空間幾何體的外接球與內(nèi)切球教師版

1、一、有關(guān)定義1 .球的定義：空間中到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合（軌跡）叫球面，簡稱球2 .外接球的定義：若一個(gè)多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的內(nèi)接多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的外接球3 .內(nèi)切球的定義：若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的外切多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的內(nèi)切球 .二、外接球的有關(guān)知識(shí)與方法1 .性質(zhì)：性質(zhì)1:過球心的平面截球面所得圓是大圓，大圓的半徑與球的半徑相等；性質(zhì)2:經(jīng)過小圓的直徑與小圓面垂直的平面必過球心，該平面截球所得圓是大圓；性質(zhì)3:過球心與小圓圓心的直線垂直于小圓所在的平面（類比：圓的垂徑定理）；性質(zhì)4:球心

2、在大圓面和小圓面上的射影是相應(yīng)圓的圓心；性質(zhì)5:在同一球中，過兩相交圓的圓心垂直于相應(yīng)的圓面的直線相交，交點(diǎn)是球心（類比：在同圓中， 兩相交弦的中垂線交點(diǎn)是圓心）2 .結(jié)論：結(jié)論1 :長方體的外接球的球心在體對(duì)角線的交點(diǎn)處，即長方體的體對(duì)角線的中點(diǎn)是球心；結(jié)論2:若由長方體切得的多面體的所有頂點(diǎn)是原長方體的頂點(diǎn)，則所得多面體與原長方體的外接球相同；結(jié)論3:長方體的外接球直徑就是面對(duì)角線及與此面垂直的棱構(gòu)成的直角三角形的外接圓圓心，換言之，就是：底面的一條對(duì)角線與一條高（棱）構(gòu)成的直角三角形的外接圓是大圓；結(jié)論4:圓柱體的外接球球心在上下兩底面圓的圓心連一段中點(diǎn)處；結(jié)論5:圓柱體軸截面矩形的外接

3、圓是大圓，該矩形的對(duì)角線（外接圓直徑）是球的直徑；結(jié)論6:直棱柱的外接球與該棱柱外接圓柱體有相同的外接球；結(jié)論7:圓錐體的外接球球心在圓錐的高所在的直線上；結(jié)論8:圓錐體軸截面等腰三角形的外接圓是大圓，該三角形的外接圓直徑是球的直徑；結(jié)論9:側(cè)棱相等的棱錐的外接球與該棱錐外接圓錐有相同的外接球3 .終極利器：勾股定理、正定理及余弦定理（解三角形求線段長度）；三、內(nèi)切球的有關(guān)知識(shí)與方法1 .若球與平面相切，則切點(diǎn)與球心連線與切面垂直.（與直線切圓的結(jié)論有一致性）2 .內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點(diǎn)的距離均相等.（類比：與多邊形的內(nèi)切圓）.3 .正多面體的內(nèi)切球和外接

4、球的球心重合4,正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不一定重合5.基本方法：（1）構(gòu)造三角形利用相似比和勾股定理；（2）體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法（等體積法）.四、與臺(tái)體相關(guān)的，此略.五、八大模型第一講柱體背景的模型類型一、墻角模型（三條棱兩兩垂直，不找球心的位置即可求出球半徑）方法：找三條兩兩垂直的線段，直接用公式（2R）2例1 （1）已知各頂點(diǎn)都在同一球面上的正四棱柱的高為A 16nB . 20冗C . 24n解：V=a2h=16, a=2, 4R2 =a2+a2 + h2 =（2）若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長均為:a2 + b2 + c2,即 2R = Ja2 + b2

5、 十 c2 ,求出 R4,體積為16,則這個(gè)球的表面積是（ C ）D . 32冗4+4+16=24 , S=24n ,選 C;忑3,則其外接球的表面積是 加解：4R2=3+3+3=9, S=4nR2=9n；（3）在正三棱錐 S - ABC中,M、N分別是棱SC、BC的中點(diǎn)，且 AM _L MN，若側(cè)棱SA=2j3,則正三棱錐S-ABC外接球的表面積是.36n解：引理：正三棱錐的對(duì)棱互相垂直 .證明如下：如圖（3） -1 ,取AB,BC的中點(diǎn)D,E ,連接AE,CD , AE,CD交于H ,連接SH ,則H是底面正三角形 ABC的中心，SH_L平面 ABC,二 SH_LAB,; AC=BC, A

