淺談高中數(shù)學課程改革概率與統(tǒng)計部分的教與學

PAGEPAGE4淺談高中數(shù)學課程改革概率與統(tǒng)計部分的教與學[摘要]：“概率與統(tǒng)計”是高中數(shù)學新課程的重要組成部分，也是最能反映數(shù)學應用性的課程.統(tǒng)計學注重的是數(shù)據(jù)的收集、整理、分析，概率論是研究隨機現(xiàn)象的科學.它們都與我們的日常生活緊密相連.本文從“概率與統(tǒng)計”的背景和地位，內(nèi)容與要求以及教學的方法和策略來分析闡述高中“概率與統(tǒng)計”的教與學.通過案例和數(shù)據(jù)的分析以及概率模型的建立，讓學生更好的體會“概率與統(tǒng)計”的思想.[關鍵詞]：案例；隨機；模型Abstract：“probabilityandstatistics”constitutetheimportantpartofnewmathmaticscoursesinhighschool.Itreflectstheapplicationofmathmaticsmostly.Statisticsputemphasizeonthecollectionandanalysisofdata.Probabilityisthescienceofstudyingrandomphenomenon.Theybothhavecloserelationwithourdailylife.Thistextanalyzeanddemonstratetheteachingandlearningof“probabilityandstatistics”fromitsbackgroundandstatus,contentandrequirement,andteachingskillsandstrategy.Studentswillrealizethemainthoughtof“probabilityandstatistics”betterthroughanalyzingcase、dataandsettingthemodelofprobability.Keywords：case；random；model一、高中數(shù)學新課程概率統(tǒng)計背景和地位2003年5月出臺的<普通高中課程標準>(以下簡稱<標準>)提出要將概率與統(tǒng)計作為高中數(shù)學課程的必修內(nèi)容,并提出明確的要求、說明與建議.在我國,“概率統(tǒng)計”內(nèi)容從幾進幾出到如今作為<標準>中的必修內(nèi)容,這既滿足信息時代對數(shù)學教學的要求,又是數(shù)學新課程發(fā)展的必然.高中必修課程由五大模塊組成，“概率與統(tǒng)計”屬于模塊，上述內(nèi)容覆蓋了高中階段傳統(tǒng)的數(shù)學基礎知識和基本技能的主要部分,此外還增加了向量、算法、概率、統(tǒng)計等內(nèi)容.其中概率、統(tǒng)計在以往是在大學講授的課程,現(xiàn)如今在中學的教材中出現(xiàn),充分體現(xiàn)其重要性和實用性.在本模塊中，學生將在義務教育階段學習統(tǒng)計與概率的基礎上，通過實際問題情境，學習隨機抽樣、樣本估計總體、線性回歸的基本方法，體會用樣本估計總體及其特征的思想；通過解決實際問題，較為系統(tǒng)地經(jīng)歷數(shù)據(jù)收集與處理的全過程，體會統(tǒng)計思維與確定性思維的差異.學生將結合具體實例，學習概率的某些基本性質和簡單的概率模型，加深對隨機現(xiàn)象的理解，能通過實驗、計算模擬估計簡單隨機事件發(fā)生的概率.雖然現(xiàn)如今中學所講授的概率和統(tǒng)計內(nèi)容屬于簡單部分,但是它為中學生提供了一個很好認識數(shù)學應用性的平臺,為學生以后進入大學階段學習提供了一個理想的過度階段,通過對概率統(tǒng)計的學習,學生可以充分體會到數(shù)學與我們的日常生活是緊密相連的,這樣可以大大激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣,發(fā)展數(shù)學應用意識和創(chuàng)新意識,開闊學生的數(shù)學視野!二、高中數(shù)學新課程“概率與統(tǒng)計”的內(nèi)容和特點分析（一）統(tǒng)計學是研究如何收集、整理、分析、數(shù)據(jù)的科學，它可以為人們制定決策提供依據(jù).在客觀世界中，需要認識的現(xiàn)象無窮無盡.要認識某現(xiàn)象的第一步就是通過觀察或試驗取得觀測資料，然后通過分析這些資料來認識此現(xiàn)象.統(tǒng)計部分內(nèi)容（1）隨機抽樣1結合具體的實際問題情境，理解隨機抽樣的必要性和重要性.2在參與解決統(tǒng)計問題的過程中，學會用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本；通過對實例的分析，了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法.