖32錯切變換（4）相對于Y軸的錯切:d=0錯切效果圖Y方向的錯切效果演示33錯切變換（5）相對于x=Xref的錯切錯切效果圖34復合變換可由其它變換組合實現(xiàn)的變換如：關(guān)于任意點的旋轉(zhuǎn)由平移、繞原點的旋轉(zhuǎn)及平移變換合成得到。一種非常有效的構(gòu)造變換的方式復合變換的數(shù)學表達等同于矩陣乘法利用矩陣乘法結(jié)合率可帶來計算效率的改進注意：矩陣復合順序35坐標系變換（1）目的：把已定義的圖形變換到新的坐標系下實現(xiàn)：直接指定新坐標系定義新坐標系的Y方向36坐標系變換（2）直接指定新坐標系時：利用變換復合實現(xiàn)坐標系變換(x0,y0)(1)坐標系的平移：T（-x0，-y0）(2)坐標系的旋轉(zhuǎn)：R(3)單位長度變換(4)以上變換合成（注意順序）37坐標系變換（3）變換矩陣為：38坐標系變換（4）定義新坐標系的Y方向時Y軸單位化：(x0,y0)(x1,y1)X軸的定義：變換矩陣：39變換的光柵方法利用硬件實現(xiàn)上述坐標變換的方法。如平移變換：塊操作可由圖形加速卡實現(xiàn)。GPU編程可實現(xiàn)更多的圖形操作。40小結(jié)：變換類型變換的表示：齊次坐標，變換矩陣變換的復合坐標系的變換41作業(yè)：證明：平移和旋轉(zhuǎn)變換具有可加性，即求關(guān)于對稱軸的對稱變換。42第二節(jié)二維觀察流程43相關(guān)概念（1）用戶域WD連續(xù)且無限窗口區(qū)W矩形、可嵌套用戶坐標系WC世界坐標系右手直角坐標系44相關(guān)概念（2）屏幕域設(shè)備輸出圖形的最大可用區(qū)域視圖區(qū)定義圖形在輸出設(shè)備上的顯示位置及大小可嵌套屏幕坐標系（規(guī)格化）設(shè)備坐標系的統(tǒng)稱設(shè)備坐標系：以象素為單位規(guī)格化設(shè)備坐標系：[-1，1][-a，a]45觀察參考坐標系VC相關(guān)概念（3）46二維觀察流程（1）工程師甲工程師乙模型坐標系模型坐標系世界坐標系窗口區(qū)觀察坐標系規(guī)格化設(shè)備坐標系視圖區(qū)屏幕坐標系47二維觀察流程（2）在模型坐標系下定義物體，并置于世界坐標系中定義觀察參考坐標系選擇觀察點（觀察坐標系原點）選擇觀察方向（觀察坐標系Y軸方向）世界坐標系到觀察參考坐標系的變換指定觀察窗口（裁剪）窗口到視區(qū)的變換規(guī)范化設(shè)備坐標系到設(shè)備坐標系的變換48窗口到視區(qū)的變換（1）49窗口到視區(qū)的變換（2）定義縮放因子：平移距離：得到線性變換公式：50規(guī)范化設(shè)備坐標系到設(shè)備坐標系的變換規(guī)范化設(shè)備坐標系：[-1，1][-a，a]設(shè)備坐標系：[0，M-1][0，N-1]考慮其離散性：[-0.5，M-1.5][-0.5，N-1.5]線性變換公式同前：其中：51小結(jié):二維觀察變換流程圖+裁剪工作掃描轉(zhuǎn)換圖形52第三節(jié)三維幾何及建模變換三維圖形的幾何變換及其矩陣表示平移變換旋轉(zhuǎn)變換縮放變換反射變換錯切變換物體在不同坐標系之間的建模變換53三維代數(shù)空間定義基底：任意矢量：定理:三維空間中任意矢量可唯一地表示為其基底的線性組合54三維幾何變換固定坐標系下的幾何變換(以旋轉(zhuǎn)變換為例)幾何圖形表示代數(shù)表示XZY55三維幾何變換的代數(shù)表示56三維幾何變換的矩陣表達式引入齊次坐標后可表示為：57平移變換（1）58平移變換（2）記為：其中三維平移變換矩陣：59平移變換（3）點的平移圖形的平移60縮放變換（1）相對于原點進行的縮放變換矩陣記為：61縮放變換（2）相對于任意點的縮放設(shè)縮放參考點為：則分解為：平移、關(guān)于坐標原點的縮放以及逆平移變換62縮放變換（3）即：63縮放變換（4）64旋轉(zhuǎn)變換（1）由旋轉(zhuǎn)軸和旋轉(zhuǎn)角度確定二維旋轉(zhuǎn)變換是三維空間中繞Z軸的旋轉(zhuǎn)記為：XYZ65以X為軸的旋轉(zhuǎn)變換（1）可視作[x,y,z]坐標系變換為[y,z,x]坐標系,變換矩陣為：66以X為軸的旋轉(zhuǎn)變換（2）記為：YZX67以Y為軸的旋轉(zhuǎn)變換（1）可視作[x,y,z]坐標系變換為[z,x,y]坐標系，變換矩陣為：68以Y為軸的旋轉(zhuǎn)變換（2）記為：注：相反角度的旋轉(zhuǎn)實現(xiàn)其逆變換ZXY69繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換（1）旋轉(zhuǎn)軸不與坐標軸重合時變換的實現(xiàn)：經(jīng)復合變換使旋轉(zhuǎn)軸與坐標軸重合繞指定軸進行旋轉(zhuǎn)變換還原坐標系YZXP1P270繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換（2）（1）平移使P1與坐標原點重合不妨設(shè)P1P2為方向矢量，P2點為(a,b,c)71XYZOP1P2X′Y′Z′72XYZX′Y′Z′O繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換(3)（2）繞X軸旋轉(zhuǎn)使指定旋轉(zhuǎn)軸落在XZ面上73XYZX′Y′Z′O