6、D=BD,二 CD _L AB,二 AB _L平面 SCD ,AB _L SC ,同理：BC ISA, AC .L SB ,即正三棱錐的對(duì)棱互垂直，本題圖如圖（3）-2, AM _ MN , SB/MN , AM _LSB, 丁 AC1SB, a SB_L平面 SAC,SB _ SA, SB_ SC,SB _SA, BC _ SA,二 SA上平面 SBC,二 SA! SC,故三棱錐S - ABC的三棱條側(cè)棱兩兩互相垂直，（2R）2 =（2依）2 +（2圾2 +（2我）2 =36 ,即 4R2 =36，二正三棱錐（3）題-1（引理）（3）題-2 （解答圖）S ABC外接球的表面積是 36n.（4

7、）在四面體SABC中，SA_L平面ABC ,2BAC =120 ：SA = AC =2, AB =1,則該四面體的外接球的表面積為（D ）1040A11 二B.7 二C,一二D.二33解：在 AABC 中，BC2 =AC2+AB2 2AB BC .Cos120°=7, BC=J7, AABC 的外接球直徑為BC.7 2.7=-=、sin BAC3. 3220A22 7.24040二(2R) =(2r) +SA =(+4 = 一 , S=，選 D333(5)如果三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，它們的面積分別為6、4、3,那么它的外接球的表面積是 解：由已知得三條側(cè)棱兩兩垂直，設(shè)三條側(cè)棱長分別

8、為a,b, c (a,b,cWR*),則ab =12 22222Jbc=8 ，二 abc = 24，二 a=3 , b=4, c = 2, (2r) =a +b +c =29, S = 4nR = 29兀，ac =6 ,(6)已知某幾何體的三視圖如圖所示，三視圖是腰長為1的等腰直角三角形和邊長為 1的正方形，則該幾何體外接球的體積為 B(6)題直觀圖類型二、對(duì)棱相等模型(補(bǔ)形為長方體)題設(shè)：三棱錐(即四面體)中，已知三組對(duì)棱分別相等， 求外接球半徑 第一步：畫出一個(gè)長方體，標(biāo)出三組互為異面直線的對(duì)棱；(AB = CD , AD = BC , AC = BD )第二步：設(shè)出長方體的長寬高分別為a

9、,b,c ,AD = BC = x ,AB=CD=y, AC=BD=z,列方程組,2 a«b22 cb22 c2 a=x2二 y2 =(2R)2 : a2 b2 c22二z圖2-12 .2 .2y z，R = 81 .1 ,補(bǔ)充：圖2-1 中，VA_BCD =abc abc 父 4 =-abc .63 222第三步：根據(jù)墻角模型，2R = Ja2 +b2+c2 = J-一y一-2求出R.思考：如何求棱長為a的正四面體體積，如何求其外接球體積?例2 (1)如下圖所示三棱錐 A-BCD ,其中AB =CD =5, AC =BD =6, AD = BC =7,則該三棱錐外接球的表面積為 .

10、解：對(duì)棱相等，補(bǔ)形為長方體，如圖a2 b2 c2 =55, 4R2 =55,2-1 ,設(shè)長寬高分別為 a,b,c, 2(a2+b2 + c2) = 25+36 + 49 = 110 ,(i)題圖S = 55：(2)在三棱錐 ABCD 中，AB = CD=2, AD = BC=3, AC = BD=4,則三棱錐 ABCD 外接球的表面積為29312解:如圖2-1 ,設(shè)補(bǔ)形為長方體，三個(gè)長度為三對(duì)面的對(duì)角線長，設(shè)長寬高分別為a, b,c ,則 a2 b2 = 9b2c2 =4 ,c2 a2 =16. 2(a2 b2 c2) =9 4 16 =29, 2(a2 b2 c2) =9 4 16 = 29

