材料力學(xué)第4章彎曲內(nèi)力

第4章彎曲內(nèi)力4.1引言4.2梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖4.3彎曲內(nèi)力及內(nèi)力圖4.4剪力、彎矩與載荷集度間的微分關(guān)系

4.5平面剛架與曲桿的內(nèi)力4.1引言圖

4－1圖

4－2圖

4－3一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)桿件承受垂直于軸線的外力，或在其軸線平面內(nèi)作用有外力偶時(shí)，桿的軸線將由直線變?yōu)榍€。以軸線變彎為主要特征的變形形式稱為彎曲。以彎曲為主要變形的桿件稱為梁。

工程中常見梁的橫截面往往具有對(duì)稱軸〔見圖4－4(a)～(d)〕，由對(duì)稱軸和梁的軸線組成的平面，稱為縱向?qū)ΨQ面〔見圖4－4(e)〕。圖

4－44.2梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖

為了對(duì)梁進(jìn)行強(qiáng)度和剛度分析，首先必須對(duì)梁的幾何形狀、約束及載荷進(jìn)行簡(jiǎn)化。

1.作用在梁上的外載荷

作用在梁上的外載荷有以下三種：

(1)集中載荷：假設(shè)作用在梁上的橫向力分布范圍很小，可以近似地當(dāng)作作用在一點(diǎn)的集中載荷，用F表示。

(2)集中力偶:作用在微小梁段上的外力偶，可以近似地看做作用在梁上一點(diǎn)的集中力偶，用M或Me表示。

(3)分布載荷:沿梁軸線連續(xù)分布在較長(zhǎng)范圍內(nèi)的橫向力，稱為分布載荷。

分布載荷的大小用載荷集度q來(lái)描述，載荷集度就是沿梁軸線單位長(zhǎng)度的作用力，其常用單位為N/mm或N/m。當(dāng)載荷均勻分布時(shí)，q為常數(shù)；當(dāng)載荷非均勻分布時(shí)，q為橫截面位置x的函數(shù)，即q=q(x)。

2.梁支座的簡(jiǎn)化

梁的支座可以簡(jiǎn)化為以下三種形式：

(1)活動(dòng)鉸支座:如圖4－5(a)所示,它對(duì)梁的約束力FR沿支承面法線方向，圖4－5(a)給出了活動(dòng)鉸支座及其約束力簡(jiǎn)圖。

(2)固定鉸支座:如圖4－5(b)所示,在研究平面問(wèn)題時(shí)，固定鉸支座的約束力可用平面內(nèi)兩個(gè)分力表示，一般情況下，用沿梁軸方向的約束力FRx與垂直于梁軸方向的約束力FRy來(lái)表示。

(3)固定端:如圖4－5(c)所示,在研究平面問(wèn)題時(shí)，相應(yīng)約束力用三個(gè)分量表示,即沿梁軸方向的約束力FRx、垂直于梁軸方向的約束力FRy和位于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的約束力偶Me。圖

4－5圖

4－6上述三種梁都可以用靜平衡方程來(lái)計(jì)算約束力，屬于靜定梁。有時(shí)為了保證梁的強(qiáng)度和剛度，為一個(gè)梁設(shè)置較多的支座，從而使梁的約束力數(shù)目多于獨(dú)立靜平衡方程數(shù)目，這時(shí)單憑靜力學(xué)知識(shí)就不能確定全部約束力，這種梁稱為靜不定梁〔超靜定梁〕。 4.3彎曲內(nèi)力及內(nèi)力圖