74XYZX′Y′Z′O

75XYZX′Y′Z′O

76XYZX′Y′Z′O

77XYZX′Y′Z′O

78XYZX′Y′Z′O

79XYZX′Y′Z′O

80此時P2點為(a,0,d)變換矩陣為81繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換（4）（3）繞Y軸旋轉(zhuǎn)使指定旋轉(zhuǎn)軸與Z軸重合XYZX′Y′Z′O

82繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換（5）83XYZX′Y′Z′O84繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換（5）（4）繞Z軸即指定旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)指定角度85繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換（6）（4）坐標系還原上述變換的復合實現(xiàn)繞任意軸的旋轉(zhuǎn)：86對稱變換（1）是關(guān)于某個對稱軸或?qū)ΨQ平面進行的關(guān)于某個軸進行的反射變換等同于關(guān)于該軸做180度的旋轉(zhuǎn)變換例如：關(guān)于Z軸的對稱變換矩陣為：考慮：關(guān)于任意軸的對稱變換87對稱變換（2）當反射平面是坐標平面時，等同于進行左、右手坐標系的互換，相應變換矩陣是把第三維坐標值取反例如：關(guān)于xy平面的反射變換矩陣為：88對稱變換（3）關(guān)于任意平面的反射可以分解為平移、旋轉(zhuǎn)（使得指定的反射平面與某坐標平面重合）關(guān)于坐標平面的反射逆變換89錯切變換依賴軸：對應坐標保持不變方向軸：對應坐標關(guān)于依賴軸坐標呈線性變化變換表達式分別是：90建模變換（1）實現(xiàn)兩個不同坐標系之間的轉(zhuǎn)換新坐標系定義方式如右圖所示：XYZX’Y’Z’91建模變換（2）可由線性代數(shù)方法得到建模變換公式：（即：新坐標系的坐標軸在舊坐標系下的表示矩陣的逆矩陣）當坐標系使用不同的縮放時，還需定義縮放補償。92建模變換的合成方法（3）可由以下變換復合得到同樣結(jié)果：平移：使兩坐標系原點重合繞X軸旋轉(zhuǎn)：使Z’軸落在XOZ面上；繞Y軸旋轉(zhuǎn)：使Z’軸與Z軸重疊；繞Z軸旋轉(zhuǎn)：使X’軸與X軸重疊；93矩陣乘法運算的實現(xiàn)注意：94小結(jié)單個坐標系下的幾何變換平移縮放旋轉(zhuǎn)反射錯切建模變換95作業(yè)：利用變換復合方法推導建模變換矩陣。96第四節(jié)投影變換