11、 ,b2 c2290 29,S =(3)正四面體的各條棱長都為2<2 ,則該正面體外接球的體積為解：正四面體對(duì)棱相等的模式，放入正方體中,2R=B R=? V=/ 臂3=五2(4)棱長為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若過該球球心的一個(gè)截面如下圖，則圖中三角形(正四面體的截面)的面積是O2OA(4)題解答圖解：如解答圖，將正四面體放入正方體中，截面為PCO1，面積是類型三、漢堡模型(直棱柱的外接球、圓柱的外接球)02圖3-2圖3-2 ,圖3-3,直三棱柱內(nèi)接于球(同時(shí)直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是題設(shè)：如圖3-1 , 任意三角形)第一步：確定球心O的位置，Oi是AABC

12、的外心，則OOi_L平面ABC；第二步：算出小圓11 ,O1的半徑AO=r, OO1 =-AA1 =-h( AA = h也是圓枉的局)；22第三步：勾股定理:OA2 =O1A2 OQ2= R2 =(-)2 r2= R =22 h 2一r2十(一)2 ,解出R 2例3 (1) 一個(gè)正六棱柱的底面上正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,9且該六棱柱的體積為 9,底面周長為3 ,則這個(gè)球的體積為81解：設(shè)正六邊形邊長為 a ,正六棱柱的圖為 h,底面外接圓的半徑為 r ,則a =,2正六棱柱的底面積為S =63,(¥ =晅，V柱=Sh =9h 42889, h =

13、 V3, 4R2=12+(V3)2 = 482, ；3 21、2也可R2=()2+()2=1), R=1,球的體積為 匕=22(2)直三棱柱 ABC - A BiCi的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若AB = AC = AA = 2 , /BAC =120°,則此球的表面積等于解：BC=2J3, 2r= 2、" =4, sin120（3）已知AEAB所在的平面與矩形EA = EB =3, AD =2,NAEB =601的表面積為. 16二 解：折疊型，r =2, R=V5, S = 20n ;ABCD所在的平面互相垂直，則多面體E-ABCD的外接球D法一：AEAB 的外接圓半徑為

14、r二J3, OO1=1, R = Jl+3 =2 ；4 一 人 .3 八 .132法一: 01M = , r2 = O2 D =, R2213十一=4 , R = 2 , S表=16n ;4法三：補(bǔ)形為直三棱柱，可改變直三棱柱的放置方式為立式，算法可同上，略.換一種方式，通過算圓柱的軸截面的對(duì)角線長來求球的直徑：（2R）2 =（2j3）2+22 =16, % =16元；JI（4）在直三棱柱 ABCAB1cl 中，AB =4,AC =6, A=二，AA1 3=4 ,則直三棱柱ABCA1B1C1 的外接球的表面積為160H3解:法一：BC2 =16 +36-2 4 6 3=28 , BC=26，2

15、r =227324.7二.3 '2.7=.3 'R2=r2 （人）2228，40 o 160+ 4=，% =n ；33法二：求圓柱的軸截面的對(duì)角線長得球直徑，此略第二講錐體背景的模型類型四、切瓜模型（兩個(gè)大小圓面互相垂直且交于小圓直徑一一正弦定理求大圓直徑是通法）1.如圖4-1 ,平面PAC _L平面ABC ,且AB _L BC （即AC為小圓的直徑），且P的射影是AABC的外 心之 三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱相等 =三棱P-ABC的底面 MBC在圓錐的底上，頂點(diǎn) P點(diǎn)也是圓 錐的頂點(diǎn).解題步驟：第一步：確定球心 O的位置，取AABC的外心O1,則P,O,O1三點(diǎn)共線;第二步：