梁橫截面上的內(nèi)力——剪力與彎矩

梁的外力確定后，就可用截面法分析梁的內(nèi)力。

如圖4－7(a)所示簡(jiǎn)支梁，用截面法確定距A端為x處截面m－m上的內(nèi)力。假想沿m－m截面將梁截開，分成左右兩段，任選其中一段，例如左段〔見圖4－7(b)〕進(jìn)行研究。在左段梁上作用有外力FAy與F1，為了保持左段平衡，m－m截面上一定存在內(nèi)力。為了分析其內(nèi)力，將作用在左段梁上的所有外力均向截面形心C簡(jiǎn)化，得主矢FS′和主矩M′。由于外力均垂直于梁軸，主矢FS′也垂直于梁軸。由此可見，當(dāng)梁彎曲時(shí)，橫截面上必然同時(shí)存在兩種內(nèi)力分量：與主矢平衡的內(nèi)力FS；與主矩平衡的內(nèi)力偶矩M。這種作用線與橫截面相切的內(nèi)力稱為剪力，記為FS；作用在縱向?qū)ΨQ面的內(nèi)力偶矩稱為彎矩，記為M。根據(jù)左段梁的平衡方程可得剪力FS的大小等于左段梁上所有橫向外力的代數(shù)和，彎矩M的大小等于左段梁上所有外力對(duì)形心C取矩的代數(shù)和同理，如果以右段梁為研究對(duì)象(見圖4－7(c))，并根據(jù)右段梁的平衡條件計(jì)算m－m截面的內(nèi)力，將得到與左段大小相同的剪力和彎矩，但是其方向相反。圖

4－7為了使選擇不同研究對(duì)象得到的同一橫截面上的剪力和彎矩，不但在數(shù)值上相同，而且正負(fù)號(hào)也一致，剪力和彎矩的正負(fù)號(hào)需根據(jù)變形來(lái)確定。規(guī)定如下：在梁內(nèi)欲求內(nèi)力截面的內(nèi)側(cè)切取微段，凡使該微段沿順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)的剪力規(guī)定為正(見圖4－8(a))，反之為負(fù)；使微段產(chǎn)生下凹變形的彎矩規(guī)定為正(見圖4－8(b))，反之為負(fù)。

按此規(guī)定，圖4－7(b)、

(c)所示的m－m截面上的剪力與彎矩均為正值。圖

4－8例4－1圖4－9所示外伸梁上的外載荷均為，試求圖示各指定截面的剪力和彎矩。圖

4－9解〔1〕求梁的約束力。由靜平衡方程可得

解得〔2〕計(jì)算各指定截面的內(nèi)力。對(duì)于截面5－5，取該截面右側(cè)局部為研究對(duì)象，其余各截面均取相應(yīng)截面左側(cè)局部為研究對(duì)象。根據(jù)靜平衡方程可求得:

1－1截面：〔因?yàn)?－1截面從右端無(wú)限接近支座A，即Δ→0，以下同樣理解?！?－2截面：3－3截面：4－4截面：5－5截面：剪力圖與彎矩圖

一般情況下，在梁的不同橫截面上，剪力與彎矩均不相同，即剪力與彎矩隨橫截面位置的不同而變化。為了描述剪力與彎矩沿梁軸線的變化情況，取梁的軸線為x軸，以坐標(biāo)x表示橫截面的位置，剪力、彎矩可表示成橫截面位置x的函數(shù)，即上述關(guān)系式分別稱為剪力方程和彎矩方程。描述剪力與彎矩沿梁軸變化的另一重要方法是圖示法。與軸力圖、扭矩圖的表示方式類似，作圖時(shí)，以x為橫坐標(biāo)軸，表示橫截面位置，以FS或M為縱坐標(biāo)軸，分別繪制剪力、彎矩沿梁軸線變化的曲線，上述曲線分別稱為剪力圖與彎矩圖。

剪力、彎矩方程便于分析和計(jì)算，剪力、彎矩圖形象直觀，兩者對(duì)于解決梁的彎曲強(qiáng)度和剛度問(wèn)題都必不可少、同等重要，所以，剪力、彎矩方程與剪力、彎矩圖是分析彎曲問(wèn)題的重要根底。

例4－2某填料塔塔盤下的支承梁，在物料重力的作用下，可以簡(jiǎn)化為一承受均布載荷的簡(jiǎn)支梁，如圖4－10(a)所示，在全梁長(zhǎng)度l上承受集度為q的均布載荷作用，試作梁的剪力、彎矩圖。圖4－10解〔1〕計(jì)算約束力。均布載荷合力為FR=ql，并作用在梁中點(diǎn)，所以，A端與B端的約束力分別為(2〕建立剪力、彎矩方程。從距左端為x的任意截面處截開，研究左半段，根據(jù)靜平衡方程可得(a)