Projections從三維圖形到二維圖形的變換97投影的定義概念：把n

維空間中定義的點變換到小于n

維的空間中的變換3D物體的平面投影：過投影中心向物體上的各點發(fā)出射線(投影線)投影線與投影平面相交交點構(gòu)成物體的投影98投影分類投影中心與投影平面的距離是有限的無限的A’B’AB

投影中心投影線投影平面A’B’AB投影中心投影線投影平面平行投影透視投影99兩種投影方式的比較共同點：投影中心落在無窮遠點的透視投影即變?yōu)槠叫型队?/p>

不同點：透視投影的結(jié)果看起來真實感強透視投影不能忠實體現(xiàn)物體的形狀及尺寸距離、角度、平行關(guān)系發(fā)生在投影前后發(fā)生變化100平面幾何投影的分類平面幾何投影平行投影透視投影

正平行投影斜平行投影

頂視圖

(俯視圖)前視圖側(cè)視圖軸測平行投影(Axonometric)等軸測平行投影(Isometric)其它其它斜二測(Cabinet)斜等測(Cavalier)

一點透視One-point三點透視Three-point二點透視Two-point投影平面&投影方向投影平面&投影中心101透視投影定義：投影中心與投影平面距離為有限遠（此時投影線匯聚于投影中心）特點：真實感強近大遠小平行線經(jīng)投影后匯聚于一點滅點：任何一束不平行于投影平面的平行線的透視投影（或其延長線）將匯聚于一點，稱為滅點。102續(xù)：主滅點由平行于坐標軸的平行線對應的滅點稱為主滅點分類：一點透視；兩點透視；三點透視投影103例：一點透視投影立方體投影到垂直于z

坐標軸的投影平面上

xzy投影中心投影平面法向投影平面104xyz111ABCDEFGH立方體的1點透視投影(a)立方體xy0.51.01.50.51.01.5A'B'C'D'H'F'E'G'(b)立方體的投影續(xù)：105更多投影舉例在XZ平面上的投影在Y+Z=1平面上的投影滅點的多少影響到反映信息的多少等軸測投影106透視投影變換計算例：投影中心：投影平面：XOY求點的投影點得：解方程組：107續(xù)：上述投影變換寫成齊次坐標形式：108續(xù)：特殊地，令透視投影變換矩陣109平行投影

分為兩類：正平行投影：投影方向與投影平面的法向平行斜平行投影：投影方向與投影平面的法向不平行S

透視投影S正平行投影(Orthographicprojections)S斜平行投影(Obliqueprojections)110是最常用的正平行投影圖正視圖：物體在YZ平面上的投影，也稱為前立面圖側(cè)視圖：物體在XZ平面上的投影，也稱為側(cè)立面圖俯視圖：物體在XY平面上的投影，也稱為平面圖三視圖正視圖俯視圖側(cè)視圖投影方向平面zxy111軸測平行投影軸測平行投影：投影平面不與坐標軸垂直的正平行投影yzx120

120

120

等軸測平行投影

最常用的軸測平行投影

投影平面的法向與各個坐標軸的夾角都相等(有8種選擇)zyx(l,-l,-l)

112xzyOxzyOxzyOxzyOxzyOxzyO(a)等軸測投影面與三個坐標軸間的夾角都相等(b)正二測投影面與兩個坐標軸間的夾角相等(c)正三測投影面與各坐標軸間的夾角都不相等例：投影平面及其對應的立方體投影投影平面投影平面投影平面113投影的計算平面幾何投影：投影線與投影平面求交zy

d

P(x,y,z)xPp(xp,yp,d)投影平面114續(xù)：投影線OP的參數(shù)方程:投影線OP與投影平面z=d的交點:zy

d

P(x,y,z)xPp(xp,yp,d)投影平面一般形式：ax+by+cz+d=0115續(xù)：使用齊次坐標表示：

(xd/z,yd/z,d)(x,y,z,z/d)變換的矩陣表達式116續(xù)：例：正平行投影變換投影平面:z=0.投影方向：(0,0,-1)Mort對比Mper117斜平行投影定義：數(shù)學描述投影平面：ax+by+cz+d=0投影方向是：118斜平行投影特點是正平行投影的一般化：投影方向與投影平面成一定夾角時的平行投影廣泛應用的原因在于：結(jié)合了正(三)視圖與軸測投影圖的特點，當投影平面與坐標軸垂直：物體上平行于投影平面的表面測量信息（距離、角度）在投影后得以保持針對其它表面的投影，平行于坐標軸的測量距離可以保持，角度不能保持易畫119斜等測

