5.5.1 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式-2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)《考點(diǎn)題型技巧》精講與精練高分突破（人教A版2019必修第一冊(cè)）

高一數(shù)學(xué)《考點(diǎn)?題型?技巧》精講與精練高分突破系列(人教A版2019必修第一冊(cè))5.5三角恒等變換5.5.1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一兩角和與差的余弦公式名稱簡(jiǎn)記符號(hào)公式使用條件兩角差的余弦公式C(α－β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβα，β∈R兩角和的余弦公式C(α＋β)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβα，β∈R考點(diǎn)二兩角和與差的正弦公式名稱簡(jiǎn)記符號(hào)公式使用條件兩角和的正弦S(α＋β)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβα，β∈R兩角差的正弦S(α－β)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβα，β∈R考點(diǎn)三：兩角和與差的正切公式名稱公式簡(jiǎn)記符號(hào)條件兩角和的正切tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)T(α＋β)α，β，α＋β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)兩角差的正切tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)T(α－β)α，β，α－β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)考點(diǎn)四：二倍角的正弦、余弦、正切公式【題型歸納】題型一：兩角和與差的余弦公式一：用和差余弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值1．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）（）A． B．C． D．2．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知均為銳角，且，則（）A．0 B． C． D．13．（2021·江蘇如皋·高一月考）已知，均為銳角，滿足，，則（）A． B． C． D．二：逆用和差余弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值4．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）的值是（）A． B． C． D．5．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）（）A． B． C． D．6．（2021·貴州·興仁市鳳凰中學(xué)高一期末）（）A． B． C． D．題型二：兩角和與差的正弦公式一：用和差正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值7．（2021·北京·中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高一期末）的值是（）A． B． C． D．8．（2021·河南·鄭州四中高一月考）若，，則為（）A． B． C． D．9．（2021·云南省玉溪第一中學(xué)高一月考）已知都是銳角，，，則（）A．1 B． C． D．二：逆用和差正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值10．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn)，得（）A． B． C． D．11．（2021·北京市昌平區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一期中）（）A． B． C． D．12．（2021·江蘇·高一月考）（）A． B．C． D．題型三：兩角和與差的正切公式一：用和差正切公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值13．（2021·浙江·寧波市北侖中學(xué)高一期中）已知，則（）A． B． C． D．14．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）計(jì)算（）A． B．1 C． D．15．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若，則的值為（）A． B． C． D．2二：逆用和差正切公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值16．（2021·陜西閻良·高一期末）（）A． B． C． D．17．（2021·全國(guó)·高一單元測(cè)試）的值等于（）A．tan42° B．tan3° C．1 D．tan24°18．（2021·河南商丘·高一月考）（）A．1 B． C．2 D．3題型四：兩角和與差的三角函數(shù)綜合應(yīng)用19．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）求值：．20．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）求下列各式的值：（1）； （2）．21．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn)：（1）； （2）；（3）； （4）.題型五：二倍角公式的運(yùn)用22．（2021·河南·高一期末）已知角的終邊過(guò)點(diǎn)，則的值為（）A． B． C． D．23．（2021·河北張家口·高一期末）若，則的值為（）A． B． C． D．24．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）的化簡(jiǎn)結(jié)果為（）A． B． C． D．【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題25．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知cosα＝－，α∈，則sin等于（）A．－ B． C．－ D．26．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知tan＝2，則tanα＝（）A． B．－ C． D．－27．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn)，得（）A． B． C． D．28．（2021·甘肅張掖·高一期末（理））如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以為始邊，終邊分別是射線和射線，且射線和射線關(guān)于軸對(duì)稱，射線與單位圓的交點(diǎn)為，則的值是（）A． B． C． D．29．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若角α滿足，則＝（）A． B． C． D．30．（2021·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知，，，則＝（）A． B． C． D．31．（2021·江西·九江一中高一月考）如圖是來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊、直角邊、，已知以直角邊、為直徑的半圓的面積之比為，記∠ABC＝α，則4cos2α+sin2α＝（）A． B． C． D．32．