課題學(xué)習(xí)：最短路徑問題

1、課題學(xué)習(xí) 最短路徑v梨林一中 胡長英課件說明課件說明引言：引言： 前面我們研究過一些關(guān)于前面我們研究過一些關(guān)于 1、“兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短” （兩點(diǎn)之間，線段最短兩點(diǎn)之間，線段最短 ） 2、“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短有線段中，垂線段最短”等的問題等的問題 我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴}，現(xiàn)實(shí)生活中我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴}，現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問題，本節(jié)將經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問題，本節(jié)將利用數(shù)學(xué)知識(shí)探究數(shù)學(xué)史中著名的利用數(shù)學(xué)知識(shí)探究數(shù)學(xué)史中著名的 “將軍飲馬問題將軍飲馬問題” 如圖所示，從如圖所示

2、，從A A地到地到B B地有三條地有三條路可供選擇，你會(huì)選走哪條路路可供選擇，你會(huì)選走哪條路最近？你的理由是什么？最近？你的理由是什么？FEDCBA 兩點(diǎn)之間兩點(diǎn)之間,線段最短線段最短 已知：如圖，已知：如圖，A，B在直線在直線L的側(cè)，的側(cè)，在在L上求一點(diǎn)上求一點(diǎn)P，使得，使得PA+PB最小。最小。 A .A . .B .BP思考思考:為什么這樣為什么這樣就就能得到能得到最短距離呢？最短距離呢？根據(jù)：根據(jù)：兩點(diǎn)之間線段最短兩點(diǎn)之間線段最短.如圖，要在燃?xì)夤艿廊鐖D，要在燃?xì)夤艿繪 L上修建一個(gè)泵站，分別上修建一個(gè)泵站，分別向向A A、B B兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什么地兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什

3、么地方，可使所用的輸氣管線最短？方，可使所用的輸氣管線最短？P所以泵站建在點(diǎn)所以泵站建在點(diǎn)P P可使輸氣管線最短可使輸氣管線最短應(yīng)用ABl BP 點(diǎn)點(diǎn)P P的位置即為所求的位置即為所求. .M 作法：作法： 作點(diǎn)作點(diǎn)B B關(guān)于直線關(guān)于直線l l的對稱點(diǎn)的對稱點(diǎn)B.B. 連接連接AB,AB,交直線交直線l l于點(diǎn)于點(diǎn)P.P.已知：如圖已知：如圖,A,A、B B在直線在直線L L的同一側(cè)，在的同一側(cè)，在L L上上求一點(diǎn)，使得求一點(diǎn)，使得PA+PBPA+PB最小最小. . 為什么這樣做就能得為什么這樣做就能得到最短距離呢？到最短距離呢？MA + MBPA+PB 即即MA + MBPA+PB 三角形任

4、意兩邊之和大于第三邊三角形任意兩邊之和大于第三邊比一比，誰想的最快：比一比，誰想的最快：問題問題1：相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久：相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫有一天，一位將軍專程拜負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問題：訪海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問題： 從圖中的從圖中的A 地出發(fā)，到一條筆直的河邊地出發(fā)，到一條筆直的河邊l 飲馬，然飲馬，然后到后到B 地到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全地到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？程最短？BAl精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對稱的精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫

5、稍加思索，利用軸對稱的 知識(shí)回答了這個(gè)問題這個(gè)問題后來被稱為知識(shí)回答了這個(gè)問題這個(gè)問題后來被稱為“將軍飲馬將軍飲馬 問題問題”你能將這個(gè)問題抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？你能將這個(gè)問題抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？ BAl將將A，B 兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l 抽象為一條直抽象為一條直 線線 BAl已知：如圖已知：如圖A是銳角是銳角MON內(nèi)部任意一內(nèi)部任意一點(diǎn)，在點(diǎn)，在MON的兩邊的兩邊OM，ON上各取上各取一點(diǎn)一點(diǎn)B，C，組成三角形，使三角形周，組成三角形，使三角形周長最小長最小.BCDE分析：分析：當(dāng)當(dāng)ABAB、BCBC和和ACAC三條邊三條邊的長度恰好能夠體現(xiàn)在一條的長度恰好能夠體現(xiàn)在一條直

