理論力學(xué)之虛位移原理PPT

1、內(nèi) 容 提 要17-1.約束的分類約束的定義雙面約束與單面約束定常約束與非定常約束完整約束與非完整約束17-2.自由度與廣義坐標(biāo)自由度廣義坐標(biāo)17-3.虛位移與虛功虛位移虛功17-4.理想約束理想約束的定義光滑接觸面連接兩剛體的光滑鉸鏈連接兩質(zhì)點(diǎn)的無住重剛桿虛位移原理117-1. 約束的分類(1) 約束的定義 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系中的某些質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí),受到某些事先給定的幾何上或運(yùn)動(dòng)學(xué)上的限制條件,這些限制條件稱為質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的約束.例17-1. 圓盤C在粗糙的平面上作純滾動(dòng) . 約束是指事先給定的限制條件 . 它與作用力, 起始條件以及運(yùn)動(dòng)的其他條件無關(guān).C y = R表示圓盤C受到幾何上的限制 .

2、vc = R表示圓盤C受到運(yùn)動(dòng)學(xué)上的限制.( xc=R ). .2 受有約束的質(zhì)點(diǎn)系為非自由質(zhì)點(diǎn)系. 約束加于質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的限制條件,可以利用幾何學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí),寫成具體的數(shù)學(xué)表達(dá)式 , 這樣的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為約束方程.例18-2. 曲柄連桿機(jī)構(gòu)的約束方程為: x12 + y12 = r2 (x1 - x2)2 + y12 = l 2 y2 = 0yOA(x1,y1)B(x2,0)rxl 不受任何約束的質(zhì)點(diǎn)系為自由質(zhì)點(diǎn)系,它可以在主動(dòng)力作用下作空間任意運(yùn)動(dòng)3右圖中擺錘A的約束方程為 x2+y2 = l 2 在約束方程中用嚴(yán)格的等號(hào)表示的約束為雙面約束.這種約束如能限制物體向某一方向運(yùn)動(dòng),則必能限

3、制向相反方向運(yùn)動(dòng). 在約束方程中用不等號(hào)表示的約束為單面約束.這種約束只能限制物體某個(gè)方向的運(yùn)動(dòng),而不能限制相反方向的運(yùn)動(dòng).左圖中擺錘A的約束方程為 l 2x2 + y2 xyOA(x,y)lOyxA(x,y)l(2) 雙面約束與單面約束4 如果約束方程中僅包含坐標(biāo)或坐標(biāo)與時(shí)間的 ,或包含坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)但能積分成有限形式的(P2:xc=R) , 則這種約束稱為完整約束. 如上面所舉各例.完整約束方程的一般形式為 (x1,y1,z1,xn,yn,zn,t)=0 ( =1,2,s) 如果在約束方程中不顯含時(shí)間 t ,既約束不隨時(shí)間而改變 ,這種約束稱為定常約束.如上面所舉二例. 如左圖圓周的半徑

4、隨時(shí)間改變 , 約束方程為x2 + y2 = (r + at)2 如果在約束方程中顯含時(shí)間t , 既約束隨時(shí)間而改變 ,這種約束稱為非定常約束.如上面舉例. (4)完整約束與非完整約束O(3) 定常約束與非定常約束R5 如果約束方程中不僅含有坐標(biāo) , 還含有坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù) , 且這種含有坐標(biāo)導(dǎo)數(shù)的方程不能積分成有限形式 , 則這種約束稱為非完整約束.其一般形式為 因?yàn)橥暾s束方程中僅含坐標(biāo) , 它表現(xiàn)為對(duì)質(zhì)點(diǎn)系的幾何位置起限制作用 , 所以這種約束又稱為幾何約束. 因?yàn)榉峭暾s束方程中包含有速度投影量 , 它僅表現(xiàn)為對(duì)質(zhì)點(diǎn)速度所加的限制 , 所以這種約束又稱為運(yùn)動(dòng)約束.(x1,y1,z1,x

5、n,yn,zn; t) = 0 ( = 1,2,s)本單元內(nèi)容只涉及定常的,雙面的完整約束.6解: 由質(zhì)點(diǎn)距離不變的條件寫出M1 和M2的約束方程 (x1 - x2)2+(y1 - y2)2 = l 2 由點(diǎn)C的速度vc必須沿桿的方向的條件寫出約束方程或oxycM1(x1,y1)M2(x2,y2)vc圖1-6例題17-3. 平面上兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)M1和M2 質(zhì)量相等.由一長(zhǎng)為 l 不計(jì)質(zhì)量的剛性桿連接 , 運(yùn)動(dòng)中桿中點(diǎn) C 的速度只可以沿著桿的方向如圖所示.寫出質(zhì)點(diǎn)M1和M2及中點(diǎn)C的約束方程. yc = (y1 + y2 )/2 xc = (x1 + x2 )/2 tg=(y1 - y2 )/ (y

