專題01 含30°角的直角三角形 帶解析

2022-2023學(xué)年湘教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)精選壓軸題培優(yōu)卷專題01含30°角的直角三角形姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________評(píng)卷人得分一、選擇題(每題2分，共20分)1．(本題2分)（2022秋·重慶江北·八年級(jí)重慶十八中校考期末）圖1是一個(gè)地鐵站入口的雙翼閘機(jī)，如圖2，它的雙翼展開時(shí)，雙翼邊緣的端點(diǎn)與之間的距離為，雙翼的邊緣，且與閘機(jī)側(cè)立面夾角，當(dāng)雙翼收起時(shí)，可以通過閘機(jī)的物體的最大寬度為（

）A． B． C． D．【答案】A【思路點(diǎn)撥】過作于，過作于，則可得和的長，依據(jù)端點(diǎn)與之間的距離為，即可得到可以通過閘機(jī)的物體的最大寬度．【規(guī)范解答】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，，，同理可得，，又雙翼邊緣的端點(diǎn)與之間的距離為，，當(dāng)雙翼收起時(shí)，可以通過閘機(jī)的物體的最大寬度為．故選：A．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了含角的直角三角形的性質(zhì)，在直角三角形中，角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．2．(本題2分)（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在等邊中，，分別為，邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且總使，與交于點(diǎn)F，于點(diǎn)，則以下結(jié)論：①；②；③．其中正確的結(jié)論有（）A．3個(gè) B．2個(gè)C．1個(gè) D．0個(gè)【答案】B【思路點(diǎn)撥】由題意知，，證明，進(jìn)而可判斷①的正誤；由可得，由三角形外角的性質(zhì)可知，，進(jìn)而根據(jù)含度角的直角三角形的性質(zhì)，可判斷②的正誤；由是動(dòng)點(diǎn)，可知與的值不一定相等，進(jìn)而可判斷③的正誤．【規(guī)范解答】解：由題意知，在和中，∵∴，故①正確；由可得，∵，∴，∵，∴，∴；故②正確；∵是動(dòng)點(diǎn)，∴與的值不一定相等，僅當(dāng)時(shí)，，則，故③錯(cuò)誤；故選：B．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的靈活運(yùn)用．3．(本題2分)（2021秋·河南信陽·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知，點(diǎn)P在邊OA上，，點(diǎn)M，N在邊OB上，，若，則OM的長為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【思路點(diǎn)撥】過P作，根據(jù)等腰三角形形三線合一及直角三角形角所對(duì)直角邊等于斜邊一半即可得到答案．【規(guī)范解答】解：過P作，∵，，∴，∵，∴，∵，，，∴，∴，故選：C．．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查等腰三角形形三線合一及直角三角形角所對(duì)直角邊等于斜邊一半，解題關(guān)鍵是作出輔助線．4．(本題2分)（2023秋·湖北鄂州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，邊長為的等邊三角形中，是高所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連結(jié)．則在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，線段長度的最小值是（

）A．6 B．3 C．1 D．【答案】B【思路點(diǎn)撥】取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再求出，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，然后利用邊角邊證明，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得，然后根據(jù)垂線段最短可得時(shí)最短，再根據(jù)求解即可．【規(guī)范解答】解：如圖，取的中點(diǎn)，連接，旋轉(zhuǎn)角為，，又，，是等邊的對(duì)稱軸，，，又旋轉(zhuǎn)到，，在和中，，，，根據(jù)垂線段最短，當(dāng)時(shí)，最短，即最短，此時(shí)，，，；故選：B．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含度角的直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．5．(本題2分)（2022秋·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，平分交于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作交于點(diǎn)N，且平分．若，則的長為（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【思路點(diǎn)撥】先求得的度數(shù)，然后根據(jù)解直角三角形的知識(shí)可以求得的長，再求得的長．【規(guī)范解答】解：∵在中，平分交于點(diǎn)M，∴∵過點(diǎn)M作交于點(diǎn)N，∴，，∴，∴，∵平分，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∵在中，，，∴，∴，∴，∵在中，，，∴，故選：D．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了角的直角三角形、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．6．(本題2分)（2023秋·湖南長沙·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，為等邊三角形，相交于點(diǎn)于的長是（