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，則（）A． B． C． D．33．（2021·四川·仁壽一中高一開學(xué)考試）已知，，且，則（）A． B． C． D．34．（2021·河北·張家口市第一中學(xué)高一月考）設(shè)，均為銳角，且，則的最大值是（）A． B． C．2 D．【高分突破】一：?jiǎn)芜x題35．（2021·江蘇·常熟市中學(xué)高一月考）已知，則（）A． B． C． D．36．（2021·江蘇·鹽城中學(xué)高一月考）化簡(jiǎn)可得（）A． B．C． D．37．（2021·浙江·樂(lè)清市知臨中學(xué)高一期末）對(duì)于任意的，則有（）A．B．C．D．38．（2021·江蘇·金陵中學(xué)高一月考）的值是（）A． B． C．0 D．139．（2021·云南·羅平縣第二中學(xué)高一月考）已知，則的最大值為（）A．3 B． C．2 D．40．（2021·江蘇省外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一期中）中，，，則（）A． B． C． D．-11二、多選題41．（2021·江蘇·吳江汾湖高級(jí)中學(xué)高一月考）下列式子結(jié)果為的是（）①；②；③；④．A．① B．② C．③ D．④42．（2021·江蘇淮安·高一月考）下列各式中，值為的是（）A． B．C．cos2－sin2 D．cos76°cos16°+cos14°sin16°43．（2021·江蘇江寧·高一期中）下列格式中，值等于的是（）A．B．C．D．44．（2021·江蘇鼓樓·高一期中）在下列選項(xiàng)中，正確的是（）A．B．C．存在角α，β，使得sin（α+β）<sinα+sinβ成立D．對(duì)于任意角α，β，式子cos（α+β）<cosα+cosβ都成立45．（2021·重慶市第二十九中學(xué)校高一期中）下列各式中，值為的是（）A． B．C． D．三、填空題46．（2021·河北衡水中學(xué)高一期末）已知，且，則__．47．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn)sin(α＋60°)＋2sin(α－60°)－cos(120°－α)的結(jié)果是______.48．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn)：________．49．（2021·四川·成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一月考（文））已知α∈（0，），β∈（﹣π，﹣），sinα＝，cosβ＝，則α+2β的值為______50．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，則_________．四、解答題51．（2021·廣東·揭陽(yáng)第一中學(xué)高一期末）（1）已知，求；（2）計(jì)算：.52．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知是第一象限角，且，求的值．53．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）求下列各式的值：（1）； （2）．54．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）把下列各式化為和或差的形式：（1）； （2）；（3）； （4）．55．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）（1）已知，求的值；（2）已知，求的值.（3）已知，化簡(jiǎn)；（4）已知，，求的值.【答案詳解】1．B解：故選：B2．D【詳解】，，即，所以，因?yàn)榫鶠殇J角，所以，所以，所以，故選：D3．D【詳解】依題意，均為銳角，，，所以，而，所以.故選：D4．A【詳解】原式.故選：A5．B解：.故選：B.6．A【詳解】由題意，故選：A7．D【詳解】由題意，故選：D8．B解：，，即，，，．故選：．9．D【詳解】由于，所以，所以，所以.故選：D10．A【詳解】由，，∴.故選：A11．A【詳解】.故選：A12．D【詳解】，故選：D.13．A【詳解】因?yàn)?，所?則,因?yàn)?則,所以,，所以,故選：A14．C【詳解】由題意，故選：C15．B【詳解】由題意，.故選：B.16．B【詳解】故選：B17．A【詳解】∵tan60°＝，∴原式＝tan(60°－18°)＝tan42°.故選：A.18．A【詳解】．故選：A19．解：，，原式，20．（1）.（2）.21．解：；（2）解：；（3）解：因?yàn)椋?，所以原式；?）解：．22．C因?yàn)榻堑慕K邊過(guò)點(diǎn)，所以，，所以.故選：C23．A【詳解】由題知，.故選：A.24．B【詳解】故選：B.25．C【詳解】∵α∈，且cosα＝－，∴sinα＝－，∴sin＝－×＋×＝.故選：C26．A【詳解】tan＝＝2，解得tanα＝.故選：A27．B【詳解】.故選：B28．D【詳解】由任意角的三角函數(shù)的定義可得，，，因，且射線和射線關(guān)于軸對(duì)稱，則射線OB與單位圓的交點(diǎn)為，于是得，，因此，，所以的值是.故選：D29．C【詳解】因?yàn)?，可得，兩邊平方，可得，所以．故選：C.30．C【詳解】∵，∴，．∵，∴，則cos()＝，∵，∴sin()＝．＝cos()cos()+sin()sin()＝．故選：C．31．A【詳解】如圖，由題意，以直角邊AC、AB為直徑的半圓的面積之比為，則半徑比為，所以，不妨設(shè)AC=1，AB=2，易知，所以,所以，則，于是，.故選：A.32．B【詳解】由得，，又，所以，，所以．故選：B．33．C【詳解】因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，，所以，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，即，故選：C.34．B解：因?yàn)椋鶠殇J角，，所以即，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故選：B.35．A【詳解】∵∴，∴，∴故選：A.36．D【詳解】原式，故選：D.37．A解：因?yàn)?，故A選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)椋蔅,D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：A38．D【詳解】.故選：D39．B【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，有最大值，且，故選：B.40．C【詳解】在中，∵，∴，則，又，∴，∴．故選：C41．ABC【詳解】對(duì)于①，由于，所以；對(duì)于②，由于，所以；對(duì)于③，因?yàn)?，；?duì)于④，因?yàn)?，；故選：ABC42．ACD【詳解】；；cos2－sin2；．故選：ACD．43．BC【詳解】，，，．故選：BC．44．BC【詳解】對(duì)于A，，所以錯(cuò)誤；對(duì)于B，，所以B正確；對(duì)于C，當(dāng)，時(shí)，所以，所以成立所以C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，所以D錯(cuò)誤；故選：BC45．AC【詳解】；；；．故選：AC．46．【詳解】解：因?yàn)椋砜傻?，解得，?（舍去），由于，可得，，所以，．故答案為：．47．0解：原式＝sin(α＋60°)－cos[180°－(α＋60°)]＋2sin(α－60°)＝sin(α＋60°)＋cos(α＋60°)＋2sin(α－60°)＝2sin(α＋60°＋60°)＋2sin(α－60°)＝2sin(α－60°＋180°)＋2sin(α－60°)＝－2sin(α－60°)＋2sin(α－60°)＝0.故答案為：048．-1故答案為：-149．【詳解】因?yàn)棣痢剩?，），β∈（﹣π，﹣），sinα＝，cosβ＝，所以，，所以，所以，所以因?yàn)棣痢?/p>