第5講二次函數(shù)圖象和性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、. .第5講 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)一、知識(shí)點(diǎn)回顧 1. 二次函數(shù)解析式的幾種形式： 一般式：（a、b、c為常數(shù)，a0） 頂點(diǎn)式：（a、h、k為常數(shù)，a0），其中（h，k）為頂點(diǎn)坐標(biāo)。 交點(diǎn)式：，其中是拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即一元二次方程的兩個(gè)根，且a0，（也叫兩根式）。  2. 二次函數(shù)的圖象 二次函數(shù)的圖象是對(duì)稱軸平行于（包括重合）y軸的拋物線，幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果a相同，那么拋物線的開(kāi)口方向，開(kāi)口大?。葱螤睿┩耆嗤?，只是位置不同。 任意拋物線可以由拋物線經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)钠揭频玫?，移?dòng)規(guī)律可簡(jiǎn)記為：左加右減，上加下減，具體平移方法如下表所示。 在畫的圖象時(shí)，可以先配方成的形式

2、，然后將的圖象上（下）左（右）平移得到所求圖象，即平移法；也可用描點(diǎn)法：也是將配成的形式，這樣可以確定開(kāi)口方向，對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)。然后取圖象與y軸的交點(diǎn)（0，c），及此點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)（2h，c）；如果圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，就直接取這兩個(gè)點(diǎn)（x1，0），（x2，0）就行了；如果圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)或無(wú)交點(diǎn)，那應(yīng)該在對(duì)稱軸兩側(cè)取對(duì)稱點(diǎn)，（這兩點(diǎn)不是與y軸交點(diǎn)及其對(duì)稱點(diǎn)），一般畫圖象找5個(gè)點(diǎn)。 3. 二次函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù)a、b、c為常數(shù)，a0（a、h、k為常數(shù)，a0） a0a0a0a0圖象 (1)拋物線開(kāi)口向上，并向上無(wú)限延伸(1)拋物線開(kāi)口向下，并向下無(wú)限延伸(1

3、)拋物線開(kāi)口向上，并向上無(wú)限延伸(1)拋物線開(kāi)口向下，并向下無(wú)限延伸性(2)對(duì)稱軸是x，頂點(diǎn)是（）(2)對(duì)稱軸是x，頂點(diǎn)是（）(2)對(duì)稱軸是xh，頂點(diǎn)是（h，k）(2)對(duì)稱軸是xh，頂點(diǎn)是（h，k）質(zhì)(3)當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減?。划?dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大(3)當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小(3)當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減?。划?dāng)xh時(shí)，y隨x的增大而增大。(3)當(dāng)xh時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)xh時(shí)，y隨x的增大而減小 (4)拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，y有最小值，(4)拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，y有最大值，(4)拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)xh時(shí)，y有最小值(4)拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng)xh

4、時(shí)，y有最大值  4. 求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸和最值的方法 配方法：將解析式化為的形式，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k），對(duì)稱軸為直線，若a0，y有最小值，當(dāng)xh時(shí)，；若a0，y有最大值，當(dāng)xh時(shí)，。 公式法：直接利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式（），求其頂點(diǎn)；對(duì)稱軸是直線，若若，y有最大值，當(dāng) 5. 拋物線與x軸交點(diǎn)情況： 對(duì)于拋物線 當(dāng)時(shí)，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，反之也成立。 當(dāng)時(shí)，拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，反之也成立，此交點(diǎn)即為頂點(diǎn)。 當(dāng)時(shí)，拋物線與x軸無(wú)交點(diǎn)，反之也成立。 二、考點(diǎn)歸納考點(diǎn)一 求二次函數(shù)的解析式例1.已知二次函數(shù)f（x）滿足f（2）1，f（1）1，且f（x）的最大值是8，試求f（