）A． B． C． D．【答案】D【思路點(diǎn)撥】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，，根據(jù)全等三角形的判定得出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，，求出，求出，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)求出，即可求出答案．【規(guī)范解答】解：是等邊三角形，，，在和中，，，，，，，在中，，，，，，，故選D．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，含角的直角三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．7．(本題2分)（2022秋·湖北武漢·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，，，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，為延長線上一點(diǎn)，且.有下列結(jié)論：①；②為等邊三角形；③；④.其中正確的結(jié)論是（

）A．①②③④ B．①② C．①②④ D．③④【答案】A【思路點(diǎn)撥】連接，由等腰三角形的性質(zhì)和線段的中垂線性質(zhì)即可判斷①；由三角形內(nèi)角和定理可求，可得，可判斷②；過點(diǎn)作，在上截取，由“”可證，延長至H，使，則點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，根據(jù)對(duì)稱性質(zhì)即可判斷③；過點(diǎn)A作，在上截取，由三角形的面積的和差關(guān)系可判斷④．【規(guī)范解答】解：如圖，連接，∵，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，，，∴是的中垂線，∴，而，∴，∴，，∴，∴，故①正確；∵，∴，

∵，∴，∴而，∴是等邊三角形，故②正確；如圖，延長至，使，則點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，連接，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故③正確；過點(diǎn)A作，在上截取，

∵，∴是等邊三角形，∴，∴，且，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴．故④正確．所以其中正確的結(jié)論是①②③④．故選：A．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了全等三角形的判定，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，垂直平分線的定義與性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線是本題的關(guān)鍵．8．(本題2分)（2023春·八年級(jí)單元測試）如圖，在中，，平分交與點(diǎn)G，平分交于點(diǎn)D，、相交于點(diǎn)F，交的延長線于點(diǎn)E，連接，下列結(jié)論中正確的是（

）①若，則；②；③；④．A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【思路點(diǎn)撥】由角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理可求，由外角的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求，故①正確；先求出，由直角三角形的性質(zhì)可得，故②正確；先證明可得，得到，由直角三角形的性質(zhì)可得只有當(dāng)時(shí)，，與已知條件可得③錯(cuò)誤；在上截取，連接，先證明，進(jìn)而證明，，即可得到，從得到④正確，問題得解．【規(guī)范解答】解：①∵，∴，∵平分，平分，∴，∴，∵，∴，∴，故①正確；②∵，∴，∵平分，平分，∴，∴，∵，∴，∴，故②正確；③如圖，延長，交于點(diǎn)H，∵，∴，∴，∴點(diǎn)E為線段中點(diǎn)，∴只有當(dāng)時(shí)，，由題意得，∴,故③錯(cuò)誤；④如圖，在上截取，連接，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，故④正確．故選：B【考點(diǎn)評(píng)析】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．9．(本題2分)（2022·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝30°，點(diǎn)D、E分別在邊AC、AB上，P是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，P、D不與C重合，當(dāng)AE＝13時(shí)，求PD＋PE的最小值（

）A．24 B．25 C．26 D．【答案】D【思路點(diǎn)撥】作D關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)G，連接GE則PD＋PE＝GE，當(dāng)PD＋PE的值最小時(shí)，GE最小，當(dāng)GE⊥AB時(shí)，GE最小，即求得GEAE＝13．【規(guī)范解答】解：作D關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)G，連接GE，則PD＝PG，∴PD＋PE＝PD＋PG＝GE，當(dāng)PD＋PE的值最小時(shí)，GE最小，∴當(dāng)GE⊥AB時(shí)，GE最小，∵AE＝13，∠B＝30°∴GEAE＝13．故選：D．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，直角三角形的性質(zhì)，正確地作出圖形是解題的關(guān)鍵．10．(本題2分)（2022秋·山東德州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)M在等邊△ABC的邊BC上，BM＝8，射線CD⊥BC垂足為點(diǎn)C，點(diǎn)P是射線CD上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)MP+NP的值最小時(shí)，BN＝9，則AC的長為（