(Cavalier)投影投影方向與投影平面成45o夾角垂直于投影平面的線段長度在投影后得以保持。

xyz111

45

投影平面

投影方向xyz

30

120斜二測(Cabinet)投影投影方向與投影平面的夾角為：arctan(2)=63.4o垂直于投影平面的線段在投影后的長度為實際長度的1/2較斜等測投影的真實感略強。xyz11/21

45

xyz

30

投影平面投影方向121斜平行投影的計算（1）過被投影點的投影線參數(shù)方程為：與下述投影平面方程聯(lián)立求解：方程組的解即為所求投影點。投影線與投影平面的交即為所求122斜平行投影的計算（2）注：因投影方向不與投影平面平行故分母不為零則方程組有解：123斜平行投影的計算（3）變形為：斜平行投影矩陣124斜平行投影的計算（4）特殊地，當a=b=c=1，d=0，投影方向是（1，1，1）時，對應斜平行投影圖稱為等軸測圖，變換矩陣是：顯然，等軸測投影是正平行投影，是斜平行投影的特例。Z0XX125關(guān)于深度關(guān)系投影損失了模型信息，可能導致顯示形體的歧義。彌補的方法之一是添加深度信息，使同一平面上的線框中各段具有前后關(guān)系。實現(xiàn)方法：調(diào)節(jié)明暗度：近亮遠暗標識可見線面：用不同顏色或不同線型126小結(jié)平面幾何投影透視投影平行投影：正平行投影&斜平行投影投影計算：投影線與投影平面的交點透視投影投影線：投影中心與投影點的連線投影矩陣：Mper平行投影投影線：沿投影方向過投影點的直線投影矩陣：Mort127第五節(jié)三維物體顯示將三維空間中的景物在二維屏幕上顯示的過程1283D顯示過程的概念圖在視見體(viewvolume)

定義下進行裁剪投影(Project)到投影平面上變換到2D設(shè)備坐標系下的視圖區(qū)中以備顯示3D世界坐標系下的輸出圖元世界坐標系下的裁剪2D設(shè)備坐標系下的圖元

3D顯示過程的概念模型圖2D世界坐標系129名詞解釋（1）對應圖形學相關(guān)文獻中的用語：視平面(viewplane)：即投影平面觀察參考點(viewreferencepoint:VRP)視平面上一點視平面法向(view-planenormal:VPN)垂直于視平面的矢量nview-planeVPNVRP130名詞解釋（2）nVUPview-planeVPNVRPvu觀察參考坐標系：viewing-referencecoordinate

(VRC)system

坐標原點：通常定義為VRP

坐標軸的定義：

n-軸

:VPNv-軸:視平面上的指定向量

u-軸:u=n

v131名詞解釋（3）視平面上的窗口：一個界定映射到視圖區(qū)的物體部分的矩形區(qū)域n

vuVPNViewplane

VRP

(umin,vmin)(umax,vmax)CW定義方式：在VRC坐標系下定義沿與坐標軸平行的方向定義窗口的最小、最大坐標值無需關(guān)于VRP對稱窗口中心記為:CW132注記：不同坐標表示可帶來表示上的簡化計算上的便利133續(xù)不同坐標系之間變換的實現(xiàn)（1）定義新坐標系（2）平移變換（3）旋轉(zhuǎn)變換（4）錯切變換（5）縮放變換134觀察變換完成工作：在世界坐標系下定義出觀察參考坐標系，并推導世界坐標系到觀察參考坐標系的變換矩陣。實現(xiàn)步驟：定義觀察參考坐標系世界坐標系變換到觀察參考坐標系135觀察坐標系的定義（1）坐標原點：用戶指定的觀察點作為觀察坐標系原點，記為通?？闪頩坐標軸：用戶指定的觀察平面法向作為Z坐標軸，記為136觀察坐標系的定義（2）在指定的觀察平面上選擇向上觀察向量（只需不與N方向平行即可），記為：令：再令：顯然U同時垂直于N和V矢量。則U、V、N兩兩垂直。令：定義Ouvn為觀察坐標系（左手坐標系）。ZwYwOWXw