6、1 - y2 )(非完整約束717-2.自由度與廣義坐標(biāo)(1)自由度 在完整約束的條件下 , 用來確定質(zhì)點(diǎn)系在空間的位置所 需獨(dú)立坐標(biāo)的個(gè)數(shù) , 稱為質(zhì)點(diǎn)系的自由度. 一個(gè)由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系在平面內(nèi)的位置 , 在直角坐標(biāo)系中需用2n個(gè)坐標(biāo)來確定.如果質(zhì)點(diǎn)系受有s個(gè)完整約束 , 則質(zhì)點(diǎn)系的2n個(gè)坐標(biāo)必須滿足s個(gè)約束方程.因此質(zhì)點(diǎn)系只有k=2n - s 個(gè)坐標(biāo)是獨(dú)立的.例題17-4.確定右圖所示系統(tǒng)的自由度. yOA(x1,y1)B(x2,0)rxlxo= 0 yo= 0 yB= 0 xA2 + yA2 = r2(xA-xB)2 + yA2 = l 2 k = 23 - 5 = 18例題17-

7、5. 求右圖所示雙擺的自由度.系統(tǒng)由3個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成 ,受4個(gè)約束xO= 0 yO= 0 xA2 + yA2 =l12(xA-xB)2+(yA-yB)2 = l22k = 23 - 4 = 2OxyA(xA,yA)B(xB,yB)129(2)廣義坐標(biāo) 唯一地確定質(zhì)點(diǎn)系位置的獨(dú)立參數(shù),稱為廣義坐標(biāo).例題17-4. 確定右圖的廣義坐標(biāo).xA =l1 sin1 yA = l1 cos 1xB = l1 sin 1 + l2 sin 2yB =l1 cos 1 + l2 cos 2OxyA(xA,yA)B(xB,yB)12解:可取1和 2為廣義坐標(biāo)來確定系統(tǒng)的位置.這時(shí)A和B點(diǎn)的直角坐標(biāo)與廣義坐標(biāo)的關(guān)系為

8、:10 在一般情況下,若一個(gè)由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系,受s個(gè)定常的完整約束,則系統(tǒng)具有k = 2n - s個(gè)自由度.如以q1,q2,qk 表示所選定的廣義坐標(biāo),則質(zhì)點(diǎn)系中任一質(zhì)點(diǎn)Mi的直角坐標(biāo)可以表示為廣義坐標(biāo)的函數(shù).x i= xi (q1,q2,qk)yi = yi (q1,q2,qk) (i =1,2,n)ri=ri(q1,q2,qk) (i =1,2,n)顯然質(zhì)點(diǎn)Mi的矢徑ri也可表示為廣義坐標(biāo)的函數(shù)11例題17-5. 分別確定下列結(jié)構(gòu)的自由度和廣義坐標(biāo).(1)長(zhǎng)為l 的剛桿. (2)用三根長(zhǎng)為 l 的剛桿鉸接的三角形結(jié)構(gòu).(3)用四根長(zhǎng)為 l 的剛桿鉸接的四邊形結(jié)構(gòu).解:xyAB(1)約

9、束方程為(xA-xB)2+(yA-yB)2 = l 2自由度為:k=22 -1 = 3廣義坐標(biāo)為: x , y , rA = x i + y jrB = (x + l cos) i + (y + l sin) jxy12(2)約束方程為(xA-xB)2+(yA-yB)2 = l 2(xA-xC)2+(yA-yC)2 = l 2(xB-xC)2+(yB-yC)2 = l 2自由度為:k = 23 -3 = 3廣義坐標(biāo)為: x , y , rA = x i + y jrB = (x + l cos) i + (y + l sin) jrC = x + l cos(+60o) i + y + l s

10、in(+60o) j 顯然用三根長(zhǎng)為 l 的剛桿鉸接的三角形結(jié)構(gòu)可以視為一根剛桿.xyABCxy13(3)約束方程為(xA-xB)2+(yA-yB)2 = l 2(xA-xD)2+(yA-yD)2 = l 2(xB-xC)2+(yB-yC)2 = l 2自由度為:k =24 -4 = 4廣義坐標(biāo)為:x、y、 rA = x i + y jrB = (x + l cos) i + (y + l sin) jrC = x + l (cos - sin) i + y + l (sin+cos) j(xC-xD)2+(yC-yD)2 = l 2rD = (x - l sin) i + (y + l co