）A．15 B．12 C．13 D．10【答案】C【思路點(diǎn)撥】由AC=BC，，作點(diǎn)M關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)G，過G作于點(diǎn)，交CD于P，則此時(shí)MP+PN的值最小，再由直角三角形即可求出答案【規(guī)范解答】如圖：是等邊三角形，作點(diǎn)M關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)G，過G作于點(diǎn)，交CD于P，為最小值，故答案選C【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查軸對(duì)稱中的最短路徑問題、等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，正確作圖是關(guān)鍵．評(píng)卷人得分二、填空題(共20分)11．(本題2分)（2023秋·天津·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知是等邊三角形，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，于點(diǎn)E，作，交于點(diǎn)F，若，則________．【答案】6【思路點(diǎn)撥】利用含30度角的直角三角形求出的長，根據(jù)平行線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和判定求出的長．【規(guī)范解答】∵是等邊三角形，∴，．∵點(diǎn)D為的中點(diǎn)，，∴∵于點(diǎn)E，，∴，∴，∴∵，∴，∵，∴是等邊三角形．∴故答案為：6【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了含30度角的直角三角形，平行線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定；找出30度角所對(duì)的直角邊為本題的解題關(guān)鍵．12．(本題2分)（2023秋·福建福州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，Rt△ABC中，，，，點(diǎn)D在邊上運(yùn)動(dòng)，以為邊向右邊作等邊三角形，連接，以下結(jié)論正確的有_____________．（填序號(hào)即可）①；②；③當(dāng)時(shí)，；④CE長度的最小值為1.25．【答案】①②③④【思路點(diǎn)撥】取的中點(diǎn)F，連接，由含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可判斷①正確；由，得出，判斷②正確；當(dāng)時(shí)，，得出，即可判定③正確；證明，得出，則當(dāng)時(shí)，最小，得出此時(shí)，，判定④正確；【規(guī)范解答】解：取的中點(diǎn)F，連接，∵，，，∴，①正確；∴，，∵是等邊三角形，∴，，∴，∴，②正確；∴，∴，則當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)，，④正確；當(dāng)時(shí)，，∴，∴，③正確；故答案為：①②③④．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，垂線段最短，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．13．(本題2分)（2023秋·安徽合肥·八年級(jí)合肥市第四十五中學(xué)?？计谀┑冗叺倪呴L為，點(diǎn)、分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)、分別從頂點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，且速度都是，則經(jīng)過______秒后，是直角三角形．【答案】或【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意得出，求出，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，①若時(shí)，，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)得出，得出方程，求出方程的解即可；②若，，根據(jù)，得出方程，求出方程的解即可．【規(guī)范解答】解：由題意得：，∴，∵是等邊三角形，∴，若時(shí)，，∴，即，解得：；若，∴，∴，即，解得：，所以當(dāng)或時(shí)，是直角三角形；故答案為：或．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了直角三角形的判定，含30度角的直角三角形，一元一次方程的應(yīng)用，分情況討論是解題的關(guān)鍵．14．(本題2分)（2022秋·福建福州·八年級(jí)福建省福州第十九中學(xué)?？计谀┤鐖D，是邊長為6的等邊三角形，E，F(xiàn)分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，若，則周長的最小值為__________．【答案】12【思路點(diǎn)撥】分別作點(diǎn)C關(guān)于，的對(duì)稱點(diǎn)M、N，連接，與交于點(diǎn)E，與交于點(diǎn)F，連接，則此時(shí)的周長最?。謩e證，，據(jù)此求解即可．【規(guī)范解答】解：如圖，∵，∴分別作點(diǎn)C關(guān)于，的對(duì)稱點(diǎn)M、N，連接，與交于點(diǎn)E，與交于點(diǎn)F，連接，則此時(shí)的周長最小，連接，交于點(diǎn)P，由作圖可知，∴的周長：，∵是等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，又∵，∴，∴，，∴，∴，又∵，∴，∴，，∴，即周長的最小值是12，故答案為：12．