5、x）。解答：法一：利用二次函數(shù)的一般式方程設(shè)f（x）ax2bxc（a0），由題意故得f（x）4x24x7。法二：利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式方程設(shè)f（x）a（xm）2n由f（2）f（1）可知其對(duì)稱軸方程為，故m；又由f（x）的最大值是8可知，a<0且n8；由f（2）1可解得a4。故。法三：利用二次函數(shù)的零點(diǎn)式方程由f（2）1，f（1）1可知f（x）1的兩根為2和1，故可設(shè)F（x）f（x）1a（x2）（x1）。又由f（x）的最大值是8可知F（x）的最大值是9，從而解得a4或0（舍）。所以f（x）4x24x7。說(shuō)明：求函數(shù)解析式一般采用待定系數(shù)法，即先按照需要設(shè)出函數(shù)方程，然后再代入求待定系數(shù)。 考

6、點(diǎn)二 二次函數(shù)的圖像變換例2.（2008年浙江卷）已知t為常數(shù)，函數(shù)在區(qū)間0，3上的最大值為2，則t 。解答：作出的圖像，I、若所有點(diǎn)都在x軸上方，則ymaxf（3）2可解得t1；II、若圖像有部分在x軸下方，把x軸下方的部分對(duì)稱地翻折到x軸上方即可得到的圖像，則ymaxf（1）或ymaxf（3），解得t3或t1，經(jīng)檢驗(yàn)，t1。綜上所述，t1。 考點(diǎn)三 二次函數(shù)的圖像的應(yīng)用例3.已知函數(shù)f（x）4x2mx5在區(qū)間2，上是增函數(shù)，則f（1）的范圍是（）A. f（1）25 B. f（1）25 C. f（1）25 D. f（1）>25解答：函數(shù)f（x）4x2mx5在區(qū)間2，）上是增函數(shù)，則區(qū)間

7、2，）必在對(duì)稱軸的右側(cè)，從而，故f（1）9m25。選A。說(shuō)明：解決此類問(wèn)題結(jié)合函數(shù)圖像顯得直觀。 考點(diǎn)四 二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用例4.設(shè)的定義域是n，n1（n是自然數(shù)），試判斷的值域中共有多少個(gè)整數(shù)？分析：可以先求出值域，再研究其中可能有多少個(gè)整數(shù)。解答：的對(duì)稱軸為，因?yàn)閚是自然數(shù)，故，所以函數(shù)在n，n1上是增函數(shù)。故故知：值域中共有2n2個(gè)整數(shù)。說(shuō)明：本題利用了函數(shù)的單調(diào)性，很快求出了函數(shù)的值域，這是求函數(shù)值域的一個(gè)重要方法。 考點(diǎn)五 二次函數(shù)的最值例5.試求函數(shù)在區(qū)間1，3上的最值。分析：本題需就對(duì)稱軸與區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系進(jìn)行分類討論：<1，1，2，（2，3，>3。解答：函數(shù)的對(duì)

8、稱軸I、當(dāng)<1即時(shí)：函數(shù)在1，3上是增函數(shù)，故；II、當(dāng)1，2即時(shí)：；III、當(dāng)（2，3即時(shí)：；IV、當(dāng)>3即時(shí)：函數(shù)在1，3上為減函數(shù)，故綜上所述：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。 考點(diǎn)六 方程的根或函數(shù)零點(diǎn)的分布問(wèn)題例6.已知二次方程 的一個(gè)根比1大，另一個(gè)根比1小，試求的取值范圍。解答：設(shè)，則； 例7.當(dāng)為何實(shí)數(shù)時(shí)，關(guān)于的方程（I）有兩個(gè)正實(shí)根；（II）有一個(gè)正實(shí)根，一個(gè)負(fù)實(shí)根。解答：（I）設(shè)，由方程有兩個(gè)正實(shí)根，結(jié)合圖像可知：（II）設(shè)，結(jié)合圖像可知：說(shuō)明：一元二次方程的根或二次函數(shù)零點(diǎn)的分布問(wèn)題的處理主要思路是結(jié)合函數(shù)圖像，考慮三個(gè)內(nèi)容：根或零點(diǎn)所在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)的正負(fù)、