（2）用樣本估計總體1學會列頻率分布表、畫頻率分布直方圖；能根據(jù)實際問題的需求合理地選取樣本，從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標準差），并做出合理的解釋.2在解決統(tǒng)計問題的過程中，進一步體會用樣本估計總體的思想，會用樣本的頻率分布估計總體分布，會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征；初步體會樣本頻率分布和數(shù)字特征的隨機性.3能通過對數(shù)據(jù)的分析為合理的決策提供一些依據(jù)，認識統(tǒng)計的作用，體會統(tǒng)計思維與確定性思維的差異.（3）變量的相關性1通過收集現(xiàn)實問題中兩個有關聯(lián)變量的數(shù)據(jù)做出散點圖，并利用散點圖直觀認識變量間的相關關系.2經(jīng)歷用不同估算方法描述兩個變量線性相關的過程.知道最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程.統(tǒng)計部分知識框圖（如上所示）統(tǒng)計部分教材特點分析：（1）強調(diào)典型案例的作用，這種利用典型案例編寫統(tǒng)計內(nèi)容的方式，可以使學生在解決實際問題的過程中，經(jīng)歷數(shù)據(jù)處理的全過程，并在這個數(shù)據(jù)處理的過程中學習有關的統(tǒng)計知識如：在運用樣本估計總體的教學中，應通過對具體數(shù)據(jù)的分析，使學生體會到由于樣本抽取具有隨機性，樣本所提供的信息在一定程度上反映了總體的有關特征，但于總體有一定的偏差.但另一方面，如果抽樣的方法比較合理，樣本的信息可以比較好地反映總體的信息，從而為人們合理地決策提供依據(jù).（二）統(tǒng)計教學通過案例來進行并要注重數(shù)據(jù)的收集高中階段統(tǒng)計教學應通過案例的進行，在對實際問題的分析中，使學生經(jīng)歷較為系統(tǒng)的數(shù)據(jù)處理全過程，在此過程中學習一些常用的數(shù)據(jù)處理的方法，運用所學知識、方法去解決簡單的實際問題，體會運用統(tǒng)計方法解決實際問題的基本思想，認識統(tǒng)計方法在決策中的作用以及應用的廣泛性.同時，具體的案例也容易幫助學生理解問題和方法的實質.例如：對于“最小二乘法”的學習，如果直接介紹一般的最小二乘的方法，學生往往體會不到這種方法的實質，也失去了一個分析問題、處理數(shù)據(jù)的機會.教學中，可以通過一個學生感興趣的實例，比如學生身高和體重的關系，讓學生收集到的數(shù)據(jù)做出散點圖，利用散點圖直觀認識到變量之間存在著線形相關關系，然后鼓勵學生自己想辦法確定一條“比較合適”的直線描述這兩個變量之間線形相關關系，在此基礎上再引入最小二乘法，并給出線形回歸方程.所以教師平時要細心收集生活中的素材、廣泛涉獵各學科知識，更多的發(fā)動學生自己發(fā)現(xiàn)問題，以此積累案例開展統(tǒng)計教學，展示統(tǒng)計的廣泛應用.（三）注重對隨機現(xiàn)象與概率意義的理解概率是研究隨機現(xiàn)象的科學.隨機現(xiàn)象是指這樣一種現(xiàn)象：在相同的條件下重復同樣的試驗，其試驗結果不確定，以至于在試驗之前無法預料哪一個結果會出現(xiàn)，隨機現(xiàn)象表面看無規(guī)律可循，出現(xiàn)哪一個結果事先無法預料，但當我們大量重復實驗時，實驗的每一個結果都會出現(xiàn)其頻率的穩(wěn)定性.概率教學的核心問題是讓學生了解隨機現(xiàn)象與概率的意義.缺乏對隨機現(xiàn)象的豐富體驗，學生往往較難建立隨機觀念.如果在概率課程中，只是要求學生處理已經(jīng)采集好的隨機問題的有關數(shù)據(jù)，學生往往習慣的把這些數(shù)據(jù)當作確定的數(shù)進行處理，事實上他們的隨機觀念沒有得到發(fā)展.要使學生建立隨機觀念，必須通過設計學生熟悉而感興趣的實際問題或游戲，讓他們親臨原始的隨機環(huán)境，親自試驗和收集隨機數(shù)據(jù)，使他們在活動中逐步豐富對概率的認識，積累大量的活動經(jīng)驗，體會隨機現(xiàn)象的特點.教師應通過日常生活中的大量實例，鼓勵學生動手試驗，體會隨機事件發(fā)生的不確定性及其頻率的穩(wěn)定性.例如學生收集同一年級學生的身高、體重，收集體育彩票各次的開獎的號碼，收集電視臺每日的天氣預報數(shù)據(jù)等，這些學生熟悉的、有趣的隨機環(huán)境，比較容易使學生把要學的新知識與自己原有的經(jīng)驗和直覺聯(lián)系起來.（四）重視對概率模型的理解和應用以及和其他數(shù)學知識的結合計算隨機事件發(fā)生的概率是概率學習的重要內(nèi)容.