16、先算出小圓 O1的半徑AO1 = r ,再算出棱錐的高 PO1=h （也是圓錐的高）；第三步：勾股定理：OA2 =OiA2 +OQ2 = R2 =(hR)2+r2 ,解出 R；事實(shí)上，AACP的外接圓就是大圓，直接用 正弦定理也可求解出R.2.如圖4-2 ,平面PAC _L平面ABC ,且AB _L BC (即AC為小圓的直徑)，且PA_L AC ,則利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：(2R)2 =PA2+(2r)2u 2R= PA2 + (2r)2 ; R2=r2 0012 M R = . r2-OO123 .如圖4-3 ,平面PAC _L平面ABC ,且AB_L BC (即AC為小圓的直徑

17、)OC2 =OiC2 OiO2= R2 =r2 OiO2= AC = 2. R2二OQ24 .題設(shè)：如圖4-4 ,平面PAC _L平面ABC，且AB_L BC (即AC為小圓的直徑)第一步：易知球心 O必是APAC的外心，即APAC的外接圓是大圓，先求出小圓的直徑AC = 2r ;第二步：在 APAC中，可根據(jù)正弦定理 -a=-b=2R,求出R.sin A sin B sin C例4 (1)正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為1,底面邊長為2 J3,則該球的表面積為 解：法一：由正弦定理(用大圓求外接球直徑)；法二：找球心聯(lián)合勾股定理，2R =7, S =442 =49元；(2)正四棱

18、錐S-ABCD的底面邊長和各側(cè)棱長都為 J2,各頂點(diǎn)都在同一球面上，則此球體積為解：方法一：找球心的位置，易知r=1, h=1, h=r，故球心在正方形的中心 ABCD處，R = 1,方法二：大圓是軸截面所的外接圓，即大圓是_.4 二3SAC的外接圓，此處特殊，RMSAC的斜邊是球半徑，2R =2, R=1 , V =. 3(3) 一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為 三棱錐的體積是()A.甄B ." C43解：高h(yuǎn)=R=1,底面外接圓的半徑為1的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，則該正312R = 1,直徑為2R = 2,a -設(shè)底面邊長為 a ,則2R =: = 2sin

19、 603.3 一, 一1. 3，三棱錐的體積為V = Sh =434（4）在三黏t PABC 中，PA=PB = PC=<3，側(cè)棱PA與底面ABC所成的角為60二，則該三棱錐外接球的體積為(A.二B.jiC. 4D.解：選D,由線面角的知識(shí)，得 &ABC的頂點(diǎn)(5)已知三棱錐 S - ABC的所有頂點(diǎn)都在球徑，且SC = 2 ,則此棱錐的體積為(A, B,C在以=也為半徑的圓上，在圓錐中求解，R=1；2O的求面上，&ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直)AA巫B.叵 C .比D.也663222/ / 3、262,611 .3 2, 6、. 2斛： OO=Jr r =

20、Jl () = , h =, 球=一$卜=_ -=33333 436類型五、垂面模型（一條直線垂直于一個(gè)平面）1 .題設(shè)：如圖5, PA_L平面ABC,求外接球半徑解題步驟：第一步：將AABC畫在小圓面上， A為小圓直徑的一個(gè)端點(diǎn)，作小圓的直徑AD，連接PD,則PD必過球心0 ;第二步：01為AABC的外心，所以 001 _L平面ABC ,算出小圓01的半徑01D = r （三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得= _b=_ = 2r）, 001=1 PA;sin A sin B sinC2第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：（2R）2 =PA2+（2r）2u 2R =、PA2 +（2

21、r）2 ； R2 =r2 0012 = R = r20012 .2 .題設(shè)：如圖5-1至5-8這七個(gè)圖形，P的射影是AABC的外心u 三棱錐P-ABC的 三條側(cè)棱相等 之 三棱錐P-ABC的底面 MBC在圓錐的底上，頂點(diǎn) P點(diǎn)也是圓錐的 頂點(diǎn).P圖5-8第一步：確定球心 O的位置，取AABC的外心O1,則P,O,O1三點(diǎn)共線;第二步：先算出小圓 O1的半徑AO1 = r ,再算出棱錐的高 PO1 =h （也是圓錐的高）第三步：勾股定理：OA2 =OiA2 +O1O2 = R2 =（h R）2 + r2 ,解出 R方法二：小圓直徑參與構(gòu)造大圓，用正弦定理求大圓直徑得球的直徑.例5 一個(gè)幾何體的三