9、判別式及對(duì)稱軸的位置。 考點(diǎn)七 三個(gè)“二次”的關(guān)系例8.已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，試解關(guān)于的一元二次不等式。解答：法一：由題意可知，一元二次不等式對(duì)應(yīng)的一元二次方程的兩個(gè)根是1和2，故；又即關(guān)于的一元二次不等式的解集為。法二：，即關(guān)于的一元二次不等式的解集為。 考點(diǎn)八 二次函數(shù)的應(yīng)用例9.（2003北京春招）某租賃公司擁有汽車100輛，當(dāng)每輛車的月租金為3000元時(shí)，可全部租出，當(dāng)每輛車的月租金每增加50元時(shí)，未租出的車將會(huì)增加一輛，租出的車每輛每月需維護(hù)費(fèi)150元。未租出的車每輛每月需維護(hù)費(fèi)50元。（I）當(dāng)每輛車的月租金定為3600元時(shí)，能租出多少輛車？（II）當(dāng)每輛車的月租金定為多

10、少元時(shí)，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？解答：（I）當(dāng)每輛車的月租金定為3600元時(shí)，未租出的車輛數(shù)為，故租出了88輛；（II）設(shè)每輛車月租金定為元，則租賃公司的月收益為故當(dāng)月租金定為4050元時(shí)，租賃公司的月收益最大為307050元。 三、綜合練習(xí)1、小李從如圖所示的二次函數(shù)的圖象中，觀察得出了下面四條信息：（1）b24ac0；（2）c1；（3）ab0；（4）abc0. 你認(rèn)為其中錯(cuò)誤的有( )yxO（第4題）A. 2個(gè) B. 3個(gè) C. 4個(gè) D. 1個(gè) 第1題2.已知二次函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（-1,2）和點(diǎn)N（1，-2），交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于C則( )； 該二次函數(shù)圖像

11、與y軸交與負(fù)半軸 存在這樣一個(gè)a，使得M、A、C三點(diǎn)在同一條直線上若以上說(shuō)法正確的有：A B C D3、在平面直角坐標(biāo)系中，如果拋物線y2x2不動(dòng)，而把x軸、y軸分別向上、向右平移2個(gè)單位，那么在新坐標(biāo)系下拋物線的解析式是 ( ) Ay2(x + 2)22 By2(x2)2 + 2 Cy2(x2)22 Dy2(x + 2)2 + 24.如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（1,4）和（4, 4）,拋物線的頂點(diǎn)在線段AB上運(yùn)動(dòng)，與x軸交于C、D兩點(diǎn)（C在D的左側(cè)），點(diǎn)C的橫坐標(biāo)最小值為，則點(diǎn)D的橫坐標(biāo)最大值為( ) A3 B1 C5 D8 5. 拋物線圖像如圖所示，則一次函數(shù)與反比例函數(shù) 在同一坐標(biāo)系內(nèi)的

12、圖像大致為 ( )xxxxx第7題圖6. 把拋物線向上平移2個(gè)單位，那么所得拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離是 .7.如圖，菱形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)在二次函數(shù)y=ax22ax+ （a0）的圖象上，點(diǎn)A、B分別是該拋物線的頂點(diǎn)和拋物線與y軸的交點(diǎn)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為 第10題8. 老師給出一個(gè)y關(guān)于x的函數(shù)，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各指出這個(gè)函數(shù)的一個(gè)性質(zhì)：甲：函數(shù)圖象不經(jīng)過(guò)第三象限；乙：函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一象限；丙：當(dāng)x<2時(shí)，y隨x的增大而減??；?。寒?dāng)x<2時(shí)y>0.已知這四位同學(xué)敘述都正確。請(qǐng)寫出滿足上述所有性質(zhì)的一個(gè)函數(shù)_.9.已知關(guān)于x的函數(shù)y（m1）x22xm圖像與坐標(biāo)軸有且只

