5道微分方程計算練習(xí)題及答案B5

5道微分方程計算練習(xí)題及答案1.二階常微分方程30y''+86y'=0的通解主要內(nèi)容：本文通過一階微分方程分離變量法、一階齊次微分方程和二階常系數(shù)微分方程通解計算，介紹二階常微分方程30y''+86y'=0通解的計算步驟。主要步驟：※.分離變量法由30y''=-86y'有：30d(y')=-86y'dxeq\f(30d(y'),y')=-86dx,兩邊同時積分有：30eq\i(,,\f(d(y'),y'))=-86eq\s\up5(\i(,,))dx，即：30eq\s\up5(\i(,,))d(lny')=-86eq\s\up5(\i(,,))dx，30lny'=-86x+C00,對方程變形有：eq\f(dy,dx)=eeq\s\up12((-eq\f(86x,30)+eq\f(C00,30)))=C01eeq\s\up10(-eq\f(86x,30)),再次積分可有：eq\s\up5(\i(,,))dy=C01eq\s\up5(\i(,,eeq\s\up10(-eq\f(86x,30))dx))，即：y=-C01*eq\f(15,43)eq\s\up5(\i(,,eeq\s\up10(-eq\f(86x,30))deq-\f(86x,30)))=C1eeq\s\up10(-eq\f(86x,30))+C2?！?一階齊次微分方程求解因為30(y')'+86y'=0，即：(y')'+eq\f(86,30)y'=0，按照一階齊次微分方程公式有：y'=eeq\s\up12(-eq\s\up5(\i(,,eq\f(43,15)dx)))*(eq\s\up5(\i(,,0*eeq\s\up12(eq\s\up5(\i(,,eq\f(43,15)dx)))dx))+C0)，進一步化簡有：y'=C0eeq\s\up10(-eq\f(86x,30))，繼續(xù)對積分可有：eq\s\up5(\i(,,))dy=C0eq\s\up5(\i(,,eeq\s\up10(-eq\f(86x,30))dx))，即：y=-C0*eq\f(15,43)*eq\s\up5(\i(,,eeq\s\up10(-eq\f(86x,30))deq-\f(86x,30)))=C1eeq\s\up10(-eq\f(86x,30))+C2?！?二階常系數(shù)微分方程求解該微分方程的特征方程為30r2+86r=0，即：r(30r+86)=0，所以r1=-eq\f(86,30)，r2=0。此時二階常系數(shù)微分方程的通解為：y=C1er1x+C2er2x=C1eeq\s\up10(-eq\f(86x,30))+C2。2.微分方程y'=eq\f(x-y,x+9y)的通解計算步驟主要內(nèi)容：本文通過換元法，介紹計算微分方程y'=eq\f(x-y,x+9y)的通解的計算過程。主要過程：根據(jù)題意有：eq\f(dy,dx)=eq\f(x-y,x+9y)，eq\f(dy,dx)=eq\f(1-eq\f(y,x),1+9*eq\f(y,x)).設(shè)eq\f(y,x)=u，即y=xu，求微分為dy=udx+xdu,有：eq\f(dy,dx)=u+xeq\f(du,dx)，代入微分方程有：u+xeq\f(du,dx)=eq\f(1-u,1+9u),xeq\f(du,dx)=eq\f(1-u,1+9u)-u,微分方程右邊通分得到：xeq\f(du,dx)=eq\f((1-u)-u(1-9u),1+9u)，xeq\f(du,dx)=-eq\f(9u2+2u-1,1+9u)，eq\f((9u+1)du,9u2+2u-1)=-eq\f(dx,x),兩邊同時取積分得：eq\i(,,eq\f((9u+1)du,9u2+2u-1))=-eq\i(,,eq\f(dx,x)),eq\f(1,2)eq\i(,,eq\f((2u+2)du,9u2+2u-1))=-eq\i(,,eq\f(dx,x))，eq\f(1,2)eq\i(,,eq\f(d(9u2+2u-1),9u2+2u-1))=-ln|x|，eq\f(1,2)ln|9u2+2u-1|+ln|x|=c1，xeq\r(9u2+2u-1)=ec1，x2(9u2+2u-1)=C，將u=eq\f(y,x)代入方程得微分方程的通解為：x2[9(eq\f(y,x))2+2eq\f(y,x)-1]=C,9y2+2xy-x2=C。