22、視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積為（）CA. 3 二C.16 二D .以上都不對(duì)B. 2 二側(cè)視圖解：選C,法一：（勾股定理）利用球心的位置求球半徑，球心在圓錐的高線上,_ 2_2 _2 _ o 16（虧3 R）2 +1 =R2, R = ' , S =4nR2 =一幾；.33PMN的外接圓是大法二：（大圓法求外接球直徑）如圖，球心在圓錐的高線上，故圓錐的軸截面三角形24圓，于是2R=： = -/=,下略;sin 60. 3第三講 二面角背景的模型類型六、折疊模型題設(shè)：兩個(gè)全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊 （如圖6）A'圖6第一步：先畫出如圖 6所示的圖形，將

23、ABCD畫在小圓上，找出 ABCD和AABD的外心H/DH2；第二步：過H/口 H2分別作平面BCD和平面ABD的垂線，兩垂線的交點(diǎn)即為球心0,連接0E,0C ；第三步：解 A0EH1,算出0Hl，在Rt0CH1中，勾股定理： 0H； + CH； = 0C2注：易知O,Hi,E,H2四點(diǎn)共面且四點(diǎn)共圓，證略例6 (1)三棱錐P - ABC中，平面PAC _L平面ABC , PAC和 ABC均為邊長為2的正三角形，則 三棱錐P-ABC外接球的半徑為2解：如圖，2rl =22=sin 60222145r =02Hr1 =-3 33, 15、， 一 1 一法一：02H, O1H =3AH =1,(1

24、)題21。R2 = A02 ) AH 2 01H 2 0102R*;3(2)在直角梯形 ABCD中，AB/CD ,NA=90： NC=45： AB = AD=1,沿對(duì)角線BD折成四面體A' BCD ,使平面ABD _L平面表面積為(2)題-1BCD,若四面體 A'-BCD的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上,則該項(xiàng)球的S解：如圖，易知球心在 BC的中點(diǎn)處，S表=4幾；103(3)在四面體S ABC中，AB_LBC, AB = BC=n2,二面角S AC- B的余弦值為_ J ,則四3面體S - ABC的外接球表面積為 6n.一,3解：如圖，法一：cos. SQB =cos(. OO1O2 )=

25、 23_ _ _3,6 6sin/OOiO2=,cos/OOQ2=,OO1 =一OO = , R2 =1 1 =3 , S -4：R2 =6 二 cos OO1O222 2法二：延長BOiJ D使DO =BO =r1，由余弦定理得 SB = J6 , SD = J5 ,大圓直徑為2R=SB =，6；(4)在邊長為2.3的菱形ABCD中，/BAD =60 =,沿對(duì)角線BD折成二面角A BD C為120二的四面體ABCD ,則此四面體的外接球表面積為 28nA(4)題圖解：如圖，取BD的中點(diǎn)M , AABD和ACBD的外接圓半徑為r1 = r2 = 2 , AABD和ACBD的外心O，O2到弦BD

26、的距離(弦心距)為 d1 =d2 =1 ,法一：四邊形 001Mo2的外接圓直徑 OM=2, R=J7, S = 28n ；法二：oo=存 r = 77；法三：作出 ACBD 的外接圓直徑 CE,則 AM=CM=3, CE=4, ME=1, AE=J7, AC = 3J3 ,cos -AEC7 16 -272 <7 4sin AEC =2.72R 二ACsin AEC 3, 33. 32、7R = 47 ；(5)在四錐 ABCD 中，/BDA =120：/BDC =150； AD =BD=2, CD =$3,二面角 ABDC11的平面角的大小為120 1則此四面體的外接球的體積為解：如圖