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了最短路徑問題，涉及到等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)等，正確根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)作出符合條件的圖形是解題的關(guān)鍵．15．(本題2分)（2023秋·山西大同·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在等邊中，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫弧交于點(diǎn)，連接、，若，則的長為______．【答案】6【思路點(diǎn)撥】先證為等邊三角形，再根據(jù)為等邊三角形，，證，在中，，根據(jù)的角對(duì)的直角邊是斜邊的一半，即可得答案．【規(guī)范解答】解：由題意可知：，為等邊三角形，，為等邊三角形，，，，，，，在中，，，解得：，，故答案為：6．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明．16．(本題2分)（2023秋·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，邊長為6的等邊三角形中，若點(diǎn)是高所在直線上一點(diǎn)，連接，以為邊在直線的下方畫等邊三角形，連接，則長度的最小值為________．【答案】##1.5【思路點(diǎn)撥】連接，利用證明，得，再利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可解答．【規(guī)范解答】解：如圖：連接，∵等邊三角形，∴，，∵是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∵，是等邊三角形且變長為6，∴，∴，∴時(shí)，最短為．故答案為．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，證得是解題的關(guān)鍵．17．(本題2分)（2023秋·湖南長沙·八年級(jí)湖南師大附中統(tǒng)考期末）如圖，已知平分，若，則________．【答案】7【思路點(diǎn)撥】如圖，延長交于M，延長交于N，結(jié)合題意根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，可得，易證為等邊三角形，結(jié)合已知求出，在中運(yùn)用角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半解三角形可求解．【規(guī)范解答】解：延長交于M，延長交于N，如圖，∵平分，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：7．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)；解含角的直角三角形；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算．18．(本題2分)（2023秋·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，點(diǎn)D為平分線上一點(diǎn)，的垂直平分線交分別于點(diǎn)P，O，點(diǎn)E是上異于點(diǎn)P的一點(diǎn)，且，則的面積為___________．【答案】【思路點(diǎn)撥】連接、，過作于，根據(jù)角平分線的定義得到，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，則,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得,可得即，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得,再根據(jù)勾股定理得到，,最后根據(jù)三角形的面積公式即可解答．【規(guī)范解答】解：連接、，過作于，∵平分，∴，∵的垂直平分線交分別于點(diǎn)P，O∴，∴，∴，∵∴，∵∴，∵∴∴∴∴的面積，故答案為：．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、角平分線的定義、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．19．(本題2分)（2023秋·江西宜春·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，在等邊中，，點(diǎn)P與點(diǎn)Q分別從點(diǎn)B，C同時(shí)出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)P的速度為，點(diǎn)Q的速度為，設(shè)點(diǎn)P與點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)_________s后，可得到．【答案】2或10或3.2【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意，時(shí)P點(diǎn)剛好運(yùn)動(dòng)一周回到B點(diǎn)，而Q點(diǎn)只能運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn).分情況討論：①P在上，Q在上，且②P在上，Q在上，且；③P、Q都在在上，且.根據(jù)“直角三角形中，的角所對(duì)的邊等于斜邊的一半”分別列方程求出t的值即可.【規(guī)范解答】①如圖1，P在上，Q在上，且，解得

