理論力學之虛位移原理PPT

1、內(nèi) 容 提 要17-1.約束的分類約束的定義雙面約束與單面約束定常約束與非定常約束完整約束與非完整約束17-2.自由度與廣義坐標自由度廣義坐標17-3.虛位移與虛功虛位移虛功17-4.理想約束理想約束的定義光滑接觸面連接兩剛體的光滑鉸鏈連接兩質(zhì)點的無住重剛桿虛位移原理117-1. 約束的分類(1) 約束的定義 當質(zhì)點或質(zhì)點系中的某些質(zhì)點運動時,受到某些事先給定的幾何上或運動學上的限制條件,這些限制條件稱為質(zhì)點或質(zhì)點系的約束.例17-1. 圓盤C在粗糙的平面上作純滾動 . 約束是指事先給定的限制條件 . 它與作用力, 起始條件以及運動的其他條件無關(guān).C y = R表示圓盤C受到幾何上的限制 .

2、vc = R表示圓盤C受到運動學上的限制.( xc=R ). .2 受有約束的質(zhì)點系為非自由質(zhì)點系. 約束加于質(zhì)點或質(zhì)點系的限制條件,可以利用幾何學和運動學知識,寫成具體的數(shù)學表達式 , 這樣的數(shù)學表達式稱為約束方程.例18-2. 曲柄連桿機構(gòu)的約束方程為: x12 + y12 = r2 (x1 - x2)2 + y12 = l 2 y2 = 0yOA(x1,y1)B(x2,0)rxl 不受任何約束的質(zhì)點系為自由質(zhì)點系,它可以在主動力作用下作空間任意運動3右圖中擺錘A的約束方程為 x2+y2 = l 2 在約束方程中用嚴格的等號表示的約束為雙面約束.這種約束如能限制物體向某一方向運動,則必能限

3、制向相反方向運動. 在約束方程中用不等號表示的約束為單面約束.這種約束只能限制物體某個方向的運動,而不能限制相反方向的運動.左圖中擺錘A的約束方程為 l 2x2 + y2 xyOA(x,y)lOyxA(x,y)l(2) 雙面約束與單面約束4 如果約束方程中僅包含坐標或坐標與時間的 ,或包含坐標對時間的導數(shù)但能積分成有限形式的(P2:xc=R) , 則這種約束稱為完整約束. 如上面所舉各例.完整約束方程的一般形式為 (x1,y1,z1,xn,yn,zn,t)=0 ( =1,2,s) 如果在約束方程中不顯含時間 t ,既約束不隨時間而改變 ,這種約束稱為定常約束.如上面所舉二例. 如左圖圓周的半徑

4、隨時間改變 , 約束方程為x2 + y2 = (r + at)2 如果在約束方程中顯含時間t , 既約束隨時間而改變 ,這種約束稱為非定常約束.如上面舉例. (4)完整約束與非完整約束O(3) 定常約束與非定常約束R5 如果約束方程中不僅含有坐標 , 還含有坐標對時間的導數(shù) , 且這種含有坐標導數(shù)的方程不能積分成有限形式 , 則這種約束稱為非完整約束.其一般形式為 因為完整約束方程中僅含坐標 , 它表現(xiàn)為對質(zhì)點系的幾何位置起限制作用 , 所以這種約束又稱為幾何約束. 因為非完整約束方程中包含有速度投影量 , 它僅表現(xiàn)為對質(zhì)點速度所加的限制 , 所以這種約束又稱為運動約束.(x1,y1,z1,x

5、n,yn,zn; t) = 0 ( = 1,2,s)本單元內(nèi)容只涉及定常的,雙面的完整約束.6解: 由質(zhì)點距離不變的條件寫出M1 和M2的約束方程 (x1 - x2)2+(y1 - y2)2 = l 2 由點C的速度vc必須沿桿的方向的條件寫出約束方程或oxycM1(x1,y1)M2(x2,y2)vc圖1-6例題17-3. 平面上兩個質(zhì)點M1和M2 質(zhì)量相等.由一長為 l 不計質(zhì)量的剛性桿連接 , 運動中桿中點 C 的速度只可以沿著桿的方向如圖所示.寫出質(zhì)點M1和M2及中點C的約束方程. yc = (y1 + y2 )/2 xc = (x1 + x2 )/2 tg=(y1 - y2 )/ (y