27、，過兩小圓圓心作相應(yīng)小圓所在平面的垂線確定球心,M(5)題解答圖-1題解答圖-2=屈,弦心距Oi MAB =243,也=2,弦心距 02MBC = .13 , r1= 2.3,.O1O2 = ：/21 , OM =O1O2sin 1202.7,法一：. R2 =OD2 =MD2 OM2 =29,116 . 29二3法二：OO； =OM 2 -O2M 2 =2522_ _ 2U=OD =r2 OO2 -29, R - ： 29 ,116. 29二- V 球二3類型七、兩直角三角形拼接在一起(斜邊相同，也可看作矩形沿對(duì)角線折起所得三棱錐)模型題設(shè)：如圖7, NAPB =NACB =90：求三棱錐P

28、 - ABC外接球半徑(分析：取公共的斜邊的中點(diǎn)O,1 .連接OP,OC ,則OA =OB =OC =OP = AB ,二O為三棱錐P ABC外接球球心，然后在 OCP中 2求出半徑)，當(dāng)看作矩形沿對(duì)角線折起所得三棱錐時(shí)與折起成的二面角大小無關(guān)，只要不是平角球半徑都為定值.例7 (1)在矩形ABCD中，AB=4, BC =3,沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角 B - AC - D ,則四面體ABCD的外接球的體積為(A.股二 B12解：（1） 2R = AC=5 ,125. 二95Ruj V2）125n43=-：R3364-.3125n31258125 二(2)在矩形ABCD中,的外接球的

29、表面積為解：BD的中點(diǎn)是球心AB=2, BC=3,沿BD將矩形ABCD折疊，連接AC ,所得三棱錐 A-BCDO, 2R = BD = . 13 , S =4 R2 =13二.12p圖8-2第四講多面體的內(nèi)切球問題模型類型八、錐體的內(nèi)切球問題1 .題設(shè)：如圖8-1 ,三棱錐PABC上正三棱錐，求其內(nèi)切球的半徑第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，E,H分別是兩個(gè)三角形的外心；1 一第一步：求DH = BD , po = PH r, PD是側(cè)面AABP的高； 3第三步：由APOE相似于APDH ,建立等式： E- = PO ,解出rDH PD2 .題設(shè)：如圖8-2,四棱錐P-ABC是正四棱錐，求其內(nèi)切球

30、的半徑第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，P,O,H三點(diǎn)共線;1第二步：求FH =BC, PO = PHr, PF是側(cè)面APCD的高; 2第三步：由APOG相似于APFH ,建立等式：OG-=-PO ,解出HF PF3 .題設(shè)：三棱錐 P - ABC是任意三棱錐，求其的內(nèi)切球半徑方法：等體積法，即內(nèi)切球球心與四個(gè)面構(gòu)成的四個(gè)三棱錐的體積之和相等 第一步：先畫出四個(gè)表面的面積和整個(gè)錐體體積；第二步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為 r ,建立等式:VP -ABC - VO-ABC ' VO -PAB ' VO_PAC ' VO-PBC =J1VP -ABC 二二 S ABC r '二

31、Spab 331= ；(S.aBC ' S. PAB ' SPAC ,S.PBC ) r 3第三步:解出r3V P dBCSO SBC , SO -PAB ' SO _PAC ' SO -PBC例8 （1）棱長為a的正四面體的內(nèi)切球表面積是解：設(shè)正四面體內(nèi)切球的半徑為r ,將正四面體放入棱長為的正方體中（即補(bǔ)形為正方體）311 aVP -ABC =I V正方體=二' 33 2 <23a一6、2又 V人 v P MBC1八 1=4 Sr = 4qa24二2.6，,內(nèi)切球的表面積為（i）題13_ 2Se =4nr2 =鞏(注：還有別的方法，此略) 6(2)正四棱錐S-ABCD的底面邊長為2,側(cè)棱長為3,則其內(nèi)切球的半徑為,712 2解：如圖，正四棱錐S ABCD的高h(yuǎn) = J7,正四棱錐S ABCD的體積為Vsubcd4, 7側(cè)面斜高h(yuǎn)1 =242 ,正四棱錐S-ABCD的表面積為 8=4+8，2 ,正四棱錐S-ABCD的體積為VSuBCD =15表= 4+8',2 t , 334 8 .24 . 7二r -