(b)〔3〕畫剪力、彎矩圖。由式(a)知，剪力FS為x的一次函數(shù)，剪力圖為一條斜向下的直線，并計(jì)算得畫出剪力圖如圖4－10(c)所示。由式(b)知，彎矩M為x的二次函數(shù)，彎矩圖為一條開口向下的拋物線，并計(jì)算得畫出彎矩圖如圖4－10(d)所示。例4－3圖4－11(a)所示簡(jiǎn)支梁，在梁上C點(diǎn)處承受集中載荷F的作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。

解〔1〕計(jì)算約束力。以梁AB為研究對(duì)象，對(duì)B、A兩點(diǎn)分別列出矩式平衡方程∑MB=0和∑MA=0，可解得A端和B端的約束力分別為圖4－11(2〕建立剪力、彎矩方程。由于在截面C處作用有集中載荷F，故應(yīng)將梁分為AC和CB兩段，分段建立剪力與彎矩方程。

對(duì)于AC段，以A點(diǎn)為原點(diǎn)，坐標(biāo)軸x1向右為正，由圖4－11(b)可知，該段梁的剪力、彎矩方程分別為(a)(b)對(duì)于CB段，為計(jì)算方便，以B點(diǎn)為原點(diǎn)，坐標(biāo)軸x2向左為正，由圖4－11(c)可知，該段梁的剪力、彎矩方程分別為(c)(d)〔3〕畫剪力、彎矩圖。根據(jù)式(a)、(c)畫剪力圖〔見圖4－11(d)〕；根據(jù)式(b)、(d)畫彎矩圖〔見圖4－11

(e)〕。由圖可看出，橫截面C處的彎矩最大，其值為如果a>b，那么CB段的剪力絕對(duì)值最大，其值為如果集中載荷作用在梁中點(diǎn)，即

時(shí)由剪力、彎矩圖可以看出，在集中力作用處，其左右兩側(cè)橫截面上的彎矩相同，而剪力發(fā)生突變，突變量等于該集中力的大小。

例4－4圖4－12(a)所示懸臂梁，承受集中載荷F與集中力偶Me=Fa作用，試作梁的剪力、彎矩圖。圖4－12解〔1〕建立剪力、彎矩方程。由于在截面C處作用有集中力偶，故應(yīng)將梁分成AC、CB兩段。對(duì)于AC段，選坐標(biāo)x1，可以看出，AC段的剪力、彎矩方程分別為對(duì)于CB段，選坐標(biāo)x2，可以看出，CB段的剪力、彎矩方程分別為〔2〕畫剪力、彎矩圖。根據(jù)式(a)、(c)畫出剪力圖〔見圖4－12(b)〕；根據(jù)式(b)、(d)畫出彎矩圖〔見圖4－12

(c)〕。

由剪力、彎矩圖可以看出，在集中力偶作用處，左右兩側(cè)橫截面上的剪力相同，而彎矩發(fā)生突變，突變量等于該力偶矩的大小。例4－5圖4－13(a)所示的簡(jiǎn)支梁，承受集中載荷F＝qa與半跨度均布載荷q的作用，試作梁的剪力、彎矩圖。

解〔1〕計(jì)算約束力。由平衡方程∑MB＝0與∑MA＝0可分別計(jì)算出A端、B端約束力分別為方向如圖4－13(a)所示。圖4－13(2〕建立剪力、彎矩方程。截面C處，既是集中載荷作用處，也是分布載荷的不連續(xù)處，故應(yīng)將梁分為AC、CB兩段。對(duì)于AC段，以A為原點(diǎn)，坐標(biāo)軸x1向右為正，可以看出，AC段的剪力、彎矩方程分別為對(duì)于CB段，以B為原點(diǎn)，坐標(biāo)軸x2向左為正，可以看出，CB段的剪力、彎矩方程分別為(c)(d)由剪力圖、彎矩圖可知，截面A處的剪力最大，其值為截面C處的彎矩最大，其值為