6、線上時(shí)，三角形的周長最直線上時(shí)，三角形的周長最小小 運(yùn)用新知運(yùn)用新知練習(xí)如圖，一個(gè)旅游船從大橋練習(xí)如圖，一個(gè)旅游船從大橋AB 的的P 處前往山處前往山腳下的腳下的Q 處接游客，然后將游客送往河岸處接游客，然后將游客送往河岸BC 上，再返上，再返 回回P 處，請畫出旅游船的最短路徑處，請畫出旅游船的最短路徑ABCPQ山山河岸河岸大橋大橋思考：運(yùn)動(dòng)路徑中，哪一思考：運(yùn)動(dòng)路徑中，哪一段路徑是恒定不變的？段路徑是恒定不變的？運(yùn)用新知運(yùn)用新知基本思路：基本思路：由于兩點(diǎn)之間線段最短，所以首先可連接由于兩點(diǎn)之間線段最短，所以首先可連接PQ，線，線段段PQ 為旅游船最短路徑中的必經(jīng)線路將河岸抽象為為旅游船最

7、短路徑中的必經(jīng)線路將河岸抽象為一條直線一條直線BC，這樣問題就轉(zhuǎn)化為，這樣問題就轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)點(diǎn)P，Q 在直線在直線BC 的同側(cè)，如何在的同側(cè)，如何在BC上找到一點(diǎn)上找到一點(diǎn)R，使，使PR與與QR 的和最的和最小小” ABCPQ山山河岸河岸大橋大橋問題問題2（造橋選址問題）如圖，（造橋選址問題）如圖，A和和B兩地在一條河的兩岸，兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上建一座橋現(xiàn)要在河上建一座橋MN，橋造在何處才能使從，橋造在何處才能使從A到到B的的路徑路徑AMNB最短？最短？（假設(shè)河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）（假設(shè)河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）1.1.某班舉行晚會(huì)，桌子擺成兩直條某班舉行晚會(huì)，

8、桌子擺成兩直條( (如圖中的如圖中的AOAO，BO)BO)，AOAO桌面上擺滿了桌面上擺滿了桔子，桔子，OBOB桌面上擺滿了糖果，坐在桌面上擺滿了糖果，坐在C C處的學(xué)生小明先拿桔子再拿糖果，處的學(xué)生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，請你幫助他設(shè)計(jì)一然后回到座位，請你幫助他設(shè)計(jì)一條行走路線，使其所走的總路程最條行走路線，使其所走的總路程最短？短？作法：作法：1.作點(diǎn)作點(diǎn)C關(guān)于直線關(guān)于直線 OA 的的 對稱點(diǎn)點(diǎn)對稱點(diǎn)點(diǎn)D, 2. 作點(diǎn)作點(diǎn)C關(guān)于直線關(guān)于直線 OB 的對稱點(diǎn)點(diǎn)的對稱點(diǎn)點(diǎn)E,3.連接連接DE分別分別交直線交直線OA.OB于點(diǎn)M.N，則CM+MN+CN最短AOB. .EDMNGH 2. 如圖：如圖：C為馬廄，為馬廄，D為帳篷，牧馬人某一天要為帳篷，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，請你幫他確定這一河邊飲馬，然后回到帳篷，請你幫他確定這一天的最短路線。天的最短路線。作法：作法：1.作點(diǎn)作點(diǎn)C關(guān)于直線關(guān)于直線 OA 的的 對稱點(diǎn)點(diǎn)對稱點(diǎn)點(diǎn)F, 2. 作點(diǎn)作點(diǎn)D關(guān)于直線關(guān)于直線 OB 的對稱