6、1 - y2 )(非完整約束717-2.自由度與廣義坐標(1)自由度 在完整約束的條件下 , 用來確定質(zhì)點系在空間的位置所 需獨立坐標的個數(shù) , 稱為質(zhì)點系的自由度. 一個由n個質(zhì)點組成的質(zhì)點系在平面內(nèi)的位置 , 在直角坐標系中需用2n個坐標來確定.如果質(zhì)點系受有s個完整約束 , 則質(zhì)點系的2n個坐標必須滿足s個約束方程.因此質(zhì)點系只有k=2n - s 個坐標是獨立的.例題17-4.確定右圖所示系統(tǒng)的自由度. yOA(x1,y1)B(x2,0)rxlxo= 0 yo= 0 yB= 0 xA2 + yA2 = r2(xA-xB)2 + yA2 = l 2 k = 23 - 5 = 18例題17-

7、5. 求右圖所示雙擺的自由度.系統(tǒng)由3個質(zhì)點組成 ,受4個約束xO= 0 yO= 0 xA2 + yA2 =l12(xA-xB)2+(yA-yB)2 = l22k = 23 - 4 = 2OxyA(xA,yA)B(xB,yB)129(2)廣義坐標 唯一地確定質(zhì)點系位置的獨立參數(shù),稱為廣義坐標.例題17-4. 確定右圖的廣義坐標.xA =l1 sin1 yA = l1 cos 1xB = l1 sin 1 + l2 sin 2yB =l1 cos 1 + l2 cos 2OxyA(xA,yA)B(xB,yB)12解:可取1和 2為廣義坐標來確定系統(tǒng)的位置.這時A和B點的直角坐標與廣義坐標的關(guān)系為

8、:10 在一般情況下,若一個由n個質(zhì)點組成的質(zhì)點系,受s個定常的完整約束,則系統(tǒng)具有k = 2n - s個自由度.如以q1,q2,qk 表示所選定的廣義坐標,則質(zhì)點系中任一質(zhì)點Mi的直角坐標可以表示為廣義坐標的函數(shù).x i= xi (q1,q2,qk)yi = yi (q1,q2,qk) (i =1,2,n)ri=ri(q1,q2,qk) (i =1,2,n)顯然質(zhì)點Mi的矢徑ri也可表示為廣義坐標的函數(shù)11例題17-5. 分別確定下列結(jié)構(gòu)的自由度和廣義坐標.(1)長為l 的剛桿. (2)用三根長為 l 的剛桿鉸接的三角形結(jié)構(gòu).(3)用四根長為 l 的剛桿鉸接的四邊形結(jié)構(gòu).解:xyAB(1)約

9、束方程為(xA-xB)2+(yA-yB)2 = l 2自由度為:k=22 -1 = 3廣義坐標為: x , y , rA = x i + y jrB = (x + l cos) i + (y + l sin) jxy12(2)約束方程為(xA-xB)2+(yA-yB)2 = l 2(xA-xC)2+(yA-yC)2 = l 2(xB-xC)2+(yB-yC)2 = l 2自由度為:k = 23 -3 = 3廣義坐標為: x , y , rA = x i + y jrB = (x + l cos) i + (y + l sin) jrC = x + l cos(+60o) i + y + l s

10、in(+60o) j 顯然用三根長為 l 的剛桿鉸接的三角形結(jié)構(gòu)可以視為一根剛桿.xyABCxy13(3)約束方程為(xA-xB)2+(yA-yB)2 = l 2(xA-xD)2+(yA-yD)2 = l 2(xB-xC)2+(yB-yC)2 = l 2自由度為:k =24 -4 = 4廣義坐標為:x、y、 rA = x i + y jrB = (x + l cos) i + (y + l sin) jrC = x + l (cos - sin) i + y + l (sin+cos) j(xC-xD)2+(yC-yD)2 = l 2rD = (x - l sin) i + (y + l co