13、有2個(gè)交點(diǎn)，則m 10. 如圖，已知P的半徑為2，圓心P在拋物線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P與軸相切時(shí)，圓心P的坐標(biāo)為 . OxAyHCy=x211. 如圖，在第一象限內(nèi)作射線OC,與x軸的夾角為30o,在射線OC上取一點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作AHx軸于點(diǎn)H.在拋物線y=x2 (x>0)上取點(diǎn)P，在y軸上取點(diǎn)Q，使得以P，O，Q為頂點(diǎn)的三角形與AOH全等，則符合條件的點(diǎn)A的坐標(biāo)是 _ .12. 我們知道，根據(jù)二次函數(shù)的平移規(guī)律，可以由簡(jiǎn)單的函數(shù)通過(guò)平移后得到較復(fù)雜的函數(shù)，事實(shí)上，對(duì)于其他函數(shù)也是如此。如一次函數(shù)，反比例函數(shù)等。請(qǐng)問(wèn)可以由通過(guò)_平移得到。13如圖，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，），過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線交y軸于點(diǎn)

14、A，交雙曲線(x>0)于點(diǎn)N；作PMAN交雙曲線(x>0)于點(diǎn)M，連結(jié)AM.已知PN=4.（1）求k的值.（3分）（2）求APM的面積.（3分）14如圖，已知，是一次函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；(2)求直線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)及的面積；(3)求方程的解（請(qǐng)直接寫出答案）；(4)求不等式的解集（請(qǐng)直接寫出答案）. 15. 如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，正方形OABC的邊長(zhǎng)為2cm，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸的正半軸上。拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C。（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)D、E分別是AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)D從點(diǎn)A開(kāi)始，以1cm/s的速度沿AB向

15、點(diǎn)B移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)B開(kāi)始，以1cm/s的速度沿BC向點(diǎn)C移動(dòng)。運(yùn)動(dòng)t 秒（t2）后，能否在拋物線上找到一點(diǎn)P，使得四邊形BEDP為平行四邊形。如果能，請(qǐng)求出t 值和點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。16 已知二次函數(shù)，它的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)為A，與y軸交于點(diǎn)B，且AB=2 . (1)求二次函數(shù)解析式； (2)當(dāng)b<0時(shí)，過(guò)A的直線y=xm與二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)C，在線段BC上依次取D、E兩點(diǎn)，若，試確定ÐDAE的度數(shù)，并簡(jiǎn)述求解過(guò)程。17. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，開(kāi)口向下的拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，D是拋物線的頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn). A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是方

16、程的兩根，且cosDAB.（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）作ACAD，AC交拋物線于點(diǎn)C，求點(diǎn)C的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)解析式；（3）在（2）的條件下，在x軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使APC的面積最大？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和APC的最大面積；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.18. 如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+3（a0）經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，拋物線與y軸交點(diǎn)為C，其頂點(diǎn)為D，連接BD，點(diǎn)P是線段BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、D重合），過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為E，連接BE（1）求拋物線的解析式，并寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）如果P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），PBE的面積為s，求s與x的函數(shù)關(guān)

17、系式，寫出自變量x的取值范圍，并求出s的最大值；（3）在（2）的條件下，當(dāng)s取得最大值時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作x的垂線，垂足為F，連接EF，把PEF沿直線EF折疊，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P，請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)P是否在該拋物線上12331DyCBAP2ExO19. 已知：拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn).（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）如圖，點(diǎn)、分別是軸、對(duì)稱軸上的點(diǎn)，且四邊形是矩形，點(diǎn)是上一點(diǎn)，將沿著直線翻折，點(diǎn)與線段上的點(diǎn)重合，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)是對(duì)稱軸上的點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，求點(diǎn)坐標(biāo).(第3題圖)20. 如圖，拋物線，與軸交于點(diǎn)，且（I）求拋物線的解析式；（II）探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； （III）直線交軸于點(diǎn)，為拋物線頂點(diǎn)若，的值21如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D(0，)，且頂點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4，該圖象在x 軸上截得的線段AB的長(zhǎng)為6.求二次函數(shù)的解析式；在該拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使PA+PD最小，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使QAB與ABC相似？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明