4.4剪力、彎矩與載荷集度間的微分關(guān)系本節(jié)研究剪力、彎矩與載荷集度間的關(guān)系，及其在繪制剪力、彎矩圖中的應(yīng)用。圖4－14(a)所示的梁，承受集度為q(x)的分布載荷作用。在此規(guī)定載荷集度q向上為正，坐標(biāo)軸y向上為正，x向右為正。為了研究剪力與彎矩沿梁軸的變化，在梁上切取微段dx(見圖4－14(b))。左截面上的剪力和彎矩分別為FS和M，由于微段上作用有連續(xù)變化的分布載荷，內(nèi)力沿梁軸也將連續(xù)變化，因此，右截面上的剪力和彎矩分別為FS＋dFS與M＋dM。圖4－14在上述各力作用下，微段處于平衡狀態(tài)，y軸方向的靜平衡方程可寫為可得(4－1)微段上的所有力對(duì)右側(cè)面形心C取矩的代數(shù)和為零,即略去高階微量q(dx)2/2，可得將式(4－2)再對(duì)x求導(dǎo)，并考慮到式(4－1)，可得〔4－3〕以上三式即為直梁的剪力FS、彎矩M和載荷集度q(x)間的微分關(guān)系。剪力、彎矩與載荷集度間微分關(guān)系的幾何意義為：剪力圖某點(diǎn)處的切線斜率，等于梁上相應(yīng)截面處的載荷集度；彎矩圖某點(diǎn)處的切線斜率，等于相應(yīng)截面處的剪力；而彎矩圖某點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)，那么等于相應(yīng)截面處的載荷集度。特別注意：載荷集度q規(guī)定向上為正，x軸向右為正。

根據(jù)上述微分關(guān)系，可以總結(jié)出剪力、彎矩圖的下述規(guī)律：

〔1〕無(wú)載荷作用的梁段:因?yàn)閝(x)=0，即dFS/dx=0，故FS(x)=常數(shù)，那么該梁段的剪力圖為水平直線。又因?yàn)镕S(x)=常數(shù)，故dM/dx=FS(x)=常數(shù)，那么該段梁彎矩圖的切線斜率為常數(shù)，彎矩圖為一斜直線。由此可見，當(dāng)梁上僅有集中載荷作用時(shí)，其剪力與彎矩圖一定是由直線構(gòu)成的?！惨姳?－1(1)〕?！?〕集中力作用處:在集中力作用處，剪力圖有突變，突變量等于集中力的大小；彎矩圖有折角(見表4－1(3)〕。

〔4〕集中力偶作用處:在集中力偶作用處，剪力圖無(wú)變化，彎矩圖有突變，突變量等于集中力偶矩的大小(見表4－1(4)〕。

上述結(jié)論可歸結(jié)為表4－1。表4－1各種形式載荷作用下的剪力圖、彎矩圖例4－6圖4－15(a)所示外伸梁，承受均布載荷q、集中載荷F和集中力偶Me作用，其中F=qa，Me=qa2，試作梁的剪力、彎矩圖，并檢驗(yàn)其正確性。

解〔1〕計(jì)算約束力。研究整個(gè)梁，由靜平衡方程∑MC=0與∑MB=0，可得B、C端的約束力分別為方向如圖4－15(a)所示。圖4－15〔2〕建立剪力、彎矩方程。選坐標(biāo)x1、x2如圖4－15〔a)所示，可得梁AB、CB段的剪力，彎矩方程分別為(3〕畫剪力、彎矩圖。根據(jù)上述方程可畫出剪力、彎矩圖,分別如圖4－15(b)與圖4－15(c)所示，其中在梁BC段中點(diǎn)D截面上，F(xiàn)SD＝0，彎矩取極值〔4〕檢驗(yàn)。先檢查A、B和C處的剪力、彎矩值的正確性。A處有向下集中力F，故A處右鄰面上的剪力為FS＝－qa，彎矩為零。B點(diǎn)有向上的約束力FBy＝2qa作用，B處剪力圖有突變B點(diǎn)有集中力偶Me＝qa2作用，B處彎矩圖有突變C點(diǎn)有約束力作用，無(wú)集中力偶，故因此，上述三點(diǎn)剪力、彎矩值正確。再檢驗(yàn)剪力、彎矩圖的圖形趨勢(shì)。AB段無(wú)載荷，故剪力圖應(yīng)是一條水平線，彎矩圖應(yīng)是一條斜直線。BC段有向下的均布載荷，故剪力圖應(yīng)是一條從左向右遞減的斜直線，彎矩圖應(yīng)是一開口向下的拋物線。對(duì)照剪力、彎矩圖，符合上述分析，故梁的剪力、彎矩圖繪制正確。例4－7一外伸梁受均布載荷和集中力偶作用，如圖4－16(a)所示。試作梁的剪力、彎矩圖。