（圖1）②如圖2，P在上，Q在上，且，則解得（圖2）③如圖3，P、Q都在在上，且，則解得（圖3）

綜上，點(diǎn)P與點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為2秒或3.2秒或10秒時(shí)可得到.【考點(diǎn)評(píng)析】本題是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)問題，主要考查了“直角三角形中，的角的邊等于斜邊的一半”這一性質(zhì).解題的關(guān)鍵是要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想，防止漏解.20．(本題2分)（2023秋·北京·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖所示，是以A為公共端點(diǎn)的兩條線段，且滿足，，作線段的垂直平分線l交于點(diǎn)D．點(diǎn)P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊構(gòu)造等邊，連接．當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，，則周長的最小值為_________．（用含有a、b的式子表示）【答案】【思路點(diǎn)撥】如圖所示，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，證明得到，接著證明，連接，取的中點(diǎn)F，則，可證明點(diǎn)E和點(diǎn)F重合，進(jìn)一步證明點(diǎn)Q在上，作D關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，則，可以推出當(dāng)最小時(shí)，的周長最小，則當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，此時(shí)點(diǎn)恰好在直線l上，據(jù)此求解即可．【規(guī)范解答】解：如圖所示，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∵是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，即是的角平分線，又∵，∴，連接，取的中點(diǎn)F，則，∴，即點(diǎn)E和點(diǎn)F重合，又∵，∴點(diǎn)Q在上，作D關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，則，∵的周長，∴當(dāng)最小時(shí)，的周長最小，∵，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，此時(shí)點(diǎn)恰好在直線l上，∴此時(shí)，則，∴，∴的周長最小值，故答案為：．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱最短路徑問題，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形從而確定點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．評(píng)卷人得分三、解答題(共60分)21．(本題6分)（2023秋·天津西青·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，等邊的邊長為3，點(diǎn)D是延長線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為邊在上方作等邊，過點(diǎn)A作，連接并延長，交于點(diǎn)N．(1)求證：；(2)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；(3)在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，線段的長度是否會(huì)發(fā)生變化？若不變，則求出的長度；若變化，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)見詳解(2)(3)長度不變，且，理由見詳解【思路點(diǎn)撥】（1）證明即可作答；（2），，即有，即，結(jié)合，有；（3）由，結(jié)合，，可得，進(jìn)而，隨之，即可得，則有在中，有，問題得解．【規(guī)范解答】（1）∵、都是等邊三角形，∴，，，∴，∴，∵，，∴，∴；（2）∵是等邊三角形，∴，∵，∴，∵在（1）中，有，∴，∵都是等邊三角形，∴，∴；（3）長度不發(fā)生變化，理由如下：∵在（1）中，有，∴，∵，，∴，∴結(jié)合一組對(duì)頂角相等，可得：，∴，∴，∵，∴，∴，∴在中，有，∴，∵等邊的邊長為3，∴．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，掌握三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．22．(本題6分)（2022秋·廣西南寧·八年級(jí)廣西大學(xué)附屬中學(xué)校考期末）如圖，在等邊中，厘米，厘米．如果點(diǎn)以3厘米/秒的速度運(yùn)動(dòng)．(1)如果點(diǎn)在線段上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在線段上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．它們同時(shí)出發(fā)，若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度相等．經(jīng)過2秒后，和是否全等？請(qǐng)說明理由．(2)在（1）的條件下，當(dāng)兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少時(shí)，是一個(gè)直角三角形？(3)若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度不相等，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)以原來的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，都順時(shí)針沿三邊運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過25秒點(diǎn)與點(diǎn)第一次相遇，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度是多少厘米/秒？【答案】(1)，理由見解析(2)當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒或秒時(shí)，是直角三角形(3)厘米/秒或厘米/秒【思路點(diǎn)撥】（1）分別求出運(yùn)動(dòng)2秒后，的長，然后利用證明即可；（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，分別表示和．分兩種情況，運(yùn)用特殊三角形的性質(zhì)求解：當(dāng)；當(dāng)；（2）點(diǎn)M與點(diǎn)N第一次相遇，有兩種可能：點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)速度快；點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)速度快．分別列方程求解即可．【規(guī)范解答】（1）解：，理由如下：由題意得，運(yùn)動(dòng)2秒后，厘米，厘米，∴厘米，∵是等邊三角形，∴，又∵厘米，厘米，∴；（2）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，是直角三角形有兩種情況：當(dāng)時(shí)，∵，∴∴，∴解得；當(dāng)時(shí)，∵，∴，∴，∴，解得；綜上所述，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒或秒時(shí)，是直角三角形；（3）解：分兩種情況討論：若點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度快，則，解得；若點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度快，則，解得；綜上所述，點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度為厘米/秒或厘米/秒．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定，一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于運(yùn)用分類討論的思想列出方程求解．23．(本題8分)（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知等邊的邊長為，現(xiàn)有兩點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，已知點(diǎn)M的速度，點(diǎn)N的速度為．當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．(1)當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M的位置在；當(dāng)M、N運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，點(diǎn)N追上點(diǎn)M；(2)當(dāng)點(diǎn)M、N在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能否得到以為底邊的等腰三角形？如存在，請(qǐng)求出此時(shí)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．(3)當(dāng)為直角三角形時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值是【答案】(1)線段的中點(diǎn)，6(2)存在，當(dāng)M、N運(yùn)動(dòng)8秒時(shí)，能得到以為底的等腰三角形(3)，，，9【思路點(diǎn)撥】（1）先求解N第一次到達(dá)B的時(shí)間，可得M的位置，再點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)x秒后，M、N兩點(diǎn)重合，可得，再解方程即可；（2）先證明，可得，再建立方程，即可得到答案；（3）當(dāng)點(diǎn)N在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖3，若，如圖4，當(dāng)，再利用含的直角三角形的性質(zhì)列方程即可，當(dāng)點(diǎn)N在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M也在AC上，此時(shí)A，M，N不能構(gòu)成三角形：當(dāng)點(diǎn)N在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖5，當(dāng)點(diǎn)N位于中點(diǎn)處時(shí)，由為等邊三角形知，如圖6，當(dāng)點(diǎn)M位于中點(diǎn)處時(shí)，由時(shí)等邊三角形知，即是直角三角形，再列方程求解即可．【規(guī)范解答】（1）解：當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)運(yùn)動(dòng)了，∴點(diǎn)M的位置在線段BC的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)x秒后，M、N兩點(diǎn)重合，，解得：，即當(dāng)M、N運(yùn)動(dòng)6秒時(shí)，點(diǎn)N追上點(diǎn)M．（2）當(dāng)點(diǎn)M、N在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以得到以為底邊的等腰三角形，由（1）知6秒時(shí)M、N兩點(diǎn)重合，恰好在C處，如圖2，假設(shè)是等腰三角形，∴，∴．∴，∵是等邊三角形，∴，AB=AC，在和中，∵，，∴∴，∴，解得，符合題意．