對于這方面的學習，首要的是對各種概率模型的理解和應用，而不是把精力主要放在套用公式上.教學中，應注意使學生經(jīng)歷從多個實例中概括出具體的概率模型的過程，體會這些例子中的共同特點，注重理解各種概率模型的特點，并且在實際問題中培養(yǎng)學生識別模型的能力.例如：對于古典概型的教學應讓學生通過實例理解古典概型的特征，實驗結果的有限性和每一個實驗結果出現(xiàn)的等可能性，讓學生初步學會把一些實際問題化為古典概型.概率論與我們的日常生活是緊密相連的，它的應用性是非常廣泛的.教師在教學的過程中，除了與實際生活中的例子相結合外，也要注重與其他高中數(shù)學知識的結合，這樣可以讓學生體會到數(shù)學知識是相通的，可以讓學生感受到數(shù)學的美，還能激發(fā)學生學習其他數(shù)學知識的興趣，下面我舉一個利用三角形知識和幾何概型相結合的例子.例：在長度為a的線段內(nèi)任取兩點，將其分成三段，求它們構成一個三角形的概率.解：設線段被分成三段長，分別為x,y和a-x-y,則樣本空間為由x0,y0以及x+ya所構成的圖形，其面積；有利事件A(即x,y,a-x-y三段構成三角形）的基本事件集：由線段x,y,a-x-y所圍成的三角形其面積為S,由三角形兩邊之和大于第三邊的性質有：0xa/2，0ya/2,0a-x-ya/2，0xa/2,0ya/2,a/2x+ya,(它們構成三角形的DCE)則其面積，于是由幾何概型的概率計算公式有:P(A)=概率還可以與方程，函數(shù)等內(nèi)容相結合，這里就不再一一舉例.（五）注重建立正確的概率直覺學生存在著一些生活經(jīng)驗，這些經(jīng)驗是學生學習概率的基礎，但是其中往往有一些是錯誤的.例如：將一枚均勻的硬幣任意擲出，很多學生可能認為“100次出現(xiàn)50次正面”是必然的，或者說，它的概率應該很大，但計算表明這個概率只有8%左右.又如：中獎率為1/1000的彩票，一些學生可能認為買1000張就一定會中獎，而實際上買1000張會中獎的概率約為63%；擲一枚均勻的硬幣5次，朝上的面都是正面，第6次該得到的是正面還是反面，有的學生認為應是正面而有的認為應是反面，而事實上不管前5次試驗的結果是什么，由試驗的獨立性，第6次出現(xiàn)正、反面的概率都是1/2，和前面的試驗結果是無關的.逐步消除錯誤的經(jīng)驗，建立正確的概率直覺是概率教學的一個重要目標.要實現(xiàn)這個目標，必須讓學生親自經(jīng)歷對隨機現(xiàn)象的探索過程，引導學生首先猜測結果發(fā)生的概率；然后親自動手進行實驗，收集實驗數(shù)據(jù)，分析實驗結果，并將所得結果與自己的猜測進行比較；最后可以建立理論的概率模型，并與實際結果聯(lián)系起來，學生在此過程中不斷將自己的最初猜測、實驗結果和理論概率進行比較，這將促進他們修正自己的錯誤經(jīng)驗，建立正確的概率直覺.例如：對于“擲100次硬幣出現(xiàn)50次正面”的概率，有人給出了一個擲均勻硬幣的模擬實驗（費勒著《概率論及其應用》），這試驗相當于100個人，每人都擲100次均勻的硬幣，記錄下各自擲出正面的次數(shù)如下：48，46，40，50，49，48，54，53，45，4854，46，53，55，50，54，41，48，51，5343，52，57，51，51，50，52，53，49，4658，60，54，55，50，48，47，57，53，5549，50，45，52，52，48，47，47，46，5153，52，46，52，44，51，49，59，50，5547，51，41，48，59，51，50，55，39，4153，51，49，44，52，50，57，46，57，4851，50，50，56，43，46，48，56，59，4952，56，54，46，48，55，58，59，53，51這里共擲了10000次，正面出現(xiàn)的次數(shù)，即上述100個數(shù)字之和，為4979，這表明正面出現(xiàn)的概率為0.4979，可以認為硬幣是均勻的.另一方面，在上述100個數(shù)字中，50出現(xiàn)了9次，即“擲100次硬幣，出現(xiàn)50次正面”的頻率是9/100，和0.08相差不大，以上的實驗數(shù)據(jù)無疑將有利于學生消除錯誤的經(jīng)驗.結束語綜上所述，概率與統(tǒng)計是兩門與日常生活緊密相連的課程，因此教師在講授這兩門課的過程中應使學生體會概率與統(tǒng)計的基本思想，要注重提供現(xiàn)實的問題情境，重視問題的背景及統(tǒng)計與概率在日常生活和科學領域的應用；充分利用計算機多媒體技術提供更為直觀、科學、準確的數(shù)據(jù)和資料，讓學生真實地參與，使他們面對要解決的問題，主動設計方案、收集數(shù)據(jù)、處理數(shù)據(jù)、制定決策，與他人進行討論與交流，讓學生得到鍛煉，從而提高學生