解〔1〕求約束力。以懸臂梁為研究對(duì)象，根據(jù)靜平衡方程可求得A、B兩處的約束力分別為圖4－16〔2〕繪制剪力圖。根據(jù)梁的受力情況，將梁分為CA、AD、DB三段，CA段上作用有均布載荷，故剪力圖為一條斜直線；AD、DB段沒(méi)有載荷作用，AB間也沒(méi)有集中力作用，故剪力圖為一條水平直線。為準(zhǔn)確地畫出剪力圖，需求出以下分段截面上的剪力值:根據(jù)以上數(shù)據(jù)便可繪出梁的剪力圖〔見圖4－16(b)〕。由圖可見，在截面A處有支座約束力作用，截面A處剪力圖有突變，突變量的大小等于該處支座約束力的大小。整個(gè)梁上A-面上的剪力絕對(duì)值最大，其值為|FS|max=20kN?！?〕繪制彎矩圖。CA段上作用有向下的均布載荷，彎矩圖為開口向下的拋物線；AD、DB上無(wú)載荷，其彎矩圖為斜直線。為準(zhǔn)確畫出各段的彎矩圖，需求出以下各分段截面上的彎矩：根據(jù)以上數(shù)據(jù)可畫出梁的彎矩圖〔見圖4－16(c)〕。由彎矩圖可看出，在D截面處作用有集中力偶，彎矩圖有突變，突變量等于集中力偶矩的大小。在A截面處彎矩圖有折角。整個(gè)梁上最大彎矩發(fā)生在D+截面，其值為|M|max=15kN·m。 4.5平面剛架與曲桿的內(nèi)力

工程中，某些機(jī)器的機(jī)身或機(jī)架的軸線是由幾段直線組成的折線，如液壓機(jī)機(jī)身、軋鋼機(jī)機(jī)架、鉆床床架〔見圖4－17〕等。在這種結(jié)構(gòu)中，桿與桿的交點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)。由于其剛度很大，受力前后節(jié)點(diǎn)處各桿間的夾角保持不變，即桿與桿在節(jié)點(diǎn)處不發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，因此這樣的節(jié)點(diǎn)稱為剛節(jié)點(diǎn)。由剛節(jié)點(diǎn)連接桿件組成的結(jié)構(gòu)稱為剛架。剛節(jié)點(diǎn)處的內(nèi)力通常包含軸力、剪力和彎矩。圖4－17工程中還有一些構(gòu)件，其軸線是一條平面曲線，稱為平面曲桿，如活塞環(huán)、鏈環(huán)、拱〔見圖4－18〕等。平面曲桿橫截面上的內(nèi)力通常包含軸力、剪力和彎矩。下面舉例說(shuō)明平面剛架和平面曲桿內(nèi)力的計(jì)算方法和內(nèi)力圖的繪制。圖1－181.平面剛架

平面剛架上的軸力和剪力，其正負(fù)規(guī)定與直桿相同。而彎矩沒(méi)有正負(fù)號(hào)的規(guī)定，在畫彎矩圖時(shí)，將彎矩圖畫在彎曲變形凹入的一側(cè)，即畫在桿件受壓纖維的一側(cè)即可。

例4－8圖4－19(a)所示剛架ABC，設(shè)在AB段承