3.求微分方程(16x2+9y2)dx-12xydy=0的通解主要內(nèi)容：本題主要通過微分方程的齊次方程通解計算方法，以及換元、分離變量等知識，介紹計算微分方程(16x2+9y2)dx-12xydy=0的通解步驟。主要步驟：解：對微分方程進行變形，同時除以xy有：(16*eq\f(x,y)+9*eq\f(y,x))-12dy=0，設(shè)eq\f(y,x)=u,則y=xu，求導(dǎo)有：dy=udx+xdu，代入方程有：(eq\f(16,u)+9u)dx-12dy=0，(eq\f(16,u)+9u)dx-12(udx+xdu)=0,(eq\f(16,u)-3u)dx=12xdu,進一步對上述方程變形有：eq\f(12udu,3u2-16)=-eq\f(dx,x),兩邊同時積分有：eq\f(1,2)eq\i(,,\f(12du2,(3u2-16)))=-eq\i(,,\f(dx,x)),2eq\i(,,\f(d(3u2-16),(3u2-16)))=-ln|x|+C1,2ln(3u2-16)+ln|x|=C1,根據(jù)對數(shù)知識，上述函數(shù)化簡為：x*(3u2-16)2=C,再將u=eq\f(y,x)代入有：(3y2-16x2)2=Cx3,即為本題微分方程的通解。4.微分方程y'=(x+13)y2的計算主要內(nèi)容：本文通過分離變量微分方程計算法，介紹微分方程y'=(x+13)y2的主要計算步驟。主要步驟：因為y'=(x+13)y2，所以eq\f(dy,dx)=(x+13)y2,由微分方程分離變量計算有：eq\f(dy,y2)=(x+13)dx,兩邊同時取積分，有：eq\i(,,eq\f(dy,y2))=eq\i(,,(x+13)dx)eq\i(,,y-2dy)=eq\i(,,(x+13)dx)-y(-1)=eq\i(,,x)dx+13eq\i(,,)dx-y(-1)=eq\f(1,2)*x2+13x+C1，兩邊同時乘以2，則有：-2*y(-1)=x2+26x+C將方程變形為：y(x2+26x+C)+2=0。5.計算微分方程y'=eq\f(43y,16x-23y2)的通解主要內(nèi)容：根據(jù)一階線性非齊次微分方程的通解計算公式，介紹微分方程y'=eq\f(43y,16x-23y2)的通解的主要計算步驟。主要步驟：變形微分方程為非齊次方程如下：eq\f(dx,dy)=eq\f(16x-23y2,43y),化簡變形如下：eq\f(dx,dy)-eq\f(20x,43y)=-eq\f(23y,43),以x應(yīng)用一階線性非齊次微分方程的通解，用公式如下：x=eqe\s\up15(\i(,,\f(20,43y)dy))(eq\i(,,-eq\f(23y,43)eqe\s\up15(\i(,,-\f(20,43y)dy))dy)+C)=eqe\s\up15(\f(20,43)\i(,,\f(dy,y)))(eq\i(,,-eq\f(23y,43)eqe\s\up15(-\f(20,43)\i(,,\f(dy,y)))dy)+C)=eqe\s\up15(\f(20,43)lny)(eq\i(,,-eq\f(23y,43)eqe\s\up15(-\f(20,43)lny)dy)+C)=eqy\s\up15(\f(20,43))(eq\i(,,-eq\f(23,43)y*eqy\s\up15(-\f(20,43))dy)+C)=eqy\s\up15(\f(20,43))