所以假設(shè)成立，當(dāng)M、N運(yùn)動(dòng)8秒時(shí)，能得到以為底的等腰三角形．（3）當(dāng)點(diǎn)N在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖3，若，∵，，∴，∵，∴，即，解得．如圖4，當(dāng)，同理可得：由得，解得；當(dāng)點(diǎn)N在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M也在AC上，此時(shí)A，M，N不能構(gòu)成三角形：當(dāng)點(diǎn)N在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖5，當(dāng)點(diǎn)N位于中點(diǎn)處時(shí)，由為等邊三角形知，即是直角三角形，則，解得．如圖6，當(dāng)點(diǎn)M位于中點(diǎn)處時(shí)，由時(shí)等邊三角形知，即是直角三角形，則；綜上，當(dāng)，，，9時(shí)，可得到直角三角形．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查的是動(dòng)態(tài)幾何問題，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的定義，含的直角三角形的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵．24．(本題8分)（2023秋·湖北省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，cm，動(dòng)點(diǎn)、同時(shí)從、兩點(diǎn)出發(fā)，分別在、邊上勻速移動(dòng)，它們的速度分別為cm/s，cm/s，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，、兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts.(1)當(dāng)t為何值時(shí)，為等邊三角形？(2)當(dāng)t為何值時(shí)，為直角三角形？【答案】(1)時(shí)(2)或時(shí)【思路點(diǎn)撥】（1）由題意得，，，再由等邊三角形的性質(zhì)得到，即，解方程即可；（2）討論或時(shí)，利用與之間的關(guān)系，建立方程求解即可．【規(guī)范解答】（1）如圖：在中，∵，，cm，∴，，．∴cm，cm．