11、s) jxyABCDxy1417-3.虛位移與虛功(一)虛位移 質(zhì)點或質(zhì)點系在給定瞬時,為約束所容許的任何微小的位移,稱為質(zhì)點或質(zhì)點系的虛位移.記為r. 虛位移只是一個幾何概念,它完全由約束的性質(zhì)及其限制的條件所決定.它只是約束所容許的可能發(fā)生而實際不一定發(fā)生的位移,它與作用力無關(guān),與時間無關(guān).它可以有多種不同的方向,它必須是微小量. 實位移是質(zhì)點或質(zhì)點系在力的作用下,在一定時間間隔內(nèi)實際發(fā)生的位移.它有確定的方向,它可以是微小量,也可以是有限量.15xyAMO例題17-6.鉸接于光滑水平面上的直桿OA受力如圖所示.畫出點A的實位移和虛位移.drdr112r2 在定常的幾何約束的情形下 , 約

12、束的性質(zhì)與時間無關(guān) , 微小的實位移是虛位移之一.xyAMO16BArr 對于非定常約束 , 由于它的位置或形狀隨時間而改變 ,而虛位移與時間無關(guān) , 實位移卻與時間有關(guān) ,所以微小的實位移不再是虛位移之一.BAdr例題17-7.物塊B擱置于三棱體A上,摩擦不計.畫出系統(tǒng)由靜止開始運動后物塊B的實位移和虛位移.171)幾何法在定常約束條件下 , 微小的實位移是虛位移之一.可以用求實位移的方法來建立質(zhì)點虛位移之間的關(guān)系.I1rBrA22例題17-8. 求圖示機構(gòu)A點和B點的虛位移解: 應(yīng)用幾何學和運動學來求A點 和B點的虛位移rA和 rBOA桿作定軸轉(zhuǎn)動 rA= 1 (1) AB桿作平面運動 ,

13、 I為瞬心 rA = 2 (2)OAB182 = 1rB =2 =1 當然也可以取1 的轉(zhuǎn)向為順時針轉(zhuǎn)向,畫出虛位移圖得出的 rA和 rB的表達式與轉(zhuǎn)向為逆時針是一致的. 由(1)(2)式得:I1rBrA22OAB19OAB2)解析法 利用廣義坐標的概念,可以得到任意質(zhì)點系中各質(zhì)點的虛位移表示為廣義坐標的變分的關(guān)系式.即解析法.解: xA=l1 cos yA=l1 sin xB=l1 cos +l2cos l1sin =l2sinxy例題17-9.求圖示機構(gòu)A點和B點的虛位移.OA=l1 ; AB=l2 .xA = -l1sin yA = l1cos 變分與微分相似20 rA = ixA +

14、jyA = l1(- i sin + j cos) rB= ixB =i (- l1sin ) + ctg tg l1cos = l2cos xB = -l1sin - l2sin 可以證明用幾何法和解析法所得的結(jié)果是一致的. OABxy21(二)虛功1) 力作虛功 W =Fr = Fxx + Fyy 2)力矩或力偶矩作虛功W= MO(F) W= m 例題17-10. 計算上圖中力偶矩作的虛功 解: W=M 1 W= - M 2W= MI(F) xyAMOr112r22217-4.理想約束 以Ni表示質(zhì)點系中質(zhì)點Mi的約束反力的合力 , ri表示該質(zhì)點的虛位移 , 則質(zhì)點系的理想約束條件可表示為 Ni ri = 0(1)理想約束的定義 如果約束反力在質(zhì)點系的任何虛位移中所作元功之和等于零 , 則這種約束稱為理想約束.23(2)光滑接觸面Nr 光滑接觸面的約束反力恒垂直于接觸面的切面 , 而被約束質(zhì)點的虛位移總是沿著切面的 , 即N rNN r(3)連接兩剛體的光滑鉸鏈 設(shè)AB桿與BC桿在B點用光滑鉸鏈連接.由N = -N 得