11、s) jxyABCDxy1417-3.虛位移與虛功(一)虛位移 質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系在給定瞬時(shí),為約束所容許的任何微小的位移,稱為質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的虛位移.記為r. 虛位移只是一個(gè)幾何概念,它完全由約束的性質(zhì)及其限制的條件所決定.它只是約束所容許的可能發(fā)生而實(shí)際不一定發(fā)生的位移,它與作用力無關(guān),與時(shí)間無關(guān).它可以有多種不同的方向,它必須是微小量. 實(shí)位移是質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系在力的作用下,在一定時(shí)間間隔內(nèi)實(shí)際發(fā)生的位移.它有確定的方向,它可以是微小量,也可以是有限量.15xyAMO例題17-6.鉸接于光滑水平面上的直桿OA受力如圖所示.畫出點(diǎn)A的實(shí)位移和虛位移.drdr112r2 在定常的幾何約束的情形下 , 約

12、束的性質(zhì)與時(shí)間無關(guān) , 微小的實(shí)位移是虛位移之一.xyAMO16BArr 對(duì)于非定常約束 , 由于它的位置或形狀隨時(shí)間而改變 ,而虛位移與時(shí)間無關(guān) , 實(shí)位移卻與時(shí)間有關(guān) ,所以微小的實(shí)位移不再是虛位移之一.BAdr例題17-7.物塊B擱置于三棱體A上,摩擦不計(jì).畫出系統(tǒng)由靜止開始運(yùn)動(dòng)后物塊B的實(shí)位移和虛位移.171)幾何法在定常約束條件下 , 微小的實(shí)位移是虛位移之一.可以用求實(shí)位移的方法來建立質(zhì)點(diǎn)虛位移之間的關(guān)系.I1rBrA22例題17-8. 求圖示機(jī)構(gòu)A點(diǎn)和B點(diǎn)的虛位移解: 應(yīng)用幾何學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)來求A點(diǎn) 和B點(diǎn)的虛位移rA和 rBOA桿作定軸轉(zhuǎn)動(dòng) rA= 1 (1) AB桿作平面運(yùn)動(dòng) ,

13、 I為瞬心 rA = 2 (2)OAB182 = 1rB =2 =1 當(dāng)然也可以取1 的轉(zhuǎn)向?yàn)轫槙r(shí)針轉(zhuǎn)向,畫出虛位移圖得出的 rA和 rB的表達(dá)式與轉(zhuǎn)向?yàn)槟鏁r(shí)針是一致的. 由(1)(2)式得:I1rBrA22OAB19OAB2)解析法 利用廣義坐標(biāo)的概念,可以得到任意質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的虛位移表示為廣義坐標(biāo)的變分的關(guān)系式.即解析法.解: xA=l1 cos yA=l1 sin xB=l1 cos +l2cos l1sin =l2sinxy例題17-9.求圖示機(jī)構(gòu)A點(diǎn)和B點(diǎn)的虛位移.OA=l1 ; AB=l2 .xA = -l1sin yA = l1cos 變分與微分相似20 rA = ixA +

14、jyA = l1(- i sin + j cos) rB= ixB =i (- l1sin ) + ctg tg l1cos = l2cos xB = -l1sin - l2sin 可以證明用幾何法和解析法所得的結(jié)果是一致的. OABxy21(二)虛功1) 力作虛功 W =Fr = Fxx + Fyy 2)力矩或力偶矩作虛功W= MO(F) W= m 例題17-10. 計(jì)算上圖中力偶矩作的虛功 解: W=M 1 W= - M 2W= MI(F) xyAMOr112r22217-4.理想約束 以Ni表示質(zhì)點(diǎn)系中質(zhì)點(diǎn)Mi的約束反力的合力 , ri表示該質(zhì)點(diǎn)的虛位移 , 則質(zhì)點(diǎn)系的理想約束條件可表示為 Ni ri = 0(1)理想約束的定義 如果約束反力在質(zhì)點(diǎn)系的任何虛位移中所作元功之和等于零 , 則這種約束稱為理想約束.23(2)光滑接觸面Nr 光滑接觸面的約束反力恒垂直于接觸面的切面 , 而被約束質(zhì)點(diǎn)的虛位移總是沿著切面的 , 即N rNN r(3)連接兩剛體的光滑鉸鏈 設(shè)AB桿與BC桿在B點(diǎn)用光滑鉸鏈連接.由N = -N 得