nuvOe137觀察坐標系的定義（3）定義如圖所示ZwYwOWXw

nuvOe138世界坐標系到觀察坐標系的變換等價于建模變換過程引入觀察坐標系記號：變換矩陣：139名詞解釋（4）投影參數(shù)：投影中心(COP)及投影方向(DOP)由投影參考點projectionreferencepoint(PRP)及投影類型確定透視投影：投影參考點PRP指的就是投影中心COP平行投影：DOP是指投影參考點PRP到窗口中心CW(通常不會是VRP)的連線140名詞解釋（5）視見體(viewvolume):界定裁剪范圍也稱為投影空間透視投影的視見體是：半無窮的錐體，如下圖。n

vuVPN視平面

VRP

CWPRP141續(xù)：n

VPN視平面

VRP

CWPRP

DOP正平行投影的視見體是：無窮長的正四棱柱142續(xù)：n

VPN視平面

VRP

CWPRP

DOP斜平行投影的視見體是：無窮長的斜四棱柱143視見體有限化前截面

&后截面(hitherplane&

yonplanes)平行于視平面以VPN為法向的兩個平面分別由相對于VRP沿VPN的前截距(F)和后截距(B)定義F>B

144透視投影視見體

FBVPN前截面視平面后截面145正平行投影的視見體

FBVPNDOP

前截面視平面后截面146斜平行投影的視見體

FBVPN前截面視見體后截面DOPVRP147投影空間（視見體）的確定定義觀察坐標系的XOY平面為觀察平面觀察體也稱為觀察空間、投影空間、視見體在觀察平面指定觀察窗口根據(jù)觀察窗口的邊框及投影線設(shè)置觀察體指定投影方向（平行投影）或投影中心（透視投影）148投影空間的規(guī)范化為提高投影變換的計算效率例如：由下式定義的平行投影視見體計算效率高:x=-1,x=1,y=-1,y=1,z=0,z=-1分治法：投影空間的規(guī)范化平行投影空間的規(guī)范化透視投影空間的規(guī)范化149規(guī)范化的視見體xory

-z-1-11前截面后截面xory

-1-11前截面后截面-z平行投影:規(guī)范化正棱柱x=-1,x=1,y=-1y=1,z=0,z=-1透視投影:規(guī)范化正棱臺x=z,x=-z,y=zy=-z,z=-zmin,z=-1150平行投影空間的規(guī)范化（1）XYZXYZ151平行投影空間的規(guī)范化（2）引入記號：152平行投影空間的規(guī)范化（3）變換1：平移使窗口中心與坐標原點重合。uvnuvn153平行投影空間的規(guī)范化（4）變換2：關(guān)于Z軸的錯切變換使投影方向與Z軸重疊uvun154平行投影空間的規(guī)范化（5）155平行投影空間的規(guī)范化（6）變換3：平移及比例變換：使156平行投影空間的規(guī)范化（7）變換4：比例變換使157平行投影空間的規(guī)范化（8）上述變換復合得到：其中WSU,WSV分別為窗口的半邊長。158平行投影空間的規(guī)范化（9）經(jīng)上述變換作用后，觀察坐標系下的指定平行投影變換效果將等價于在規(guī)格化投影空間中進行正平行投影變換。平行投影規(guī)范視見體159透視投影空間的規(guī)范化（1）目的：使不同條件下的透視投影可統(tǒng)一為正平行投影規(guī)規(guī)范步驟：變換為規(guī)格化的正棱臺變換為規(guī)格化平行投影空間160透視投影空間的規(guī)范化（2）XYZ161162透視投影空間的規(guī)范化（3）引入記號：163透視投影空間的規(guī)范化（4）變換1：平移使投影中心與坐標原點重合164透視投影空間的規(guī)范化（5）變換1以后的投影空間參數(shù)：165透視投影空間的規(guī)范化（6）變換2：錯切使投影參考點與窗口中心連線與Z軸重合nuun在un平面上的錯切效果示例圖166透視投影空間的規(guī)范化（7）錯切變換應使窗口中心由167透視投影空間的規(guī)范化（8）推導出錯切變換矩陣168透視投影空