-當(dāng)時(shí)，為等邊三角形．即，∴，又，∴當(dāng)時(shí)，為等邊三角形；（2）若為直角三角形，∵，①當(dāng)時(shí)，，即，∴；

②當(dāng)時(shí)，，即，∴．

∴當(dāng)或24時(shí)，為直角三角形．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握含30度角的直角三角形的性質(zhì)．25．(本題8分)（2023秋·福建泉州·八年級(jí)期末）閱讀材料：“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”．如圖①，等腰和等腰中，，將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接，利用上面結(jié)論或所學(xué)解決下列問題：(1)若，求證：；(2)連接，當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)．①如圖②，若，則的度數(shù)為；線段與之間的數(shù)量關(guān)系是；②如圖③，若，為中邊上的高，判斷的度數(shù)及線段之間的數(shù)量關(guān)系說明理由．【答案】(1)見解析(2)①；②，見解析【思路點(diǎn)撥】（1）由“”可證，可得；（2）①由，得到，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；②類比①可得，即可求解．【規(guī)范解答】（1）∵∴∴在和中∴∴（2）①∵，∴，即，∵∴是等邊三角形，∴∴又，∴，∴∴，故答案為：；②關(guān)系：理由：∵∴，∴∴∵∴∵∴∴【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．26．(本題8分)（2023秋·福建龍巖·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，，是中線，以為邊在右側(cè)作等邊三角形．(1)如圖（1），連接，交于點(diǎn)F．①若，求；②求證：．(2)如圖（2），當(dāng)時(shí)，以為邊在下方作等邊三角形，連接交于點(diǎn)P．求證：點(diǎn)P是的中點(diǎn)．【答案】(1)①；②見解析(2)見解析【思路點(diǎn)撥】（1）①先由等邊三角形的性質(zhì)得，，從而求出，再根據(jù)等腰三角形性質(zhì)與三角形內(nèi)角和定理求解即可；②先等腰三角形三線合一得出平分，且，從而求出，得到，然后由直角三角形的性質(zhì)得出結(jié)論．（2）證法一：過點(diǎn)E作于H，先證明，得，再證明，得出，即得出結(jié)論；證法二：過點(diǎn)G作交于M，先證明，得到，再證明，得出，即可得出結(jié)論．【規(guī)范解答】（1）解：①，是等邊三角形，，，又，，．②證明：，是中線，平分，且，設(shè)，則，中，，，，在中，，．（2）證明一：過點(diǎn)E作于H，是等邊三角形，，，中，，，即，由（2），，，，是等邊三角形，，，，又，，，，，又，，，即點(diǎn)P是中點(diǎn)．證明二：過點(diǎn)G作交于M，是等邊三角形，，，中，，，，，由（2），，又，是等邊三角形，，，，是等邊三角形，，，，即又，，，又，，，即點(diǎn)P是中點(diǎn)．【考點(diǎn)評(píng)析】本題詞考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形與等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．27．(本題8分)（2023秋·山西呂梁·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，是邊長是的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從A，B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿，方向勻速移動(dòng)，其中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），解答下列問題：(1)當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，與的位置關(guān)系如何？請(qǐng)說明理由．(2)在點(diǎn)P與點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)過